Реферат: Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних систем векторів

Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних систем векторів.


Якщо до системи входить , то система лінійно залежна.

Доведення. Нехай , a1, a2,… am- така система. Існує лінійна комбінація

1 +0a1+0a2+… +0am=0.

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки коефіцієнт при  дорівнює 1, отже система лінійно залежна.



Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли принаймні один з векторів системи лінійно виражається через інші.

Доведення. Необхідність. Припустимо, що система векторів a1, a2,… am лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

α1a1+α2a2+…αmam =.

Комбінація нетривіальна, тому αi≠0 для деякого i. (1≤i≤m). Тоді

αiai= -α1a1-α2a2-…-αi-1ai-1-αi+1ai+1-…-αmam, звідси



Отже, вектор ai лінійно виражається через інші вектори системи.


Достатність. Припустимо, що в системі векторів a1, a2,… am вектор ai . (1≤i≤m) лінійно виражається через інші вектори системи

ai= β1a1+β2a2+…+βi-1ai-1+βi+1ai+1-…+βmam, звідси

β1a1+β2a2+…+βi-1ai-1-ai+βi+1ai+1-…+βmam= або

β1a1+β2a2+…+βi-1ai-1+(-1)ai+βi+1ai+1-…+βmam=.

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки коефіцієнт при векторі ai дорівнює –1. Отже, система лінійно залежна.


Якщо деяка підсистема системи векторів лінійно залежна, то і вся система лінійно залежна.

Доведення. Припустимо, що в системі векторів a1, a2,… am,b1,…,bk підсистема a1, a2,… am лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

λ1a1+λ2a2+… +λmam= . Лінійна комбінація нетривіальна, тому λi≠0 для деякого i. (1≤i≤m). Але тоді існує комбінація λ1a1+λ2a2+…+ λiai+…+λmam+ 0b1+…+bk = . Комбінація нетривіальна, оскільки λi≠0. Тому система лінійно залежна.


Будь-яка підсистема лінійно незалежної системи векторів лінійно незалежна.

Доведення випливає з попередньої властивості.