Реферат: Экономико-математические методы

Контрольная работа покурсу «Экономико-математические методы»Вариант 0

Задача1. Необходимо составить оптимальный суточный рацион кормления на стойловыйпериод для дойных коров живой массой 550 кг. Минимальная потребность коров вкормовых единицах и переваримом протеине в зависимости от суточного удояприведена в табл. 2.

Таблица2. Суточная потребность в питательных веществах дойных коров живой массой 550кг

№ варианта

Среднесуточный удой, кг

Потребность в

кормовых единицах, кг

переваримом протеине, г

12 10,3 1136

Рационсоставляется из трех видов кормов: комбикорма, сена и силоса. Содержаниепитательных веществ в единице каждого вида корма показано в табл. 3.

Таблица3. Содержание питательных веществ в 1 кг корма и себестоимость кормов

Показатель

Комбикорм

Сено

Силос

Кормовые единицы, кг 1 0,5 0,2 Переваримый протеин, г 160 60 30 Себестоимость 1 кг корма, руб. 4,2 0,9 0,6

Согласнофизиологическим особенностям животных в рационе должно содержаться следующеедопустимое количество концентрированных и грубых кормов (табл. 4)

Таблица4. Потребность коров в концентрированных и грубых кормах, % от общей потребностив корм. ед.

№ варианта

Концентрированные корма, не менее

№ варианта

Грубые корма, не более

26% 21%

Составитьрацион кормления коров, имеющий минимальную себестоимость. Требуется решитьзадачу вручную симплексным методом.

Решение:

Выразимвсе условия задачи в виде системы ограничений и запишем целевую функцию. Дляэтого обозначим через х1 – искомое содержание комбикорма в рационе (кг), черезх2 – сена (кг) и через х3 – силоса (кг).

Составимсистему ограничений:

1)   условие по содержанию кормовых единиц в рационе:

1*х1+0,5*х2+0,2*х3³10,3

2)   условие по содержанию переваримого протеина в рационе:

160*х1+60*х2+30*х3³1136

3)   условие по содержанию концентратов в рационе (не менее 10,3 кг корм. ед.х 0,26 = 2,678 кг корм. ед.):

1*х1³2,678

4)   условие по содержанию грубых кормов в рационе (не менее 10,3 кг корм.ед. х 0,21 = 2,163 кг корм. ед.):

0,5*х2£2,163

Целевая функция – минимум себестоимости рациона:

Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3®min

Перейдем в системе ограничений от неравенств к равенствам, дляэтого введем дополнительные переменные:

1)   1*х1+0,5*х2+0,2*х3-х4=10,3

2)   160*х1+60*х2+30*х3-х5=1136

3)   1*х1-х6=2,678

4)   0,5*х2+х7=2,163

Целевая функция – минимум себестоимости рациона:

Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3+0*х4+0*х5+0*х6+0*х7®min

Дополнительные переменные имеют следующий экономический смысл:

х4 – количество кормовых единиц сверх минимума, кг

х5 – количество переваримого протеина сверх минимума, г

х6 – количество концентрата сверх минимума, кг корм. ед.

х7 – разница между максимальной потребностью в грубых кормах ифактическим содержанием в рационе, кг корм. ед.

В ограничениях, в которых нет дополнительных переменных скоэффициентом «+1», введем искусственные переменные с коэффициентом «+1». Вцелевую функцию введем их с оценками «М», т.к. задача решается на минимум.

1)   1*х1+0,5*х2+0,2*х3-х4+у1=10,3

2)   160*х1+60*х2+30*х3-х5+у2=1136

3)   1*х1-х6+у3=2,678

4)   0,5*х2+х7=2,163

Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3+0*х4+0*х5+0*х6+0*х7+М*у1+М*у2+М*у3®min

F=1151,141M-(157,8M*х1+60,1M*х2+29,6M*х3-M*х4-M*х5-M*х6) ®0

Разрешим уравнение относительно искусственных и дополнительныхпеременных с коэффициентами «+1». Аналогично запишем целевую функцию,представив ее для удобства двумя строками:

1)   у1=10,3-(1*х1+0,5*х2+0,2*х3-1*х4)

2)   у2=1136-(160*х1+60*х2+30*х3-1*х5)

3)   у3=2,678-(1*х1-1*х6)

4)   х7=2,163-(0,5*х2)

Z=0-(-4,2*х1-0,9*х2-0,6*х3) ®min

F=1151,141M-(157,8M*х1+60,1M*х2+29,6M*х3-M*х4-M*х5-M*х6) ®0

Заполним симплексную таблицу 1:

i Базисные переменные Свободные члены, bi

x1

x2 x3 x4 x5 x6 bi/aij 1 y1 10,300

1,000

0,500 0,200 -1,000 0,000 0,000 10,300 2 y2 1136,000

160,000

60,000 30,000 0,000 -1,000 0,000 7,100

3

y3

2,678

1,000

0,000

0,000

0,000

0,000

-1,000

2,678

4 x7 2,163

0,000

0,500 0,000 0,000 0,000 0,000 - m+1 Z 0,000

-4,200

-0,900 -0,600 0,000 0,000 0,000 X m+2 F 1151,141M

157,8M

60,1M 29,6M -M -M -M x Разрешающий столбец – х1. Разрешающая строка – у3. Заполняется симплексная таблица 2.

3.1.      Переменная у3 выводится из базиса, переменная х1 вводится в базис.

3.2.      Расчет элемента, стоящего на месте разрешающего:

1/1=1

3.3.      Расчет элементов начальной строки, стоящей на месте разрешающей:

 2,678/1=2,678; 0/1=0; 0/1=0; 0/1=0; 0/1=0;-1/1=-1

157,8М/(-1)=157,8М

3.4. Расчет остальных элементов таблицы:

Столбца bi:

10,300-1*2,678=7,622; 1136,000-160,000*2,678=707,520;2,163-0,000*2,678=2,163;

0-(-4,200)*2,678=11,248; 1151,141M-157,8M*2,678=728,552М;

Столбца х2:

0,500-1,000*0,000=0,5000; 60,000-160,000*0,000=60,000 и т.д. — переписывается без изменения, т.к. при расчете требуется постоянно умножать на0,000

без изменения также переписываются столбцы х3, х4, х5,поскольку в этих столбцах в начальной строке стоят нулевые элементы.

Расчет элементов столбца х6:

0,000-1,000*(-1,000)=1,000; 0,000-160,000*(-1,000)=160,000;

0,000-0,000*(-1,000)=0,000; 0,000-(-4,200)*(-1,000)=-4,200;

-М-157,8M*(-1,000)=156,8М.

Аналогично составляем симплексную таблицу 2:

i Базисные переменные Свободные члены, bi y3 x2 x3 x4 x5

x6

bi/aij 1 y1 7,622 -1,000 0,500 0,200 -1,000 0,000

1,000

7,622

2

y2

707,520

-160,000

60,000

30,000

0,000

-1,000

160,000

4,422

3 x1 2,678 -1,000 0,000 0,000 0,000 0,000

-1,000

-2,678 4 x7 2,163 0,000 0,500 0,000 0,000 0,000

0,000

- m+1 Z 11,248 -4,200 -0,900 -0,600 0,000 0,000

-4,200

X m+2 F 728,552М -157,8M 60,1M 29,6M -M -M

156,8М

x

Симплексная таблица 3:

i Базисные переменные Свободные члены, bi y3

x2

x3 x4 x5 y2 bi/aij 1 y1 -152,378

-159,500

-159,800 -161,000 -160,000 0,955 2 x6 4,422

0,375

0,188 0,000 -0,006 11,792 3 x1 162,678

160,000

160,000 160,000 160,000 1,017

4

x7

2,163

 

0,500

0,000

0,000

0,000

 

4,326

m+1 Z 683,248

671,100

671,400 672,000 672,000 X m+2 F -24359,448M

60,1M

-25058,4M -25089M -25089M x

Симплексная таблица 4:

i Базисные переменные Свободные члены, bi y3 х7

x3

x4 x5 y2 bi/aij

1

y1

-153,460

 

-319,000

-159,800

-161,000

-160,000

 

0,960

2 x6 3,341 0,750

0,188

0,000 -0,006

-0,021

3 x1 1,082 320,000

160,000

160,000 160,000

-0,007

4 х2 4,326 1,000

0,000

0,000 0,000

-0,006

m+1 Z 682,167 1342,200

671,400

672,000 672,000

-4,269

m+2 F -243360,53М 120,2М

160,4M

-25089M -25089M x

Симплексная таблица 5:

i Базисные переменные Свободные члены, bi y3 х7 у1 x4 x5 y2 bi/aij 1 х3 27,295 -319,000 1,000 -1,200 -25728,000 -  2 x6 -0,986 0,750 -0,001 0,000 -25568,006 -  3 x1 2,678 320,000 -1,001 -25567,800 -25408,000 -  4 х2 4,326 1,000 0,000 0,000 -25568,000 -  m+1 Z 677,841 1342,200 -4,202 -25055,800 -24896,000 х  m+2 F 0М 0М 0M 0M 0M x

Ответ:оптимальный суточный рацион кормления коров на стойловый период состоит из 2,678 кгкомбикорма, 4,326кг сена и 27,295кг силоса. При этом его себестоимость составляет 31,518 руб.

Задача2. В хозяйстве необходимо за время уборки при заготовке силоса перевезти4000т зелено          й массы с пяти полей (табл. 5) к четырем фермам (табл.6). Растояние перевозки зеленой массы с полей к фермам приведено в табл. 7.

Таблица5. Количество зеленой массы с полей, т

№ варианта

Поле

 

1-е

2-е

3-е

4-е

5-е

800 1000 1200 400 600

Таблица6. Потребность ферм в зеленой массе, т

№ варианта

Ферма

 

1-я

2-я

3-я

4-я

1000 600 800 1600

Таблица7. Расстояние от полей до ферм, км

Поля

Ферма

 

1-я

2-я

3-я

4-я

1-е 5 6 2 2 2-е 9 7 4 6 3-е 7 1 4 5 4-е 5 2 2 4 5-е 6 4 3 4

Составитьтакой план перевозок, чтобы общие транспортные расходы были минимальными.Требуется решить задачу методом потенциалов.

Решение.Заполним расчетную таблицу и составим первый опорный план методом«наилучшего»элемента в таблице. Заполнение таблицы начинается с клетки 3,2 с наименьшимрасстоянием, в которую записывается поставка 600 т. Затем последовательнозаполняются клетки 4,3; 1,3; 1,4; 5,4; 3,5; 2,1

Поле Ферма Наличие зеленой массы, т Ui 1-я 2-я 3-я 4-я 1-е

5

6

2-

2-

400 400 800 2-е

9-

7

4+

6+

5 1000 1000 3-е

7+

1

4

5

3 600 600 1200 4-е

5

2

2

4

400- 400 5-е

6

4

3

4-

2 600 600 Потребность в зеленой массе, т 1000 600 800 1600 4000

Z

Vj 4 -2 2 2 17400

Переходимк анализу первого опорного плана. Значение целевой функции 17400 тонна-километров.

Проверим,является ли план оптимальным. Если нет – улучшим его.

1.Рассчитаем значения потенциалов:

u1=0; v4=2-0=2; u3=5-2=3;u5=4-2=2; v1=7-3=4; v2=1-3=-2;

v3=2-0=2; u2=9-4=5; u4=4-2=2

2.Рассчитаем характеристики для свободных клеток:

d

1

2

3

4

1

5 8

2

4 -1 -1

3

4

1 4 2

5

4 -1

3. Максимальная по абсолютной величине отрицательнаяхарактеристика в клетке 2,3, для которой строим цепь.

4. Проставляем по углам цепи, начиная с выбранной клетки,знаки «+», «-«. В клетках со знаком «-« минимальная поставка. Ееперераспределяем по цепи. Там где стоит знак «+», прибавляем, а где «-« — отнимаем. Заполняем расчетную таблицу 2.

Поле Ферма Наличие зеленой массы, т Ui 1-я 2-я 3-я 4-я 1-е

5

6

2

2

44 756 800 2-е

9

7

4

6

5 756  244  1000 3-е

7

1

4

5

3  400 600 200 1200 4-е

5

2

2

4

400 400 5-е

6

4

3

4

2 200 400 600 Потребность в зеленой массе, т 1000 600 800 1600 4000

Z

Vj 6 -2 2 2 15288

Расчеты ведем аналогично. Получены следующие характеристики: d51=-2

Перераспределяемпо цепи поставку 400. Строим таблицу 3.

Поле Ферма Наличие зеленой массы, т Ui 1-я 2-я 3-я 4-я 1-е

5

6

2

2

44 756 800 2-е

9

7

4

6

3 756 244 1000 3-е

7

1

4

5

1 600 600 1200 4-е

5

2

2

4

1 400 400 5-е

6

4

3

4

2 600 600 Потребность в зеленой массе, т 1000 600 800 1600 4000

Z

Vj 6 1 2 15288

Анализрешения: По оптимальному плану необходимо осуществить перевозки в соответсвии сполученной таблицей. В этом случае минимальные затраты на перевозку будут 15288тонна-километров

 

Решениеметодом линейного прораммирования:

1.Проверим, прежде всего условие равенства ресурсов:

Сполей поставляется: 800+1000+1200+400+600=4000т зеленой массы

Потребностьферм в зеленой массе: 1000+600+800+1600=4000т, т.е. ресурсы поставщиков равныресурсам потребителей.

2.Пусть Xij – количество тонн зеленой массы, котороенужно перевезти с i поля на jферму. Из условия задачи, получаем ограничения:

х11+х12+х13+х14=800

х21+х22+х23+х24=1000

х31+х32+х33+х34=1200

х41+х42+х43+х44=400

х51+х52+х53+х54=600

Изусловия потребностей ферм:

х11+х21+х31+х41+х51=1000

х12+х22+х32+х42+х52=600

х13+х23+х33+х43+х53=800

х14+х24+х34+х44+х54=1600

Целеваяфункция задачи – количество тонна-километров:

Z= 5*х11+6*х12+2*х13+2*х14+

9*х21+7*х22+4*х23+6*х24+

7*х31+1*х32+4*х33+5*х34+

5*х41+2*х42+2*х43+4*х44+

6*х51+4*х52+3*х53+4*х54®min

Решим систему при помощи таблицы Excel(меню «Сервис»/«Поиск решения»). Для этого запишем все ограничения и целевуюфункцию. В результате выполнения программы, получаем решение:

Поле Ферма Наличие зеленой массы, т Сумма 1-я 2-я 3-я 4-я 1-е

5

6

2

2

44 756 800 800 2-е

9

7

4

6

756 244 1000 1000 3-е

7

1

4

5

600 600 1200 1200 4-е

5

2

2

4

400 400 400 5-е

6

4

3

4

600 600 600 Потребность в зеленой массе, т 1000 600 800 1600

Z

Сумма 1000 600 800 1600 15288

Ответ:По оптимальному плану необходимо осуществить перевозки в соответсвии сполученной таблицей. В этом случае минимальные затраты на перевозку будут 15288тонна-километров.