Реферат: Економіко-математичне моделювання процесу ціноутворення на ринку опціонів
КИЇВСЬКИЙНАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
УДК519.866: 336.764.2
ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНЕМОДЕЛЮВАННЯ
ПРОЦЕСУЦІНОУТВОРЕННЯ НА РИНКУ ОПЦІОНІВ
Спеціальність08.03.08 — економіко-математичне моделювання
АВТОРЕФЕРАТ
дисертаціїна здобуття наукового ступеня кандидата економічних наук
СільченкоМарина Валеріївна
Київ- 2008
Дисертація є рукописом.
Робота виконана на кафедрі інформатикиКиївського національного економічного університету Міністерства освіти і наукиУкраїни.
Науковий керівник — кандидат технічнихнаук, професор Шарапов Олександр Дмитрович, Київськийнаціональний економічний університет, декан факультету інформаційних систем ітехнологій, завідувач кафедри інформатики.
Офіційні опоненти — доктор економічнихнаук, професор Вітлінський Вальдемар Володимирович, Київськийнаціональний економічний університет, професор, заступник завідуючого кафедроюекономіко-математичних методів.
кандидат економічних наук, доцент КрасніковаЛариса Іванівна, Національний університет “Києво-Могилянськаакадемія", доцент кафедри фінансів.
Провідна установа — Львівськийнаціональний університет ім. Івана Франка Міністерства освіти і науки України,кафедра економічної кібернетики, м. Львів.
Захист відбудеться “13" червня 2008 рокуо 16 00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.066.07Київського національного економічного університету Міністерства освіти і наукиУкраїни за адресою: 03680, м. Київ, проспект Перемоги, 54/1, ауд.317.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеціКиївського національного економічного університету за адресою: 03680, м. Київ,проспект Перемоги, 54/1, ауд. 201.
Автореферат розісланий “13" травня 2008року.
В. о. вченого секретаря спеціалізованої вченоїради Моторин Р.М.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність темидослідження. ВихідУкраїни на позитивну економічну динаміку вимагає надійного фінансовогозабезпечення потреб соціально-економічного розвитку. В умовах ринковоїекономіки, підвалини якої закладені в Україні, основою мобілізації і розміщенняфінансових ресурсів є фінансовий ринок. На даний час обидва його сегменти — кредитний ринок та ринок цінних паперів, розвиваються досить складно інерівномірно. І якщо банківська система, незважаючи на обмежений ресурснийпотенціал, в цілому являє собою дієздатний механізм, то ринок цінних паперів посуті знаходиться у стадії формування. Основними проблемами його розвитку є,по-перше, недостатня насиченість ринку відповідними інструментами таобмеженість доступу до нього, і, по-друге, нестабільність ринку.
Основним стабілізуючим чинником на ринку ціннихпаперів, так як і на товарному та валютному ринках, виступають строковіконтракти. Використання похідних цінних паперів — деривативів, дозволяє прирозвиненому строковому ринку стабілізувати фінансове положення суб’єктівгосподарювання та координувати майбутні плани підприємців. Строковий риноквпливає на рівновагу спотового ринку, стимулює розвиток конкуренції на ньому,сприяє оптимальному розміщенню на ньому ресурсів та вирівнюванню цін на різнихринках. Це відбувається завдяки стабілізуючій, інформативній і координуючійфункціям, які покладаються на ринок деривативів в економіці. Особливо важливуроль в забезпеченні цих функцій відіграють опціони, які являють собою контрактна майбутню купівлю (або продаж) певного активу за ціною, встановленою при йогопродажу.
Ринок деривативів у свою чергу може виконуватисвої функції і стабілізувати економіку тільки за умови надійного прогнозуванняцін на опціони. Вирішення цієї задачі можливе лише на підставі поєднанняінтуїтивного підходу та економіко-математичних методів. В Указі ПрезидентаУкраїни щодо основних напрямків розвитку фондового ринку України на 2007 — 2005рр. зазначено, що технологізація ринків капіталу через зростаюче використанняновітніх технологій визначає необхідність створення комплексної системипідготовки фахівців з питань фондового ринку із застосуванням сучаснихнавчально-методичних технологій та використанням міжнародного досвіду в ційсфері. На підставі цього Указу Державною комісією з цінних паперів та фондовогоринку були розроблені програми підготовки фахівців, що включають комплексневивчення фінансового ринку, зокрема, ринку деривативів, в яке входить йоготехнічний аналіз за допомогою засобів економіко-математичного моделювання.
Проблемам моделювання процесів в економіці іфінансах приділяло увагу багато українських вчених, серед яких Алексєєв А.,Бесєдін В., Великий А., Вітлінський В., Геєць В., Єлейко Я., Костіна Н.,Лукінов І., Сергієнко І.
Сучасна наука розробила досить надійний апаратвизначення справедливої ціни опціону. В дослідженні цієї проблеми вагомим євнесок вітчизняних (Леоненко М., Мішура Ю., Пархоменко В., Ядренко М) тазарубіжних (Мертон Р., Брайен Дж.О., Ширяев А) вчених. Всесвітньо відомими єбіноміальна модель Кокса-Росса-Рубінштейна та модель Блека-Шоулза.
Ситуація на сучасних фінансових ринках ємобільною, що призводить до появи нових чинників, які слід вводити в ту чи іншумодель. Зокрема, поява таких учасників ринку, визначення стратегій торгівліяких здійснюється на базі економіко-математичних моделей з використаннямсучасних інформаційних технологій, суттєво впливає на ситуацію на ринку івимагає відповідного математичного осмислення. Крім того, дуже важливим дляуспішного розвитку фінансового ринку України є дослідження адекватностііснуючих моделей умовам української економіки. При цьому важливо оцінити якнадійність вказаних методів, так і їх адаптованість до умов перехідноїекономіки. Це і визначило вибір теми дослідження.
Зв’язок роботи з науковимипрограмами, планами, темами. Дисертаціювиконано відповідно до плану науково-дослідних робіт кафедри інформатикиКиївського національного економічного університету за темою: “Теорія і практикапобудови великих систем на базі інформаційно-обчислювальних структур” (№державної реєстрації 0196U023341). В межах даної теми автором дослідженопроблеми моделювання фінансово-економічних процесів, зокрема, процесуціноутворення на ринку опціонів та визначення стратегій хеджування.
Мета та задачі дослідження. Основна мета роботиполягає в розробці економіко-математичних моделей визначення ціни опціону тастратегій його хеджування в умовах насиченого ринку. Для досягнення цієї метиавтором були послідовно поставлені наступні завдання:
на підставі аналізу сучасних економічнихконцепцій щодо місця і функцій ринку строкових контрактів в структуріфінансового ринку, визначити фактори, які впливають на цінові процеси на ринкудеривативів;
проаналізувати методи моделювання процесів нафінансовому ринку, зокрема, процесу ціноутворення за строковими контрактами;визначити систему критеріїв, яким повинні задовольняти моделі прогнозуванняціни опціону;
побудувати модель, що враховує операційнівитрати продавця опціону при виконанні ним хедж-стратегій; дослідитивластивості функції ціни опціону, що отримуються з цієї моделі, та з’ясувати,наскільки суттєвим є вплив операційних витрат;
побудувати алгоритм знаходження наближеногоаналітичного розв’язку моделі із зворотнім зв’язком у випадку, коли питома вагана ринку програмної торгівлі є значною;
провести числову апробацію можливостейвикористання моделей прогнозування ціни опціону на фінансовому ринку України.
Об’єктом дослідження є процесиціноутворення на фінансовому ринку, зокрема, на ринку опціонів.
Предметом дослідження є методологія таінструментарій економіко-математичного моделювання ціноутворення опціонів.
Методи дослідження. При проведеннідисертаційного дослідження методологічним підґрунтям стали комплексні підходи,що базуються на поєднанні фінансово-економічного аналізу таекономіко-математичних методів. При вирішенні поставлених завданьвикористовувались такі методи дослідження, як метод Роте, метод Бубнова-Гальоркіна,метод введення еквівалентних параметрів, методи фінансової математики, методитеорії мартингалів, методи математичного аналізу.
До наукових праць, які склалитеоретико-методологічне підґрунтя дисертаційної роботи, відносяться роботипровідних економістів, що дозволяють сформулювати фінансово-економічні засадипобудови моделей визначення ціни опціону, та роботи провідних математиків,присвячені проблемам і методології моделювання ринкових процесів, зокрема,процесів на ринку строкових контрактів.
Основним джерелом інформації при виконаннідослідження були статистичні матеріали Міністерства фінансів України,Національного банку України, Державного комітету статистики України, Державноїкомісії з цінних паперів та фондового ринку, Першої фондової торговельноїсистеми (ПФТС), інформаційно-фінансової системи Reuters.
Наукова новизна одержанихрезультатів. Впроцесі комплексного дослідження ринку опціонів засобами, що ґрунтуються насучасних економічній та математичній теоріях, були отримані наступні положення,які формують наукову новизну роботи:
на підставі систематизації існуючих підходів доструктуризації фінансового ринку та запропонованих класифікацій деривативів затипом базового активу та за розподілом ризику, визначено місце строкового ринкув економічній системі країни та виявлені основні чинники, які обумовлюютьформування ціни деривативів;
здійснено комплексний аналіз особливостейціноутворення опціонів, на підставі чого узагальнена система критеріїв, якіповинні виконуватись для оцінювання функції ціни опціону і враховуватись примоделюванні цінового процесу;
вдосконалено класичний підхід щодо визначеннястратегії хеджування продажу опціону; крім базового активу в структурухедж-портфелю запропоновано ввести замість облігацій еквівалентний за обсягомбанківський кредит;
побудована модель, яка враховує операційнівитрати продавця опціону за реалізації ним хедж-стратегій, та знайдено їїаналітичний розв’язок — функцію залежності ціни опціону від спот-ціни базовогоактиву, часу, що пройшов від моменту укладання угоди, параметрів опціону тавідсотку комісійної винагороди;
запропоновано метод та побудовано ітераційнийпроцес знаходження наближеного аналітичного розв’язку моделі із урахуваннямефекту зворотнього зв’язку, який дозволяє визначити ціну опціону при значнійкількості програмних агентів на ринку;
розроблено методику, практичні рекомендації тастворено програмний комплекс для використання отриманих теоретичних результатівна фінансовому ринку України при прогнозуванні цін опціонів та визначеннідинаміки структури хедж-портфелю.
Практичне значення одержанихрезультатів полягаєв розробці економіко-математичного підґрунтя, програмного комплексу тапрактичних рекомендацій для визначення справедливої ціни опціону. На підставіотриманих моделей, що враховують додаткові чинники, фахівці та аналітикифондового ринку мають можливість достовірно прогнозувати ситуацію на ринкустрокових контрактів, учасники ринку — хеджувати ризики, властиві продажуопціону, та, виявляючи переоцінені та недооцінені опціони, здійснюватиарбітражні операції. В зв’язку з тим, що ефективна взаємодія цих агентів єодним із визначальних факторів, які забезпечують виконання ринком своїхфункцій, використання запропонованих моделей має відчутне практичне значення векономіці України.
Основні теоретичні та аналітичні результатидисертаційної роботи, побудовані економіко-математичні моделі прогнозування цінна ринку опціонів були впроваджені в роботу казначейства Укрсоцбанку (довідка№05-14/200 від 21.11.2007р) та Державної комісії з цінних паперів та фондовогоринку (довідка №12527/18 від 27.11.2007р).
Результати дослідження використовуються також унавчальному процесі Київського національного економічного університету привикладанні дисциплін “Ризик у фінансовому менеджменті" та “Моделюванняекономіки" (довідка від 11.12.2007р) та дисциплін “Фондовий ринок" та“Ризик у фінансовому менеджменті" у навчальному процесі Українськогоінституту розвитку фондового ринку Київського національного економічногоуніверситету (довідка від 24.10 2007р).
Апробація результатів. Основні результатидисертаційного дослідження доповідались у виступах автора на двох міжнароднихнауково-практичних конференціях: “Фінансові важелі економічного зростанняУкраїни на сучасному етапі" (м. Чернівці, Буковинський державнийфінансово-економічний інститут, 26-27 жовтня 2006р) та “Ризикологія в економіціта підприємництві” (м. Київ, КНЕУ, 27-28 березня 2007р). Результати та висновкиобговорювались також на наукових семінарах кафедри інформатики та кафедри економіко-математичнихметодів КНЕУта наукових семінарах Українського інституту розвиткуфондового ринку КНЕУ.
Публікації. Основні положення,результати та висновки дисертаційного дослідження висвітлено в 6 публікаціяхзагальним обсягом 2,2 друк. арк., з них 4 статті в наукових фахових виданнях, 2- тези доповідей на науково-практичних конференціях.
Структура та обсягдисертації. Відповіднодо поставленої мети та визначених завдань дослідження дисертаційна роботаскладаєтьсязі вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел та додатків.Загальний обсяг дисертації 194 стор. В роботі міститься 11 таблиць на 11 стор.,95 рисунків на 53 стор., 3 додатки на 16 стор. Список використаних джерелналічує 107 найменувань.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі охарактеризованоактуальність теми дослідження в контексті державної програми розвитку фондовогоринку в Україні; сформульовано мету та завдання дисертаційної роботи, їїнаукову новизну та практичне значення; визначено зміст апробації результатів.
У розділі 1 “Дослідження фінансово-економічнихзасад побудови математичних моделей процесу ціноутворення опціонів” визначеномісце ринку строкових контрактів в структурі економіки країни та зв’язки зіншими секторами економіки, в результаті чого виявлені основні економічнічинники, які впливають на процес формування ціни деривативів; обґрунтовананеобхідність проведення в Україні економіко-математичних досліджень ціновихпроцесів, що відбуваються на ринку строкових контрактів; проаналізованіматематичні методи, що дозволяють прогнозувати ціну опціону.
На даний час в українській економічнійлітературі відображені досить різні погляди вчених на місце ринку строковихконтрактів в економічній системі. Багато економістів вважає, що ринокдеривативів є сегментом фінансового ринку. Це визначається наступнимифакторами:
деривативи є предметом торгівлі на фінансовомуринку;
деривативи являють собою контракт, ціна якогоформується під впливом попиту і пропозиції;
за організацією свого функціонування деривативипов’язані з інфраструктурою ринку цінних паперів.
Водночас, в результаті аналізу сутності похіднихцінних паперів автором зроблений висновок, що строкові контракти є особливоюформою торгівлі. Предметом торгівлі можуть бути як фінансові ресурси (грошовікошти, зокрема, валюта, цінні папери, майбутні ставки за кредитом, і власнедеривативи), так і товари та послуги. Тому строковий ринок являє собоюнадбудову над фінансовим та товарним ринками.
З такого особливого положення строкового ринку вструктурі економіки випливає існування прямого та зворотнього зв’язку міжпроцесами, що відбуваються в економіці та процесами на ринку деривативів.Прямий вплив виражається у залежності ціноутворення на строкові контракти відособливостей цінового процесу базового активу, ситуації на кредитному ринку(зокрема, розміру облікової ставки центрального банку), які в свою чергузалежать від загальноекономічної ситуації в країні. Зворотній вплив виражаєтьсяу виконанні ринком строкових контрактів, особливо ринком опціонів, своїхфункцій в економіці: стабілізуючої, координуючої та інформативної. Наявністьефективно функціонуючого строкового ринку є одним із основних факторів, щовизначають стабільність економіки в цілому.
Оскільки досягнення економічної стабільності єодним із найважливіших завдань подальшої ринкової трансформації в Україні, вроботі досліджено сучасний стан та перспективи розвитку ринку строковихконтрактів в нашій державі. На підставі проведеного аналізу було визначено, щорівень розвитку будь-якого ринку залежить від ступеня насиченості відповіднимиресурсами; досконалості нормативно-правової бази; рівню розвиткуінфраструктури; достатньої кількості висококваліфікованих учасників ринку.
На даний час в Україні створені відповідназаконодавча база та досить розгалужена інфраструктура фінансового ринку, якіздатні забезпечити ефективне функціонування ринку деривативів. Проблеманасиченості ринку ресурсами буде вирішуватись разом із поглибленням розвиткуринкових відносин в нашій країні. Підготовка ж фахівців із строкового ринкуповинна відбуватись вже зараз. Однією з важливих складових їх освіти єоволодіння сучасними методами прогнозування ситуації на ринку, у першу чергу,заснованими на економіко-математичному моделюванні.
Вивчення зарубіжного та вітчизняного досвідуекономіко-математичного моделювання привело до висновку, що в умовах ринковоїекономіки для моделювання цінових процесів переважно використовуються методифінансової математики, що ґрунтуються на теорії випадкових процесів. Одним знапрямків фінансової математики є дослідження процесу формування цін надеривативи. На підставі дифузійної моделі ринку Ф. Блеком та М. Шоулзом буларозроблена модель визначення ціни опціону. Використання отриманих цими вченимирезультатів при формуванні стратегій хеджування набуло значного поширення середучасників ринку, що спричинило зворотній вплив на процес ціноутворення опціону.
У розділі 2 “Побудова та дослідженнядинамічних моделей визначення ціни опціону з урахуванням особливостейпрограмної торгівлі” досліджені сучасні моделі прогнозування ціни опціону(біноміальна, лог-нормальна, мартингальна, Блека-Шоулза). На підставіпроведеного аналізу побудовані моделі, що дозволяють визначити ціну опціону принаявності програмної торгівлі на ринку та операційних витрат, пов’язаних зреалізацією хедж-стратегій продавцем опціону. В процесі дослідженняекономічних властивостей ціни опціону автором була систематизована, математичносформульована та економічно обґрунтована система обмежень, що накладається нафункцію ціни опціону. Зокрема, для ціни європейського опціону на купівлю увипадку, коли за базовим активом не сплачуються дивіденди, мають місце наступніобмеження:
"x≥0, "tÎ [0,T] х − Ke−r(T−t) ≤ C (x,t) ≤ x
де х − ціна базового активу; t− час, що пройшов з моменту укладення опціонної угоди; C (x,t)− функція залежності ціни опціону на купівлю від ціни базового активуx та часу t; T − час дії опціонної угоди, вимірюється вроках; K − ціна реалізації опціону; r − безризиковаставка, що неперервно нараховується.
В основі всіх існуючих моделей визначення ціниопціону лежать припущення щодо відсутності умов для укладання арбітражних угодта можливості формування нейтрального до ризику портфелю, який відображаєвиплати за опціоном й зміни цін на активи та опціони.
В результаті проведеного порівняльного аналізусучасних підходів до прогнозування ціни опціону з’ясувалось, що найбільшзагальним є підхід, заснований на теорії мартингалів, на основі якого можливовизначати ціну опціону будь-якого типу з будь-якою функцією виплат. На практиціширокого застосування набули модель Блека-Шоулза та її дискретний по часувипадок — біноміальна модель.
Визначення справедливої ціни має важливезначення в опціонній торгівлі. Це пов’язано з багатьма чинниками, в першу чергуз необхідністю виконання ринком строкових контрактів інформативної такоординуючої функцій. Крім того, формування стратегій хеджування продажуопціону базується на інформації про майбутню ціну. Особливого значення всучасних умовах набуло врахування додаткових чинників, які суттєво впливають наадекватність моделі. Тому предметом нашого дослідження стала методологіявизначення справедливої ціни опціону із урахуванням особливостей програмноїторгівлі.
При дослідженні запропонованих М. Блеком та Ф.Шоулзом методів прогнозування ціни опціону було з’ясовано, що в основі побудовимоделі лежало припущення щодо можливості формування хедж-портфелю із базовогоактиву та безризикових облігацій. Зауважимо, що на цьому припущенні базуєтьсяпобудова більшості моделей визначення ціни опціону. При застосування цієї моделіза таких припущень було виявлено, що кількість облігацій в хедж-портфелі завждиє від’ємною величиною. Економічно, від’ємна кількість облігацій в портфеліозначає, що в початковий момент треба продати (а не купити) необхідну кількістьоблігацій, щоб за отримані кошти і опціонну премію купити базовий актив.Оскільки у продавця опціону облігацій для продажу може і не бути, тоеквівалентом цієї операції пропонується розглядати отримання банківськогокредиту.
Щоб усунути виявлений недолік, автором запропонованоскорегувати базові припущення щодо структури ринку і, відповідно, хедж-портфелютаким чином:
Як і в інших моделях припускається, що на ринкуобертаються акції з ціновим процесом {Xt, t≥0}, якийпідпорядковується рівнянню
dXt =μXtdt+σXtdWt (1)
де {Wt, t≥0} − стандартнийброунівський рух; μ,σ = const,μ− коефіцієнт росту,σ − коефіцієнтволатильності ціни базового активу. Припускається,що Х0>0 іза акціями невиплачуються ніякі дивіденди при 0≤ t ≤ T.
Замість того щоб припускати обіг на ринкубезризикових облігацій, автором припускається, що у банку в момент укладанняугоди можна отримати довільну кількість кредитів на суму B0>0 кожний підбезризикову ставкуr, що неперервно нараховується і є сталою величиною. Позичену суму разом знарахованими відсотками необхідно повернути наприкінці дії опціонного контракту. Обсягкредитного боргу Bt в момент часу t становить B0ert.
У відповідності з цією корекцією припускається,що в момент часу t=0 укладається опціонний контракт європейського типуна купівлю однієї акції з ціною реалізації К та строком дії Т;при цьому покупцем опціону виплачується премія С0, щостановить вартість опціону в початковий момент часу. Продавець опціону бере β0кредитівна суму B0 кожний і інвестує отримані за кредитом кошти і преміюза опціоном в γ0акцій. Таким чином, впочатковий момент часу формується портфель π0= (β0, γ0), такий, що йоговартість становить Π0 = γ0X0 − β0B0і дорівнює С0.Перед продавцем опціону постають два питання: якою має бути премія С0;якої стратегії хеджування слід дотримуватись при торгівлі цінними паперами,тобто якими мають бути коефіцієнти βt і γt в кожний момент часудії опціонного контракту, щоб вартість портфеля πt, сформованого наоснові цієї премії та з цими траекторіями коефіцієнтів хеджування, в моментчасу Т дорівнювала виплатам по опціону, тобто ΠT<sub/>≡ γTXT<sub/> — βTBT<sub/>= max{0, x− K}.
Напідставі запропонованих автором припущень та з урахуванням обмежень на цінуопціонну отримана модель, якаспівпадає з моделлю Блека-Шоулза:
/> (2)
Її точний розв’язок має вигляд:
/> (3)
де />
Проте структура хедж-портфелю у відповідності іззробленою корекцією змінюється таким чином: в кожний момент часу t необхідно тримати портфель,у якому буде β(Хt,<sub/>t)кредитів та γ(Хt, t) акцій, деХt − ціна акції в момент часу t, і функції βта γ визначаються за формулами:
/> /> (4)
Легкість та ефективність застосування напрактиці результатів, отриманих Ф. Блеком та М. Шоулзом, обумовило появу наринку програмної торгівлі, тобто торгівлі деривативами, хеджування якихвідбувається за допомогою формування портфелю із структурою, що розраховуєтьсяза формулами, аналогічними формулам (4).
Аналіз особливостей ведення програмної торгівліпоказує, що існують деякі проблеми, які не враховані в класичній моделіБлека-Шоулза — проблема операційних витрат та наявності ефекту зворотньогозв’язку. Перша проблема пов’язана з тим, що при реалізації стратегійхеджування, тобто при динамічній зміні кількості базового активу ухедж-портфелі, продавець опціону має певні операційні витрати (маржа,комісійні, податки). На основі аналізу характеру їх оплати зроблено висновок,що найбільш впливовими є комісійні, які сплачуються посередникам за операції купівлі-продажубазового активу на ринку і становлять певний відсоток від суми транзакції. Зурахуванням умови сплати комісійних у розмірі λ відсотків, авторомотримано наступну модель визначення ціни опціону:
/> (5)
та знайдено її точний розв’язок:
/> (6)
тобто
/> (7)
де />
Відповідні стратегії хеджування обчислюються заформулами, аналогічними формулам (4).
Проведене в роботі дослідження характеру впливуопераційних витрат на вартість опціону дозволило зробити наступні висновки.Було з’ясовано, що при відсутності операційних витрат, тобто при λ= 0,ціна опціону може розраховуватись за формулою Блека-Шоулза (3). Врахуваннямайбутніх операційних витрат призводить до збільшення початкової премії заопціон і, як наслідок, зростає ціна опціону в кожний момент часу. Чим більшимиє операційні витрати, тим більшою є ціна опціону.
Також досліджувалось питання, настільки суттєвимє вплив операційних виплат на ціну опціону. Це питання зводиться до оцінкифункції Δ (x,t) =Cλ(x,t) −CBS (x,t) тахарактеру її залежності від параметрів. Максимальне значення по tфункція Δ (x,t) набуває при t=0 прибудь-яких фіксованих значеннях параметрів T, K, r,σ,λ:
max{Δ (x,t), tÎ[0, Т] }=Δ (x,0)
Тому замість оцінки функції Δ(x,t) оцінювалась функція δλ (x): =Δ(x,0).
В результаті автором були встановлені,математично доведені і економічно обґрунтовані наступні закономірності:
Зростання волатильності базового активу σспричиняє збільшення впливу операційних витрат на ціну опціону, тобто
/>
для будь-яких фіксованих значень Т, K,r,λ.
Зростання самих операційних витрат λпризводить до збільшення їх впливу на ціну опціону, тобто
/>
для будь-яких фіксованих значень Т, K,r,σ. Зменшення безризиковоїставки спричиняє зростання впливу операційних втрат і вплив операційних втрат єнайбільшим, коли ставка дорівнює нулю, тобто
/>
/>
для будь-яких фіксованих значень Т, K,σ,λ.
Збільшення ціни реалізації K приводить дозбільшення впливу операційних витрат, тобто
/>
для будь-яких фіксованих значень Т, r,σ,λ.
При збільшенні строку дії Т опціонногоконтракту при невеликих значеннях безризикової ставки r впливопераційних витрат зростає, тобто
/>
для будь-яких фіксованих значень K, σ,λ.
Виявлені закономірності свідчать, що впливопераційних витрат є вагомим і їм не можна нехтувати, особливо враховуючи те,що при великих обсягах торгівлі навіть невеликі значення корекцій Cλ−CBS суттєво впливають на кінцевий результат. Томузапропонована автором модель має важливе значення для правильної оцінкиопціону, оскільки враховує ціну виконання продавцем опціону хеджуючих стратегійі, таким чином, дозволяє знизити ризики, пов’язані з продажем опціону.
Інша проблема, пов’язана з програмноюторгівлею, викликана появою ефекту зворотнього зв’язку. Модель, що враховуєнаявність на ринку програмної торгівлі, була отримана К. Сіркаром та Дж.Папаніколау:
/>
де ρ — питома вагапрограмних торговців на ринку, ε — коефіцієнтзгладжування, що знаходиться з наступного рівняння:
/>
Наведена нелінійна кінцево-крайова задача немаєточного розв’язку.
В дисертації запропоновано метод знаходженнянаближеного аналітичного розв’язку при довільному значенні питомої вагипрограмної торгівлі, який базується на комбінації методів Роте таБубнова-Гальоркіна.
Ідея методу знаходження наближеного аналітичногорозв’язку полягає в розбитті часу дії опціону на n рівних частин.
На кожному і-ому часовому шарі наближенийрозв’язок шукається у вигляді:
/>
а відповідні коефіцієнти Аі зумови, щоб нев’язка
/>
задовольняла наступну умову:
/>
M>0 — деяке достатньовелике число, яке залежить від К, і таке, що C (x,t) =CBS(x,t) = x-Ke-r(T-t) прих ≥М.
Отримані формули для знаходження коефіцієнтів Аідозволяють знаходити значення ціни опціону на будь-якому часовому шарі.
В результаті проведеного дослідження булоз’ясовано, що наявність на ринку програмної торгівлі спричиняє зростання ціниопціону і чим більшою є питома вага програмних торгівців, тим більший ефектзворотнього зв’язку. Зауважимо, що оскільки в нашій країні ринок строковихконтрактів лише формується, на ньому ще немає торговців цінними паперами, які бвели програмну торгівлю, тобто ρ=0. В розвиненихкраїнах відсоток цих торговців є значним і тому, як показують отриманірезультанти, їм не можна нехтувати.
У розділі 3 “Реалізація розроблених моделейціноутворення з використанням сучасних інформаційних технологій” проілюстрованізакономірності, властиві процесу ціноутворення для опціонів з різнимипараметрами, та проведена числова апробація запропонованих моделей на прикладіфондових і валютних опціонів, які використовуються на фінансовому ринку України.
Побудовані графіки відображають основнівластивості функції ціни опціону та дозволяють проводити якісний аналіз ціновихпроцесів, які відбуваються на ринку опціонів. Отримані емпіричні результатипідтверджують теоретичні висновки, зроблені у розділі 2, надають уявлення прохарактер впливу параметрів опціону на процес ціноутворення і на формуванняхедж-портфелю та дозволяють використовувати при розрахунках метод номограми.
В основу дослідження покладено європейськийопціон на купівлю однієї акції з наступними параметрами: Ks=5, rs= 0.04, Тs = 0.5, σs = 0.4. На рис.1представлений графік функції CBS та γBS для опціону Ōs = {σs, rs,Ks, Ts}.
Рис.1. Графіки функцій CBS та γBS для опціону Ōs
Цей рисунок ілюструє, що функція CBS ємонотонно зростаючою по х. При t = Т графік ціни опціону єламаною лінією − графіком функції max{0, x − K}; знаближенням до t = 0 графік згладжується, проте його характер незмінюється. Аналіз впливу зміни параметрів опціону на функцію CBSсвідчить, що загальна поведінка функції не змінюється. Графіки функцій Cλта Ĉ і подібні до графіка CBS і лежать вищенього. Рис.2 та рис.3 ілюструють вплив операційних витрат та програмноїторгівлі на ціну опціону.
Рис.2. Графік різниці функцій Cλі CBS при λ =0,01(2.1)та його перетини при t1=Т/4, t2=Т/2,t3=3Т/4 (2.2)
Аналіз рис.2 підтверджує властивості, аналітичноотримані у розділі 2:
ціна опціону, яка враховує майбутні витрати,завжди більша за ціну опціону, розраховану за формулою Блека-Шоулза.
операційні витрати спричиняють найбільший впливна зростання ціни опціону в момент укладання угоди. З часом вплив операційнихвитрат зменшується.
Аналогічним чином на ціну опціону впливаєнаявність на ринку програмної торгівлі, про що свідчить рис.3.
Рис.3. Графіки різниці функцій Ĉ і CBSпри ρ =0,01<sub/>та при t1=Т/4(3.1), t2=Т/2 (3.2), t3=3Т/4(3.3)
Результати отримані за допомогою програмногокомплексу, розробленого автором в математичному редакторі Mathematica3.0.
З метою з’ясування можливості використання нафінансовому ринку України моделей прогнозування ціни опціону в роботі проведеначислова апробація отриманих результатів.
У якості прикладу були розглянуті два типиопціонів:
фондовий опціон: базовий актив — акціїЦентренерго, ціна базового активу — найкраща ціна акції за день;
валютний опціон: базовий актив — американськийдолар, ціна базового активу — курс гривні щодо долара США.
У якості ціни реалізації приймалось майбутнєзначення ціни базового активу, спрогнозоване на основі попередніх даних. Нарис.4 наведені графіки, які ілюструють динаміку цін на базовий актив і опціон івизначаються за допомогою формули (7) при λ = 5% для одного звалютних опціонів.
Рис.4. Динаміка курсу гривні щодо долара СШАта ціни валютного опціону.
При дослідженні впливу операційних витрат, булипроведені підрахунки суми комісійних, які повинен сплачувати продавець опціону.З’ясувалось, що початкова премія за опціон, яка була розрахована на підставіскорегованої моделі, перевищує суму сплачених комісійних та премії,розрахованої за формулою Блека-Шоулза, тобто вона з незначним перебільшеннямвраховує майбутні комісійні.
З метою виявлення характеру впливу програмноїторгівлі були побудовані порівняльні графіки функцій, розрахованих за існуючимиформулами Блека-Шоулза і Сіркара-Папаніколау та за формулою, запропонованоюавтором. Отримані результати ілюструють, що врахування ефекту зворотньогозв’язку приводить до значного збільшення ціни опціону. Причому, чим більшезначення параметра ρ, тим більш відчутним є цейвплив. З наближенням дати реалізації опціону цей вплив стає менш відчутним інаприкінці дії опціону він зникає.
ВИСНОВКИ
В дисертації проведено комплексне дослідженняпроцесу формування ціни на ринку опціонів, що базується на поєднанніфінансового та економіко-математичного аналізу. Розроблені методи дозволяютьвизначати ціну опціону і, відповідно, стратегію хеджування ризиків за наявностіопераційних витрат та програмної торгівлі. Результати вирішення поставлених удисертації завдань дозволяють зробити наступні висновки:
Аналіз сучасних підходів щодо визначення місцяринку деривативів в структурі фінансового ринку свідчить, що це питанняпотребує подальшого осмислення в економічній науці. На думку автора, цей ринокможна одночасно вважати як частиною фінансового ринку, так і надбудовою надтоварним і всіма секторами фінансового ринку. Тому, з одного боку, механізми тазакони функціонування ринку строкових контрактів пов’язані з фінансовим ринком,а, з іншого боку, ситуація на ринку деривативів впливає на ситуацію натоварному та фінансовому ринках, а звідси, на всю економіку взагалі.
Ситуація на сучасному фінансовому ринку Українисвідчить про те, що ринок деривативів не виконує достатньою мірою свої функціїв економіці. Це пов’язано з тим, що на даний час ринок строкових контрактівпрактично лише формується. Як показує проведене дослідження, основнимипричинами цього є обмежена насиченість ринку ресурсами та недостатня кількістьпідготовлених спеціалістів. Забезпечення фахівців з фондового ринкуінструментарієм економіко-математичного аналізу ситуації на ринку опціонів,який відіграє важливу роль в стабілізації економіки, є важливим завданнямфінансової математики.
Порівняльний аналіз методів моделюванняекономічних процесів свідчить, що найповніше відображають суть процесів, яківідбуваються на фінансових ринках, методи фінансової математики, що базуються,зокрема, на ймовірносному підході до визначення цін на активи. За допомогоюцього підходу враховується фактор недетермінованості та конфліктностісоціально-економічних процесів, зокрема, щодо здійснення точного прогнозутемпів інфляції, кон’юнктури ринку, науково-технічного прогресу тощо.
Проведене нами дослідження моделей визначенняціни опціону та взаємозв’язків між ними виявило, що всі вони базуються наоднакових припущеннях щодо особливостей цінового процесу базового активу,можливості формування портфелю, який відображає виплати за опціоном, тавідсутності умов проведення арбітражних угод. Серед них найбільш загальним єклас моделей, що ґрунтується на мартингальному підході. Водночас на практицінайчастіше використовується біноміальна модель та, переважно, модельБлека-Шоулза. За допомогою останньої можна не тільки визначити ціну опціону вбудь-який момент дії контракту, а й визначати стратегії хеджування ризиків,пов’язаних з продажем опціону.
Для аналізу існуючих моделей та для подальшоїпобудови нових нами була визначена, систематизована, економічно обґрунтована таматематично доведена система обмежень, які повинні виконуватись для значеньфункції ціни опціону.
При вивченні проблем формування хедж-портфелю булоз’ясовано, що в більшості розширень моделі Блека-Шоулза вартість безризиковихоблігацій, які входять до портфелю, завжди є від’ємною величиною. Дослідженняцього питання привело до висновку, що еквівалентом від’ємної вартості облігаційє відповідний обсяг банківського кредиту. На підставі цього була розробленакорекція щодо структури хедж-портфелю, який повинен складатись із базовогоактиву та залучених коштів у вигляді кредиту.
Як показує практика, перед продавцем опціону,якщо він прагне діяти на ринку у відповідності з моделлю Блека-Шоулза, тобтовести програмну торгівлю, постає ряд питань. Одне з них пов’язане з врахуваннямопераційних витрат при здійсненні хедж-стратегій, інше з врахуванням наявностіна ринку торгівців, які використовують при формуванні своєї хедж-стратегіїаналогічні економіко-математичні моделі. Жодний з цих факторів класична модельне враховує. Серед операційних витрат найбільш впливовими на формування ціниопціону, як виявив проведений аналіз, є комісійні, що сплачуються посередникампри продажу-купівлі базового активу з метою підтримки необхідної його кількостів портфелі. В роботі побудована модель, яка враховує сплату комісійних витрат,та отриманий її точний розв’язок.
Дослідження вагомості впливу операційних витратпоказало, що цей вплив є таким, що ним не можна нехтувати. Обсяг майбутніхвитрат повинен бути врахований вже при визначенні початкової премії (ціни)опціону. Емпіричні дані, отримані в результаті числового експерименту,підтвердили теоретичні висновки та дозволили проілюструвати методикузастосування моделі при визначенні ціни опціону та структури хедж-портфеля.
Запропонований в роботі ітераційний процесзнаходження наближеного аналітичного розв’язку моделі із зворотнім зв’язкомдозволяє визначати ціну опціону при будь-якій кількості програмних торговців наринку. Порівняння результатів, отриманих при розрахунку ціни опціону за моделлюБлека-Шоулза та моделлю із зворотнім зв’язком, показує, що наявність на ринкупрограмної торгівлі спричиняє зростання цін на опціони. Цей факт підтверджує іісторичний досвід торгівлі на фондових ринках розвинених країн, і проведенічислові розрахунки.
Таким чином, запропоновані в дисертаційнійроботі методи та інструментарій визначення ціни опціону дозволяють врахувати таоцінити вплив програмної торгівлі та операційних витрат продавця опціону. Їхвикористання дозволить учасникам ринку мінімізувати можливі збитки завдякиправильному визначенню початкової премії та динамічної структури хедж-портфелю.Проведена числова апробація показала ефективність та доцільність використаннязапропонованих методів при прогнозуванні ситуації на фондовому ринку України.
ПЕРЕЛІК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
В наукових фаховихвиданнях:
1. Березовський А.А., Сільченко М.В. Модельний аналізфункціонування ринку опціонів // Моделювання та інформаційні системи векономіці (Машинна обробка інформації): Міжвідом. наук. зб. — К.: КНЕУ, 2006. — Вип.64. — С.90-97. — 0,5 друк. арк. (особисто автору належать 0,2 друк. арк.;аналіз ризиків, пов’язаних з продажем опціону, побудова наближеногоаналітичного розв’язку моделі із зворотнім зв’язком та створення алгоритмупошуку параметрів, що визначають ці розв’язки).
2. Сільченко М.В. Математичні методи у хеджуванніризиків на ринку опціонів // Фінанси України. — 2006. — №11 — С.100-105. — 0,5друк. арк.
3. Сільченко М.В. Моделювання операційних витрат наринку опціонів // Моделювання та інформаційні системи в економіці (Машиннаобробка інформації): Міжвідом. наук. зб. — Вип.66. — К.: КНЕУ. — 2007. — С.169-176. — 0,5 друк. арк.
4. Сільченко М.В. Динамічна стратегія хеджуванняризиків опціонної торгівлі // Вісник НБУ. — 2007. — №8. — С.35-37. — 0,4 друк.арк.
В інших виданнях:
5. Сільченко М.В. Проблеми розвитку ринку опціонів //Наук. вісн. Буковинського державного фінансово-економічного інституту: Трудиміжнародної науково-практичної конференції “Фінансові важелі економічногозростання України на сучасному етапі". — Вип1, част.2. — Чернівці.: ППКондратьев. — 2006. — С.216-218. — 0,2 друк. арк.
6. Сільченко М.В. Хеджування ризиків в опціоннійторгівлі / /Ризикологія в економіці та підприємництві. Зб. наук. праць. Заматеріалами міжнародної науково-практичної конференції, Київ, 27-28 березня2007 року. — К.: КНЕУ. — 2007. С.371-372. — 0,1 друк. арк.
АНОТАЦІЯ
Сільченко М.В. Економіко-математичнемоделювання процесу ціноутворення на ринку опціонів. — Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступенякандидата економічних наук за спеціальністю 08.03.08 — економіко-математичнемоделювання. — Київський національний економічний університет, Київ, 2008.
Дисертація містить результати дослідженняцінових процесів на ринку опціонів засобами економіко-математичного моделюванняз урахуванням чинників, що виникають в умовах програмної торгівлі. В роботіпроведено порівняльний аналіз існуючих методів прогнозування ціни опціону таскориговано класичний підхід щодо визначення структури хедж-портфелю.
З метою врахування операційних витрат,пов’язаних з виконанням хедж-стратегій, та аналізу їх впливу на процесформування ціни опціону побудована економіко-математична модель і отриманий їїточний розв’язок. Крім цього, досліджена модель із зворотнім зв’язком, якавраховує наявність на ринку програмної торгівлі, та запропонований ітераційнийпроцес знаходження її наближеного аналітичного розв’язку.
Проведена числова апробація запропонованихметодів дозволяє зробити висновок про доцільність та ефективність їхзастосування щодо фондових та валютних деривативів, які використовуються нафінансовому ринку України.
Ключові слова:ринок строкових контрактів, опціон, стратегія хеджування, модель Блека-Шоулза,операційні витрати, програмна торгівля.
АННОТАЦИЯ
Сильченко М.В. Экономико-математическое моделированиепроцесса ценообразования на рынке опционов. — Рукопись.
Диссертацияна соискание ученой степени кандидата экономических наук по специальности08.03.08 — экономико-математическое моделирование. — Киевский национальныйэкономический университет, Киев, 2008.
Диссертациясодержит результаты исследования ценовых процессов на рынке опционов с учетомособенностей программной торговли. Полученные модели позволяют не толькоопределять цену опциона, учитывая эти факторы, но и стратегии хеджированиярисков, связанных с продажей опциона.
Проведенныйанализ современных подходов к определению места рынка срочных контрактов вструктуре экономики страны свидетельствует, что, с одной стороны, рынокдеривативов является сегментом финансового рынка. Это обусловлено тем, что посвоей природе срочные контракты являются финансовыми инструментами, имеющимисвою цену и свободно обращающимися на рынке. С другой стороны, в основе срочныхсделок могут быть не только финансовые активы, но и товары, услуги, и,собственно, сами деривативы. Следовательно, рынок деривативов представляетсобой надстройку над товарным и финансовым рынками. Сделанный вывод позволяет,во-первых, определить факторы, влияющие на формирование цен на срочном рынке.Основными из них являются цена базового актива и ее волатильность. Во-вторых,ситуация на рынке деривативов непосредственно влияет на экономическую ситуациюв целом, что определяется функциями, которые выполняет рынок срочных контрактов- стабилизирующей, информативной и координирующей. Наиболее важную роль ввыполнении рынком этих функций, как показано в работе, играют опционы.
Результатыисследования ситуации на рынке срочных контрактов в Украине свидетельствуют онеобходимости дальнейшего развития этого рынка. Основными препятствиями этомуслужат недостаточная насыщенность рынков ресурсами, по которым заключаютсясделки, и ограниченное количество профессиональных участников рынка.Обеспечение последних современными экономико-математическими средствамипрогнозирования ситуации на рынке является важной задачей финансовойматематики.
Сравнительныйанализ существующих подходов к определению цены деривативов позволяет сделатьвывод, что наиболее эффективным и распространенным в практике является методБлэка-Шоулза. Однако его применение при формирования хедж-стратегий приводит копределенным трудностям. Исследование проблем использования данной моделипривело к следующим результатам.
Во-первых,в диссертационной работе скорректирован классический подход к определениюструктуры хедж-портфеля. Согласно проведенному анализу, он должен состоять избазового актива и привлеченных средств в виде банковского кредита.
Во-вторых, при выполнении сформированных на основе методаБлэка-Шоулза стратегий хеджирования рисков, связанных с продажей опциона,появляются операционные издержки, которые в конечном счете приводят к убыткампродавца опциона, если их не учесть при заключении сделки. В работе показано,что наиболее влияют на цену опциона комиссионные, которые платятся посредникампри купле-продаже базового актива согласно выбранной стратегии хеджирования, ипостроена модель, в которой они учтены. Полученное точное решение позволяетопределять цену опциона в любой момент действия опционного контракта взависимости от спот-цены базового актива, и учитывает цену реализации, срок, накоторый заключена сделка, волатильность базового актива и процент по комиссионным.
Иследование, проведенное средствами математического анализа,свидетельствует о существенном влиянии операционных издержек на формированиецены опциона, в связи с чем их будущую сумму необходимо учитывать приопределении первоначальной премии за опцион и динамики структуры хедж-портфеля.
В-третьих, наличие на рынке программных торговцев (которыедля хеджирования рисков продажи опциона следуют модели Блэка-Шоулза),определяет существование в этой модели эффекта обратной связи, который былучтен в роботе К. Сиркара и Дж. Папаниколау. Анализ полученных ими результатовпоказывает, что программная торговля приводит к росту цен на опционы, о чемсвидетельствует и мировой опыт. В тоже время данная нелинейная модель не имеетточного решения. В работе предложен итерационный процесс нахождения ееприближенного аналитического решения, разработанный на основе методов Роте иБубнова-Галеркина.
Предложенный в работе программный комплекс, разработанный вматематическом редакторе Mathematica 3.0, позволяет проиллюстрироватьполученные результаты, а именно, построить графики зависимости цены опциона ихедж-стратегии от цены базового актива и времени как с учетом, так и без учетаоперационных издержек, и провести их сравнительный анализ. В работе такжепостроен алгоритм нахождения приближенного решения модели с эффектом обратнойсвязи.
Числовая апробация полученных теоретических результатов иприменение разработанных программ к прогнозированию цен на фондовые и валютныеопционы, которые могут использоваться на финансовом рынке Украины, подтвердиласделанные в работе выводы относительно влияния операционных издержек ипрограммной торговли на увеличение цены опциона.
Полученныерасчеты показали эффективность и целесообразность применения предложенныхметодов при прогнозировании ситуации на фондовом рынке страны, что позволяетиспользовать их в работе аналитических отделов как органов государственногоуправления, так и финансовых институций, таких как банки, биржи, страховые иинвестиционные компании. Результаты могут быть также использованы примоделировании показателей финансово-экономической сферы, и в частности, длямониторинга, анализа и моделирования ценовой динамики на рынке деривативов.
Ключевые слова: рынок срочных контрактов, опцион, стратегияхеджирования, модель Блэка-Шоулза, операционные издержки, программная торговля.
ANNOTATION
Silchenko M. V. Economic-mathematicalmodeling of the process of price formation in the option market. — Manuscript.
The dissertation is submittedfor candidate of economic sciences degree. Specialization 08.03.08 — Economic-mathematical modeling. — Kyiv National Economic University, Kyiv,2008.
The thesis contains theresults of the research of price processes in the option market, conducted withthe help of economic and mathematical modeling taking into account the factorswhich appear under the conditions of programme trading. The comparativeanalysis of the existing methods for prognosticating the price of an option hasbeen made in the work and the classical approach to defining the structure ofhedged portfolio has been corrected.
With the aim of taking intoaccount transaction costs linked with implementation of hedged strategies andanalyzing their influence on the option price formation theeconomic-mathematical model has been created and its exact solution has beenobtained. Besides, the model with feedback effect that takes into accountexistence of programme trading in the market has been analyzed and theintegration process of finding its approximate analytical solution has been suggested.
The numerical approbation ofthe suggested methods that has been made, allows to draw a conclusion aboutpurposefulness and efficiency of their implementation as to stock and exchangederivatives used in the financial market of Ukraine.
Key words: derivativesecurities market, option, hedging strategy, Black-Scholes model, transactioncosts, programme trading.