Реферат: Эконометрика

Контрольнаяработа

По эконометрики

Обзор корреляционногополя

Эти данные скорее всегоможно аппроксимировать при помощи линейной регрессии вида ŷ = а — b·x, как самой простой.

Рассчитаем необходимые суммыи запишем их в таблице № 1:

Таблица №1:

i

x

y

x²

y²

x·y

ŷ

e

e²

A(%)

1

2,5 69 6,25 4761 172,5 66,40 2,60 6,75 3,76 2 3 65 9 4225 195 64,85 0,15 0,02 0,23 3 3,4 63 11,56 3969 214,2 63,61 -0,61 0,37 0,97 4 4,1 59 16,81 3481 241,9 61,44 -2,44 5,94 4,13 5 5 57 25 3249 285 58,65 -1,65 2,71 2,89 6 6,3 55 39,69 3025 346,5 54,61 0,39 0,15 0,70 7 7 54 49 2916 378 52,44 1,56 2,43 2,89

Сумма:

31,3 422 157,31 25626 1833,1 422,00 0,00 18,38 15,57

Среднее:

4,471 60,286 22,473 3660,857 261,871 - - - 2,22%

Ковариация между y и x рассчитывается по формуле />,где />, />, />. Дисперсия и среднееквадратическое отклонение для xи y находим по формулам:

/>= 2,479, />=26,490, />1,575, />5,147.

/> = -7,692 / 2,479 = -3,103; />= 60,286 + 3,103 · 4,471 =74,159

Получили уравнениерегрессии: ŷ = 74,159 — 3,103·х (округлено до сотых).

Оцениваем качествополученной линейной модели:

а) TSS = 25624 — (31,3²): 7 = 185,492;RSS = TSS — ESS =185,429 — 18,38 = 176,051, где ESS = />= 18,38 (в таблице №1); F — статистика = RSS · (n — m — 1): ESS = 176,051 · ·5 :18,38 = 45,45.

Табличное значение на 1%уровне значимости равно 16,26 (см. таблицу распределения Фишера — Снедекора).Фактическое значение F — статистики больше табличного на 1% уровне значимости, следовательно уравнениерегрессии в целом значимо и на 5% уровне значимости.

б) Средняя ошибкааппроксимации равна (ΣА)/7 = ((ΣIy-ŷI: y) · 100%) / 7 = 15,57 / 7 = =2,22%,что говорит о хорошей аппроксимации зависимости моделью (2,22% < 6%).

Вывод: модель получиласьприемлемая (в смысле аппроксимации).

в) Коэффициент корреляциинаходим по формуле: />= -0,949: сильнаяобратная линейная зависимость.

г) Коэффициент детерминациинаходим следующим образом: /> = 0,901или вариация x определяет вариацию y на 90,1%.

Проверкана соответствие условиям теоремы Гаусса — Маркова

а) По таблице №2рассчитаем статистику Дарбина — Уотсона:

 

Таблица №2

i

e²

e

ei-1

(ei-ei-1)²

/>=16,050: 18,38 = 0,8734.

1 6,75 2,60 - - 2 0,02 0,15 2,598 5,996 3 0,37 -0,61 0,149 0,576 4 5,94 -2,44 -0,610 3,342 5 2,71 -1,65 -2,438 0,628 6 0,15 0,39 -1,646 4,134 7 2,43 1,56 0,388 1,373 Итого: 18,38 - -1,559 16,050

Полученное значениепопадает в область неопределённости: DW/>(0,7; 1,35). Это значит, что для прояснения вопросаотносительно автокорреляции остатков необходимо дальнейшее исследование рядаостатков другими методами, в которых отсутствует зона неопределённости.

б) Воспользуемся тестомсерий Бройша — Годфри:

 

Таблица №3

t

et

et-1

e²t-1

et·et-1

êt

(y-bx)²

1 2,598 0,149 0,022 0,387 0,074 6,371 2 0,149 -0,610 0,372 -0,091 -0,302 0,204 3 -0,610 -2,438 5,944 1,487 -1,208 0,358 4 -2,438 -1,646 2,709 4,013 -0,816 2,632 5 -1,646 0,388 0,151 -0,639 0,192 3,379 6 0,388 1,559 2,430 0,605 0,773 0,148 Итого:

-1,559

-2,598

11,628

5,763

-1,287 13,092

На основании полученных данныхпостроим уравнение регрессии без свободного члена вида ŷ=b·x. Приэтом стандартная ошибка коэффициента регрессии b, рассчитанная по формуле:

/>,

/>, />= 1,181,

что меньше значения t табл. =2,57. Это означает, что автокорреляция первого уровняотсутствует.

Однако следует отметить,что и тест Дарбина — Уотсона и тест серий Бройша — Годфри применяются толькодля выборок достаточно большого размера[1], в то время какпредложенная нам для анализа выборка состоит только лишь из семи значений.

в) При помощи критериясерий проверим случайность распределения уровней ряда остатков. С 95%вероятностью распределение ряда остатков считается случайным, если одновременновыполняются два неравенства:

1) /> 

общее число серий должнобыть больше двух, и 2) /> -максимальная длина серии должна быть строго меньше пяти.

Данные для расчётовполучаем из таблицы № 4.

Таблица № 4. Критерий серий линейная модель непроходит:

ei

ei — ei-1

серии

Число серий = 2, Продолжительность самой длинной серии

равна 3.

2 = />= [2.079] = 2. (не выполняется),

хотя 3 < 5. Значит уровни распределены не случайно.

0,149 -2,449 + -0,610 -0,759 + -2,438 -1,828 + -1,646 0,792 - 0,388 2,033 - 1,559 1,172 -

г) Соответствие рядаостатков нормальному закону распределения проверяем, используем RS-критерий:

/>= 2,63, где />.

Значение нашего RS-критерия для 7 наблюденийпрактически попадает в интервал [2,67 3,69], (для 10 наблюдений) хотя и этоткритерий определён для выборок более 10 единиц.

д) При помощи теста ранговойкорреляции Спирмена определяем отсутствие или наличие гетероскедастичности.

Таблица № 5.

РангХ

Х

IeiI

Рангеi

Di

D²i

Коэффициент ранговой кореляции определяется по формуле: />

1 2,5 2,60 7 -6 36 2 3 0,15 4 -2 4 3 3,4 0,61 3 4 4,1 2,44 1 3 9 5 5 1,65 2 3 9 6 6,3 0,39 5 1 1 7 7 1,56 6 1 1

Так как абсолютноезначение статистики коэффициента ранговой корелляции />=0,175 оказаласьзначительно меньше табличного значения />,то гетероскедастичность отсутствует.

Вывод: линейная модель несоответствует всем предпосылкам регрессионного анализа (условиям теоремыГаусса-Маркова) и, хотя она пригодна для прогнозирования, но возникает вопрос оеё значимости.

Доверительныеинтервалы для параметра bрегрессии

Стандартные ошибки дляпараметров регрессии находим по формулам:

/>= 0,46,

/>= 2,18.

Проверим настатистическую значимость коэффициент bмодели, для чего рассчитаем t-статистику по формуле />. Полученнаяt-статистика равна -6,742, что помодулю больше табличного значения t=2,57. Экономически этот параметр интерпретируется так: при изменении дохода потребителейна одну единицу объёмы продаж изменятся на -3,103 ед.

Проверим настатистическую значимость коэффициент aмодели, для чего рассчитаем t-статистику по формуле />. Полученная t-статистика равна 33,992, что большетабличного значения t= 2,57. Доверительныйинтервал параметраbопределяем по формуле:

/>;

s = />= 1,917,

Доверительный интервалпараметраb составляет />; или />(tтабл. = 2.57, Δ = 2,57 · 0,4602 =1,1827).

Проведённый анализкоэффициентов регрессии говорит о том, что параметры регрессии значимы, крометого и уравнение регрессии в целом значимо на 1% уровне значимости (cм. выше). Это позволяет использоватьпостроенную нами модель для получения прогнозов.

Точечный иинтервальный прогнозы

Вначале находим точечныйпрогноз для значения х, на 25% превышающего среднее значение /> = 4,47 ( т.е. при /> = 5,589), />. Тогда стандартная ошибкапрогноза составит:

/>,

tтабл. = 2.57, Δ = 2,57 · 2,18 =5,604.

Интервальный прогноз дляточечного прогноза при /> = 5,589 (/>) составит: /> или />.