Реферат: Економіко–математичне моделювання

Курсова роботаз інформатики

Тема. Економіко – математичнемоделювання

Зміст

1.    Вступ.

2.    Розвитокметодології економіко-математичного моделювання:

a)   Історіяекономіко — математичної ідеї;

b)   Економіко-математичніметоди і моделі в працях зарубіжних дослідників;

c)   Економіко-математичніметоди і моделі в працях вітчизняних економістів.

3.    Математичнемоделювання і зовнішньополітичні дослідження:

a)      Проблемаметоду в політичних дослідженнях;

b)     Необхідністьпобудови математичних моделей зовнішньополітичної поведінки на єдинійметодологічній основі;

c)      Функціональніпростори і проблема представлення залежності як суперпозиції елементарних;

d)     Основніпідходи використовування систем індикаторів для аналізу зовнішньополітичнихпроцесів;

e)      Простіріндикаторів в системі міжнародних відносин: основні задачі метатеорії.

4.    Висновок.

5.    Списоквикористаної літератури.

Вступ

Математичне моделювання як кількісний інструментарійдослідника по суті своїй належить не тільки математиці — воно має самостійне значення, і своюісторію. Примітно, що один і той же математичний апарат зустрічається в описірізних об'єктів в різних наукових дисциплінах. Тим самим математичнемоделювання є міждисциплінарною категорією. Математичні методи, щозарекомендували себе в першу чергу у фізиці і інших природничонауковихдисциплінах, згодом з розвитком самої математики знайшли успішне вживання і вгуманітарних науках. Економіко-математичне моделювання і моделювання політичноїсфери виявляють собою наочний приклад плідного вживання математичної ідеї внаукових дослідженнях.

1.1. РОЗВИТОК МЕТОДОЛОГІЇЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ

1.1.1. Історія економіко — математичної ідеї

Розвиток методології економіко-математичного моделювання маєдовгу історію. Становлення двох по суті різних наукових дисциплін — економіки іматематики — протягом багатьох століть проходило по власних законах, щовідображали природу цих дисциплін, і одночасно стикаючись один з одним.

Зародження економіко-математичної ідеї сходить коренями доглибокої старовини. Так, зведення законів царя Хаммурапі (1792-1790 рр. дон.е.) дає можливість зробити висновок про вельми значний розвиток товарно-грошовихвідносин у Вавілонії. В трактаті Ксенофонта (430-354 рр. до н.е.) „Про домашнєгосподарство”, а також „Про доходи” вводиться поняття мінової вартості товаруяк здібності обмінюватися на інший товар. В трактаті Арістотеля (384-322 рр. дон.е.) „Політика” гроші виступають в ролі вимірювача при обміні, і т.п. Тимсамим ще в глибокій старовині з розвитком товарно-грошових відносин в економіціз'являються кількісні величини як міра якості, що можна характеризувати яквживання арифметики в економіці. Поступово наївне уявлення про число як мірірозширилося до розуміння того, як збирати і систематизувати дані. Це розумінняпривело до створення дисципліни „статистика”, сам термін якої довгий часвважався синонімом терміну „державознавство”. Так, в німецькому виданні застатистикою, випущеному в 1774 р., затверджується, що „статистика, абодержавознавство — це наука або область знань про сучасне політичне положеннядержави”. Потреба в зборі і систематизації даних про ті або інші особливостілюдського буття сходить настільки далеко, що є всі підстави вважати, що першимстатистиком був Бог і статистика як збір даних створена їм разом з світом: „…і сказав господа Мойсею: пішли від себе людей, щоб вони виглянули землюХанаанську, яку я даю синам ізраїлевим і послав Мойсей людей виглянути землюХанаанську і сказав їм: підіть в цю південну сторону, і зійдіть на гору, іогляньте землю, яка вона і народ, що живе в ній — сильний він або слабкий,нечисленний або численний”. Очевидно, апофеозом арифметичного підходу в економічнихідеях з'явилися ідеї Уїльяма Петі (1623-1687), основоположника так званоїкласичної школи політичної економії в Англії. В своїй „Політичній арифметиці”У. Петі показав, що його привертають перш за все статистичні зіставлення,розрахунки, цифри. В ній У. Петі обґрунтував початкові положення статистики,відзначивши, що „точна обізнаність государів про майно їх підданих не несеостаннім ніякої шкоди”. Признається, що історично перша модель національноїекономіки створена французьким економістом Франсуа Кене (1694-1774), якаодержала назву „Економічна таблиця Кене”, в якій містилися зачатки моделейекономічної динаміки.

Успіхи вживання математичних методів в економіці яскравовиявилися за часів розвитку самої математики, її основоположних досягнень, пов'язанихз розвитком математичного аналізу.

Математизація науки є закономірним і природним процесом. Якщодиференціація наукового знання приводить до появи нових гілок науки, тоінтеграційні процеси в пізнанні миру приводять до своєрідної дифузії науковихідей з однієї області в іншу. В XVIII столітті Еммануїл Кант не тількипроголошує гасло „всяка наука остільки наука, оскільки вона математика), але ікладе ідеї аксіоматичної побудови геометрії Евкліда в палю концепціюапріорізму. Тоді як в природознавстві математика швидко і міцно зайняла ведучі позиції,в області соціальних наук її успіхи виявилися скромніше. Вживання математичнихметодів виявилося виправданим там, де поняття носять стабільний характер і стаєзмістовною задача встановлення зв'язку між цими поняттями, а не нескінченногоперевизначення самих понять. Моделювання є дієвим інструментарієм, що дозволяєпояснювати і прогнозувати досліджуваний спостережуваний об'єкт. Представникиточних (природних) і гуманітарних наук в поняття моделі вкладають неоднаковезначення — спостерігається так: звана методологічна дихотомія, колипротиставляється інтуїтивно-логічний підхід представників гуманітарних науканалітико-прогностичному підходу, зв'язаному із застосуванням методів точнихнаук. Математизація економічної науки не в останню чергу обумовлена прагненнямвдягнутися свої положення і ідеї в точні абстрактні математичні форми і моделі,бажанням деідеологувати свої результати. В теж час математика в економіцідозволяє точно прорахувати і прогнозувати окремі процеси, що складає очевиднуперевагу перед методом „на очко”.

На думку відомого російського дослідника професора МапихінаВ.И. вживання математичних методів в економіці йде по трьох напрямах:математична економіка, математичні моделювання економіки і економіко-математичніметоди. При цьому математична економіка розуміється як чисто математична теоріяекономіки — аксіоми від економіки, інше від математики. Дисципліна припускаєнадзвичайно високий рівень абстракції, докази теорем використовується могутні математичніметоди (теорема нерухомої крапки, селекції багатозначних відображень і т.п.Математичне моделювання економіки — цей опис математичних моделей економіки їхстворення, аналіз. Такими є, наприклад, моделювання виробничих процесів, моделіспівпраці і конкуренція, моделі ринків, глобальні моделі міжгалузевого балансу,моделі Солоу, Неймана і т.п. Нарешті, економіко-математичні методи яксукупність математичних методів, що використовуються для створення математичнихмоделей економіки. До таких, наприклад, відносяться: лінійне програмування,нелінійне і динамічне програмування, методи дослідження операцій, у тому числітеорія ігор і т.п.

Ці висновки є видимими ще в роботах французького дослідникаА. Курний: „дослідження про математичні принципи теорії багатств” від 1838 р.,де систематично використовуються математичні методи. В своїй книзі в 1874 р. У.Вальрас писав: „чиста теорія економіки є наука, що нагадує у всьомуфізико-математичні науки… ми повинні узяти з практики основні поняття, такі якобмін, попит, пропозицію, ринок, капітал, дохід, послуги, продукти. Від цихреальних понять треба абстрагуватися і визначити відповідні ідеальні поняття.Звернення до дійсності і практичного вживання потім можливо тільки післястворення теорії… чиста теорія повинна передувати прикладній економіці”.

На ранньому етапі розвитку математичної економіки в XVIII-XIXстолітті основним математичним апаратом було диференціальне і інтегральнечислення. Останнім часом різні математичні теорії сталі інструментом рішенняекономіко-математичних задач — це в першу чергу лінійне програмування, теоремипро нерухому крапку і теорія лінійних операторів, а також теорія ігор.Математичний апарат став тією методологічною основою, яка об'єднує класекономічних задач” допускаючих математичну: формалізацію. Як відзначив академікА.Н. Колмогоров: „в нерозривному зв'язку із запитами техніки і природознавствазапас кількісних відносин і просторових форм вивчаються математиками,безперервно розширяється так, що визначення математики наповнюється все більшбагатим змістом”. Не слід думати, що математизація економічних дослідженьсприймається в економічних кругах як абсолют. Так, нобелівський лауреат Р.Лукас в 1993 р. писав: Чи „можна придбати знання про реальність за допомогоюпера і паперу? Математичні моделі — це вигадані світи, придумані економістами.Всі розглянуті мною моделі могли б бути, але не були зіставлені з наглядами. Недивлячись на це, я вважаю, що процес створення моделей, в який ми залучені,абсолютно необхідний, і я не можу уявити собі, як без нього ми могли борганізувати і використати масу наявних даних”.

На думку відомого російського економіста Г.Б. Клейнеравірогідність визнання практично будь-якої нової економічної теорії абоконцепції навряд чи не у вирішальному ступені залежить від того, якою мірою цяконцепція допускає математичну формалізацію, наскільки цікавий апарат, щовикористовується при цьому, і наскільки вражають одержані при дослідженнімоделі математичні результати. В західній економічній літературі пригнічуючі більшістьтеоретичних і прикладної наукової статі в області економіки містять якЦентральна частина ту або іншу математичну модель, розроблену для перевірки абоілюстрації гіпотез. У вітчизняній економічній науці пропорції між„математизованими” і „нематематизованими” роботами схиляються швидше на користьдругих, хоча і спостерігається тенденція до зміни у бік перших. Слід визнати,що вітчизняні моделі з часів Л.В. Канторовича традиційно є більш прикладними,направленими на оптимізацію конкретних рішень, на противагу західним моделям,які носять більш теоретичний характер. Відомо також, що приблизно половинаНобелівських премій по економіці присуджена за роботи на стику економіки іматематики.

Не дивлячись на великий історичний період розвиткуматематичного моделювання економіки проблема побудови економіко-математичнихмоделей далека від остаточного рішення: існують різні моделі одного і того жоб'єму, відсутня єдина методологічна база, не завжди надійна перевірка наадекватність. Все більше дослідників замислюються про необхідністьінвентаризації накопичених економіко-математичних моделей, створенню; належнимчином систематизованого довідника по моделях реальної економіки. До витратекономіко-математичного моделювання слід віднести і можливість під будь-який економічнийплан формально створити макроекономічну модель. Математичною мовою можуть бутизаписані як наукові теорії, так і помилкові концепції, що також треба мати увигляді.

Тому у взаємовідношенні економічного початку і математичногов реальній економічній ситуації треба завжди пам'ятати, що математика лишеінструментарій в руках економіста-дослідника, і аналіз подібних явищ повиненносити змістовний, а не формальний характер.

1.1.2. Економіко-математичні методи імоделі в працях зарубіжних дослідників

Економіко-математичні методи, математична економіка іеконометрія, що розуміється як набір статистичних методів для нагляду за ходомрозвитку економіки, її аналізу і прогнозів, пройшли тривалий шлях свогорозвитку.

Економетрія (разом з мікроекономікою і макроекономікою)входить в основу сучасного утворення дослідника-економіста. Економісти часто порізному визначають поняття економетрії. Так, академік В.Л. Макаров, директорЦентрального економ і ко-математичного інституту РАН вважає, що в протилежністьдо економічної теорії, яка займається причинно-наслідковими зв'язками,економетрія займається зв'язками без виявлення їх причин. „основна задачаеконометрія — наповнити емпіричним змістом апріорні економічні міркування”(Клейн).

Тим часом, економетрія не могла бути належним чиномрозвинена, починаючи з роботами її основоположника У. Петі (1623-1627), до тихпір, поки не одержали належного розвитку теорія вірогідності і математичнастатистика. Перші ідеї, з яких згодом і оформилися ці дисципліни, грунтувалисяна міркуваннях теорії азартних ігор (Кардано, Ферма, Паскаль і ін.). Законвеликих чисел, доведений у вигляді теореми Якобом Бернуллі (1654-1705), бувпершим теоретичним обгрунтовуванням накопичених раніше фактів. Теоріявірогідності стає стрункою математичною наукою лише в XIX-XX століттях з появоюосновоположних праць П. Л. Чебишева, а також. А. Маркова, A.M. Ляпунова і потімС.Н. Бернштейна, А.Н. Колмогорова. По суті лише в роботах А. Н. Колмогорова,якими був закладений аксіоматичний фундамент в підставу дисципліни, теоріявірогідності придбаває таку ж Евклідову строгість, як і диференціальне іінтегральне числення.

Тим самим, економетрія в її нинішньому розумінні є в деякомурозумінні вершиною тривалого розвитку економіко-математичної ідеї, щовикористовує новітні досягнення математичної науки.

Тим часом, математична сторона економіко-математичної ідеїмає власні корені.

Математика як така зародилася з практичних потреб рахунку,числення часу, вимірювання ділянок і об'ємів судин. Накопичення фактичного матеріалуйшло по шляху розвитку уявлень про числа і фігури, створення усної і письмовоїсистеми числення, виникнення зачатків арифметики і геометрії. Вважаючи Евклідаосновоположником побудови математичної теорії „від аксіом до висновків” слідзазначити, що уявлення про аксіоматичний метод з'явилися задовго до Евкліда.Так, попередниками Евкліда в аксіоматичному методі є, зокрема, Гіппократ,Платон і Арістотель. В той же час „Початку” Евкліда з'явилися зразком побудовибудь-якої змістовної теорії і стали еталоном. В геометрії Евкліда постулюються(аксіоматизуються) накопичені тисячоліттями геометричні знання. Таке розумінняаксіоматизації одержало назву змістовного (інтуїтивного) і лише в XIX століттімав місце перехід до формального розуміння аксіоматичного методу, коли булавідкрита неевклідові геометрія. Саме з появою неевклідових геометрії зрозуміламожливість створення математичних теорій шляхом правильно виконаної абстракціївід обмежень, що накладалися раніше. У зв'язку з виниклим питанням про несуперечністьнових аксіоматичних теорій (зокрема, неевклідових геометрії) виникло питанняпро побудову конкретної моделі, на якій та або інша аксіоматика реалізується. Вроботах західних дослідників Бельтрамі, Клейна і Пуанкаре і був повністюдосліджено питання про несуперечність неевклідових геометрії.

Академік А.И. Колмогоров розділяє всю історію математики начотири періоди: періоди зародження математики, елементарної математики,математики змінних величин і сучасної математики.

Період елементарної математики (від VI в. до н.е. по XVI в.включно) починається з приведення накопичених знань в систему іхарактеризується в основному успіхами у вивченні постійних величин. Цей періодзакінчується початками вивчень процесів руху.

Період математики змінних величин (XVII-XIX століття)починається з аналітичної геометрії Декарта і вивчення змінних величин в працяхИ. Ньютона і Р. Лейбніца. В математику міцно входить виказана ще стародавнімигреками ідея безперервності, і створюються математичні методи вивчення руху.

Період сучасної математики (середина XIX століття і дотеперішнього часу) характеризується украй широким розгалуженням математики. Д.Гільберт, в докладі на міжнародному математичному конгресі 1900 р. відзначив:„… чи осуджена математика на загибель подібно іншим наукам, що розділилися наокремі галузі, представники яких ледве розуміють один одного, і зв'язок міжякими стає все більш слабким?.. я не вірю в це і не бажаю цього. Математичнанаука, в моєму розумінні, є неподільне ціле, організм, життєвість якого обумовленазв'язком його частин… нам ясна схожість логічних апаратів, взаємозв'язок ідейв математиці як в цілому і численні аналогії між її різними областями…радісно, що з розвитком математики її органічний характер не тільки невтрачається, але і виявляється ще більш ясно.., чим далі розвиваєтьсяматематична теорія, тим більше гармонійно і однорідно розвивається їїконструкція і відкриваються безперечні зв'язки між далекими до того областяминауки”.

На жаль, час вносить свої корективи, і на рубежі тисячоліть,не дивлячись на всі спроби повторити і поповнити прогнози Гільберта, більш меншстрункого і повного аналога не вийшло. Поширена думка, що з відходом А.Н.Колмогорова в світі не залишилося математика, здатного розуміти співтовариствосвоїх колег, що неймовірно розширилося, що не так вже і недивно, якщоврахувати, що експоненціальне зростання кількості інформації перевершуєфізіологічні здібності людського мозку до нарощування осмисленої інформації.

Розуміння того факту, що якісне використовування напрацьованогостоліттями економіко-математичного апарату неможливе без аналізу і розуміннявитоків його виникнення і основних віх розвитку, приводить до необхідностідослідження в повній відповідності з принципом системності: від перших дослідівпобудови математичних моделей в економіці до їх сучасного стану.

Побудова математичних моделей в суспільних науках має,ймовірно, корені у використовуванні фізичних аналогій при вивченні соціальнихпроцесів — соціальна фізика XVII-XVIII ст. Так, Спіноза вважав, що люди одинодного відштовхують через фізичний закон, навпаки, Г. Гроцій вважав, що маємісце зворотне тяжіння людей один до одного. О. Фур’є в своєму „Вченні про пристрасті”вважав атрибутом (невід'ємною частиною) людини його прагнення до об'єднання вгрупи, що визначається психологічними чинниками. Поведінкові теорії в своїхспробах пояснити ті або інші процеси в соціальному ареалі шукали аналогії втваринному світі. Так, в політиці на базі теорії біхейвіорізму з'явився напрям„біхейвіоралізм”. Поняття функції корисності сходить в своєму розвитку достатті Д. Бернуллі від 1738 р., а перша спроба кількісно описати національнуекономіку належить французькому економісту Ф. Кене (1694-1774).

Сам термін „економіко-математичні методи і моделі” з'явивсялише в XX столітті. До цього економіко-математична наука розвивалася лише врамках політичної економії, а пізніше в рамках чистої економічної теорії.Термін „політична економія” був введений у Франції в 1614 р. Антуаном деМонкретьеном і позначав науку про державне господарство, про економікунаціональних держав. Політична економія розглядалася А.Смітом як галузь знання,необхідна державному діячу і законодавцю, як наука „про збагачення як народу,так і держави”.

З моменту виходу книги англійського економіста Альфреда Маршалла„Принципи економіки” в 1890 р. з'являється термін „економічна теорія”, щорозуміється як суспільна наука, що вивчає поведінку людей в процесівиробництва, обміну і споживання благ і послуг. Термін „політична економія”зберігся лише в тій частині економічної теорії, яка торкається ролі врегулюванні економіки.

Перша кількісна модель економіки, належна Франсуа Кене(1694-1774), містила зачатки таких майбутніх теорій як теорія ринку, модельмультиплікатора, теорія економічної динаміки і т.п.

Вальрас Леон (1834-1910), швейцарський економіст, побудувавузагальнену модель економіки, очолюючи кафедру політичної економії влозаннському університеті.

Парето Вільфредо (1848-1923) змінив Вальраса на постузавідуючого кафедрою лозаннського університету. Відомий своїм знаменитимпринципом Парето: „всяка зміна, яка нікому не приносить збитків, і яка деякимлюдям приносить користь (за їх власною оцінкою), є поліпшенням”.

Засновники маржиналістських (граничних) теорій в економіці –граничної корисності, граничної прибутковості, граничної продуктивності праціСтенлі Джевонс Уїльям (1835-1882) і Кларк Джон Бейтс (1847-1938).

Маршал Альфред (1842-1924), англійський економіст, керівниккафедри політекономії кембріджського університету, засновник неокласичноїекономічної теорії, математичної економіки.

Кейнс Джон Мейнард (1883-1946), англійський економіст ідержавний діяч, засновник макроекономіки, активний прихильник державногорегулювання економіки. Розробив модель загальної економічної рівноваги,розвинув поняття мультиплікатора, автор моделей грошового обігу, інфляції,міжнародної грошової системи.

Істотний внесок в створенні і використовуванні економетричнихмоделей внесли Рональд Фішер (1890-1962) — англійський статист і генетик,Рагнар Фріш (1895-1973) — норвезький економіст, лауреат Нобелівської премії поекономіці 1969 р. за „науковий внесок у формування понять економетрії іматематичної економіки”.

Історично правильний виклад динаміки зародження і становленняідеї економіко-математичного походу є складною задачею зважаючи на величезнукількість фактичного матеріалу, різноманітності різних шкіл і переконань, їхвзаємозв'язків і переплетень, різного відношення економістів до основекономічної теорії, її розвитку і структури.

Неоднозначність, поглядів і наявність різних шкіл і напрямівв економічній науці пояснюється різними підходами до аналізу економічноїдійсності. Таким же чином пояснюються і різні типології, тобто способирозподілу економістів по школах і напрямах досліджень. Виникає питання прокласифікацію класифікацій, тобто про встановлення методів ранжируванняекономічних шкіл і концепцій. Природне і питання про впорядковування подібнихшкіл і концепцій по їх статусу. Відомо, що найвищий статус в подібнійкласифікації мають макро — і мікротеорії, потім йдуть економетрія,кредитно-грошові відносини, міжнародна торгівля, фінанси, історія економічноїнауки і теорія порівняння економічних систем — компаравистика. У формуванні тихабо інших шкіл можуть домінувати як імена окремих видатних осіб, так і інші,наприклад, географічні принципи (кембріджська, стокгольмська школи), а такожокремі наукові принципи (позитивізм, нормативізм, меркантилізм). Прийнятовважати, що знання історії економіко-математичної думки не належить виключноісторії — воно несе елементи наших сьогоднішніх і завтрашніх уявлень іпоглядів. Для глибокого розуміння дійсності недостатньо знайомства зякою-небудь однією концепцією або теорією в чистому вигляді не застосовуєтьсяпо суті жодна з теорій, що вивчаються.

При класифікації економічних теорій слід зазначити, що зчасом міняються не тільки їх назви, але і їх зміст, вони переживають періодиеволюції, зростання і спаду популярності. Будь-яка класифікація так чи інакшесуб’єктивна — вона відображає в тій чи іншій мірі смаки і погляди укладача,його оцінку тих або інших наукових установ і області дослідження.

В різних економічних теоріях по різному використовуютьсяекономіко-математичні ідеї. В цьому значенні можна говорити про більш„математизовані” теорії (школах), або менш „математизованих”. Учені-економістистворювали своє уявлення про економіку, або свою модель економіки, на шляхахпошуку закономірностей вони виділяли на їх думку головні, зводили їх в принципиі намагалися логічно вивести з них окремі (приватні) економічні закони. Прианалізі економічних процесів математичними методами неминуче доводитьсядотримуватися тієї або іншої економічної концепції. Сукупність вживанихприватних принципів і економічних законів часто називають економічноюполітикою. В будь-якій концепції економіко-математичного моделювання цяекономічна основа є видимою — так, відомий фахівець в області математичногомоделювання економіки В.И. Малихін постійно підкреслює, що дотримується такзваного неокласичного напряму в економіці, має корені в навчанні Адама Сміта(1723-1790), що вважав, що окремі учасники економіки діють незалежно один відодного, якась „невидима рука” проте координує їх дії, роль держави мінімальна.

Послідовників А.Сміта називають „класиками”. Відзначимо такожпослідовників Джона Кейнса (1883-1946), які називаються „кейнсіанцями”,вважаючи, що в певні моменти роль держави може бути визначаючою, грошовий обігмає самостійне значення, а не є тільки віддзеркалення обігу товарів і послуг.

Попередницями класичної теорії є ідеї стародавнього миру,цивілізацій Стародавнього Сходу і Стародавньої Греції, пов'язані з іменамиКонфуція (551-479 рр. до н.е.), Ксенофонта (430-354 рр. до н.е.), а такожПлатона (423-347 рр. до н.е.) і Арістотеля (384-322 р.р. до н.е.). Економічнадумка середньовіччя (Хома Аквінський, 1225-1274 рр. і ін.) і пізньогофеодалізму дали поштовх до більш змістовних економічних теорій, характернимприкладом яких є концепція меркантилізму. Послідовники меркантилізму бачили взовнішній торгівлі джерело багатства за рахунок активного торгового балансу. Меркантилістамив самому закінченому вигляді була розвинена металістична теорія грошей якбагатстві нації. Найвідоміші послідовники меркантилізму в Англії — У.Стаффорд(1554-1612), Т. Манн (1571-1641). У Франції велику популярність здобули А.Монкретьен (1575-1621) і Ж. Кольбер (1619-1693).

Класичний напрям в економіці заснований на трудовій теоріївартості, головним принципом якого було повне невтручання держави в питанняекономіки. Біля витоків цієї школи стояли У. Петі (Англія), 1623-1687) і П.Буагильбер (Франція, 1646-1714). Розвиток цієї школи пов'язаний з іменами А.Сміта, Д. Рікардо, Т. Мальтуса, Ж.Б. Сея, Ф. Бастіа — Процес розвитку класичноїшколи завершується працями Дж. С. Миля і До. Маркса.

Класичний напрям в економіці дав також теорію фізіократії,пов'язану з дослідженнями у Франції, основною задачею яких ставилисільсько-господарське виробництво. Основоположник школи фізіократів Ф. Кене(1694-1774) був автором „Економічної таблиці”, в якій показано, як сукупнийрічний продукт, створений в сільському господарстві, розподіляється міжкласами. Іншим видним представником теорії фізіократії був А. Тюрго(1727-1781), вперше що сформулював закон убуваючої родючості грунтів.

Класична школа мала різні напрями свого подальшого розвитку.Одним з напрямів переходу до неокласицизму була концепція використовуваннятеорії граничних величин в економіці — маржиналізм. Перший етап маржиналізму — 70-80 роки XIX століття пов'язаний з іменами У. Джевонса (1835-1882),засновника математичної школи, К. Менгера (1840-1921) — засновника австрійськоїшколи і Л. Вальраса (1834-1910) засновника лозаннской школи. Цей етап одержавназву „суб'єктивного напряму” в політичній економії, внаслідок введення умовивизначення цінності товару. Другий етап маржиналізму відносять до 90-м рокамXIX століття і пов'язують з іменами А. Маршалла (1842-1924) і Д. Кларка(1847-1938). Видними розробниками теорії маржиналізму були, також засновниканглійської школи маржиналізму А. Пігу (1877-1958) і австрійський економіст І.Шумпетер (1883-1950).

Історичною школою економічної теорії називається напрямдругої половини XIX століття, представники якої розглядали політичну економіюяк науку про національне господарство. Основні етапи розвитку цього напряму — „стара” історична школа (40-е роки XIX століття) і „молода” історична школа(80-е роки XIX століття).

Інституціальним напрямом економічної теорії називаєтьсянапрям 20-30 рр. XX століття, сформоване для дослідження соціально-економічнихчинників і соціального контролю суспільства над економікою.

Поєднання ідей психології і економіки привело до створенняпсихологічної теорії економічного розвитку Т. Веблена (1857-1929)послідовниками якого були соціально-правовий інституціоналізм Дж. Коммонса(1862-1945) і кон'юнктурно-статистичний інституціоналізм У. Мітчелла(1874-1948).

Неоліберальне напрям економічної теорії як вчення продержавне регулювання господарських процесів зв'язаний, з ім'ям Ф. Хаєка(1899-1992). австрійського економіста і соціолога. Слід зазначити і іншінапрями економічної теорії, пов'язані з іменами 3, Чемберліна (1899-1967) — автора теорії монополістичної конкуренції, Джо Робінсона (1903-1983) („теоріянедосконалої конкуренції”) і т.п. Неолібералізм австрійського економіста Л.Мізеса (I88M973) характерний контролем за цінами і заробітною платнею.

Монетаристський напрям (зародилося в 60-роки XX століття)заснований на визначальній ролі грошової маси, що знаходиться в обігу.Засновником і лідером цієї теорії є американський економіст М. Фрідмен(рід.1912г.) і т.п.

Всі ці напрями економічної думки в тому або іншому ступеніабо використовують кількісні співвідношення між величинами, що вивчаються, ітак чи інакше пов'язані з моделюванням (уявленням) економіки, або з'явилися основоюекономіко-математичного моделювання. Моделювати економіку і бути вільним від їїекономічних основ і переконань неможливо.

Математик, працюючої у сфері економічних категорій, повиненмати чітке уявлення про предмет моделювання, його історії, категорійному іпонятійному апаратах, уміти орієнтуватися в різноманітті економічних підходів ішкіл. Змістовний економіст, охочий застосувати математичні методи і моделі дляаналізу економічної діяльності, у свою чергу повинен орієнтуватися в різнихрозділах математики, бачити їх взаємозв'язок і шляхи розвитку.

Симбіозом економіко-математичного співпраці є стадіязмістовної інтерпретації результатів економіко-математичного моделювання, що єплодом спільної діяльності змістовного економіста і прикладного математика

1.1.3. Економіко-математичні методи імоделі в працях вітчизняних економістів

Економіко-математична ідея в працях вітчизняних економістіввиникла в особливих умовах, пов'язаних як з природною ізоляцією Росії від рештисвіту, так і через специфіку російських умов.

Особливість російської економічної думки пов'язана з сильнимвпливом теорії марксизму, важливістю селянського питання і інших специфічнихчинниках. В книзі А.Н, Радіщева „Подорож з Петербургу до Москви” (1790 р.)розглядався разом з політичними і ряд економічних питань, у тому числінеобхідність, проведення державної політики протекціонізму розвитку власноїпромисловості, виділення ознак інфляції і характеристика праці як джерелабагатства. Економічні питання зачіпалися в працях П.И. Пестеля (1793-1826) — повстанця декабристів. Н.И. Чернишевського (1828-1889), відомого російськогописьменника. Що веде перебіг російської суспільної думки — народництво кінцяXIX століття, ідеологами якого вважаються М.А. Бакунін (1814-1876), П.Н. Ткачов(1844-1885), П.Л. Лавров (Миртів) (1823-1900), мало економічну програму. Так, М.А.Бакунін уявляв собі соціалізм в Росії у вигляді вільної федерації робочих ісільськогосподарських общин, де кожний буде зобов'язаний трудитися. М.А.Бакунін дотримувався ідей анархізму, бачивши у владі причину експлуатації.

Один з феноменів російської науки — плідна розробка ідейекономіко-математичного моделювання, заснована на базі як „чистих” математиків,що направили свої зусилля в економіку, так і розробок професійних економістів.

Перші російські економісти-математики (Ю.Г. Жуковській,І.А.Столяров, В. З. Войтінський, В. До. Дмітрієв, Е. Е. Слуцький, і ін.) відрізнялисяконкретністю проведених досліджень. Так, Ю.Г. Жуковський побудував модель рентив землеробстві, І. А. Столяров обгрунтував функцію суспільної корисності длягосподарських благ, B.C. Войтінський провів аналіз взаємозв'язків між ціною,попитом і корисністю.

В. К. Дмітрієв (I368-I9I3) епіграфом до своєї книги„Економічні нариси” узяв фразу Леонардо да Вінчі „Ніяке людське дослідження неможе називатися справжнім знанням, якщо воно не пройшло через математичнідокази”.

Е. Е. Слуцький (1830-1948) в своїй роботі „До теоріїзбалансованого бюджету споживача” обгрунтував основні положення математичноїтеорії корисності. Загальновизнано, що роботи Е. Е. Слуцького надали чималийвплив на формування економетрії. Одним з найпопулярніших і визнаних в країнах іза рубежем економістів був М. Туган-Барановський (1865-1919). При діалізі кризі циклів М. І. Туган-Барановській, зокрема, обгрунтовував функціональнузалежність і зв'язки, виявляючими відомими аналогами мультиплікатора іакселератора. Відомою критикою економічної теорії народництва проявив себе П.Б.Струве (1870-1944). Теорія сільськогосподарської кооперації А. В. Чаянова(1888-1937) по праву увійшла до історії російської економічної думки. Одним зталановитих теоретиків ринкової економіки і фінансового господарства проявивсебе Л.И. Юровський (1884-1938).

Н. Д. Кондратьєв (1892-1938) запропонував, зокрема, теоріюдовгих хвиль в економіці, існування великих періодичних циклів тривалістюприблизно 50 років.

Одним з найзначніших досягнень в областіекономіко-математичних досліджень є відкриття Л. В. Канторовичем (1912-1986)методу лінійного програмування, за яке він сумісно з американським економістомТ, Купмансом одержав в 1975 Нобелівську премію по економіці.

Вітчизняна економічна школа активно формується прибезпосередній участі Л. В. Канторовича і його колег В. В. Новожилова(1892-1970), B.C. Немчинова (1894-1964). Основним напрямом досліджень напочатку 60-х років XX століття є в СРСР розробка системи моделей оптимальногофункціонування економіки.

Післявоєнний період в країні ознаменувався створенням крупнихнаукових колективів, наукових шкіл і напрямів. Видне місце займали напрями,очолювані Е. С. Варгой (1879-1964), Н. А. Вознесенським (1903-1950), А И.Анчишкіним (1933-1987), Економіко-математичні дослідження концентрувалися встінах інститутів Академії Наук: ЦЕМІ, ІЕ, ІМЕМО і ін.

Якісно змінилося утворення спеціалістів-економістів, вбагатьох інститутах і університетах як обов'язковий курс читається дисципліна„Економіко-математичне моделювання”. Спеціальність „Математичні іінструментальні методи економіки” одержувала визнання і ВАК — Вищоїатестаційної комісії РФ.

Методологія економіко-математичного моделювання по сутівідноситься до фундаментальних основ економічних досліджень. Самостійністьекономіко-математичного моделювання як елемента розвитку економічної науки вцілому неодноразово ставилася під сумнів. Споживацьке відношення користувача донауково-дослідного продукту, створеного науково-дослідними інститутами,призводить часто до того, що економіко-математичний інструментарій стає, надумку відомих російських економістів (Г.Б. Клейнер і ін.) внутрішньою справоюекономічної науки. Підсумком такого положення є недостатній розвиток економіко-математичногомоделювання останнім часом.

Тим часом, об'єктною сферою економіко-математичногомоделювання є економіка, і саме в рамках аналізу економікиекономіко-математичне моделювання повинне забезпечити собі відомий пріоритет врозвитку. Таке рішення можливе на шляхах якісного поліпшення стану дисципліни,упровадженням нових підходів і ідей.

Виказана відомим російським економістом А.К. Суботіним ідеяпобудови універсальної моделі світового розвитку як банка національних,регіональних і світових моделей економічного розвитку, є у зв'язку з цимпривабливим інструментарієм на шляху подальшого просування апаратуекономіко-математичного моделювання. Така універсальна модель є оптимальною навсьому класі даних економічних задач, у кожному конкретному випадку настроюєтьсяна оптимальну модель з банку.

На цьому шляху таксономія (типологія) існуючихекономіко-математичних моделей і шкіл є необхідним елементом наукового підходудо проблеми.

1.2. МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ІЗОВНІШНЬОПОЛІТИЧНІ ДОСЛІДЖЕННЯ

1.2.1. Проблема методу в політичнихдослідженнях

Як відзначає А.Н. Тихонов1 „Математична модель — наближенийопис якого-небудь класу явищ зовнішнього світу, виражений за допомогоюматематичної символіки”. Під математичним моделюванням розуміється, звичайно,вивчення явища за допомогою його математичної моделі. В цитованій статті А.Н.Тихонов підрозділяє процес математичного моделювання на 4 етапи.

1. Формування закону, зв'язуючі основні об'єкти моделі, щовимагає знання фактів і явищ, що відносяться до явищ, що вивчаються, — цястадія завершується записом в математичних термінах сформульованих якіснихуявлень про зв'язки між об'єктами моделі.

2.Дослідження математичнихзадач, до яких приводить математична модель. Основне питання цього етапу — рішення прямої задачі, тобто отримання через модель вихідних даних описуваногооб'єкту — типові математичні задачі тут розглядаються як самостійний об'єкт.

3. Третій етап пов'язаний зперевіркою узгодження побудованої моделі критерію практики. У випадку, якщовимагається визначити параметри моделі для забезпечення її узгодження зпрактикою, — такі задачі називаються зворотними.

4. Нарешті, останній етаппов'язаний з аналізом моделі і її модернізацією в зв’язку з накопиченнямемпіричних даних.

5. Опис політичної поведінки держав на міжнародній арені єслабо структурованій, погано піддавалася формалізації багатофакторною задачею.В спробах теоретичного обгрунтовування зовнішньої політики з початку XXстоліття висувалися різні ідеї, початок яких має витоки в політичному житті античноїГреції і Риму — течію в рамках історико-філософської, морально-етичної іправової підходів одержало назву „політичного ідеалізму”, синонімами якої єтакож назви „моралізм”, „нормативізм”, „легалізм”. Практичний досвідпередвоєнної кризи і другої світової війни висунув нові ідеї прагматизму, якийдозволив би пов'язати теорію і практику зовнішньої політики з реальностями XXстоліття. Ці ідеї послужили основою для створення школи „політичного реалізму”,лідером якої став професор університету Чікаго Р. Моргентау. Від ідеологіїреалісти все частіше стали звертатися до дослідження емпіричних данихматематичними методами. Так з'явився перебіг „модерністів”, які частоабсолютизували математичні методи в політиці як єдино достовірні. Самимзваженим підходом відрізнялися роботи Д. Сингера, До. Дойча, які бачили вматематичних методах лейственний інструментарій, але не виключали з системиухвалення рішення людини. Відомий математик Дж. фон Нейман вважав, що політикаповинна виробити свою математику; з існуючих математичних дисциплін самоїзастосовної в політичних дослідженнях рахував теорію ігор. В різноманіттіформалізованих методів частіше за все зустрічаються методи конвент-аналізу,івентаналізу і метод когнітивного картирування .

Ідеї контент-аналізу (аналіз вмісту тексту) як методу аналізупоєднань, що часто зустрічаються, в політичних текстах привнесені в політикуамериканським дослідником Г. Лассуєлом. Івент-аналіз (аналіз даних подій)припускає наявність обширної бази даних з певною їх систематизацією і обробкоюматриць даних. Метод когнітивного картирування розроблений на початку 70-хроків спеціально для політичних досліджень. Його суть полягає в побудовікомбінаторного графа, у вузлах якого коштують цілі, а ребра задаютьхарактеризацію можливих зв'язків між цілями. Вказані методи все ж таки не можнавіднести до математичних моделей, оскільки вони направлені на уявлення,структуризацію даних і складають лише підготовчу частину кількісної обробкиданих. Першою математичною моделлю, розробленою для чисто політичної науки, євідома модель динаміки озброєнь шотландського математика і метеоролога Л.Річардсона, вперше опублікована в 1939 р. Л. Річардсон припустив, що змінасукупного розміру озброєнь сторони, що бере участь в гонці озброєнняпропорційно наявним озброєнням протилежної сторони, причому стримуючим чинникомє власна економіка, що не витримує нескінченного тягаря озброєнь. Ці простіміркування, переведені на математична мова, дають систему лінійнихдиференціальних рівнянь яка може проінтегрувати:

/>.

Обчисливши коефіцієнти kt /, m, і, Л. Річардсон одержав дивноточні! узгодження розрахункових даних з емпіричними на прикладі 1-ої світовоївійни, коли з одного боку були Австро-Угорщина і Німеччина, а з іншою Росія наФранція. Рівняння дозволили пояснити динаміку озброєнь конфліктуючих сторін.Саме математичні методи дозволяють пояснити динаміку зростання населення,оцінити характеристики інформаційних потоків і інших явищ в соціальному світі.Приведемо, наприклад, оцінку динаміки розповсюдження математичних методів вміжнародних дослідженнях. Хай X(t) — частка математичних методів в сукупномуоб'ємі досліджень з міжнародної тематики на момент часу t. Допускаючи, щоприріст досліджень по теорії міжнародних відносин, що використовуютьматематичні методи, пропорційний їх наявній частці, а також ступенівіддаленості від насичення AM маємо диференціальне рівняння:

/>

рішенням якого є логістична крива.

Найбільших успіхів в міжнародних дослідженнях добилисяметоди, що дозволяють статистично обробляти сукупність данихзовнішньополітичної інформації. Методи, кластерного і кореляційного аналізучинника дозволили пояснити, зокрема, характер поведінки держав при голосуваннів колективних органах (наприклад, в конгресі США або на Генеральному АсамблеїООН). Фундаментальні результати в цьому напрямі належать американським ученим.Так, проект „А Cross-Polity Survey” виконувався під керівництвом А. Банкс і Р.Текстор в Масачусетському технологічному інституту. Проект „Correlates WarProject: 1918-1965”, який очолював Д. Сінгер, присвячений статистичній обробціоб'ємної інформації про 144 нації і 93 війнах за період 1818-1965 роки. Впроекті „Dimentions Nations”, який розроблявся в Північно-західномууніверситеті використовувалися комп'ютерні реалізації методів чинник-аналізуобчислювальних центрів Індіанського, Чікаго і Ієльського університетів і т.п.Практичні задачі по розробці анаштичних методик по конкретних ситуаціяхнеодноразово ставилися держдепартаментом США перед дослідницькими центрами.Так, наприклад, Д. Кіркпатрік — постійний представник США в Раді Безпеки,попросила розробити методику, по якій американська допомога країнам, щорозвиваються, ставилася б в чітку кореляційну залежність від результатівголосування на Генеральній Асамблеї ООН цих країн в порівняння з позицією США.Держдепартаментом США також робилися спроби за допомогою аналізу данихекспертного опиту оцінити вірогідність захоплення американського посольства вТегерані під час відомих подій. Достатньо повні огляди по вживанню математичнихметодів в теорії міжнародних відносин складені, наприклад, М. Ніколсоном, М. Уордомі ін.

Основна ідея управління потоками зовнішньополітичноїінформації на базі синтетичного критерію могутності держави сходить до ранніхробіт Г. Моргентау. Індикатори могутності держави, приведені в одній з своїхробіт американським дослідником Д. Смітом, використовувалися робочою групою підкерівництвом професора Дипломатичної академії МЗС Россії А.К. Суботіна длястворення моделі управління інформаційними ресурсами, Побудова математичнокоректних моделей управління потоками зовнішньополітичної інформації звикористанням синтетичних критеріїв представляється складною задачею. З одногобоку, згортка набору одиничних показників в єдиний універсальний показникнавіть задовольняючий необхідним умовам інваріантності, очевидно, приводить довтрати інформації, З другого боку, альтернативні методи типу Парето-оптимальнихкритеріїв не в змозі вирішити ситуацію у разі незрівнянних систем показників(максимальних елементів в частково впорядкованій множині). Одним з підходів, щовирішують дану ситуацію, може бути підхід автора з використанням апаратуфункціональних просторів. Зокрема, в просторі показників (індикаторів,компонент) могутності держави виділяється підмножина синтетичних показників.

Система одиничних показників (індикаторів), що характеризуютьдержаву або політичний процес, є основною інформаційною базою для ухваленнязовнішньополітичного рішення. Ухвалення рішень по різних системах показниківприводить, взагалі кажучи, до неузгоджено, якщо не сказати прямо протилежнимвисновкам. Коли подібні висновки робляться із застосуванням кількіснихпроцедур, то це підриває довір'я до використовування математичних методів вміжнародних дослідженнях. Для виправлення подібного положення повинні бутирозроблені процедури оцінки міри узгодженості вибірок індикаторів. Завідсутності таких алгоритмів ставиться під сумнів не тільки можливістьскільки-небудь адекватного математичного ' Моделювання в системі міжнароднихвідносин, але і сама наявність наукового підходу до цієї проблеми. Відомийамериканський дослідник Мортон Каплан ці сумніви виразив в роботі: Чи„припускає предмет міжнародні I відносин скільки-небудь зв'язне дослідження абож це звичайний мішок, з якого виймається і вибирається те, що в даний моментнас зацікавило і до чого неможливо застосувати скільки-небудь зв'язну теорію„узагальнення або уніфікувати методи?”. Усунення суперечностей у висновках,одержаних на підставі обробки результатів наглядів по різних підсистемахіндикаторів, в роботі пропонується здійснити таким чином. Природно рахувати всімислимі показники (індикатори), що описують систему міжнародних відносин,якоюсь спочатку існуючою множиною, яка, очевидно, нескінченна. Ця множинапередбачається вважати актуально нескінченним як завершену, закінченусукупність показників, доступну нашому огляду. Слідуючи С. Клнни „цянескінченність нами розглядається як актуальна або завершена, або протяжна абоэкзистенциональная. Нескінченна множина розглядається як існуюче у виглядізавершеної сукупності, до і незалежно від всякого процесу породження абопобудови його людиною, неначебто воно повністю лежало перед нами для нашогоогляду”. Згідно абстракції актуальної нескінченності в нескінченній множиніможна виділити (індивідуалізуватися) кожний його елемент, але насправдізафіксувати і описати кожний елемент нескінченної множини принципово неможливо.Абстракція актуальної нескінченності і є відверненням від цієї неможливості„… спираючись на абстракцію актуальної нескінченності ми дістаємо можливістьзупинити рух, індивідуалізуватися кожний елемент нескінченної сукупності”.Абстракція актуальної нескінченності в математиці має своїх прихильників ісупротивників. Протилежна точка зору конструктивістів — абстракція потенційноїнескінченності спирається на строге математичне поняття алгоритму: признаєтьсяіснування лише тих об'єктів, які можна побудувати в результаті деякоїпроцедури. Прикладом таких формалізованих підходів до вибору номенклатурипоказників досліджуваного об'єкту є, наприклад, методики, що використовуються ворганах державної стандартизації. В рамках задачі розробки процедур узгодженнярезультатів, одержаних по різних вибірках системи індикаторів, виникає проблемапростору, в категоріях якого будується відповідна математична модель, або, щопрактично одне і те ж — проблема метрики в системі індикаторів. Найпоширенішіметрики Евкліда, Мінковського, Хеммінга, будучи введеними на безлічііндикаторів, визначають тип абстрактного простору, в якому будується шуканаматематична модель. Саме, наявність метрики дозволяє говорити про ступіньблизькості держав по відношенню один до одного і одержувати різні кількісніхарактеристики. Введені простори фактично виявляються лінійними нормованимипросторами з однойменними нормами, тобто, банаховими просторами. Основнимметодом в теорії лінійних просторів є метод вивчення властивостей системивекторів по відношенню до лінійних перетворень самого простору. Так, основноюідеєю аналізу чинника даних, що набув найбільше поширення в міжнароднихдослідженнях, є пошук відповідного ортогонального перетворення, що переводить початковусукупність векторів нагляду в іншу, інтерпретація властивостей якої є більшпростою і наочною задачею. Легко бачити, що ортогональні перетворення в L незберігають метрику в просторах Мінковського If для випадку р#2, тому природнепитання на яких підпросторах метрики L' і If еквівалентні. Задача придбаваєкоректне формулювання у разі конкретних ортогональних перетворень. Постановкаподібної задачі для спеціального ортогонального перетворення — дискретногоперетворення Фур’є — дозволяє зрозуміти всю складність і глибину проблеми. Тимчасом, саме перетворення Фур’є знаходить широке вживання в теорії передачіінформації. Ідея представлення сигналу як суперпозиції окремих гармонікпростого вигляду набула широке поширення в електротехніці. Слід зазначити, щонегармонійні коливання, що виникають в електронних системах (диполь Герца,мікрофон ) вимагають для свого вивчення інших, нетригонометричних ортогональнихсистем, наприклад, системи функцій Уолша1. У багатьох випадках властивостіфункції (сигналу, системи індикаторів) можуть зрозуміти на підставівластивостей її перетворення Фур’є, або, кажучи іншою мовою, її спектральногорозкладання. Задача однорідності системи індикаторів може бути сформульована втермінах спектральної функції такої системи — яка повинна бути структураспектру, щоб функція була „однорідною” на безлічі вибраних показників. Причіткому визначенні поняття „однорідності” або „моногенності” виникають різніматематичні задачі. Зокрема, коректна постановка згаданої задачі про вибірпідпростору, на якому метрики L2 і L? еквівалентні, одержує наступну форму: приякому ступені лакунарності спектру функції J(x) eL ця функція належить просторуIf при деякому р>1. З міркувань спільності не виходить обмежуватисярозглядом тільки дискретних перетворень Фур’є, оскільки виникаючі проблеми єзагальними і для континуального випадку. Інші випадки „однорідності” системипоказників беруть свій початок з однією з робіт відомого математика С.Мандельбройта від 1936р. Класичним прикладом ортогонального перетворення длявипадку дискретного перетворення Фурье є перетворення з матрицею Адамара, томуперетворення Фур’є для ортогональної системи Уолша інакше називаютьперетворенням Адамара. Згідно А.Г, Драгаліну „сукупність математичних теорій,що використовуються при вивченні формальних теорій, називаєтьсяметаматематикою; метатеорія — це сукупність засобів і методів для опису івизначення деякої формальної теорії, а також дослідження її властивостей.Метатеорія є найважливішою становлячою частиною методу формалізації

В різноманітті всіх міжнародних відношенні (політичні,економічні, військові і т.д.) особливе місце займають політичні відносини.

Історично першою формою пізнання політики було їїрелігійно-міфологічне трактування, в основі якій лежали уявлення про божественнепоходження політичної влади і існуючих порядків в суспільстві. В середині 1-готисячоліття до н.е. на зміну їй прийшла філософсько-етична форма, заснована натеоретичному дослідженні політики (Конфуцій, Платон, Арістотель). Цій формівластиво розглядати політику в єдності з етикою, Іншими словами, політикаповинна відповідати інтересам людей, тобто бути етичною. В середні століттязатверджується релігійно-етична форма (Хома Аквінський), I в основі якої лежалаідея про божественне встановлення політичної влади і право народу на їїскидання у разі порушення нею воля божої. Становлення сучасної форми пізнанняполітики пов'язано з ім'ям Н. Макіавелі, який звільнив політику від теології,став розглядати її як прояв природного розумного початку в житті суспільства.Прийнято вважати, що теоретичні основи політики були закладені Арістотелем:(він рівно як і Конфуцій, Платон) розумів політичну науку як науку про вищеблаго людини і держави, про якнайкращий державний пристрій. ВідмінністьАрістотеля, якого часто називають батьком політичної науки, від Н. Макіавеліполягає в тому, що саме Н. I Макіавелі поставив в центр досліджень проблемудержавної влади, провів чітке розділення предметів політології з одного боку іетикою і філософією з іншою. Існує думка, „що кожна суспільна наука, у томучислі і політологія проходить три ступені розвитку: філософську, емпіричну істадію рефлексії, ревізії емпіричного стану. Стосовно політології перший періодїї розвитку — це період з часів Арістотеля до Громадянської війни в Америці1861-1865 років. Другий період відноситься до проміжку між Громадянською війноюв Америці і Другою світовою війною. Нарешті, третій період почався після Другоїсвітової війни і триває до наших днів. Тимчасовий вигляд політологія набуває вдругій половині XIX століття, коли відбувається становлення політичної науки яксамостійної академічної дисципліни. Так, в 1857р. в колумбійському коледжі СШАстворюється (Френсіс Лібер) кафедра Історія і політична наука. В 1903 р.створена американська асоціація політичних наук, що налічує до справжньогомоменту понад 16 тис. членів. В 1949р. під егідою ЮНЕСКО була створенаМіжнародна асоціація політичної науки. В 1990 р. Державним комітетом СРСР ізнауки і техніки була офіційно визнана номенклатура науковців під загальноюназвою „Політичні науки” — до цього періоду на політології в СРСР лежалоідеологічне табу, вона потрактувала як лженаука, В даний час політологіярозуміється частіше всього в широкому значенні цього слова як наука прополітику, політичні процеси, політичну владу. Терміни, що використовуються увітчизняній і зарубіжній літературі, „політична наука”, „політична соціологія”,„наука про політику” відображають традиції і особливості національних ірегіональних політологічних шкіл. Навпаки, в роботі політологія потрактує якодна з політичних наук разом з такими політичними дисциплінами як політичнасоціологія, політична географія, політична психологія і т.п. Політологія жпередбачається пов'язаної лише з інституційним аспектом політики і перш за всепристроєм і діяльністю держави, всього механізму політичної влади. У ряді робітпанує думка про недоцільність дроблення політичних дисциплін, оскількирозмивається сам предмет дослідження, ціле не завжди пізнається по частинах,дотримуючись дисциплінарних меж дослідник здатний одержати лише фрагментарнізнання. Розуміння політології як науки про політику в широкому значенні цьогослова, тобто науки про соціальну діяльність, направлену на досягнення,утримання, зміцнення і реалізацію влади знаходить все більш широке розуміннясеред дослідників. Історія розвитку політичної думки висловлена в різнихмонографіях. Ще Арістотель говорив, що „для розуміння справжнього значенняпоглядів того або іншого мислителя потрібно враховувати обстановку, що породилаїх, а не судити з погляду теперішніх умов” в цьому полягає принцип історизму.Політична думка вторинна, оскільки вона породжується життям суспільства. Працідослідника можуть передбачати істинний шлях розвитку суспільства, а можуть бутигрою уяви і належати жанру утопії. Конфуцію приписують вислів „Вивченнянеправильних поглядів шкідливо”. Тим часом, політологи належать, мабуть, до тихнаук, в яких більш доречні помірні погляди, наприклад, Гуго Гроція,голландського юриста XVII століття”. Немає такої філософської школи, якій булаб доступна вся істина, хоча немає і такої, яка не містила б часткової істини”.Зовнішня політика як особливий вид діяльності держави в міжнародних справахзавжди здійснювалася відповідно до принципів і цілей держави. Залежно від цихчинників складалися і міжнародні відносини держав: вони приймали характерспівпраці або суперництва. Міжнародні відносини не зводяться тільки дополітичних відносин, оскільки міжнародні відносини припускають сукупність разомз політичними також і економічні, ідеологічні, дипломатичні, військові, науковіі інші зв'язки між державами, організаціями і рухами на світовій арені.Нарешті, засобом зовнішньої політики є дипломатія, тобто офіційна діяльністьглав держав, урядів і спеціальних органів зовнішніх стосунків по здійсненнюзовнішньої політики, а також по захисту прав і інтересів держав за межею:Політологія виступає в двох якостях: як наука і як учбова дисципліна. Якщополітологія-наука досліджує політичну сферу суспільств, політичні відносини іпроцеси, то політологія — учбова дисципліна повідомляє навчанням системуконкретних знань по політичних проблемах. Проблема методу в політичній науцітака ж актуальна, як і в будь-якій іншій науці. Будь-яка наука виробляє своївласні прийоми, методику, техніку пізнання досліджуваного об'єкту. Метод можеозначати як суму прийомів, засобів і процедур дослідження наукою свогопредмету, так і сукупність вже наявного знання. Поширена думка про те, що кожнанаука має свій власний метод вірно лише частково: більшість соціальних наук немає свого специфічного, тільки ним властивого методу. Тому вони так чи інакшезаломлюють стосовно свого об'єкту загальнонаукові методи і методи інших (яксоціальних, так і природничо-наукових дисциплін). Має місце зіставленняісторико-описового (інтуїтивно-логічного) підходу аналітиці — прогностиці(математичному), результатом якого є розділення методів дослідження натрадиційні (якісні) і кількісні (математичні). Останнім властива якасьматематична область не тільки в політичній сфері міжнародних відношенні, але іу сфері міжнародних відносин в цілому, будь то економічні, військові або іншіаспекти міжнародних відносин. Тому в цілях природної спільності слід розглядатиі якості інструментарію дослідника в області зовнішньої політики весьматематичний інструментарій в теорії міжнародних відносин, який у свою чергу єчастиною математичних методів в соціальних науках. Нарешті, досягненнясоціальних наук завжди були зв'язані з використанням математичних методів зборуі аналізу первинної соціальної інформації: розвиток соціальних наук знаходивсявідповідно до складності застосованих математичних методів, аналізу соціальнихданих і вибірки. Операція з великими масивами первинної соціальної інформаціїпривела до необхідності використовування обчислювальної техніки, Слідзазначити, що автори використовування кількісних методів в теорії міжнароднихвідносин в предмет політичних дослідженні вкладали в якості компонентекономічні, національні, культурні, військові і ін. становлять. Тим часом,аналіз числового етгістичного матеріалу, зібраного дослідниками по світовійполітиці, не був напряму пов'язаний з питанням про те, що є більш широкимпоняттям — зовнішня політика або міжнародні відносини, статистика або політика.

У вивченні політики використовування кількісних методів, зокрема,статистики, має достатньо давню традицію. Статистика як наука все більшзв'язується з сукупністю числових прийомів обробки даних незалежно від природисамих даних, „таким чином, переймаючи термінологію англійських статистиківДжорджа Юла і Моріса Кендалла, можна сказати, що суспільні науки — „батьки”статистичних методів; Вживання чисто статистичних прийомів в суспільних наукахне могло не спричинити вживання і інших математичних теорій, наприклад, теоріїдиференціальних рівнянь, операційного числення і т.д. Труднощі вживанняматематики в соціальних науках обумовлені цілим рядом причин, серед якихскладність соціальних явищ, наявність суб'єктивізму в досліджуваному матеріалі,наявністю зв'язку між спостерігачем і спостережуваним явищем. „фізика досяглавеликого успіху, зокрема, тому, що аксіоми арифметики реалізовувалися у всіхобластях фізичних явищ. Це останнє не має місця в соціальних науках. Мабуть, всоціальних науках потрібна інша, ніж в природних науках теорія измерения.4„Нерідко доводиться чути вислови про те, що методи кількісного аналізу,математика і сучасна електронно-обчислювальна техніка не застосовні до областітеорії і практики політичної діяльності. Прихильники таких поглядів чаші всьогопосилаються на надзвичайну складність політичних процесів, величезна кількістьвпливаючих на їх розвиток чинників, велику роль випадковостей, на трудностіобліку і кількісної оцінки „суб'єктивних чинників” і т.д. Ці думки можназрозуміти, але згодитися з ними не можна. Всі згадані вище чинники і обставини,природно, утрудняють і утруднятимуть упровадження методів, що органічнопоєднують якісний і кількісний аналіз політичних систем і процесів. Проте ціобласті людської діяльності не можуть представляти якогось виключення і таксамо, як і інші сфери її, піддаються раціональному якісному і кількісномуаналізу. Кількісний аналіз і математичні засоби дають можливість більш точногорозрахунку, передбачення і використовування найраціональнішого варіанту веденнясправи без тих втрат, які неминучі при емпіричному розрахунку „на очко”. Іншоюкрайністю є поширена думка використовування математичних методів в політиці якпанацею, як критерій правильності соціально-політичних теорій і концепцій,абсолютизуючи принципи і формули цієї науки. Такі погляди висловлювалися,зокрема, представниками позитивістської школи, якими заперечувалася специфікасоціальних наук.

„у міру розвитку і поглиблення процесу пізнання наука прагневдягнутися свої положення і ідеї в точні абстрактні математичні форми і моделі,що відображають в єдності якісні і кількісні сторони об'єктів, систем іпроцесів, що вивчаються. Розробка такого роду моделей в тій або іншій галузінауки є доказом того, що система понять цієї науки уточнилася настільки, щовона може бути піддана як якісному, так і кількісному дослідженню”. Такийнапрям науки був помічений ще До. Марксом, який говорив, що „наука тільки тодідосягає досконалості, коли їй вдається користуватися математикою”.Математизація (формалізація) науки політики — це по суті переклад категорій,положень, понять політології на мову математичних категорій, понять, формул,алгоритмів. Заміна початкового об'єкту аналізу на його образ у виглядіматематичної моделі є визнаним інструментарієм наукового пізнання. Труднощі нацьому шляху пов'язані в основному з адекватністю моделі реальному об'єкту.Практично модель періодично коректується у міру надходження додатковоїінформації про систему.

Теорія міжнародних відносин, а також її розділи, щовідносяться до вивчення міжнародних політичних відносин, перш ніж звернулися дометодів математичної науки пройшли власні етапи розвитку. Виникнувши на початкуXX століття в США, політична наука розвивалася під сильним впливом потребполітичної діяльності держави і на відміну від колишніх суб’єктивістських абодогматичних державно-правових теорій зробила спробу більш реалістично підійтидо аналізу діяльності державного апарату в цілому і окремих його установ,звернулася до вивчення практичних і навіть технічних проблем управління.Прискорений рух науки міжнародних відносин в США в 50-70 роках був до певноїміри мабуть інтенсивним і далеке не у всьому стихійним стикуванням цієї науки Ліншими гуманітарними і природними науками, своєрідною експлуатацієюполітологами інших галузей науки, спробами сприйняти „чужі” для політології поняття,методи і результати дослідження включивши їх в свій арсенал. Науково-технічнийпрогрес дав в руки політологів електронно-обчислювальне устаткування іознайомив з технікою його вживання. Але і „політологічний бум”, у свою чергу,відобразився на інших галузях науки, стимулюючи їх розвиток. По сутівідбувалася перебудові значної області багатьох наук, що виявилися „суміжними”,взаємозв'язане мі. Фахівці інших галузей перемикалися на дану областьдосліджень, підпорядковувавши їх загальною ціллю аналізу і прогнозу міжнароднихвідносин по прямому або непрямому „соціальному замовленню” правлячих класів. Врезультаті за останні десятиріччя в США була створена вельми обширна, складнаncpeJ плетуча структура науки міжнародних відносин вчених і їх досліджень. Ційсистемі властиві свій розподіл праці, суперництво і боротьба різних угрупувань.Межі такої науково-академічної інфраструктури щодо практичнихзовнішньополітичних органів держави виявилися досить умовними, а їхвзаємозв'язки — украй різноманітними по рівню і формам, В той же час СШАпрагнули привернути до своїх розробок також вчених інших капіталістичних країнза допомогою особистих контактів або через інститути університети. Склаласяміжнародна інфраструктура дослідницький] центрів і наукових робіт у сферіміжнародних відносин з властивими їй міжнародними розподілом праці, співпрацеюі суперечностями.

В спробах теоретичного обгрунтовування зовнішньої політики зпочатку XX вік! висувалися різні теорії міжнародних відносин і зовнішньоїполітики, втом числі, і на ідеях, що черпнули з політичного життя античноїГреції i Рима. Ці дослідження велися в рамках історико-філософського, моральноетичного і правового підходів, які в американській літературі сталі називатизбірним терміном „політичний ідеалізм”. Це поняття було привласнено групідослідників тому, що вони будували свої міркування (зовнішній політиці іміжнародних відносинах, виходячи з морально-етично; і правових ідеалів, норм ікритеріїв, що носили абстрактний характер. Синонімами терміну „політичний ідеалізм”сталі назви „моралізм”, „нормативізм”, „легалізм”. До ідеалістів вамериканській літературі часто причислювали навіть таких практиків, як колишнійдержавний секретар Дж. Ф. Дал ліс. Практичний досвід передвоєнної кризи ідругої світової війни висунув нові ідеї прагматизму, який дозволив би пов'язатитеорію і практик; зовнішньої політики США до реальностям середини XX століття.Ці ідеї послужилш основою для створення школи „політичного реалізму”. Духовнимбатьком політичних реалістів став Р. Нібур, ідеї якого, проголошені в роботі„Моральна людина і аморальне суспільство”, надалі широко використовувалисяреалістами. Професор університету Чікаго і постійний консультантдерждепартаменту США Г. Моргентау — лідер школи політичного реалізму, писав всвоїй основоположній праці „Національна політика” як домінанта політичного ілюдського спілкування оголошує всепоглинаючу боротьбу людей за владу, прагненнядо панування над собі подібними. Саме, категорія „сили” є основоположною у всійконцепції політичного реалізму”. Як прихильники „політичного ідеалізму”, так іприхильники „політичного реалізму” в основній своїй масі розуміли скованістьсвоїх теорій від ідеології, хоча і розуміли необхідність розділення науки іідеології. До 50-м рокам XX століття з'явилися тенденції зайнятися„деідеологізованим” збором і вивченням фактів і цифр як „індикаторів” реальнихпроцесів міжнародних відносин. Прихильниками збору і аналізу емпіричних данихяк елемента пізнання міжнародної політики виступили представники школи політичногореалізму, в першу чергу, Д. Розенау, К. Норр і ін. Розвиток науки міжнароднихвідносин в тих напрямах, які були зв'язані з використанням емпіричних даних,одержав стимул у вигляді систематичного збору і порівняльного аналізувідповідних кількісних даних. Були зроблені спроби не тільки створити методизбору даних і їх кореляцій, але і визначати на їх основі якісні описиполітичних характеристик низки країн. Основоположними працями по методах зборуі аналізу емпіричних даних по міжнародних відносинах і світовій політиці єроботи Д. Сінгера. В цих роботах сам Д. Сінгер відзначав, що він ставив свою замету продемонструвати можливості використовування „строгих кількісних методів”для вирішення важливих теоретичних питань в області світової політики. Д. Сінгеруказував на необхідність побудови строгої теорії міжнародної політики,заснованої на емпіричних даних. Як тільки нагромаджується достатня кількістьемпіричного матеріалу, виникає настійна потреба привести весь цей матеріал впорядок, іншими словами, повинна бути розроблена теоретична база для йогоосмислення. Залишаючись на позиції матеріалістичного детермінізму, слідвизнати, що виникаючі кількісні теорії обробки і аналізу емпіричної інформаціїповинні нас привести до істинного розуміння міжнародної політики. В своємупрезидентському посланні 66-й річній зустрічі американської асоціаціїполітичних наук К. Дойч відзначав: „можна розглядати широке збільшенняінформаційної бази політичної науки як „кошмар” і можна відкидати систематичнийаналіз великих сум даних просто як що не відноситься до розуміння політики, якце пропонують деякі видатні старші політологи традиційно орієнтованогоісторичного або літературного складу розуму. Немає підстав для політологівбоятися велике число свідоцтв про те, як народ діє у сфері політики. Сучасніметоди зберігання і повернення інформації, електронні комп'ютери роблятьможливим обіг великого об'єму даних, якщо ми знаємо, що хочемо з ними зробити,і якщо ми маємо адекватну політичну теорію, здатну допомогти сформулювати питанняі інтерпретувати одержувані відповіді. Комп'ютери не можуть бути використані якзаміна мислення, також як дані не можуть замінювати оцінки. Але комп'ютериможуть допомогти нам здійснити аналіз, який пропонує теорії наше мислення…Доступність великих мас відповідних даних і комп'ютерні методи їх обробкивідкривають широкі і глибокі підстави для політичної теорії, в той же час цевідрізняється від теорії більш широкими і складними задачами”.

Розвиток емпіричних досліджень і запозичення методів іншихгуманітарних і природних наук сталі двома сторонами одного і того ж процесу.Найбільшу популярність в комплекс досліджень, що інтегруються політичноюнаукою, ввійшли разом з розділами математики також і розділи економіки,соціології, психології і географії. Так, зокрема, перенесення поняттібіхейвіорізму як наукового напряму в психології, що вивчає поведінку живихістот, в суспільні науки для вивчення поведінки соціальних і політичних системпривело до становлення наукового напряму в теорії міжнародних відносин підназвою „біхейвіоралізм”. Одна з центральних робіт К. Дойча „Нерви уряду”привела до створення нового наукового підходу, що одержав назву „політичнакібернетика”. В цій роботі К. Дойч ввів поняття і методи теорії комунікацій,передачі інформації в дослідження міжнародних відносин. Обгрунтувавши своївисновки, К. Дойч відзначає, зокрема, що „… спосіб, яким політик абодержавний діяч одержує повідомлення крізь сумбур, плутанину емоцій,відволікаючих моментів і нерозуміння, має формальні аналогії із способом якимінженер-електронщик веде телефонну розмову крізь потріскування статичнихелектричних імпульсів і перешкоди. Обидва випадки включають проблему передачіімпульсу через шум. Рішення в обох випадках включають знання про відношенняшумового сигналу, терпимий рівень шуму і методи відновлення первинного сигналу.„ряд формальних ідей, що мають своє походження в біології, хімії, психології ісоціології знайшли своє продовження в створенні самостійних дисциплін, таких яккластерний аналіз. Задача розробки методів класифікації виникала незалежно врізних областях наукового знання будь то класифікація в тваринному і рослинномусвіті (До. Лінней), або періодична система елементів Д. Менделєєва. Ідеявивчати класифікацію а системі міжнародних відносин належить американськомудосліднику З. Би. Брамсу. Зрештою, течія в теорії міжнародних відносин,пов'язана з пропагандою і упровадженням математичного інструментарію, одержаланазву „модернізм”, або „сайентизм”. Ця течія була широко підтримана не тількиуніверситетською наукою, але і практичними, частіше всього військовимиустановами. „хрещеним батьком” модерністського напряму в теорії міжнароднихвідносин називають До. Райта. За оцінкою американських політологів самеміждисциплінарний підхід К. Райта до теорії міжнародних відносин, в якомуорганічно поєднуються емпіричний і теоретичний підходи, має перспективу.

Ідея абсолютизації того або іншого походу до теоріїміжнародних відносин не принесла відчутного результату. Різноманіття питань втеорії міжнародних відносин і зовнішній політиці, що піднімаються,різноманітність вживаних підходів і теорій приводять до необхідності гнучкогопоходу до всього комплексу задач світової політики. З одного боку, цей підхідповинен забезпечити точність і адекватність якнайкращого в даній ситуаціїкількісного методу (алгоритму), з другого боку повинен бути забезпеченийцілісний, системний підхід, що дозволяє знайти не локальний оптимум, азабезпечити інтереси держави в цілому. Для ілюстрації такого підходу розглянемоприватний приклад. Якщо ставити задачу оптимального регулювання дорожнього рухукрупного міста, то задача може бути вирішена, наприклад, установкою на кожномуперехресті регулювальника, який направлятиме потоки машин з урахуваннямобстановки, що складається на даному перехресті. Чи оптимальна системарегулювання руху в місті в цілому, якщо кожний конкретний регулювальник вирішуєсвою задачу якнайкращим для даного перехрестя чином? Оскільки критеріємфункціонування системи руху в місті в цілому може бути деяка функція параметріввсіх перехресть (наприклад, сума часів простоїв всіх автомобілів на всіхперехрестях за відрізок часу), то неважко придумати ситуацію, яка буденеприйнятна для системи в цілому, хоча кожний регулювальник діятиме оптимальнов рамках свого перехрестя. Очевидно, повинна функціонувати система зв'язку міжокремими регулювальниками і рішення повинні прийматися з урахуванням всієїінформації на всіх перехрестях. Цей простий приклад говорить на користь того,що приватні алгоритми обробки зовнішньополітичної інформації, ухваленняполітичного рішення повинні бути зв'язані в єдину систему з єдиною цільовоюфункцією, яка характеризує якість функціонування системи в цілому. Очевидно,також, що до рішення подібної задачі повинні бути привернуті нові інформаційнітехнології, що включають методи зберігання, передачі і” обробки великих масивівінформації. Такий підхід дозволяє зберегти все найцінніше в локальнихалгоритмах обробки зовнішньополітичної інформації і одночасно забезпечитьсистемність і цілісність в розрахунках.

Вживані математичні методи в політичних дослідженнях носятьдостатньо стійкий характер. Існує стійке мнение,1 що по суті єдинимматематичним методом, винайденим спеціально для моделювання міжнародноїполітики, є модель шотландського математика і метеоролога Люїса Річардсонадинаміки озброєння двох країн. Ідеї Л. Річардсона одержали подальший розвиток вроботах У.Р. Каспарі, в М. Вульфсона В. Холіста Р. Абельсона, проте дотеперішнього часу ранні роботи Л. Річардсона продовжують служити джерелом новихробіт по динаміці озброєнь. Моделі конфліктної взаємодії, засновані на іншихідеях, приведені, наприклад, в роботах. Інший тип моделей взаємодії державзаснований на припущенні, що політика держав визначається в основномуекономічними чинниками, тобто, що розвиток політичних процесів зв'язується зекономічними показниками, які достатньо хороше виміряні. Статистичні методи напротивагу вказаним методам теорії диференціальних рівнянь широко застосовуютьсяпри аналізі числового матеріалу. Одна з основних ідей в спробах кількіснозміряти політику полягає в задачі формалізації поведінки держав на ГенеральнійАсамблеї ООН, де як в дзеркалі відображаються істинні наміри держав, вираженіпідсумками голосування по резолюціях, що обговорювалися. Найзначніші результатиу вказаному направлениии приведені в монографії професорів Масачусетськоготехнологічного інституту X. Алкера і Б. Расета, заснованої на залученні технікианализа1 чинника. До статистичних методів відноситься також робота З. Брамса іпроект „Вимірність націй”, виконаний під керівництвом Р. Раммеля.статистично-логічні методи присутні і в інших аналітичних методах аналізуміжнародних відносин, таких як контент-зал, івент-аналіз і метод когнітивногокартирування. Вживанню івент-аналізу в сучасній політології присвячена статтяС.И. Лобанова .

В напрямі, пов'язаному з моделюванням, помітне місце займаєекспериментально-ігрове, засноване на імітації економічних, військових,соціальних і політичних аспектів реальності. Звідси виникають „соціологічніігри”, „економічні ділові ігри”, „військові ігри”. Відзначимо основні з такихігор. Відомі моделі інформаційної взаємодії учасників міжнародного кризису — CRISISCOM, IN§, INSKIT, GASCON, створені а США в Північно-західному іСтенфордському університетах. Відзначимо також спроби проаналізуватив'єтнамський конфлікт в массачусетському технологічному інституті за допомогою„теорії метаігор”.

Модель професора Оклахомського університету О. Бенсона,названа „Проста дипломатична гра”, пов'язана з ідеєю наявності в міжнароднихвідносинах схеми „стимул-реакція”. Асоціація з грою тут виявляється в тому, щокожна дія однієї сторони інтерпретується як хід („стимул”), а у відповідь діяіншої сторони, як „реакцію „- у відповідь хід. Висловимо ідею „Простоїдипломатичної гри” в її модернізованому варіанті Дж. Кренда. Є сукупністьдержав, що характеризуються деякими параметрами і взаємними зв'язками. Деякадержава скоює проти деякого іншого ворожу акцію, яка розглядається як „стимул”певної інтенсивності. Цей „стимул” викликає, по-перше, у відповідь „реакцію” нетільки з боку держави, яка з'явилася об'єктом дії, але і з боку всієї рештидержав, і, по-друге, — зміна параметрів, що характеризують всі держави, і їхзв'язків. На цьому цикл „гри” закінчується. Дослідник, який ввів в ЕОМ вказаний„стимул”, може продовжити „гру” в умовах, що змінилися, ввівши новий „стимул”,відповідний ворожій дії деякої іншої держави проти деякої нової „держави-мети”і одержати нову реакцію і т.д. Дослідник може також повернутися до первинноїситуації і спробувати ввести інший „стимул” як по спрямованості, так і поінтенсивності, і подивитися, що з цього вийде.

Як приклад приведемо конкретні приватні методикивикористовування комп'ютерних засобів у вивченні міжнародних відносин. Доігрових імітаційних засобів відносяться настільна гра КБК, створена М.Катаному, А. Бернсом і Р. Квондом і названа так по перших буквах їх прізвищ.

Мета авторів ігри — допомогти теоретикам в розумінні їхвласних побудов. Автори не намагаються імітувати якийсь реальний політичнийпроцес, а хочуть лише виявити внутрішню теорії і моделі, визначити і відтворитимеханізми, які визначають стабільність даної системи, Під стабільністю авторирозуміють такий стан, при якому жодна навіть сама слабка країна не може бутипоглинена іншими державами, зруйнована або розділена між ними, Загальнийігровий простір є сумою підпросторів, кожне з яких знаходиться у винятковомурозпорядженні окремого гравця. Цей підпростір є системою лунок, в якихрозміщуються однорідні фішки-ресурси: економіка, військовий резерв, межі.Правила ходів визначають дозволені способи переміщення фішок в лунках.Економічні ресурси можуть збільшуватися з часом за заданою стохастичноюпроцедурою, що символізує економічний розвиток держави. Озброєні сили,розгорнені на межах, можуть вступати у війну, тобто можуть бути зняті з дошкиза певною процедурою, що нагадує рішення рівнянь Ланчестера методомМонте-Карло. Війна ведеться до повного виснаження сторін. Ходи робляться почерзі по кругу. Гравець при своїй черзі може звернутися до інших з пропозицієюпро висновок або розірвання союзу. Союзники відводять війська, розташовані намежах один одного. Якщо при своїй черзі ходу гравець залишається без фішок, товін вибуває з гри, тобто програє. Що залишився в грі признається абсолютнимпереможцем, хоча гра може продовжуватися і нескінченно довго, оскільки можливенескінченне балансування гравців, охочих лише утриматися в грі. Не володіючипрактичною цінністю, ця гра проте має теоретичне значення, утілюючи в собідеякий підхід до методики моделювання системи міжнародних відносин. Складнішоїі багатої ідеями є гра INS, або „Міжнародна імітація”, розроблена Г. Гетцковиміз співробітниками, в основному Для навчання студентів (Північно-західнийуніверситет, США); в південно-каліфорнійському університеті створенаінформаційно-аналітична і прогнозуюча людино-машинна система-ВБИС2.

1.2.2. Необхідність побудовиматематичних моделей зовнішньополітичної поведінки на єдиній методологічнійоснові

Основний недолік існуючих моделей полягає в тому, що кожнийним слідчий в основу своїх висновків кладе власну систему індикаторів(показників), користується своєю базою даних, відмінною від іншого дослідникаі, нарешті, розглядає задачу у власному просторі з своєю системою координат.Недивно, що часто висновки різних дослідників в характері поведінки політичногопроцесу виявляються діаметрально протилежними. Мабуть, немає ніякогоінструментарію, що дозволяє погоджуватись висновки різних математичних моделейв різних математичних структурах. В той же час, ці математичні моделі можутьбути цілком коректними і далеко нетривіальними. Подібне положення справпідриває довір'я до кількісних методів дослідження політичних процесів; у нематематиків складається враження про можливість „строгого доказу” будь-якогонаперед заданого висновку (навіть невірного) в політичних дослідженнях. Яквідомо, математична софістика (тобто мистецтво доводити помилкові положення)процвітає саме тоді, коли-небудь відсутні чіткі визначення в теорії, абосуперечлива система аксіом, що використовується. Остання вимога спонукає донеобхідності логічного аналізу всієї системи структур і визначень вматематичних моделях системи міжнародних відносин для того, щоб усунутивиникаючі суперечності. Але це і означає, що нова теорія автоматично включитьяк структурні одиниці деякий набір локальних моделей, може бути містить йогомоделлю більш високого рівня, що покривається. Таким чином, універсальна модельполітичної поведінки може бути інтерпретована як банк локальних математичнихмоделей, що описують окремі ситуації. Така модель автоматично стає моделлюглобальної динаміки, оскільки економічні, військові, наукові, екологічні і іншіаспекти міжнародних відносин, очевидно, виявляться взаємозв'язані вуніверсальній моделі, якщо тільки ми хочемо мати скільки-небудь представницькусистему аналізу світової динаміки. Як відомо, дотепер не утихають суперечки проте, що первинне — політика або економіка: політичні відносини визначають рівеньекономічної взаємодії держав або ж навпаки рівень економічного співробітництвавизначає політичні пристрасті держав. Моделі світового розвитку є потужнимінструментарієм для вивчення і прогнозування глобальної динаміки. Великупопулярність здобули проекти, розроблені за замовленням римського клубу — міжнародної неурядової організації, створеної в 1968 р. італійськимпромисловцем А, Печчеї з метою вивчення глобальних проблем.

Технократичний підхід, домінуючий в перших докладах римськомуклубу (Форрестер, Медоуз і ін.) згодом стимулював розвиток і чисто гуманітарнихаспектів проблеми. Глобальне моделювання стало модним науковим напрямом, вякому опинилися задіяними дослідники самих різних спеціальностей: математики,економісти, політологи, демографи. Різноманітність підходів і проектів вдослідженні процесів світового розвитку привела до необхідності класифікаціїмоделей і їх осмислення, визначення місця і ролі конкретних моделей в існуючомуїх різноманітті. Таким чином, поставлена проблема узгодження локальних моделейповинна бути вирішена в системі багатопараметричної макромоделі світового розвитку,об'єднуючої основні національні, регіональні і глобальні моделі розвитку.Частково ця ідея реалізована у відомій системі LINK. Універсальна модельсвітового розвитку виявляє собою своєрідний банк моделей, заснованої на системікласифікації, кодування і програмно-орієнтованого доступу, передбаченогосистемою генерації нових локальних моделей.

Ситуація з організацією подібного банку моделей багато в чомуаналогічна з ситуацією навкруги різноманіття методів кластерного аналізу,широко вживаного для структурної класифікації потоків інформації. Не існуєєдиного алгоритму кластер-аналізу, однаково добре працюючого як на слабоструктурованих масивах інформації, так і на масивах, з яскраво вираженими„згустками”. Тому, для дослідження конкретного інформаційного масиву має сенсвибирати з банку алгоритмів той метод, який дасть якнайкращу (в значеннівідповідного критерію) класифікацію. Такий вибір відповідного методу може бутиздійснений автоматично з використанням попередньої процедури детермінаціїпочаткового масиву. Функціонал якості класифікації може бути вибраний різнимчином на наявній безлічі алгоритмів кластер-аналізу.

У відмінності від ситуації з побудовою універсальногоалгоритму кластер-аналізу створення універсальної моделі світового розвитку яксвоєрідного банку національних, регіональних і глобальних моделей полегшуєтьсянаявністю в безлічі існуючих моделей світового розвитку часткового порядку повкладенню: регіональні і глобальні моделі створюються в основному як синтезнаціональних моделей. Тому нижнім (початковим) рівнем універсальної моделі буденабір національних і регіональних моделей розвитку. Верхнім же рівнем будуть якіснуючі макромоделі, засновані на синтезі національних моделей, так і новімоделі, що описують взаємодію вибраних моделей нижнього рівня. При цьомуосновну роль гратиме взаємозв’язка(балансування) моделей нижнього рівня, з яких будується модель верхнього рівня.Загальна ідея взаємозв’язки моделей розвитку належить Л.Клейну — професору пенсільванського університету (США), яка реалізована врозробленому під його керівництвом проекті „ЛІНК”. Основною задачею при такомупідході до ув'язки різних національних моделей є прогнозування матриці парнихвзаємостосунків між країнами (торгових потоків в економічних моделях), що всистемі „ЛІНК” робиться за допомогою методу Стоуна-Морігучі. Для підвищенняточності прогнозів можна також використовувати метод Бокса-Дженкінсапрогнозування тимчасових рядів або — спектральні методи, які можуть бутиефективні як при довгостроковому, так і при короткостроковому прогнозуванні.Принципова відмінність побудови універсальної моделі світового розвитку якспеціально організованого банку національних моделей від побудовиуніверсального алгоритму кластер-аналізу як банка окремих процедур класифікаціїполягає в наступному. Окремі алгоритми структурної класифікації даних займаютьвідносно невеликий об'єм машинної пам'яті і не вимагають, як правило,скільки-небудь значної витрати машинного часу. Універсальна модель, що вибираєдля дослідження пропонованого інформаційного масиву відповідну системукласифікації з тих, що є в банку, принципово може бути створена. Такі моделі увигляді пакетів прикладних програм для статистичної обробки даних створені,наприклад, в ЦЕМІ РАН під керівництвом С.А. Айвазяна. Створення ж аналогічногопакета національних моделей в одній системі зіткнеться з великими технічнимитруднощами, викликаними необхідністю мати в машинній пам'яті великий набірпрограм, що реалізовують моделі національного, регіонального або світовогорозвитку.

Таким чином, на перший план висувається задача організаціїкодування

і класифікації окремих моделей, що входять в банк — каталог,що виявляє собою шукану універсальну модель. Роль універсальної моделі вдослідженні заданого об'єкту (країни, регіону) припускає тим самим не остаточнеобчислення значень фазових змінних, а вказівка параметрів моделі, кото-1 раюдасть ці значення з найбільшою правдоподібністю в порівнянні з іншими моделями.Відзначимо, що в задачах ухвалення рішення в багатокритерійному випадку згорткакритеріїв приводить до втрати інформації: будь-який вектор несе в собі більшеінформації, ніж одержуваний з нього скаляр. Точно також, якщо ми хочемо, щобуніверсальна модель несла в собі інформації не менше ніж будь-які з існуючихлокальних моделей національного, регіонального або світового розвитку, потрібнане „згортка” цих моделей, а організація доступу до всієї групи, щопредставляється, моделей.

Нарешті, взаємозв’язка моделей в універсальній моделі повинна бути під контролем деякогоглобального універсального векторного критерію. В системі міжнародних відносиндослідник, що стоїть на позиції детермінізму, повинен визнавати наявністьсвітового порядку як вищої мети над національними (локальними) критеріями.Такий критерій може реалізовуватися в конкретних випадках по-різному, він можебути інтерпретований різними способами, але, безумовно, одне — такий критерійповинен бути вкладений в інший, більш могутній, але він не може бутинезрівнянний з іншим таким критерієм. Одним з таких критеріїв в теоріїміжнародних відносин є поняття „потужності”, „могутність” — термін „POWER”,введений Г. Моргентау і має витоки в античній теорії державного пристрою яксимвол справедливого правління.

1.2.3. Функціональні простори іпроблема представлення залежності як суперпозиції елементарних

Розглядаючи політичні процеси і об'єкти як функції на безлічіполітичних індикаторів, ми тим самим стаємо перед проблемою характеризації цихматематичних об'єктів, знаходженні серед них основних, базових, з яких виходитьбезліч інших досліджуваних об'єктів. Інша виникаюча проблема — це проблемаметрики, тобто, які об'єкти (функції) ми вважатимемо близькими (схожими), а якінавпроти далекими, істотно тими, що розрізняються по своїх характеристиках.

У виникаючих моделях в системі міжнародних відносин разом зпроблемою метрики (тобто, фактично характеризації виникаючих функціональнихпросторів) виникає проблема допустимості даних математичних абстракцій. Відомийпарадокс Кантора, пов'язаний з категорією „безлічі взагалі всіх множин” приводитьдо нерозв'язної суперечності, вихід з якої, очевидно, тільки один — заборонитирозгляд подібних конструкцій. Тим самим ставляться певні межі абстрагуванню. Цеж питання виникає при розгляді допустимої безлічі функцій, створюючи даніфункціональні простори (ясно, що раз не можна розглядати „безліч узагалі всіхмножин”, отже, не можна розглядати і характеристичну функцію цієї множини.

Проблема функціональної залежності, проте, багато складнішеапорій Зенона. Кантора і т.п.

Інтуїтивне сприйняття функціональної залежності як проявзв'язку явищ в різних модифікаціях властиве людству з давніх часів, математикапротягом всієї історії свого розвитку тими або іншими засобами намагаласявиразити цей зв'язок.

Починаючи з навчанням античних математиків про геометричнімісця і складанням всіляких таблиць поняття функції зазнавало всі нові і новізміни. Згадки про функціональну залежність зустрічаються у П. Ферма( 1636 р.),Р. Декарта (1637 р.), И. Барроу (1669 р.). Термін „функція” зобов'язаний своєюпоявою В. Лейбніцу(1692 р.). Так чи інакше поняття функції зв'язувалося зякимсь аналітичним виразом, задаючим її, Так у И. Бернуллі (1718 р.) „функція,це величина, складена із змінної і постійної”; у Л. Ейлера „функція змінноїкількості є аналітичний вираз, складений яким-небудь чином з цієї змінноїкількості, чисел або постійних кількостей”.

Перехід від інтуїтивного сприйняття функції до її більш меншсхожому на сучасне визначення намітився в знаменитій суперечці про звучнуструну.

В XVIII столітті, закінчивши вивчення систем з одним ступенемсвободи, математики переходять до систем з декількома ступенями. В 1727 р.Іоганн Бернуллі, а в 1732-1736 рр. Данило Бернуллі і Леонард Ейлер розглядаютьтільки головні коливання навантаженої невагомої струни. Розглядаючи тільки головніколивання системи, ні Бернуллі, ні Ейлер не помітили, що у разі довільного рухусправедливий принцип суперпозиції, тобто складання головних коливань, хочатеоретики музики (Рамо, наприклад, в 1726 р.) давно указували, що окрімосновного тону музичного інструменту є ще і обертони. Існував навіть помилковийпогляд, що головними коливаннями струни і вичерпуються всі можливі коливаннясистеми (Тейлор, Д. Бернуллі).

Рішення задачі про струну, дане майже одночасно Д'Аламбером іЛ. Ейлером (відповідно в 1747 і 1748 рр.) при зовні формальній схожості малипринципово різний зміст, що виражається в різному розумінні Функції. ЯкщоД'Аламбер усюди під функцією розумів певний аналітичний вираз, то Ейлер, невідкидаючи це, допуску функції як відповідність за допомогою кривої, утвореної„вільним рухом руки”, або навіть Функції змішаного типу, тобто на однихділянках один аналітичний вираз, на інших інше або навіть довільна крива.

Трапилося так, що розвиток конкретного матеріалу перерісрамки концепцій і точок зору, що склалися раніше, на основні поняття аналізу.Відсутність належної строгості в обгрунтовуванні накопичених результатів,настійні вимоги коштують практичних задач приводили до перегляду основ аналізутаких як „довільна крива”, „функція”, „інтеграл” і т.п. Губився органічнийзв'язок між чистим і прикладним знанням, здорова рівновага між абстрактноюспільністю і повнокровною конкретністю була порушена „… віддавшись справжнійоргії інтуїтивних припущень, перемішуючи несуперечливі висновки з безглуздими,підлога у містично мі твердженнями, сліпи довіряючись надлюдській силіформальних процедур (математики) відкрили новий математичний світ, повнийнезчисленних багатств...”. Але вимоги евклідової строгості і внутрішньоїестетики брали своє.

„в XIX сторіччі усвідомлення необхідності консолідуватинауку, особливо) у зв'язку з потребами вищої освіти… повело до ревізії основматематики з'ясуванню понять межі. Таким чином, XIX не тільки став епохою новихуспіхів, але і був ознаменований плідним поверненням до класичного ідеаліточності і строгості доказів. „ Зараз, озираючись назад, важко дати об'єктивнуоцінку позицій всіх сторін, що сперечаються, і аналіз всі XVIII труднощів, щостоять перед математиками, можна лише з певним ступенем упевненості сказати, щоосновне питання в полеміці Ейлера і Д'Аламбера було таким якщо відхилюватиструну довільним чином, то чи існує формула, що дає її форму? Рішення цьогопитання немає ні у Ейлера і Д' Аламбера, ні в більш пізніх роботах Бернуллі іЛагранжа. Питання актуальне дотепер. „суперечка про звучну струну все щетриває, тільки, зрозуміло, вже зовсім в іншій науковій обстановці, іншимиособами і в іншій термінології”. Безперервне поглиблення поняття функції і йогоеволюція продовжується і понині. Жодне формальне визначення, як пише Н.Н.Лузін, не може охопити всього зміст поняття функції, засвоїти яке можна лишепрослідивши основні лінії розвитку, пов'язаного з розвитком природознавства,зокрема, математичної фізики. Нас цікавить, природно, таке питання: коли, наякому етапі свого розвитку поняття функції і тригонометричного ряду стикуютьсяміж собою! даючи могутній апарат аналітичного уявлення на додаток до служимошему роками вірним і, мабуть, єдиним засобом аналітичного уявлення — апаратустатечних рядів?

Тригонометричні ряди як такі мають свою історію, висхідну доЕйлеру. В листі до Гольдбаха в 1744 р. Ейлер наводить приклад розкладання:

/>

одержуючи його методом статечних рядів. „поява вказаного рядуу Ейлере була справою чисто випадковим і в усякому разі нічого по суті длярозуміння природи і характеру, а також можливості уявності довільних функційтригонометричними рядами не давало. Ейлер тут стояв на чисто аналітичній точцізору.”5

Поява тригонометричних рядів у Ейлера, як рахує А.Б.Паплаускас має прикладний характер, а самі ряди були лише інструментомдослідження різних питань астрономії, зокрема, небесної механіки. Тому Ейлер іне піднімає питань обгрунтовування збіжності і розкладності. Узгодження напрактиці одержаних результатів з дійсністю наштовхує Ейлера на іншірозкладання. „часто говорять, що Ейлер… інстинктивно знаходив тількиправильні результати, хоча і слідуючи помилковим шляхом: але сказати це — значить дуже багато: математика перейшла до свого порядку денного через своїнеправильні результати”.

Досліди із звучною струною з'явилися тим пробним, на якомуперевірялася концепція Д. Бернуллі. Вони поколивали його первинну думку проіснування тільки головних коливань, приводячи до відкриття принципусуперпозиції, д. Бернуллі знайшов, що найзагальніший рух струни описуєтьсявиразом

/>

Тут основний тон визначається першій складовій, їй відповідаєперіод Т,=2 I/a, іншим відповідають періоди Т2=1/2Т1, іт.д. Рішення, повне фізичного змісту, перевірене експериментом і щоузгоджується з миючими вченням про обертони, привело Д. Бернулли допереконання, що всі рішення Д’Аламбера і Ейлера охоплюються цим. Таким чином,виникнувши з прикладних задач тригонометричні ряди знаходили в практиці як своєнепряме обгрунтовування, так і місце додатку.

Робота Бернуллі була піддана критиці як з боку Ейлера, так із боку Д’Аламбера. Ніхто не вірив, щоза допомогою тригонометричних рядів можна представляти будь-які функції, заданіграфічно. Позначалася відсутність чіткого поняття функції (у всіх були різнідумки), і дуже сильно тиснув на все нове важкий вантаж аналітичного уявленнястатечними рядами, що служили протягом років єдиним засобом аналітичногоуявлення.

Свіжий струмінь вдихнув Лагранж, застосувавши новий,відкритий ним метод. Одержавши результат Бернуллі аналітичним чином і частинарезультатів Ейлера, він проте не зміг їх строго обгрунтувати, змішуючи поняттявеликого і бесконечного, дискретного і безперервного, не обгрунтовувавшипостійні переходи до межі. Д'Аламбер критикував нестрогість міркувань Лагранжа,його тези „… ні одна людина, замінивши ряд 1 + х + х2 +… на 1/(1-х ) ще не вчинив помилку”, „… природа не може зупинити викладень, оскількифізично кутових крапок у струни немає, а завжди є той, що деяка закруглює,викликана жорсткістю струни”.

Лагранж майже дійшов до формул Фур’є, але так і не відкрив їх. В 1807 р.Французький математик і фізик Жан Батист Фур’є в роботах по аналітичній теоріїтепла вказав, що зв'язні лінії, задані на кінцевих ділянках рівняннями, уявнихна будь-якій такій ділянці тригонометричним рядом

/>

Тим самим всі Ейлерові криві, накреслені вільним рухом руки,виявилися охопленими апаратом тригонометричних рядів. Згладиласяневідповідність між уявленням про функціональну залежність і обмеженістюаналітичних засобів їх виразу. Відкриття Фур’є поставило крапку в багаторічній суперечці про струну і послужило великимпоштовхом до подальшого розвитку поняття функції і аналізу в цілому.

Необхідно відзначити, що поява парових машин, різних систем імеханізмів, пов'язаних з періодичними процесами, поставлена безліч практичнихзадач, непіддатливих рішенню старими методами, виявивши тим самим потребу увідповідному аналітичному апараті. Створення такого апарату, саме, апаратутригонометричних рядів в роботах Фур’є історично дав новий стимул в розвитку математики в цілому. Подальшийрозвиток цього апарату йшов по лінії додатків всередині самому математики.

З сучасної точки зору цей факт є однією із закономірностейпроцесу творчого мислення, коли від індуктивного синтезу (в даному випадкувеличезного практичного матеріалу і аналітичної техніки XVII-XVHM століть)через стадію аксіоматизації (тобто створення визначень, аксіом, що служатьосновою теорії, що розвивається) слідує перехід до додатків створеноїіндуктивної теорії. Останні широко представлені роботами Данжуа, ЛебеггіКантора, Веєрштрасса.

Слід зазначити, що відкриття Фур’є стоїть на шляхувідвернення від таких властивостей функцій як аналітичність, гладкість,зображена єдиним аналітичним виразом, збереженням властивостей, що мають місцев деякій околиці на всю область визначення. Подальший розвиток теорії функціймає, на наш погляд, дві тенденції.

Одна з них виявляється в подальшому підвищенні рівняабстракції, відвернення від приватних властивостей, таких як безперервність,вимірність в значенні Бореля, інтегрується. Це приводить Лебега до створеннянового інтеграла, Лузіна до нового поняття первісної, Цермело до понять,основними, що є, в аксіоматиці теорії функцій і множин. З другого боку, виднепрагнення індивідуалізуватися деякі класи функцій по сукупностям властивостей,конкретизувати об'єкти, що вивчаються. Відзначимо на цьому шляху результатиС.Н. Бернштейна, Бореля, Бера про виділення класів функцій речовинного змінногоі Веєрштрасса, Мітгаг-Леффлера в комплексному аналізі. Ці тенденції взаємнозв'язані, бо знаходячи достатньо загальні властивості функцій, не можна,очевидно, приписати їх взагалі всім функціям, тобто йде конкретизація класуфункцій по знайденій властивості. Нарешті, в математиці завжди бажано знати,наскільки даний клас функцій можна розширити, якщо абстрагуватися від деякихприватних властивостей. Так, наприклад, від аналітичних функцій переходять доквазіаналітичних, гармонійних до квазігармонійних гільбертові простори Lp підсумовуваних функцій донормованого /> інавіть метричному /> просторам і т.п. Цейвзаємозв'язок абстрактного і I конкретного є однією з внутрішніх причинрозвитку математики. Але відкриття Фурье не означало проголошення спокійногожиття математикам, хоча і дозволило більшість проблем. І не тільки тому, що (якце з'ясувалося в роботах Дю-Буа-Раймонда) поняття функції достатньо змістовне,щоб допускати вичерпну формалізацію, „… раз виникнувши, ідеї не тільки існуютьсамостійно, але і можуть породжувати нові ідеї. Тому внутрішні логічнівзаємозв'язки придбавають величезне значення в розвиток науки, особливо такоюабстрактною, як математика.”

Відкриття Фур’є створило умови трактування функції яквідповідності вельми загального вигляду. З'явилися визначення у Лакруа,Лобачевського, Діріхле вельми близькі до сучасного. Було ясно, що поняттяфункції і її аналітичного виразу апріорі не адекватні. Основні питання, щовиникли після відкриття Фур’є — це питання збіжності і можливості представленняфункції рядами — вже для своєї коректної постановки зажадали введення новихпонять. Приклад безперервної функції з рядом Фур’є, що не всюди сходиться,даний Дю-Буа-Раймондом, поставив природне питання: якщо вже для безперервнихфункцій не вдається добитися уявлення у вигляді ряду Фур’є, що усюди сходиться, то може бутислід уточнити саме поняття „уявлення”? Сприймати функцію як щось дане взавершеному стані, або вимагати можливості конструктивної побудови; які засобидопустимі як елементи конструкцій? Грубо кажучи, кривих виявилося більш ніжформул, як вже наголошувалося знов утворився розрив між арсеналом засобіваналітичної зображеної функцій і самими функціями. Слід зазначити, що вподоланні виникаючих утруднень і зароджуються нові методи, які представляютьякісні скачки в розвитку математики. Найбільші математики, як правило, стоялина позиціях того, що математика розвивалася і якісно розвиватиметься, щонеминучі ті, що революціонізували, відкриття, що надовго визначають напрямирозвитку математики, а, отже, неминучі парадокси і суперечності. Можна привестибагато прикладів „мертвих” розділів науки, які раптом „оживали” (наприклад,теорія магнетизму у фізиці). Проте, тезу про безперечну наявність постійнихякісних стрибків в розвитку слід застосовувати лише до достатньо широких,змістовних областей знання (порівняйте з тезою: всесвіт в цілому розвивається,окремі її ділянки можуть деградувати). На питання про можливість відкриття” впроективної геометрії, що „революціонізувало, фахівці, напевно, відповідятьнегативно. Таким чином, разом з рішенням основної задачі зображеної функціїтригонометричним рядом Фур’є далиплідну їжу для розвитку різних розділів математики.

Які ж шляхи подальшого розвитку функціональної залежності, їїсучасний стан; як розв'язуються питання онтологічного і субстанціональногостатусів функції — ці проблеми завжди виникають навкруги будь-якого змістовногопоняття. Приклад Дю-Буа-Раймонда, а також приклади Веєрштрасса іВан-дер-Вардена спонукали математиків до розгляду і більш загальних функцій,ніж безперервні або входять в класифікацію Бера. нерозуміння і недовір'япанувало в кругах старих консервативних математиків.

„ Я з жахом і огидою відвертаюся від цієї розростаючої язвифункцій, похідної”-, що не мають, писав Ерміт. Виникнення нових модних методів(теорія безлічі Кантора, теорія інтеграла і заходи Лебега) спричинило за собоюпояву нових функціональних просторів і видів сходи-Мости. В роботах Діріхле,Пуассона, Жордана указуються класи функцій, для яких збіжність ряду Фур’є безумовно гарантована.Тригонометричні ряди виявляють цікаві властивості (явище Гібса, принциплокалізації), нарешті „наводиться теорія” на диференціювання і інтеграціютригонометричних рядів, що зустрічаються ще у Ейлера. Докторська дисертаціяРимана намічає нові підходи до загальних тригонометричних рядів. Надзвичайнотонкі технічні методи дозволили Д.Е. Меньшову майже остаточно вирішити питанняпро зображену функції тригонометричним рядом, а також питання про цілісність.

В 1905 р. А. Лебег ввів поняття аналітично зображеноїфункції, як Функції, значення якої виходять з аргументу і постійних величин задопомогою арифметичних операцій і граничних переходів. Приклад А. Лебега, ті.Створення такого апарату, саме, апарату тригонометричних рядів в роботах Фур’є історично дав новий стимул врозвитку математики в цілій. Подальший розвиток цього апарату йшов по лініїдодатків усередині самої математики.

З сучасної точки зору цей факт є однією із закономірностейпроцесу творчого мислення, коли від індуктивного синтезу (в даному випадкувеличезного практичного матеріалу і аналітичної техніки XVII-XVIM століть)через стадію аксіоматизації (тобто створення визначень, аксіом, які слугуютьосновою теорії, що розвивається) слідує перехід до додатків створеноїіндуктивної теорії. Останні широко представлені роботами Данжуа, Лебеге,Кантора, Веєрштраса.

Слід зазначити, що відкриття Фур’є стоїть на шляхувідвернення від таких властивостей функцій як аналітичність, гладкість,зображена єдиним аналітичним виразом, збереженням властивостей, що мають місцев деякій околиці на всю область визначення. Подальший розвиток теорії функціймає, на наш погляд, дві тенденції.

Одна з них виявляється в подальшому підвищенні рівняабстракції, відвернення від приватних властивостей, таких як безперервність,вимірність в значенні; Бореля, інтегрується. Це приводить Лебега до створеннянового інтеграла, Лузіна до нового поняття первісної, Цермело до понять, що є,в аксіоматиці теорії функцій і множин. З другого боку, видне прагненняіндивідуалізуватися деякі класи функцій по сукупності властивостей,конкретизувати об'єкти, що вивчаються. Відзначимо на цьому шляху результатиС.Н. Бернштейна, Бореля, Бера про виділення класів функцій речовинного змінногоі Веєрштраса, Міттаг-Леффлера в комплексному аналізі. Ці тенденції взаємнозв'язані, бо знаходячи достатньо загальні властивості функцій, не можна,очевидно, приписати їх взагалі всім функціям, тобто йде конкретизація класуфункцій по знайденій властивості. Нарешті, в математиці завжди бажано знати,наскільки даний клас функцій можна розширити, якщо абстрагуватися від деякихприватних властивостей. Так, наприклад, від аналітичних функцій переходять доквазіаналітичних, гармонійних до квазігармонійних гільбертового простору L2підсумовуваних функцій до нормованого Lp (p > 1) і навітьметричному Lp (0< р < 1) просторам і т.п. Цей взаємозв'язок абстрактного і конкретного єоднією з внутрішніх причин розвитку математики. Але відкриття Фур’є не означало проголошення спокійногожиття математикам, хоча і дозволило більшість проблем. І не тільки тому, що (якце з'ясувалося в роботах Дю-Буа-Раймонда) поняття функції достатньо змістовне,щоб допускати вичерпну формалізацію, „… раз виникнувши, ідеї не тільки існуютьсамостійно, але і можуть породжувати нові ідеї. Тому внутрішні логічнівзаємозв'язки придбавають величезне значення в розвиток науки, особливо такоюабстрактною, як математика"

Відкриття Фур’є створило умови трактування функції яквідповідності вельми загального вигляду. З'явилися визначення у Лакруа,Лобачевського, Діріхле вельми близькі до сучасного. Було ясно, що поняттяфункції і її аналітичного виразу апріорі не адекватні. Основні питання, щовиникли після відкриття Фур’є — це питання збіжності і можливості представленняфункції рядами — вже для своєї коректної постановки зажадали введення новихпонять. Приклад безперервної функції з рядом Фур’є, що не всюди сходиться, ваннийДю-Буа-Раймондом, поставив природне питання: якщо вже для безперервних функційне вдається добитися уявлення у вигляді ряду Фур’є, що усюди сходиться, то може бути слід уточнити саме поняття„уявлення”? Сприймати функцію як щось дане в завершеному стані, або вимагатиможливості конструктивної побудови; які засоби допустимі як елементиконструкцій? Грубо кажучи, кривих виявилося більш ніж формул, як вженаголошувалося знов утворився розрив між арсеналом засобів аналітичноїзображеної функцій і самими функціями. Слід зазначити, що в подоланнівиникаючих утруднень і зароджуються нові методи, що представляють якісні скачкив розвитку математики. Найбільші математики, як правило, стояли на позиціяхтого, що математика розвивалася і якісно розвиватиметься, що неминучі ті, щореволюціонізували, відкриття, що надовго визначають напрями розвиткуматематики, а, отже, неминучі парадокси і суперечності. Можна привести багатоприкладів „мертвих” розділів науки, які раптом „оживали” (наприклад, теоріямагнетизму у фізиці). Проте, тезу про безперечну наявність постійних якіснихстрибків в розвитку слід застосовувати лише до достатньо широких, змістовнихобластей знання (порівняйте з тезою: всесвіт в цілому розвивається, окремі їїділянки можуть деградувати). На питання про можливість відкриття” впроектованої геометрії, що „революціонізувало, фахівці, напевно, відповідятьнегативно. Таким чином, разом з рішенням основної задачі зображеної функціїтригонометричним рядом Фур’є далиплідну їжу для розвитку різних розділів математики.

Які ж шляхи подальшого розвитку функціональної залежності, їїсучасний стан; як розв'язуються питання онтологічного і субстанціональногостатусів функції — ці проблеми завжди виникають навкруги будь-якого змістовногопоняття. Приклад Дю-Буа-Раймонда, а також приклади Веєрштраса і Ван-дер-Варденаспонукали математиків до розгляду і більш загальних функцій, ніж безперервніабо входять в класифікацію Бера. нерозуміння і недовір'я панувало в кругахстарих консервативних математиків.

„ Я з жахом і огидою відвертаюся від цієї розростаючої язвиФункцій, похідної”-, що не мають, писав Ерміт. Виникнення нових модних методів(теорія безлічі Кантора, теорія інтеграла і заходи Лебега) потягло за собоюпоява нових функціональних просторів і видів сходи-Мости. В роботах Діріхле,Пуассона, Жордана указуються класи функцій, для яких збіжність ряду Фур’є безумовно гарантована.Тригонометричні ряди виявляють цікаві властивості (явище Гиббса, принциплокалізації), нарешті „наводиться теорія” на диференціювання і інтеграціютригонометричних рядів, що зустрічаються ще у Ейлера. Докторська дисертаціяРімана намічає нові підходи до загальних тригонометричних рядів. Тонкі технічніметоди дозволили Д.Е, Меньшову майже остаточно зшити питання про зображенуфункції тригонометричним рядом, а також просто єдиності.

В 1905 р. А. Лебег ввів поняття аналітично зображеноїфункції, як функції, значення якої виходять з аргументу і постійних величин придопомозі арифметичних операцій і граничних переходів. Приклад А. Лебега,вимірної функції, що не допускає згадане зображення, провів наЯ що коштуєфурору.

Здавалося б беззмістовне за часів Ейлера і Д' Аламберазапитання що приписати як сума ряду, що розходиться, — одержав остаточнийрозвиток в роботах Пуассона, Рімана, Фейера. Ейлерові операції з розбіжнимирядами знайшли своє обгрунтовування. Наполеону приписуються слова: „я спочаткузавоюю цю землю, а потім знайдуться юристи, щоб обгрунтувати цей акт.” Нматематиці відмова від строгих обгрунтовувань часто приводила до сильнихрезультатам, не говорячи вже про пріоритет. Багато результатів Якобі носилибездоказовий характер, „для гаусової строгості у нас немає часу” — говорив вінна лекції своїм студентам. Але Якобі випередив багато своїх сучасників, якізгодом строге передоказали його результати.

„… в теперішній час математика менш ніж коли-небудьзводиться до чисто механічної гри з ізольованими формулами, біліше ніжколи-небудь інтуїція неподільно панує в генезисі відкриттів. „в той же час„зневага до розробки логічної основи нових теорій часто приводить докустарництва. Взаємозв'язок інтуїтивного і логічного є необхідний момент врозвитку будь-якої галузі математики. Функції комплексного змінною булинабагато більш детально вивчені, коли комплексні числа сталі інтерпретувати якточки площини; назад, комплексний аналіз лише тоді придбав постійну форму, колистав логічно спроможний. Вимоги логічної строгості і консистентності (повнота)основних положень теорії разом із строгим” правилами висновку є одним зкритеріїв істинності теорії.

Основне питання в теорії рядів Фур’є — питання збіжності. Після Фур’є вся перші спроби дати строгедоведення загальної теореми про збіжність тригонометричних рядів закінчилисяневдачею. І, проте, доведення назрівало.

Недоліком існуючих робіт була відсутність точних формулюваньумов, при яких указувалися теореми. Честь відкриття умов, що гарантувализбіжність, як вже указувалося випалу Діріхле. Питання про те, наскільки повнодозволяє судити ряд Фур’є функції про її поведінкузалишався відкритим. Леопольд Феєр своїм результатом про (С,1) — торбмируемости майже усюди ряду Фур’є доФункції, що породила його, показав, що ряд визначає функцію по модулю безлічіміри нуль, про те, що (С,1) сумування тут не можна замінити на звичайнузбіжність було доведено в набагато більш пізній роботі А.Н. Колмогорова.Зусиллями Карлесона і Хантл питання про структурні властивості функцій з тими,що сходяться майже усюди рядами Фур’є одержало, мабуть, достатньо вичерпне рішення. Апарат що використовуєтьсяв цих новітніх роботах, показує, наскільки глибоко розвивалась теоріятригонометричних рядів.

Приблизно до XIX століття математиків цікавили і питання описсубстанціональних об'єктів (числа, прямі, множини, функції і т.п.), питання про„реальне” існування таких об'єктів як, скажімо, ряд або послідовність.Прагнення виражати мовою логіки всі поняття математики з основних привело допереконання про необхідність не визначати деякі об'єкти.

„математики XIX сторіччя сталі потроху зміцнюватися в думці,що питання Ll значенні цих понять як субстанціональних об'єктів в рамкахматематики

і взагалі де б то не було) просто не має сенсу. Математичнітвердження, в які входять ці терміни, відносяться не до фізичної реальності…Питання про те, „ніж насправді” є крапки, прямі і числа, не може і не повиннаобговорювати математична наука. „ Звичайно ж математика повинна обговорюватипитання про логічну спроможність тих або інших визначень, наприклад, визначення„кардинальне число безлічі всіх кардиналів” і т.п.; проблеми ж природиматематичних абстракцій суть прерогатива філософії і вони є окремим випадкомтак званої проблеми „про онтологічний статус універсалій”. Вживанняматематичних методів повинне бути обмежено розумними межами. Відома критика Е.Маху, який в своїх роботах зводив всі зв'язки в природі до функціональних („вприроді немає ні причини, ні слідства...”). З точки ж зору сучасної математикиєство поняття функції полягає в способі відповідності між двома сортамиоб'єктів вельми загальної природи. Придбаваючи свою конкретну реалізацію в різнихспособах завдання (словесному, табличному, аналітичному, графічному) воно лишевідображає істоту відповідності. Питання, пов'язані з бажанням знайти спосібзображеної функції, що охоплює всі вказані способи, одержали достатньо вичерпнерішення завдяки апарату тригонометричних рядів.

Таким чином, виникнувши в різний час з потреб практики іпотреб самої математики, пройшовши тривалий шлях розвитку від інтуїтивногорівня розуміння до розвиненого сучасного апарату, поняття функції ітригонометричного ряду виявилися вельми спорідненими і взаємозв'язаними.

1.2.4. Основні підходивикористовування систем індикаторів для аналізу зовнішньополітичних процесів

Існуючі теорії зовнішньої політики так чи інакше засновані навикористовуванні як початковий елемент деякої статистичної бази. Така базаповинна грунтуватися на прийнятому порядку формування емпіричного матеріалу,тобто на виборі системи показників, що описують систему міжнародних відносин.Характерним прикладом послідовного вживання цієї ідеї в теорії зовнішньоїполітики є діяльність професора університету штату Огайо (США) Джеймс Розенау.Серед безлічі розрізнених чинників, що впливають на зовнішню політику, Д.Розенау виділяє п'ять груп змінних: індивідуальні чинники (якість, досвід,талант політичного діяча), ролеві фактори (чинники зовнішньої поведінки,обумовлені посадами політичних діячів), урядові чинники (що стосуються рамокфункціонуючої урядової структури), суспільні змінні (основні цінностісуспільства і т.п.), системні індикатори, або „зовнішні змінні”. Професор Ч. Л.Тейлор, організував спеціальну конференцію в 1978 р., присвячену розвиткутеорії політичних індикаторів, за наслідками якої були опубліковані основнідоповіді. В роботі П. Бекмана система індикаторів світової політикирозглядається для дослідження поняття „могутності” („потужності”) держави,метою їх порівняльного розташовує. У вказаній роботі продовжені дослідження Р.Моргентау, До. Норра, О. Моргенштерна, що стосуються порівняння держав засистемою індикаторів. Потужність держави по Бекману — це середнє арифметичневідсотка світової здобичі сталі досліджуваної держави і деякий! величини, що єтвором індексу політичної стабільності і відсотка світового народонаселення.Макромоделі такого роду особливе характерні для робіт Мортона Каштана. Проблемиоптимальної поведінки (управління ідеології, що розглядаються в рамках,збереження державного „могутності мають зовнішню схожість із знаменитим„категоричним імперативом „І. Канта поступай так, щоб максима твого вчинкумислилася світовим законом.” М.1 Каплан „правила „ політичної поведінкиформулює так:

1)        дій так,щоб збільшити свій бойовий потенціал, але вступай в nepero-J злодії всякий раз,щоб уникнути війни вступай у війну, якщо без цього буде упущена можливістьзбільшити свій бойовий потенціал;

2)        припиняйвійськові дії, якщо виникла загроза ліквідації основної національної дійовоїособи;

3)        надайпротидію будь-якої коаліції або дійовій особі, яка прагне оволодіти пануючимположенням в системі;

4)        надайстримуюче вплив на дійових осіб, які керуються наднаціональними організаційнимипринципами;

5)        дозволяйпереможеним або стримуваним основним національним діючим особам приєднатисязнов до системи як прийнятні ролеві партнери або ж допомагай збільшити свійстатус якому-небудь з дійових осіб, доти неосновних. Поводься зі всіма дійовимиособами як з прийнятними партнерами по ролі і т.п. На думку М. Каштанаорієнтація учасника світової політики, що дотримується подібних правил, єоптимальній з погляду досягнення безпеці.

Відома нам критика макромоделей світової політики, подібноїмоделі М. Каплана, зводиться по суті лише до неповноти систем, щовикористовуються. Так, за словами керівника Центру стратегічних і міжнароднихдосліджень Джоржтаунського університету М. Самюэлса помилка американських політичнихдіячів у визначенні поняття „національна безпека” полягає в тому, що вони,враховуючи військову потужність, ігнорують економічний аспект проблеми. Фахівцівказаного центру пропонують алгебраїчну модель „сукупної могутності держави увигляді формули:

/>

де Рр — „сукупна могутність держави”; C — критична маса (сума коефіцієнтівчисельності населення і площі території країни); Е — экономическая1 потужність;М- військова потужність; S — стратегічна мета держави; W- бажання населенняслідувати існуючій в країні стратегії .

У свою чергу, фахівці з Міжамериканського військового коледжупропонують ввести додатково показник Р — силу переконання політичного керівництвакраїни, його здатність повести за собою не тільки населення власної країни, алеі союзників. Цей показник пропонується ввести як адитивна компоненти в другийспівмножник приведеної формули.

1.2.5. Простір індикаторів в системіміжнародних відносин: основні задачі метатеорії

Як вже наголошувалося, погоджувати результати політичнихдосліджень, одержаних по різних системах індикаторів, можна таким чином.Системи індикаторів є різними підмножинами якоїсь однієї універсальної множини,яка, очевидно, нескінченна. Кожна задача аналізу ситуації з фіксованим набороміндикаторів відповідає вибору деякої кінцевої (фінітного) підмножини звказаного універсуму.

Залежно від виду цього універсуму виникають три основнімоделі:

1. Як початковий універсумбереться деяка кінцева множина, тоді кожній підсистемі показників відповідаєдеяка підмножина, що є носієм всіх функцій, визначених на цій підмножині (ірівних нулю зовні нього). Політичний об'єкт, що характеризується у вибранійсистемі показників, є фінітну функцією, визначеною на деякій підмножиніуніверсуму. Разом з цією функцією можна розглядати її дискретне перетворенняФур’є. Можливий і подвійний підхід — кожній такій функції може бути поставленийу відповідність дискретний ряд Фурье, коефіцієнти якого рівні відповіднимзначенням функції.

2. Як початковий універсумвибирається відрізок прямою. Політичним об'єктам в цьому випадкувідповідатимуть фінітні функції, визначені на відрізку. Виникаючі задачі можутьбути досліджені апаратом рядів Фур’є.

3. Нарешті, як початковийуніверсум береться вся речовинна. Властивості фінітних на прямій функцій можутьбути досліджені інтегралом Фур’є (абоперетворенням Фур’є). В окремому випадкудискретного спектру виникають ряди по рахунковій множині взагалі кажучи нецілихпоказників — в цьому випадку застосуємо апарат майже періодичних функцій.

4.       Більш окремі випадки, коли як початковий набірфункцій допускаються лише лінійні (полілінійні) функції (функціонали) приводятьдо задач лінійної алгебри або тензорного аналізу.

Наукова основа пізнання соціально-економічної сфери полягає ваналізі Емпіричного матеріалу про поведінку цієї системи, що міститься в різнихдовідниках і світових класифікаторах. В різноманітті всіх видів відносин всоціальній сфері однією з якнайменше формалізованих є область політичнихвзаємостосунків між державами. Основний статистичний інструментарій — апаратаналізу чинника — запропонував разом з одиничними показниками (індикаторами)політичної поведінки держав на світовій арені розглядати більш вузьку сукупністьнових показників — чинників, які є лінійною комбінацією початкових індикаторів.По суті справи, це означає розгляд нових показників, які проводяться увідповідність з підмножинами безлічі початкових показників. Такі новіпоказники, звані інакше суперпроблемами”, можуть і мають бути змістовним чиномінтерпретовані. Як відзначає Я. Окунь, „той дослідник повинен перетворитися ізстатистика, що піклується в першу черга про правильність і точність обчислень,в експерта по проблемі, закономірності якої досліджувалися за допомогоюаналізу” чинника.

Приведені міркування, з погляду математичного аналізу,означають лише те, що безліч одиничних показників може бути доповнене системоюдодаткових показників — „суперпроблем” — до групи з операцією) симетричноїрізниці. Політичний процес в цьому випадку описується відповідною функцією нагрупі суперпроблем, в яку, зрозуміло, як підмножини входять одноелементніпідмножини — початковий набір політичних індикаторів. Серед таких функційвиділяються найпростіші (основні), які і є своєрідним будівельним матеріаломдля опису довільних функцій на групі, тобто довільних політичних процесів взначенні введеної відповідності. В теорії груп як такі найпростіші функціїрозглядаються мультиплікативні функції на групі. Тим самим політичний процесможе бути охарактеризований через властивості його розкладання за системоюмультиплікативних функцій, інакше званих характерами групи.

Однією з основних проблем при дослідженнях в соціальній сферіє проблема метрики, заходів близькості або „дистанцій ” між об'єктами, щовивчаються. Різноманіття метрик, що використовуються, достатньо велике.Найпоширенішими є традиційна метрика Евкліда, а також метрики Мінковського іХеммінга. Не маючи свій в розпорядженні серйозних аргументів на користь тієї абоіншої метрики в конкретних дослідженнях, можна задатися метою виділити класзадач, на якому метрики Евкліда (в просторі L2) і Мінковського (Lр,/>, р > 0) будуть еквівалентні.Опис класу функцій, для якого справедлива еквівалентність вказаних метрик,представляється складною задачею.

Перейдемо до строгих визначень.

Визначення 1. Підмножина /> безліч індексів тригонометричноїсистеми /> абосистеми Уолша /> називається λ(р) — множиноюдля деякого р > 0, якщо для деякого q > р > 0 і для будь-якогополінома R(x) із спектром в Е справедлива нерівність:

/>

де постійна С > 0 не залежить від вибору полінома R(x).

Задача побудови класу функцій, на якому відповідні метрикиеквівалентні, зводиться тим самим до вивчення структури послідовностей Е.

Визначення 2. Множина G називається групою, якщо длябудь-яких двох елементів а, b цієї множини однозначно визначений третій елементз цієї множини (тобто введена бінарна операція, що позначається, наприклад, />) з наступнимивластивостями:

1./> — асоціативність.

2.В G є елемент О, званий нулем, такий, щодля будь-якого елемента a із G справедлива рівність />.

3.Для кожного елемента а існуєпротилежний (зворотний) елемент –а такий, що />.

Групи, для яких />для будь-кого а, в із G, називаються комутативними (абоабелевими) групами. Нижче ми обмежимося розглядом лише абелевих груп. Прикладомнекомутативної групи є, наприклад, група підстановок кінцевої множини, абогрупа лінійних перетворень евклідова простору. Разом з групою підмножинкінцевої множини (індикаторів) ми розглянемо також кінцеву циклічну групу ігрупу дійсних чисел відрізка [0, 2л] з операцією складання по модулю 2тс.

Визначення 3. Симетричною різницею множин А і В (позначається/>)називається така множина З, яке складається з елементів, що належать рівноодній з множин А і В. Легко бачити, що />.

Визначення 4. Групи G і Н називаються ізоморфними, якщо існуєтаке взаємно однозначна відповідність φ між цими групами, яка зберігаєгрупову операцію, тобто для будь-кого а, в G />.

Визначення 5. Лінійним простором Е над полем з двох елементів(0, 1) називається безліч всіх n — рядків (/>) з покоординатним складанняммодулю 2, де (/>) рівні 0 або 1.

Добре відомо, що група підмножин початкової кінцевої множинипо операції симетричної різниці ізоморфна як група лінійному простору над полемз двох елементів. Відомо також, що в такому середовищі можна ввести другуоперацію — множення — певним чином злагоджену з складанням, внаслідок чогоподібна структура називається ще кінцевим полем, або полемо Галуа (на ім'явидатного французького математика Еваріста Галуа, що застосував їх властивостідля вирішення питання про можливості розв’язання рівнянь алгебри в радикалах).

Основна ідея аналізу — апроксимація функцій довільної природиБитвами, що складаються з функцій більш простої природи, реалізується зарахунок вибору як такий основний набір системи мультиплікативних функцій.

Визначення 6. Характером групи З називають такукомплекснозначну функцію, яка задовольняє функціональному рівнянню: />.

Як показано в роботі, групою характерів групи підмножинкінцевої множини по операції симетричної різниці є система функцій Уолша, прояку мова піде нижчим. В цій же роботі показано, що групою характерів безлічідійсних чисел відрізка [0, 2π] з операцією складання по модулю 2к єкласична система ортогональних функцій />, а групою характерів кінцевоїциклічної групи з n елементів є безліч коренів n-й ступінь з 1:

/>.

Саме ці групи ми і використовуємо надалі для характеристикиполітичного процесу як функції політичних індикаторів. При цьому континуальнийвипадок є природним узагальненням дискретного випадку в припущенні ухваленняконцепції актуальної нескінченності для безлічі політичних індикаторів, щопредставляється самим загальним випадком. Крім того, з тригонометричноюсистемою пов'язана, як вже наголошувалося, класична проблема представленняфункції (суперечка Ейлера і Д'Аламбера). Нижче за показ? але, як метричнізадачі для загальних тригонометричних рядів будуть зведені до вивчення рядів(насправді, кінцевих ідемпотентних поліномів) за системою характерів кінцевоїциклічної групи.

На базі наступної допоміжної леми здійснено зведенняметричних задач до вивчення властивостей ідемпотентних поліномів, які можнатакож потрактувати як тригонометричні суми або їх аналог за системою Уолша.

Лема. Хай функція/>. Якщо, />то існує постійна С > 0 така,що для будь-якої вимірної множини />, />. Назад, якщо існує постійна С> 0 така, що для будь-якої вимірної множини  />, />для  деякого ε > 0, тофункція />,при будь-кому р, 0 < р < 1 + е, причому при р = 0 твердження втрачаєсилу. Крім того, функція f(x) істотно обмежена на [0,2л]тоді і тільки тоді, коли існує постійна С>0 така, що для будь-якої вимірноїмножини />, />.

Доведення: Хай />, />, тоді:

/>.

і в одну сторону затвердження леми доведено.

Хай тепер /> для будь-якої вимірної множини Е,/>, і деякого/>. Хай />,/>.

Якщо f(x) — дійснозначна функція, то:

/>.

Якщо f(x) = u(x)+iv(x), то:

/>; />;

і значить:

/>.

Нехай />,

k=1,2, ..., і хай />, р>0, р<1+ε.

Тоді:

/>(1)

Легко бачити, що для k = 1,2....

/>,

тому:

/>        (2)

Зіставляючи (1) і (2), маємо:

/>

будь-яке />, тобто />, що і вимагалося довести.

Те, що твердження втрачає силу при р = 0, видно на прикладіфункції />.

Для цієї функції:

/>, але />.

Нарешті, якщо />, то:

/>

то

Якщо ж, навпаки, функція f(x) така, що:

/>,

то:

/>

звідки />при всіх k=l, 2,… Це можливо лише у випадку,коли починаючи з деяким k0, />при всіх k>k0, тобтоу разі, коли функція f(x) істотно обмежена, і лема повністюдоведена.

 Теорема 1. Якщо послідовність цілих чисел

/>

то існує постійна />, така, що для будь-когонатурального числа р і будь-якого полінома />, де /> або />, />  

справедлива нерівність:

/>(3)

Назад, якщо для послідовності {nk} існує постійна С > 0, така, що для будь-кого натуральногор і для будь-якого полінома />, /> або />, />,  справедлива оцінка (3), топослідовність />для любого />.

Доведення: Доведемо спочатку необхідність.

Хай:

/>де />

 Утворюємо множину Е на відрізку [0,2π] таким чином:

/>

Оцінимо інтеграл по множині Е від функції />, де коефіцієнти akпідберемо пізніше:

/>

/>

тобто:

/>(4)

Хай тепер f(x) вибрана так, що:

/>                    (5)

Тоді в силу (4) маємо:

/>(6)

Оскільки />, то існує постійна />, така, що:

/>

/>(7)

/>

З другого боку, зважаючи на нерівність />  маємо в силу (6)

/>(8)

Зіставляючи (7) і (8), одержуємо:

/>

/>

і нерівність (З) доведена з постійною:

/>

Доведемо тепер достатність. Хай для послідовності {nk} справедлива нерівність (3)всякий раз, коли число р і поліном R(x) вибрано в відповідності з умовоютеореми. Доведемо, що всяка функція:

/>   />

належатиме і простору /> для будь-яке ρ /> (0,2 + ε),звідси і витікатиме, що послідовність />при будь-яке />.

Хай спочатку f(x) — поліном і хай:

/>

/>(9)

/>

З рівності (4) виходить, що:

/>(10)

Використовуючи (3) і (10), маємо:

/>(11)

Нерівність (11), будучи виконано для фіксованої функції

/>і всіх простих множин Е здостатньо дрібними становлячими інтервалами, очевидно, буде виконано для цієї жфункції і для будь-яких вимірних множин Е на відрізку [0,2л]. Але тодінерівність

(11) буде виконано і для будь-яких функцій f(x) вигляду  />

/>/> і будь-яких вимірних множин Е. Полемі />[*=1 для будь-яких />, і теорема 1 повністю доведена.

Теорема 2. Хай />, ε>0 за системою Уолша,тоді існує постійна С>0, така, що для будь-когонатурального р = 2n і будь-якого полінома:

/>

справедлива нерівність:

/>(12)

Назад, якщо для послідовності {nk} існує постійна С > 0, така, щодля будь-кого натурального р = 2n і будь-якого полінома:

/>

справедлива оцінка (12), то послідовність /> для будь-кого ρ,/>.

Доведення. Доведемо спочатку необхідність.

Хай:

/>

/>

Утворюємо множину:

/>

Хай далі:

/>

Оцінимо />, тоді:

   />  (13)

Помітимо тепер, що на інтервалі  />  цифри х в двійковому розкладаннідо номера n співпадають з відповідними цифрами учисла />,якщо не допускати в двійковому розкладанні нескінченних послідовностей одиниць.

Хай:

/>

Тоді, як відомо:

/>

якщо /> Тому:

/>

і в силу (13):

/>(14)

Якщо у визначенні функції f(х) покласти:

/>

то нерівності (13) і (14) звернуться в рівність.

Для такої функції маємо в силу (14) і умови теореми:

/>

звідки:

/>

або:

/>

що і доводить необхідність теореми.

Доведемо тепер достатність. Хай для послідовності {nk} справедлива нерівність (12)при будь-кому р=2n і поліномі:

/>

або

/>

Тоді для полінома:

/>

і множини:

/>

/>

/>

справедлива оцінка (14), тобто:

/>(15)

Через умову теореми права частина нерівності (15) неперевершує величини:

/>

тобто:

/>(16)

Оцінка (16), будучи справедлива для простих множин Е з умовою/>, розповсюджуєтьсядля фіксованого полінома f(х) і на довільні вимірювання  множини />,  а,  отже, і  на  довільні  функції

/>з умовою />. Через лему нерівність (16) тягнеза собою

умова /> при всіх />, тобто /> при

всіх />.

Теорема повністю доведена.

Наступні два кількісні результати торкаються густинилакунарних послідовностей Уолша і розподілу значень іденпотентних поліномів(терезів лінійних кодів). Ці оцінки представляють як самостійний інтерес (першаз них значно усилює аналогічний результат А. Бонами так і можуть мати додаток взагальній математичній теорії кодування Л передачі інформації.

Теорема 3. Хай Еn n-мірне лінійний простір над полем здвох елементів./> — пряма сума двох екземплярівцього простору, яке ми потрактуємо так само, як безліч всіх пар (а, b), де а, b – елементи Еn.

Тоді безліч U всіх пар вигляду (а, а-1), де /> і символом а-1позначений елемент, зворотний до елемента а в полі Еn має потужність 2n-1, лежить в лінійномупросторі W2n потужності 22n. Іншими словами, множина U є щільним B2 (або />(4)) множиною в тому значенні, що на ньому досягається верхнягрань густини В3-последовательностей.

Доведення. Допустимо осоружне, тоді знайдуться такі 4 різнийелемента а, b, c, d з U, що:

/>

Остання система еквівалентна системі:

а + b = c + d,    a-l + b-1 = с-1 + d-1.

 що рівносильне:

а + b = c + d,    ab = cd

яка, як неважко бачити, може мати не більше одного рішення (зточністю до перестановки). Дійсно, останнє твердження рівносильне твержденняпро те, що рівняння х(х + k) = r має не більше двох різних розв’язків по х для х, k, r з Еn. Покажемо це. Хай є інше рішення у:у(у + k) =r.

Тоді />, звідки />, тобто />, звідки або x = у, або у = х + k ( нагадаємо, що En — поле характеристики 2).Тим самим теорема 3 повністюдоведена.

Справедлива

Теорема 4. Хай на En заданий ідемпотентний поліном Уолша:

/>

Хай />з En такі, що все rj, незалежні і />, />. Тоді:

/>

де

/>

Доказ. Без обмеження спільності можна вважати, що все {rj} утворюють стандартний базисв Еt (загальний випадок зводитьсядо цього лінійним перетворенням Et). Тоді на підпросторі Et, поліном R(x) запишеться у вигляді:

/>

де dj, — цілі ненегативні числа, в сумі даючі s. Легко бачити, щошукана сума квадратів значень полінома R(x) на підпросторі Еt, рівна />.

Оцінимо знизу суму />. Оскільки значення полінома R(x) навекторах Et

рівні άs, те, як вже наголошувалося, ідемпотентномуполіному R(x) на підпросторі Е, відповідатиме двійковий код з 2t стовпців і із загальнимчислом кодових слів 2t, причому базисні кодові слова складаються з />, одиниць

і /> мінус одиниць вмультиплікативному записі двійкового коду.

Ми маємо у результаті г випадкових величин, розподілених поодному і тому ж

закону — вони приймають два значення з ймовірностями /> відповідно імають ентропію Нά кожна. Крім того, ці випадкові величиниутворюють багатовимірний розподіл з вірогідністю /> По властивості субадитивностіентропії маємо:

/>

Застосовуючи відому нерівність Юнга:

/>

/>

маємо:

/>

або:

/>

або:

/>

Остаточно:

/>

що і доводить теорему 4.

Структура виняткової безлічі індексів, які забезпечують>квв валентність метрик Мінковського, тісно примикає до задач побудови івивчення лінійних кодів.

Під кріптологією в широкому значенні розуміється мистецтвопроектуванні і злому секретних систем, при цьому проектування називаєтьсякриптографією а зламуюча частина — кріптоаналізом. При цьому треба мати увигляді, що є багато кодів, жодним чином не пов'язаних з проблемою секретності,- це код ASCII для перетворення символів алфавіту в двійкову форму дляз'явившися лінія в ЕОМ, а також універсальний промисловий код (штриховий) з рядчорних вертикальних ліній, що містять інформацію про вироби. Історично першийкод, призначений для передачі повідомлень, пов'язаний з ім'ям винахідникателеграфного апарату Семюеля Морзе і відомий всім як азбука Морзе. Код Морзезаснований на короткочасних (крапка) і тривалих (тире) їм пульсах струму; іншийкод (Бодо) для кодування використовує два елементарні сигнали — імпульс іпаузу. Зручно, відволікаючись від фізичної природи сигналів, позначати дваелементарні сигнали символами 0 і 1, тоді кодові слів представляютьсяпослідовністю нулів і одиниць.

При передачі повідомлення в умовах перешкод основна помилкапов'язана з тим, чий ряд символів може бути переданий неправильно, тобто Прозамість і навпаки. Для того, щоб можна було однозначно декодувати повідомлення,слід накласти додаткові умови на сам спосіб кодування повідомлень, тобто накод. Є слова а1, а2,..., аn повинні бути декодовані як b1, b2 ..., bn, але передане слів декодувалося вдеяке слово b, не співпадаюче ні з одним зbi то приписати слову b„найближче” із слів b1, b2..., bn. Основна задача, виникаюча на цьомушляху така: який повинен бути код з n символів, щоб він правильно декодував передане слово, приумові, якщо вчинено не більш t — помилок в передачі? Легко показати, що, якщослова коду відстоять один від одного на віддаль Хемінга, не менше ніж 2t + 1,то така задача розв'язується однозначно по кодуванню в найближче слово. Дійсно,якщо передане слово відстоїть від двох різних кодових слів на відстані, неперевершуючі t( тобто при передачі йогозроблено не більш t помилок по відношенню до цих двох слів), то по формулітрикутника самі ці кодові слова відстоять один від одного на відстань, що неперевершує 2t, в суперечності з початковоювластивістю коду мати всі свої слова на відстані не меншому 2t + 1 один від одного. Таким чином,для упевненого декодування в умовах перешкод потрібно уміти будувати коди звеликою кодовою відстанню, яка визначається як мінімум попарних відстаней слівкоду в метриці Хемінга. Оскільки безліч всіх слів довжини п цією властивістю,очевидно, не володіє, слід виділяти деякі підмножини з вказаної множини.Звичайно безліч всіх послідовностей з 0 і 1 довжини n вважають лінійнимпростором над полем з двох елементів з метрикою (нормою) Хемінга; число одиницьв слові називають нормою цього слова. Серед таких підмножин особливе місцезаймають коди, які замкнуті по відношенню до операції суми, так звані лінійнікоди. Лінійний (n, k) — код є лінійний підпростіррозмірності до в множині всі 0-1 рядків довжини п, тобто в просторі Еn. При цьому матриця з добазисних векторів коду називається матрицею коду, що породжує, а матриця з n-kбазисних векторів подвійного коду (тобто ортогонального доповнення до En) називається перевірочноюматрицею. Природно вважати до символів (n, k) — коду основними, а інші n-k-перевірочними, необхідними лише для визначення правильності передаючогоповідомлення. Величинами називається швидкістю передачі.

Як багато може бути кодових слів в коді довжини n, у якого кодова відстань d, тобтояка величина А(n,d)? Відомі межі Хемінга, Джонсона, оцінюючі величину А(n,d).Так, межа Хемінга встановлює:

/>

де

/>(17)

Ця межа ще називається межею сферичної упаковки, оскількирівність (17) Досягається у тому випадку, коли непересічні кулі радіусу t зцентрами кодових словах цілком заповнюють всю безліч n — буквенних слів. Такі коди щеназиваються вчиненими або щільно упакованими.

Межа Джонсона А(n,d)/>2d/(2d — n), d> n/2 може бути використанадля оцінки потужності коду, що складається із слів ваги Лисиць кодовоювідстанню d. га оцінка А(n,k,d)/>d/(2n2+dn-2nk), заумови, що знаменник дробу позитивний, 2n2+dn-2nk>0. Оцінки типумежі Джонсона неодноразово уточнювалися різними авторами, оскільки остаточногорезультату до теперішнього часу не одержано. Такі оцінки мають значення припобудові кодів з сильними коректуючими властивостями, оскільки указують межіможливого. Наступна оцінка уточняє оцінку Джонсона.

Теорема 5. Хай задані t слів довжини s ваги L= s(l-ά)/2, де ά/>(0,1). Нехай

D={di}, />безліч попарних відстаней міжкодовими словами. Хай />середнє арифметичне всіх попарнихвідстаней між перерахованими t словами. Тоді:

/>

Доведення.

Хай в матриці коду hi, — число одиниць в і-ому стовпці.

Тоді

/>

і, отже

/>

Якщо

/>

Застосуємо тепер ці міркування до нового коду, який виходитьз виходящого попарним складанням різних />  стовпців. Тоді рядки нового колиматимуть вагу L(s — L), попарні відстані нового кодубудуть di(s — di). Застосовуючи аналогічніміркування, маємо:

/>

Тоді:

/>

/>

і остаточно:

/>

/>

Якщо />,то:

/>

Приведений математичний апарат виявляє собою дієвий інструментарій длядослідження зовнішньополітичних процесів, що розглядаються як фінітних функційна просторі індикаторів.

Висновок

Розвиток методології економіко-математичного моделювання маєдовгу історію. Становлення двох по суті різних наукових дисциплін — економіки іматематики — протягом багатьох століть проходило по власних законах, щовідображали природу цих дисциплін, і одночасно стикаючись один з одним.

Вживання математичних методів в дослідженнізовнішньополітичних процесів є привабливим науковим інструментарієм. Ідеявивчати явище по його образу (моделі) властива не тільки політиці — ця ідея давноі грунтовно знайшла своє вживання в різних областях наукового знання.

Список літератури

Ашманов С. А.Введення в математичну економіку. М.: Наука 1984.

Петров Е. Г.,Новожилова М. В… Методи і засоби прийняття рішень у соціально – економічнихсистемах: Навчальний посібник./ За ред. Е. Г. Петрова. – К.: Техніка, 2004 –256с.

Замков О. О.,Товстопятенко А. В. Математичні методи в економіці: посібник М.: Дис. 1997.