Реферат: Классификация вещественных функций вещественного аргумента

Классификация вещественных функций
вещественного аргумента

1) Вещественные функции вещественного аргумента делят на два класса: элементарные и не элементарные.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой , где – выражение, составленное из основных элементарных функций и действительных чисел с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

Основными элементарными функциями называются следующие функции:

степенная функция , где ℝ;

показательная функция , где и ;

логарифмическая функция , где и ;

тригонометрические функции , , , ;

обратные тригонометрические функции , , , .


2) Элементарные функции делят на два класса: алгебраические и трансцендентные.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется алгебраической, если ее значение можно получить из аргумента и действительных чисел с помощью конечного числа алгебраических операций (т.е. сложения, вычитания, умножения, деления) и возведения в степень с рациональным показателем. Функция, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной.


3) Алгебраические функции делят на рациональные и иррациональные.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебраическая функция называется рациональной, если среди действий, которые производятся над независимой переменной, отсутствует извлечение корня. Функция не являющаяся рациональной называется иррациональной.

Рациональные функции бывают двух видов:

целые рациональные (многочлены) ,

где ;

дробные рациональные (рациональные дроби) .
^ Основные характеристики поведения функции

Изучить функцию – это значит охарактеризовать ход ее изменения (как говорят «ее поведение») при изменении независимой переменной.

Для характеристики поведения функции используют следующие ее свойства.


1) ^ Четность функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется четной, если выполняются два условия:

а) область определения функции симметрична относительно начала координат;

б) для любого из области определения справедливо равенство

.

^ Функция называется нечетной, если выполняются два условия:

а) область определения функции симметрична относительно начала координат;

б) для любого из области определения справедливо равенство

.

^ Функция, не являющаяся четной или нечетной, называется функцией общего вида.

Из определения четной и нечетной функции следует, что график четной функции симметричен относительно оси , а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.


2) Периодичность.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция , определенная на множестве , называется периодической, если существует число такое, а) что для любого значения и тоже принадлежат ; б) . Число при этом называют периодом функции.

Если функция периодическая на множестве и на , то для нее существует наименьший положительный период и любой период этой функции имеет вид , где . называют основным периодом функции .

Очевидно, что график периодической функции состоит из повторяющихся фрагментов.


3) Монотонность.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется возрастающей (неубывающей) на интервале если для любых таких, что значения функции и удовлетворяют неравенству ().

Функция называется убывающей (невозрастающей) на интервале если для любых таких, что значения функции и удовлетворяют неравенству ().

Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие функции называются монотонными.


4) Ограниченность.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется ограниченной снизу, если существует ℝ такое, что , .

Функция называется ограниченной сверху, если существует ℝ такое, что , .

Функция, ограниченная сверху и снизу, называется ограниченной.

Если функция ограничена, то существует такое, что , .

Действительно, если ограничена, то она ограничена сверху и снизу. Значит, существуют ℝ такие, что

, .

Обозначим через 1. Тогда и . Следовательно, , ,

или , .




1 обозначает наибольшее из чисел и .