Реферат: Економіко-математичні методи і алгоритми

Завдання 1

У наведеній далі задачі виконати такі дії:

1.1. записати математичні моделі прямої та двоїстої задач;

1.2. симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої тадвоїстої задач, подати їх економічний аналіз;

1.3. визначити статус ресурсів, що використовуються длявиробництва продукції, та рентабельність кожного виду продукції;

1.4. обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно змінизапасів дефіцитних ресурсів;

1.5. розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельноїпродукції.

Підприємство виготовляє чотири види продукції, використовуючи дляцього три види ресурсів. Норми витрати усіх ресурсів на одиницю продукції тазапаси ресурсів наведено в таблиці. Відома ціна одиниці продукції кожного виду.Визначити план виробництва продукції, що забезпечує підприємству найбільшийдохід.

Ресурс Норма витрат на одиницю продукції за видами Запас ресурсу А В С Д 1 2 1 1 1 280 2 1 1 1 80 3 1 5 250 Ціна одиниці продукції (ум. од.) 4 3 6 7

Розв'язання:

1.1. Математичні моделі прямої та двоїстої задач мають такийвигляд:

/>

де /> – обсягвиробництва продукції />го виду (/>);

/>

де /> – оцінка одиниці/>го виду ресурсу (/>).

Розв’яжемо пряму задачу симплекс-методом:

Базис

Сбаз

План 4 3 6 7

х1

х2

х3

х4

х5

х6

х7

х5

280

2

1 1 1 1 140

х6

80 1 1 1 1

х7

250 1 5 1 250

/>

-4 -3 -6 -7

х1

4 200 2 1 1 1 1

х6

80 1 1 1 1

х7

250

1

-4 -3 1 250

/>

560 -3 10 2 4

Остання симплекс-таблиця, що відповідає оптимальному планупоставленої задачі, має вигляд:

Базис

Сбаз

План 4 3 6 7

х1

х2

х3

х4

х5

х6

х7

х2

3 50 1 -1 1 1 1/5

х5

150 2 1 1 -1 -1/5

х4

7 80 1 3/5 4/7

/>

710 3,6 1 7 0,6

З наведеної симплекс-таблиці маємо:

/>

/>;

min F = 80*7 +250*0,6 = 710 = max Z.

Оптимальний план прямої задачі передбачає виробництво лише двох видівпродукції А і В у кількості відповідно 50 та 80 од. Випуск продукції А та С не передбачається(х1 = х3 = 0). Додаткові змінні х5, х6,х7 характеризують залишок (невикористану частину) ресурсіввідповідно 1, 2 та 3. Оскільки х5 = 150, то перший ресурсвикористовується у процесі виробництва не повністю, а другий та третій ресурси– повністю (х6 = х7 =0). За такого оптимальноговиробництва продукції та використання ресурсів підприємство отримує найбільшийдохід у розмірі 710 ум. од.

План двоїстої задачі дає оптимальну систему оцінок ресурсів, щовикористовуються у виробництві. Так, y2 = 7 та y3 = 0,6відмінні від нуля, а ресурси 2 та 3 використовуються повністю. Двоїста оцінка y1= 0 і відповідний вид ресурсу не повністю використовується при оптимальному планівиробництва. Така оптимальна система оцінок дає найменшу загальну вартість усіхресурсів, що використовуються на підприємстві: min F = 710 ум. од.

Статус ресурсів прямої задачі можна визначити за допомогоюдодаткових змінних прямої задачі. Якщо додаткова змінна в оптимальному планідорівнює нулю, то відповідний ресурс дефіцитний, а якщо відмінна від нуля –ресурс недефіцитний. В даному випадку другий та третій ресурси є дефіцитними, аперший ресурс не є дефіцитним.

Якщо запас другого дефіцитного ресурсу збільшити на 1 ум. од. />, то цільова функція max Zзбільшиться за інших однакових умов на y2 = 0,1 ум. од. істановитиме max Z = 710,1 ум. од. Елементи стовпчика «х6» останньоїсимплекс-таблиці, який відповідає двоїстій оцінці y2 даютьінформацію про зміни в оптимальному плані. У новому оптимальному плані значеннязмінної х4 збільшиться на 1, значення х5 збільшиться на 1,3,а значення х2 зменшиться на 2,3. Нові оптимальні значення зміннихбудуть такими: />. Отже,збільшення запасу другого дефіцитного ресурсу за інших однакових умов приводитьдо зростання випуску продукції Д та зменшення випуску продукції В, а обсягвикористання першого ресурсу збільшиться. За такого плану виробництвамаксимальний дохід підприємства буде max Z = 710,1, тобто зросте на y2= 0,1.

Проаналізуємо, як зміниться оптимальний план виробництва продукції,якщо запас дефіцитного ресурсу 3 за інших однакових умов збільшиться на одиницю/>. Аналогічно попереднімміркуванням, скориставшись елементами стовпчика «х7» останньоїсимплекс-таблиці, можна записати новий оптимальний план: />, max Z = 710 + 0,6 = 710,6 ум. од.

Отже, дохід підприємства збільшиться на 0,6 ум. од. за рахунок збільшеннявиробництва продукції В на 0,20 од.

Розрахуємо інтервали можливої зміни обсягів дефіцитних ресурсів, вмежах яких двоїсті оцінки залишаються на рівні оптимальних значень.

Приріст (зміну) запасу ресурсу 2 позначимо />. Тоді новий обсяг ресурсустановитиме /> і новий оптимальний план

/>

Єдина вимога, яку можна поставити до можливих нових оптимальнихзначень, – це умова невід’ємності, тобто

/>

/>.

Це означає, що коли запас ресурсу 2 збільшиться на 150 од. або зменшиться на 80 од., то оптимальною двоїстоюоцінкою ресурсу 2 залишиться y2 = 7. Отже, запас ресурсу 2 може змінюватися умежах

/>/>,

/>.

Згідно з цим максимально можливий дохід підприємства перебуватимев межах

/>,

/>.

Аналогічно розраховується інтервал стійкості двоїстої оцінкидефіцитного ресурсу 3:

/>

/>.

Отже, якщо запас ресурсу 3 збільшиться на 750 од. або зменшиться на 250 од., то двоїста оцінкаy3 = 0,6 цього ресурсузалишиться оптимальною. Згідно з цим можливий дохід підприємства та оптимальнийплан виробництва продукції перебуватимуть у межах

/>

/>,

Оцінка рентабельності продукції, що виготовляється напідприємстві, виконується за допомогою двоїстих оцінок та обмежень двоїстоїзадачі, що характеризують кожний вид продукції.

Підставимо /> усистему обмежень двоїстої задачі. Якщо вартість ресурсів на одиницю продукції(ліва частина) перевищує ціну цієї продукції (права частина), то виробництвотакої продукції для підприємства недоцільне. Якщо ж співвідношення виконуєтьсяяк рівняння, то продукція рентабельна.

/>

Отже, продукція В і Д рентабельна, а продукція А, С нерентабельна.

Завдання 2

На ринку дві корпорації-конкуренти намагаються стати лідерами йконтролювати всі дрібні компанії у своїй галузі. Невелика фірма внаслідок такоїполітики може опинитися в складі однієї з конкуруючих корпорацій, що можепривести їй як зиск, так і збитки. З метою протистояння корпораціям фірма можеініціювати створення асоціації дрібних підприємств своєї галузі, що можезабезпечити як великий успіх, так і цілковиту невдачу від цієї діяльності.Відповідна інформація наведена в таблиці. Який з трьох варіантів обрати фірмі?

Варіант злиття Успіх Невдача імовірність прибуток, млн. грн. імовірність прибуток, млн. грн. 1 корпорація 0,6 9,5 0,4 -2 2 корпорація 0,7 13,5 0,3 -2 Створення асоціації 0,3 26,5 0,7 -2,5

Розв’язання:

Визначимо очікуване значення прибутку для кожного варіанту злиття:

1 корпорація                         М(1) = 0,6*9,5+0,4*(-2) = 4,9млн. грн.;

2 корпорація                         М(2) = 0,7*13,5+0,3*(-2) = 8,85 млн. грн.;

створення асоціації               М(А) = 0,3*26,5+0,7*(-2,5) = 6,2 млн. грн.

Отже, входження до другої корпорації має найбільше очікуванезначення прибутку.

Обчислимо для кожного варіанту злиття показники варіації прибуткуфірми: дисперсію, середньоквадратичне відхилення та коефіцієнт варіації.

1) входження до першої корпорації:

дисперсія                               D(1) = 0,6*(9,5–4,9)2+0,4*(-2–4,9)2 = 31,74;

середньоквадратичне відхилення  /> млн.грн.;

коефіцієнт варіації                />.

2) входження до другої корпорації:

дисперсія                     D(2) = 0,7*(13,5–8,85)2+0,3*(-2–8,85)2 = 50,4525;

середньоквадратичне відхилення  /> млн.грн.;

коефіцієнт варіації                />.

3) створення асоціації:

дисперсія                     D(А) = 0,3*(26,5–6,2)2+0,7*(-2,5–6,2)2 = 176,61;

середньоквадратичне відхилення  /> млн.грн.;

коефіцієнт варіації                />.

Коефіцієнту варіації має такий зміст: це величина ризикувідхилень, що припадає на одиницю очікуваного прибутку.

Отже, найменший ризик у абсолютному вимірі (середньоквадратичневідхилення) має входження у першу корпорацію. Але у відносному вимірі(коефіцієнт варіації) найменший ризик має входження до другої корпорації. Враховуючи,що крім цього входження до другої корпорації має найбільше очікуване значенняприбутку, то слід обрати варіант входження до другої корпорації.

 Завдання 3

Підприємство має 12 філій, розташованих в різних районах області.Керівництво має дослідити, яким чином впливають торгівельна площа,середньоденна інтенсивність потоку покупців та середньоденний дохід на річнийтоварообіг філії. Статистичні дані наведені в таблиці:

№ філії

Річний

товарообіг,

млн. грн.

Торгівельна

площа,

тис. м2

Середньоденна

інтенсивність потоку

покупців,

тис. чол. /день

Середньоденний дохід,

тис. грн.

У

Х1

Х2

Х3

1 3,08 0,37 10,54 5,495 2 5,42 1,04 7,81 5,625 3 7 1,27 11,11 6,775 4 7,16 1,35 10,19 6,305 5 7,17 1,18 14,02 9,975 6 8,5 1,55 14,22 8,775 7 4,48 0,84 8,84 5,525 8 5,92 1 12,66 7,755 9 7,83 1,35 12,57 7,875 10 3,31 0,54 11,31 6,275 11 1,67 0,3 8,55 5,235 12 3,3 0,61 9,61 5,325

Обчислити парні коефіцієнти кореляції та дослідити модель намультиколінеарність. Якщо є залежні фактори, виключити один з них (довести,чому саме цей фактор вилучено).

Побудувати діаграми розсіювання для припущення щодо виглядузалежності між показником та факторами, що залишилися в моделі. Обчислитиоцінки параметрів множинної регресії. Дати інтерпретацію оцінок параметрів.

Визначити коефіцієнти кореляції, детермінації, оцінений коефіцієнтдетермінації. Дати пояснення щодо отриманих результатів.

З надійністю 0,95 за допомогою критерію Фішера оцінитиадекватність прийнятої математичної моделі статистичним даним та за допомогою критеріюСтьюдента оцінити значимість параметрів регресії. Пояснити отримані результати.

Визначити частинні коефіцієнти еластичності та пояснити їх сенс.

Розв’язання:

Використаємо критерій /> дляперевірки моделі на мультиколінеарність. Для цього нормалізуємо змінні /> економетричної моделі заформулою

/>,

де /> – кількістьспостережень, (/>);

/> – кількість незалежнихзмінних, (/>);

/> – середня арифметична />-ї незалежної змінної;

/> – дисперсія />-ї незалежної змінної.

Результати нормалізації змінних />,/>, /> подамо в таблиці:

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

1 0,45 10,94 5,995 -0,4207 -0,0593 -0,2458 2 1,12 8,21 6,125 0,0653 -0,4515 -0,2202 3 1,35 11,51 7,275 0,2321 0,0226 0,0059 4 1,43 10,59 6,805 0,2901 -0,1096 -0,0865 5 1,26 14,42 10,475 0,1668 0,4408 0,6351 6 1,63 14,62 9,275 0,4352 0,4695 0,3991 7 0,92 9,24 6,025 -0,0798 -0,3035 -0,2399 8 1,08 13,06 8,255 0,0363 0,2453 0,1986 9 1,43 12,97 8,375 0,2901 0,2324 0,2222 10 0,62 11,71 6,775 -0,2974 0,0514 -0,0924 11 0,38 8,95 5,735 -0,4715 -0,3452 -0,2969 12 0,69 10,01 5,825 -0,2466 -0,1929 -0,2792

Побудуємо нову />-матрицю,елементами якої є нормалізовані змінні />,і обчислимо кореляційну матрицю:

/>,

де /> – матриця,транспонована до матриці /> (елементиматриці /> характеризують щільністьзв’язку між двома незалежними змінними; (/>)– парні коефіцієнти кореляції). Аналізуючи значення цих коефіцієнтів, робимоприпущення, що між змінними /> і /> існує сильний зв’язок.

Знайдемо визначник кореляційної матриці />: />; потім визначимо критерій />:

/>.

Для /> ступенів свободиі рівня значущості /> табличнезначення критерію />. Оскількиобчислене значення більше за табличне, то в моделі присутнямультиколінеарність.

Складемо розрахункову таблицю для обчислення коефіцієнтівкореляції між факторами і показником:

№ Y

X2

X3

Y2

X22

X32

YX2

YX3

1 3,08 10,54 5,495 9,4864 111,0916 30,19503 32,4632 16,9246 2 5,42 7,81 5,625 29,3764 60,9961 31,64063 42,3302 30,4875 3 7 11,11 6,775 49 123,4321 45,90063 77,77 47,425 4 7,16 10,19 6,305 51,2656 103,8361 39,75303 72,9604 45,1438 5 7,17 14,02 9,975 51,4089 196,5604 99,50063 100,5234 71,52075 6 8,5 14,22 8,775 72,25 202,2084 77,00063 120,87 74,5875 7 4,48 8,84 5,525 20,0704 78,1456 30,52563 39,6032 24,752 8 5,92 12,66 7,755 35,0464 160,2756 60,14003 74,9472 45,9096 9 7,83 12,57 7,875 61,3089 158,0049 62,01563 98,4231 61,66125 10 3,31 11,31 6,275 10,9561 127,9161 39,37563 37,4361 20,77025 11 1,67 8,55 5,235 2,7889 73,1025 27,40523 14,2785 8,74245 12 3,3 9,61 5,325 10,89 92,3521 28,35563 31,713 17,5725 Сума 64,84 131,43 80,94 403,848 1487,922 571,8083 743,3183 465,4972 Середнє 5,4033 10,9525 6,7450 33,6540 123,9935 47,6507 61,9432 38,7914

Обчислимо коефіцієнти кореляції:

/>;

/>

Відповідно до обчислених коефіцієнтів кореляції, показник Y має тіснішийзв’язок із змінною Х3 порівняно із змінною Х2. Томувідкинемо фактор Х2. Будемо розглядати модель Y=Y(X1, X3).

Для припущення про вигляд залежності побудуємо діаграмирозсіювання між показником та факторами, що залишилися в моделі.

/>

/>

Обчислимо оцінки параметрів множинної регресії у лінійній формі:

/>.

Відповідно до методу найменших квадратів (МНК) оператор оцінюванняпараметрів моделі має вигляд

/>,

де />; /> – матриця, транспонованадо матриці />. Матриця />, крім двох векторівзмінних Х1 та Х3, містить вектор одиниць. Згідно зоператором оцінювання одержимо:

1) />;

2) />;

3) />;

4) />.

Отже, отримали таку модель лінійної множинної регресії:

/>.

Оцінки параметрів моделі мають такий економічний зміст:

1) />: якщо за іншихрівних умов змінна Х1 збільшиться (зменшиться) на одиницю, товідповідно до цієї оцінки змінна Y збільшується (зменшується) на 4,60278.Конкретно це означає, що збільшення (зменшення) торгової площі на 1 тис. м2приведе, за інших рівних умов, до збільшення (зменшення) річного товарообігуцієї філії на 4,60278 млн. грн.;

2) />: якщо за іншихрівних умов змінна Х3 збільшиться (зменшиться) на одиницю, товідповідно до цієї оцінки змінна Y збільшиться (зменшиться) на 0,24978.Конкретно це означає, що збільшення (зменшення) середньоденного доходу на 1тис. грн. приведе, за інших рівних умов, до збільшення (зменшення) річноготоварообігу цієї філії на 0,24978 млн. грн.

Обчислимо суми квадратів:

/>.

Визначимо коефіцієнт детермінації

/>,

оцінений коефіцієнт детермінації

/>,

коефіцієнт множинної кореляції

/>.

Оскільки отримані значення є близькими до одиниці, то можназробити висновок про тісний зв’язок між річним товарообігом і незалежнимизмінними. При цьому понад 98% варіації річного товарообігу пояснюєтьсяваріацією торгівельної площі та середньоденного доходу.

Обчислимо критерій Фішера

/>.

Критичне значення критерію Фішера при рівні значущості /> і кількості ступенівсвободи /> та /> дорівнює />. Порівнюючи обчисленезначення критерію Фішера з критичним, робимо висновок про адекватністьприйнятої математичної моделі статистичним даним.

Матриця /> є матрицею коваріаційоцінок параметрів моделі. Діагональні елементи /> цієїматриці використаємо для обчислення стандартних похибок параметрів моделі.

Знайдемо дисперсіюзалишків за формулою />. Таким чином, />. Визначимо стандартніпохибки оцінок параметрів моделі, використовуючи дисперсію залишків:

/>

Обчислимо значення />-критеріїв:

/>; />; />.

Табличне значення />-критеріюпри /> ступенях свободи і рівнізначущості α = 0,05 становить 2,262. Всі фактичні значення />-критеріїв, окрім критеріюдля вільного члена, перевищують за модулем табличне значення. Отже, статистичнозначущими є всі параметри моделі, крім вільного члена.

Визначимо коефіцієнти еластичності за формулами

/>, />,

де f(X) = -0,6541 + 4,60278 X1 + 0,24978 X3. –рівняння регресії, знайдене вище:

/>;

/>.

Отримані коефіцієнти еластичності показують, на скільки% усередньому змінюється показник Y стосовно своєї величини при зміні відповідногофактора на 1% від свого середнього значення.

 
Списоклітератури

1.  Акулич И.Л. Математическоепрограммирование в примерах и задачах. – М.: Высш. шк., 1986.

2.  Машина Н.І.Економічний ризик і методи його вимірювання. Навчальний посібник. – К: ЦУЛ,2003. –188 с.

3.  Толбатов Ю.А. Економетрика:Підручник для студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів. –К.: Четверта хвиля, 1997 – 320 с.