Реферат: Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей

 

КОНТРОЛЬНАЯРАБОТА

подисциплине «Планирование и прогнозирование

в условияхрынка»

на тему: Доверительныеинтервалы прогноза

Оценкаадекватности и точности моделей

Содержание

 

Глава 1. Теоретическая часть. 3

Глава 2. Практическая часть. 9

Список используемой литературы… 13

Глава 1. Теоретическаячасть

Доверительныеинтервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей

 

1.1Доверительные интервалы прогноза

Заключительным этапом применениякривых роста является экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения.Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнениекривой значений времени t, соответствующих периоду упреждения.Полученный таким образом прогноз называют точечным, так как для каждого моментавремени определяется только одно значение прогнозируемого показателя.

На практике в дополнении к точечному прогнозу желательноопределить границы возможного изменения прогнозируемого показателя, задать«вилку» возможных значений прогнозируемого показателя, т.е. вычислитьпрогноз интервальный.

Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, полученнымпутем экстраполяции тенденции по кривым роста, может быть вызвано:

1.        субъективнойошибочностью выбора вида кривой;

2.        погрешностью оцениванияпараметров кривых;

3.        погрешностью,связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда, характеризующегонекоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, можетбыть отражена в виде доверительного интервала прогноза. Доверительный интервал,учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда, и возможностьотклонения от этого тренда, определяется в виде:

/>        (1.1.),

где n — длинавременного ряда;

L -период упреждения;

yn+L-точечный прогноз на момент n+L;

ta — значение t-статистики Стьюдента;

Sp — средняя квадратическая ошибка прогноза.

Предположим, что тренд характеризуется прямой:

/>

Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности,представленной временным рядом, то они содержат погрешность. Погрешностьпараметра ао приводит к вертикальному сдвигу прямой, погрешностьпараметра a1 — к изменению угла наклона прямой относительно оси абсцисс.С учетом разброса конкретных реализаций относительно линий тренда, дисперсию /> можно представить в виде:

/> (1.2.),

где /> — дисперсияотклонений фактических наблюдений от расчетных;

t1 — время упреждения, для которого делается экстраполяция;

 

t1 = n + L ;

t — порядковый номер уровней ряда, t =1,2,..., n;

 /> — порядковыйномер уровня, стоящего в середине ряда, />

Тогда доверительный интервал можно представить в виде:

/> (1.3.),

Обозначим корень в выражении (1.3.) через К. Значение Кзависит только от n и L, т.е. отдлины ряда и периода упреждения. Поэтому можно составить таблицы значений К илиК*= taK. Тогда интервальная оценка будет иметь вид:

/> (1.4.),

Выражение, аналогичное (1.3.), можно получить для полиномавторого порядка:

/> (1.5.),

или

/> (1.6.),

Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетныхопределяется выражением:

/> (1.7.),

где yt — фактические значения уровней ряда,

/> - расчетные значения уровней ряда,

n — длина временного ряда,

k — число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.

Таким образом, ширина доверительного интервала зависит отуровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения оттренда и степени полинома.

Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интервалпри одном и том же значении Sy, так как дисперсия уравнениятренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствующих параметровуравнения

 

Рисунок 1.1. Доверительные интервалы прогноза для линейноготренда

/>

Доверительные интервалы прогнозов, полученных сиспользованием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. Отличие состоитв том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении среднейквадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а ихлогарифмы.

По такой же схеме могут быть определены доверительныеинтервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптотыизвестно (например, для модифицированной экспоненты).

В таблице 1.1. приведены значения К* в зависимости отдлины временного ряда nи периода упреждения L для прямой и параболы. Очевидно, что приувеличении длины рядов (n)значения К* уменьшаются, с ростом периода упреждения L значения К*увеличиваются. При этом влияние периода упреждения неодинаково для различныхзначений n: чем больше длина ряда, тем меньшеевлияние оказывает период упрежденияL.

 

Таблица 1.1.

Значения К* для оценки доверительных интервалов прогноза наоснове линейного тренда и параболического тренда при доверительной вероятности0,9 (7).

 

Линейный тренд

 

Параболический тренд

Длинаряда (п)

Период упреждения (L)

1 2 3

длина ряда (п)

период упреждения (L)

1 2 3

7 2,6380 2,8748 3,1399 7 3,948 5,755 8,152 8 2,4631 2,6391 2,8361 8 3,459 4,754 6,461 9 2,3422 2,4786 2,6310 9 3,144 4,124 5,408 10 2,2524 2,3614 2,4827 10 2,926 3,695 4,698 11 2,1827 2,2718 2,3706 11 2,763 3,384 4,189 12 2,1274 2,2017 2,2836 12 2,636 3,148 3,808 13 2,0837 2,1463 2,2155 13 2,536 2,965 3,516 14 2,0462 2,1000 2,1590 14 2,455 2,830 3,286 15 2,0153 2,0621 2,1131 15 2,386 2,701 3,100 16 1,9883 2,0292 2,0735 16 2,330 2,604 2,950 17 1,9654 2,0015 2,0406 17 2,280 2,521 2,823 18 1,9455 1,9776 2,0124 18 2,238 2,451 2,717 19 1,9280 1,9568 1,9877 19 2,201 2,391 2,627 20 1,9117 1,9375 1,9654 20 2,169 2,339 2,549 21 1,8975 1,9210 1,9461 21 2,139 2,293 2,481 22 1,8854 1,9066 1,9294 22 2,113 2,252 2,422 23 1,8738 1,8932 1,9140 23 2,090 2,217 2,371 24 1,8631 1,8808 1,8998 24 2,069 2,185 2,325 25 1,8538 1,8701 1,8876 25 2,049 2,156 2,284
Глава 2. Практическая часть

 

Задание 1.5.Использование адаптивных методов в экономическом прогнозировании

1. Рассчитать экспоненциальную среднюю для временного рядакурса акций фирмы ЮМ. В качестве начального значения экспоненциальной среднейвзять среднее значение из 5 первых уровней ряда. Значение параметра адаптации апринять равным 0,1.

 

Таблица 1.2.

Курс акций фирмы IBM

t

yt

t

yt

t

yt

1 510 11 494 21 523 2 497 12 499 22 527 3 504 13 502 23 523 4 510 14 509 24 528 5 509 15 525 25 529 6 503 16 512 26 538 7 500 17 510 27 539 8 500 18 506 28 541 9 500 19 515 29 543 10 495 20 522 30 541

2. По данным задания №1 рассчитать экспоненциальную среднюю призначении параметра адаптации а равным 0,5. Сравнить графически исходный временнойряд и ряды экспоненциальных средних, полученные при а=0,1 и а =0,5.Указать, какой ряд носит более гладкий характер.

3. Прогнозирование курса акций фирмы IBM осуществлялось на основеадаптивной полиномиальной модели второго порядка

/>,

где /> - периодупреждения.

На последнем шаге получены следующие оценки коэффициентов:

/>

Рассчитать прогноз курса акций:

•   на 1 день вперед (/>=1);

•   на 2 дня вперед (/>=2).

Решение задания 1.5

1.Определим

/>

Найдем значения экспоненциальной средней при а=0,1.

/>. а=0,1 – по условию;

/>; S1 = 0,1 х 510 + 0,9 х 506 = 506,4;

/>; S2 = 0,1 х 497 + 0,9 х 506,4 = 505,46;

/>; S3 = 0,1 х 504 + 0,9 х 505,46 = 505,31и т.д.

Результаты расчетов представлены в таблице 1.3.

2./>

а=0,5– по условию.

/>; S1 = 0,5 х 510 + 0,5 х 506 = 508;

/>; S2 = 0,5 х 497 + 0,5 х 508 = 502,5 ит.д.

Результаты расчетов представлены в таблице 1.3.

Таблица 1.3.

Экспоненциальные средние

t

Экспоненциальная средняя

t

Экспоненциальная средняя

а=0,1

а=0,5

а=0,1

а=0,5

1 506,4 508 16 505,7 513,3 2 505,5 502,5 17 506,1 511,7 3 505,3 503,2 18 506,1 508,8 4 505,8 506,6 19 507,0 511,9 5 506,1 507,8 20 508,5 517 6 505,8 505,4 21 509,9 520 7 505,2 502,7 22 511,6 523,5 8 504,7 501,4 23 512,8 523,2 9 504,2 500,7 24 514,3 525,6 10 503,4 497,8 25 515,8 527,3 11 502,4 495,9 26 518,0 532,7 12 502,0 497,5 27 520,1 525,8 13 502,0 499,7 28 522,2 538,4 14 502,7 504,4 29 524,3 540,7 15 505,0 514,7 30 525,9 540,9

Рисунок 1.2. Экспоненциальное сглаживание временного ряда курсаакций: А – фактические данные; В – экспоненциальная средняя при альфа = 0,1; С– экспоненциальная средняя при альфа = 0,5

/>

 

При а=0,1 экспоненциальная средняя носит более гладкийхарактер, т.к. в этом случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебаниявременного ряда.

3. Прогнозпо адаптивной полиномиальной модели второго порядка формируется на последнемшаге, путем подстановки в уравнение модели последних значений коэффициентов изначения /> - времени упреждения.

Прогноз на 1 день вперед (/>=1):

/>(дол.)

Прогноз на 2 дня вперед (/>=2):

/>(дол.)

Список используемой литературы

1.        Дуброва Т.А.Статистические методы прогнозирования в экономике: Учебное пособие / Московскийгосударственный университет экономики, статистики и информатики. – М.: МЭСИ,2003. – 52с.

2.        Афанасьев В.Н.,Юзбашев М.М. Анализ временных рядов и прогнозирование М.: Финансы и статистика,2001.

3.        Лукашин Ю.П.Регрессионные и адаптивные методы прогнозирования. Учебное пособие. – М.: МЭСИ,1997.