Реферат: Экономическое моделирование в банковской сфере

/>/>Задание 1

В таблицеприведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищноестроительство за 4 года (16 кварталов).

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Y (t) 43 54 64 41 45 58 71 43 49 62 74 45 54 66 79 48

 

Требуется:

1. Построитьадаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора,применив параметры сглаживания α1 = 0,3; α2 =0,6; α3 = 0,3.

2. Оценитьточность построенной модели с использованием средней ошибки аппроксимации;

3. Оценитьадекватность построенной модели на основе исследования:

случайностиостаточной компоненты по критерию пиков;

независимостиуровней ряда остатков по d-критерию (в качествекритических использовать уровни d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициентуавтокорреляции при критическом уровне значения r1= 0,32;

нормальностираспределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построитьточечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5. Отобразитьна графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:

1. Дляоценки начальных значений а (0) и b (0) применимлинейную модель к первым 8 значениям Y (t). Линейная модель имеет вид:

/>

Метод наименьших квадратов даетвозможность определить коэффициенты линейного уравнения по формулам:

/>

/>

Таблица 1

t Y (t) t-tср (t-tср) 2 Y-Yср (Y-Yср) х (t-tср) 1 43 -4 12 -9 33 2 54 -3 6 2 -4 3 64 -2 2 12 -17 4 41 -1 -11 6 5 45 1 -7 -4 6 58 2 2 6 8 7 71 3 6 19 47 8 43 4 12 -9 -33

36

419

42

36

Произведемрасчет:

/>

/>

Получимлинейное уравнение вида:

/>

Длясопоставления фактических данных и рассчитанных по линейной модели значенийсоставим таблицу.

Таблица 2. Сопоставление фактических и расчетных значений по линейноймодели

t Y (t)

Yp (t)

1 43 49,42 2 54 50,26 3 64 51,11 4 41 51,95 5 45 52,80 6 58 53,64 7 71 54,49 8 43 55,33

Коэффициентсезонности есть отношение фактического значения экономического показателя кзначению, рассчитанному по линейной модели.

Поэтому вкачестве оценки коэффициента сезонности I квартала F (-3) может служить отношение фактических и расчетныхзначений Y (t) I квартала первого года, равное />,и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. заV квартал t=5) />.

Дляокончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можноиспользовать среднее арифметическое значение этих двух величин.

/>

Аналогично находим оценки коэффициентовсезонности для II, III и IV кварталов:

/>

/>

/>

Построимадаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса (табл. 3) используяследующие формулы:

/>

/>

/>

/>

Таблица 3.Модель Хольта-Уинтерса

t Y (t) a (t) b (t) F (t) Yp (t)

Абс. погр.,

E (t)

Отн. погр.,

в%

48,57 0,85 0,8612 - - 1 43 49,57 0,89 0,8650 42,56 0,44 1,03 2 54 50,35 0,86 1,0746 54,39 -0,39 0,72 3 64 50,88 0,76 1,2658 65,43 -1,43 2,24 4 41 51,85 0,82 0,7877 40,44 0,56 1,37 5 45 52,48 0,76 0,8605 45,56 -0,56 1,24 6 58 53,46 0,83 1,0807 57,21 0,79 1,36 7 71 54,83 0,99 1,2833 68,73 2,27 3, 20 8 43 55,45 0,88 0,7803 43,97 -0,97 2,26 9 49 56,52 0,94 0,8644 48,47 0,53 1,07 10 62 57,43 0,93 1,0801 62,09 -0,09 0,15 11 74 58,15 0,87 1,2769 74,89 -0,89 1, 20 12 45 58,61 0,74 0,7728 46,05 -1,05 2,34 13 54 60,29 1,03 0,8832 51,31 2,69 4,99 14 66 61,25 1,01 1,0785 66,23 -0,23 0,34 15 79 62,14 0,97 1,2735 79,50 -0,50 0,63 16 48 62,81 0,88 0,7676 48,77 -0,77 1,61 25,75

Проверкакачества модели.

Для тогочтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E(t) (разности /> междуфактическими и расчетными значениями экономического показателя) должныудовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверкивыполнения этих условий составим таблицу 4.

Таблица 4.Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

t E (t) Точка поворота

E (t) 2

 [E (t) — E (t-1)] 2

E (t) xE (t-1) 1 0,44 - 0, 194 - - 2 -0,39 0,150 0,69 -0,17 3 -1,43 1 2,05 1,09 0,55 4 0,56 1 0,32 3,98 -0,81 5 -0,56 1 0,31 1,26 -0,32 6 0,79 0,62 1,81 -0,44 7 2,27 1 5,17 2,21 1,79 8 -0,97 1 0,95 10,54 -2,21 9 0,53 1 0,28 2,24 -0,51 10 -0,09 0,01 0,38 -0,05 11 -0,89 0,78 0,63 0,08 12 -1,05 1 1,11 0,03 0,93 13 2,69 1 7,26 14,03 -2,83 14 -0,23 0,05 8,52 -0,61 15 -0,50 0,25 0,07 0,11 16 -0,77 - 0,60 0,08 0,38 Сумма 0,41 8,00 20,09 47,57 -4,09

 

2. Проверкаточности модели.

Будемсчитать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютноезначение отклонения abs{E (t) }, поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%* abs{E (t) }/ Y (t) в среднем не превышает 5%. Суммарное значениеотносительных погрешностей составляет 25,75. Средняя величина: 25,75/16=1,61%,значит, условие точности выполнено.

3. Проверкаусловия адекватности.

Для тогочтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E (t) должен обладать свойствамислучайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверкаслучайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр.2табл.4) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровеньряда Е/> сравниваем с двумясоседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точкасчитается поворотной и в гр.3 табл.4 для этой строки ставится 1, в противномслучае в гр.3 ставится 0. В первой и в последней строке гр.3 табл.4 ставитсяпрочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.

Общеечисло поворотных точек в нашем примере равно р=8.

Рассчитаемзначение />:

/>

Функция int означает, что от полученного значения берется толькоцелая часть. При N = 16.

/>

Так какколичество поворотных точек р= 8 больше q=6, то условиеслучайности уровней ряда остатков выполнено.

Проверканезависимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверкупроводим двумя методами:

1) по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d1=1,10 и d2=1,37):

/>

Так как полученное значение больше 2, товеличину d уточним:

/>

Условие выполнено (1,37<1,63<2),следовательно, уровни ряда Е (t) являютсянезависимыми.

2) по первому коэффициенту автокорреляции r (1):

/>

Еслимодуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньшекритического значения /> < rтабл., то уровни ряда остатков независимы. Длянашей задачи критический уровень rтабл. =0,32. Имеем: />=0,20 < rтабл. = 0,32 — значит уровни независимы.

Проверкасоответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:

/>,

где /> - максимальное значениеуровней ряда остатков />;

/> - минимальное значениеуровней ряда остатков /> />;

S — среднее квадратическое отклонение.

Emax — Emin= 2,69 — (-1,43) = 4,13

/>

/>

Уровниряда остатков подчиняются нормальному распределению т.к полученное значение RS (3,57) попадает в заданный интервал (3,00<3,57<4,21).

Такимобразом, все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можноговорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведенияпрогноза показателя Yp (t)на год.

4. Расчетпрогнозных значений экономического показателя.

Составимпрогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17по t=20). Максимальное значение t,для которого могут быть рассчитаны коэффициенты /> и/> определяется количествомисходных данных и равно 16. Рассчитав значения /> и/> (см. табл.1.4) по формуле:

/>,

где k — период упреждения;

/> - расчетное значениеэкономического показателя для t-го периода;

/> - коэффициенты модели;

/> - значение коэффициентасезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

/> - период сезонности.

Определимпрогнозные значения экономического показателя Yp(t) для: t = 17, 18,19 и 20.

/>

/>

/>

/>

 

5. Нанижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических и расчетных данных.Здесь же показаны прогнозные значения о кредитах на год вперед. Из рисункавидно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит обудовлетворительном качестве прогноза.

/>

Рис.1. Сопоставлениерасчетных и фактических данных

/>/>/>Задание 2

Даны цены(открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервалсглаживания принять равным 5 дням.

Дни Цены макс. мин. закр. 1 858 785 804 2 849 781 849 3 870 801 806 4 805 755 760 5 785 742 763 6 795 755 795 7 812 781 800 8 854 791 853 9 875 819 820 10 820 745 756

Рассчитать:экспоненциальную скользящую среднюю; момент; скорость изменения цен; индексотносительной силы; % R,% К,% D;

Расчетыпроводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основанииимеющихся данных.

Решение:

Длярасчета экспоненциальной скользящей средней воспользуемся формулой:

 

/>,

где k = 2/ (n + 1),

/> - цена закрытия t-го дня;

/> - значение EMA текущего дня t.

Моментрассчитывается как разница конечной цены текущего дня /> и цены nдней тому назад />:

 

/>

где /> - цена закрытия t-го дня.

/> - значение МОМ текущегодня t.

Скоростьизменения цен рассчитываем как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах:

 

/>,

где /> - цена закрытия t-го дня.

/> - значение ROC текущего дня t.

Таблица 1. Результаты расчетов экспоненциальной скользящей средней, момента,скорости изменения цен

Дни Цены закр

ЕМАt

МОМt

ROCt

1 804 804,00 - - 2 849 819,00 - - 3 806 814,67 - - 4 760 796,44 - - 5 763 785,30 - - 6 795 788,53 -9,0 98,88 7 800 792,35 -49,0 94,23 8 853 812,57 47,0 105,83 9 820 815,05 60,0 107,89 10 756 795,36 -7,0 99,08

Длярасчета индекса относительной силы используем формулу:

/>,

где AU — сумма приростов конечных цен за n последних дней;

AD — сумма убыли конечных цен за n последних дней.

Таблица 2.Результаты расчета индекса относительной силы

Дни Цены закрытия Изменение (+/-) RSI /> /> 1 804 45 - /> 2 849 -43 - /> 3 806 -46 - /> 4 760 3 - /> 5 763 32 - /> 6 795 5 47,3 /> 7 800 53 31,0 /> 8 853 -33 66,9 /> 9 820 -64 73,8 /> 10 756 45 48,1 />

Рассчитаем%R, %К, %D используя следующиеформулы:

/>,

где /> - значение индексатекущего дня t;

/> - цена закрытия t-го дня;

L5 и Н5 — минимальная и максимальные цены за n предшествующих дней, включая текущие.

/>,

где /> - значение индексатекущего дня t;

/> - цена закрытия t-го дня;

L5 и Н5 — минимальная и максимальная цены за 5предшествующих дней, включая текущие.

Индекс % D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь разницей, что приего построении величины /> и /> сглаживают, беря ихтрехдневную сумму.

/>

Таблица 3.Результаты расчетов %R, %К, %D

Дни Цены

% Kt

% Rt

%Dt

макс мин закр 1 858 785 804 - - 2 849 781 849 - - - 3 870 801 806 - - - 4 805 755 760 - - - 5 785 742 763 16,41 83,59 - 6 795 755 795 41,41 58,59 - 7 812 781 800 45,31 54,69 34,38 8 854 791 853 99,11 0,89 60,33 9 875 819 820 58,65 41,35 66,22 10 820 745 756 8,46 91,54 53,33 />/>Задание 3

 

3.1 Банквыдал ссуду, размером 5 000 000 руб. Дата выдачи ссуды 08.01.02, возврата 22.03.02.День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются попростой процентной ставке 55% годовых. Найти:

3.1 1) точныепроценты с точным числом дней ссуды;

3.1 2) обыкновенныепроценты с точным числом дней ссуды;

3.1 3) обыкновенныепроценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение:

 

3.1 1) К= 365, t = 73, I = 5 000 000 х0,55 х 73/365 = 550 000,00 руб.

3.1 2) К= 360, t = 73, I = 5 000 000 х0,55 х 73/360 = 557 638,89 руб.

3.1 3) К= 360, t = 74, I = 5 000 000 х0,55 х 74/360 = 565 277,78 руб.

 

3.2 Через90 дней после подписания договора должник уплатил 5 000 000 руб.

Кредитвыдан под 55% годовых (проценты обыкновенные).

Каковапервоначальная сумма и дисконт?

Решение:

P = S / (1 + ni)= 5 000 000/ (1 + 0,55 х 90/360) = 4 395 604,40 руб.

D = S — P = 5 000 000 — 3 395 604,40 = 604 395,60руб.

 

3.3 Через90 предприятие должно получить по векселю 5 000 000 руб. Банк приобрел этотвексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 55% годовых (год равен360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Решение:

 

D = Snd = 5 000 000 x 0,55 х 90/360 = 687 500,00 руб.

P = S — D = 5 000 000 — 687 500,00= 4 312 500,00 руб.

 

3.4 Вкредитном договоре на сумму 5 000 000 руб. и сроком на 5 лет, зафиксированаставка сложных процентов, равная 55% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение:

 

S = P x (1+i) n= 5 000 000 х (1+0,55) 5 = 44 733 048,44 руб.

 

3.5 Суммаразмером 5 000 000 руб. представлена на 5 лет. Проценты сложные, ставка 55%годовых. Проценты начисляются 4 раза в году. Вычислить наращенную сумму.

Решение:

 

N = 5 x 4 = 20

S = P x (1+j / m) N = 5 000 000 х (1 + 0,55/4) 20= 65 765 497,67 руб.

 

3.6. Вычислитьэффективную ставку процентов, если банк начисляет проценты 4 раза в год, исходяиз номинальной ставки 55% годовых.

Решение:

 

iэ = (1 + j / m) m — 1 = (1 + 0,55/4) 4 — 1 = 0,6742, т.е.67,42%.

 

3.7. Определить,какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 4 раза в году,чтобы обеспечить эффективную ставку 55% годовых.

Решение:

 

j = m x [ (1 + iэ) 1/m — 1] = 4 x [ (1 + 0,55) (1/4) — 1] = 0,46316, т.е.46,316%.

 

3.8. Через5 лет предприятию будет выплачена сумма 5 000 000 руб. Определить еесовременную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка55% годовых.

Решение:

 

/> руб.

 

3.9. Через5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 5 000 000 руб. Банк учел вексель поучетной ставке 55% годовых. Определить дисконт.

Решение:

 

P = S (1 — dсл) n = 5000 000 x (1 — 0,55) 5 = 92 264,06 руб.

D = S — P = 5 000 000 — 92 264,06 = 4 907 735,94 руб.

 

3.10. Втечение 5 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 5 000 000 руб.,на которые 4 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 55%. Определитьсумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение:

 

/> руб.