Реферат: Дзета-функция Римана
Министерство образования Российской Федерации
Ставропольский Государственный университет
Кафедра математического анализа
Курсовая работа на тему :
«Дзета-функция Римана»
Выполнил: студент 2го курса ФМФ группы «Б» Симонян Сергей Олегович
Ставрополь, 2004 г.
Введение.
Функция – одно из основных понятий во всех естественнонаучных дисциплинах. Не случайно ещё в средней школе дети получают интуитивное представление об этом понятии. Со школьной скамьи наш багаж знаний пополняется сведениями о таких функциях как линейная, квадратичная, степенная, показательная, тригонометрические и других. В курсе высшей математики круг известных функций значительно расширяется. Сюда добавляются интегральные и гиперболические функции, эйлеровы интегралы (гамма- и бета-функции), тета-функции, функции Якоби и многие другие.
Что же такое функция? Строгого определения для неё не существует. Это понятие является в математике первичным, аксиоматизируется. Однако, под функцией понимают закон, правило, по которому каждому элементу какого-то множества X ставится в соответствие один или несколько элементов множества Y. Элементы множества Xназываются аргументами, а множества Y– значениями функции. Если каждому аргументу соответствует одно значение, функция называется однозначной, если более одного – то многозначной. Синонимом функции является термин «отображение». В простейшем случае множество Xможет быть подмножеством поля действительных Rили комплексных Cчисел. Тогда функция называется числовой. Нам будут встречаться только такие отображения.
Функции могут быть заданы многими различными способами: словесным, графическим, с помощью формулы. Функция, которую мы будем рассматривать в этой работе, задаётся через бесконечный ряд. Но, несмотря на такое нестандартное определение, по своему представлению в виде ряда она может быть хорошо изучена методами теории рядов и плодотворно применена к различным теоретическим и прикладным вопросам математики и смежных с ней наук.
Конечно же, речь идёт о знаменитой дзета-функции Римана, имеющей широчайшие применения в теории чисел. Впервые ввёл её в науку великий швейцарский математик и механик Леонард Эйлер и получил многие её свойства. Далее активно занимался изучением дзета-функции немецкий математик Бернгард Риман. В честь него она получила своё название, так как он опубликовал несколько исключительно выдающихся работ, посвящённых этой функции. В них он распространил дзета-функцию на область комплексных чисел, нашёл её аналитическое продолжение, исследовал количество простых чисел, меньших заданного числа, дал точную формулу для нахождения этого числа с участием функции />и высказал свою гипотезу о нулях дзета-функции, над доказательством или опровержением которой безрезультатно бьются лучшие умы человечества уже почти 150 лет.
Научная общественность считала и считает решение этой проблемы одной из приоритетных задач. Так Давид Гильберт, выступавший на Международной Парижской математической конференции 1900 году с подведением итогов развития науки и рассмотрением планов на будущее, включил гипотезу Римана в список 23 проблем, подлежащих решению в новом столетии и способных продвинуть науку далеко вперёд. А на рубеже веков, в 2000 году американский The Clay Mathematics Instituteназвал семь задач, за решение каждой из которых будет выплачен 1 миллион долларов. В их число также попала гипотеза Римана.
Таким образом, даже бы поверхностное знакомство с дзета-функцией будет и интересным, и полезным.
Глава 1.
Итак, приступим к изучению этой важной и интересной дзета-функции Римана. В данной главе мы получим некоторые свойства функции в вещественной области, исходя из её определения с помощью ряда.
Определение. Дзета-функцией Римана ζ(s) называют функцию, которая любому действительному числу sставит в соответствие сумму ряда
/>(1)
если она существует.
Основной характеристикой любой функции является область определения. Найдём её для нашей функции.
Пусть сначала s≤0, тогда s=−t, где tпринадлежит множеству неотрицательных действительных чисел R+/>{0}. В этом случае />и ряд (1) обращается в ряд />, который, очевидно, расходится как при t>0, так и при t=0. То есть значения s≤0 не входят в область определения функции.
Теперь пусть s>0. Для исследования сходимости ряда (1) воспользуемся интегральным признаком Коши. При каждом sрассмотрим функцию />, где />, которая является на промежутке непрерывной, положительной и монотонно убывающей. Возникает три различных возможности:
0<s<1. Тогда />, поэтому ряд (1) расходится и промежуток (0;1) не входит в область определения дзета-функции;
s=1. Получаем />, то есть при s=1 дзета-функция Римана также не определена;
s>1. В этом случае />
/>. Ряд (1) сходится.
Обобщив результаты,находим, что область определения дзета-функции есть промежуток />.На этом промежутке функция оказывается непрерывной и дифференцируемой бесконечное число раз.
Докажем непрерывность функции ζ(s)на области определения. Возьмём произвольное число s>1.Перепишем ряд (1) в виде />.Как было выше показано, ряд />сходится, а функции />при s>sмонотонно убывают и все вместе ограничены единицей. Значит, по признаку Абеля для s>sряд (1) сходится равномерно. Используя теорему о непрерывности суммы функционального ряда, получаем, что в любой точке s>sдзета-функция непрерывна. Ввиду произвольности sζ(s) непрерывна на всей области определения.
Теперь почленным дифференцированием ряда (1), пока формально,найдём производную дзета-функции Римана:
--PAGE_BREAK--/>(2).
Чтобы оправдать этот результат, достаточно удостовериться в том, что ряд (2) равномерно сходится на промежутке />и воспользоваться теоремой о дифференцировании рядов. Используем тот же приём. Зафиксируем любое s>1 и представим ряд (2) в виде />для s>s. Множители />, начиная с n=2, монотонно убывают, оставаясь ограниченными числом ln 2. Поэтому по признаку Абеля ряд (2) сходится равномерно при s>s, а значит и при любом s>1. Какое бы значение s>1 ни взять его можно заключить между />и />, где />, а />; к промежутку />применима вышеуказанная теорема.
Таким же путём можно убедиться в существовании для дзета-функции производных всех порядков и получить их выражения в виде рядов:
/>.
Попытаемся построить наглядное изображение функции в виде графика. Для этого изучим сначала её поведение на бесконечности и в окрестности точки s=1.
В первом случае, ввиду равномерной сходимости ряда (1), по теореме о почленном переходе к пределу, имеем />. При n=1 предел равен единице, остальные пределы равны нулю. Поэтому />.
Чтобы исследовать случай />, докажем некоторые вспомогательные оценки.
Во-первых, известно, что если для ряда />существует непрерывная, положительная, монотонно убывающая функция />, определённая на множестве />, такая, что />, и имеет первообразную />, то остаток ряда оценивается так: />, где />. Применяя вышесказанное к ряду (1), найдём, что необходимая функция
/>,а />и />. Отсюда, подставляя в двойное неравенство, имеем
/>(3).В левом неравенстве положим n=0, тогда />, то есть />. В правом же возьмём n=1 и получим />, далее />, />и, наконец, />. Переходя в неравенствах />к пределу при />, находим />.
Отсюда, в частности, следует, что />. Действительно, положим />. Тогда />, то есть />/>. Поэтому />.Из того, что />, а />, вытекает доказываемое утверждение.
Можно, однако, получить ещё более точный результат для оценки поведения дзета-функции в окрестности единицы, чем приведённые выше, принадлежащий Дирихле. Будем отталкиваться от очевидного при произвольном n равенства />. Прибавим ко всем частям неравенств (3) сумму />и вычтем />. Имеем />. Пусть здесь s стремится к единице. По правилу Лопиталя легко вычислить />и />. Мы пока не знаем, существует ли предел выражения />при />, поэтому, воспользовавшись наибольшим и наименьшим пределами, напишем неравенства так: />
/>. Ввиду произвольности n возьмём />. Первое и последнее выражения стремятся к эйлеровой постоянной C (C/>0,577). Значит />, а, следовательно, существует и обычный предел и />.
Найденные выше пределы позволяют получить лишь приблизительное представление о виде графика дзета-функции. Сейчас мы выведем формулу, которая даст возможность нанести на координатную плоскость конкретные точки, а именно, определим значения />, где k – натуральное число.
Возьмём известное разложение />, где /> — знаменитые числа Бернулли (по сути, через него эти числа и определяются). Перенесём слагаемое />в левую часть равенства. Слева получаем />/>cth/>, а в правой части — />, то есть />cth/>. Заменяем />на />, получаем />cth/>.
продолжение--PAGE_BREAK--
С другой стороны,существует равенство cth/>, из которого />cth/>. Подстановкой />вместо />находим />cth/>/>. Если />, то для любого />N />/>и по теореме о сложении бесконечного множества степенных рядов />cth/>/>.
Приравняем полученные разложения: />
/>, следовательно />. Отсюда немедленно следует искомая формула
/>(4), где /> — k-е число Бернулли. Она удобна тем, что эти числа хорошо изучены и для них составлены обширные таблицы.
Теперь, исходя из полученных результатов, можно построить эскиз графика дзета-функции Римана, достаточно хорошо отражающий её поведение на всей области определения.
/>
Леонард Эйлер, впервые рассмотревший дзета-функцию, получил замечательное разложение её в бесконечное произведение, которое иногда тоже принимают за определение:
/>, где pi– i-е простое число (4).
Докажем тождественность ряда (1) и произведения (4). Вспомнив формулу суммы геометрической прогрессии, получаем равенство />
/>Если перемножить конечное число таких рядов, отвечающих всем простым числам, не превосходящим заданного натурального числа N, то получившееся частичное произведение окажется равным />, где символ * означает, что суммирование распространяется не на все натуральные числа, а лишь на те из них (не считая единицы), которые в своём разложении содержат только простые числа меньшие N. Так как первые Nнатуральных чисел этим свойством обладают, то
/> (5).
Сумма />содержит не все числа, большие N+1,поэтому, очевидно, />. Из (5) получаем
/> (6).
Ввиду сходимости ряда (1), выражение справа, представляющее его остаток после N-го члена, стремится к нулю при Nстремящимся к бесконечности, а/>есть произведение (4). Значит из неравенства при />/>, что и требовалось доказать.
Формула (4) важна потому, что она связывает натуральный ряд, представленный множеством значений аргумента дзета-функции, со множеством простых чисел. Ещё один шаг в этом направлении мы сделаем, оценив />, а именно показав, что />, где />остаётся ограниченным при />.
Из (4) следует, что />, где />N, а />при/>. Возьмём логарифм от обеих частей равенства, тогда />/>. Натуральные логарифмы под знаком суммы разлагаются в ряд: />/>. Подставив полученные разложения в равенство и устремив Nк бесконечности, имеем />. Остаётся доказать ограниченность последнего слагаемого. Ясно, что />. Последнее равенство справедливо, так как />/>. Далее, очевидно, />, что и завершает доказательство.
продолжение--PAGE_BREAK--
На этом закончим изложение свойств дзета-функции Римана для действительного аргумента, так как наибольший теоретический и прикладной интерес представляет случай изложенный во второй главе.
Глава 2.
Все результаты первой главы, касающиеся дзета-функции Римана, были получены в предположении, что её аргумент s– действительное число. Однако, самые выдающиеся исследования и многочисленные важные приложения стали возможны лишь после включения в область определения функции комплексных чисел. Впервые рассмотрел дзета-функцию как функцию мнимого аргумента немецкий математик Бернгард Риман, глубоко изучивший её свойства и широко применявший её в теории чисел. В честь него функция получила своё название.
Для комплексной дзета-функции остаётся в силе определение, данное в главе 1, с тем лишь изменением, что теперь там будет />C. Возникает необходимость найти новую область определения. С этой целью докажем следующее утверждение: в полуплоскости />(/>действительная часть числа x) ряд
/> (1) сходится абсолютно.
Пусть />. Подсчитаем абсолютные величины членов ряда (1), />. Первый множитель содержит только вещественные числа и />, так как />. Ко второму же множителю применим знаменитую формулу Эйлера, получим />/>. Значит, />. Ввиду сходимости ряда />при α>1, имеем абсолютную сходимость ряда (1).
На своей области определения дзета-функция аналитична. Действительно, при всяком q>0 и фиксированном α>1+q, числовой ряд/>мажорирует ряд из абсолютных величин />, где />, откуда, по теореме Вейерштрасса, следует равномерная сходимость ряда в полуплоскости/>. Сумма же равномерно сходящегося ряда из аналитических функций сама является аналитической функцией.
Нетрудно показать, что все полученные для дзета-функции формулы без изменений переносятся на случай комплексного аргумента. Доказательства претерпевают незначительные преобразования, связанные с переходом к абсолютным величинам.
В связи с этим замечанием становится возможным использовать разложение дзета-функции в произведение />, где sтеперь любое комплексное число, такое, что />. Применим его к доказательству отсутствия у функции />корней.
Оценим величину />, используя свойство модуля />: />, где как обычно />. Так как />, то />, а />, следовательно, дзета-функция в нуль не обращается.
продолжение--PAGE_BREAK--
Вопрос о нулях дзета-функции, а также другие прикладные вопросы получают новые широкие возможности для исследования, если распространить её на всю комплексную плоскость. Поэтому, сейчас мы одним из многих возможных способов найдём аналитическое продолжение дзета-функции и выведем её функциональное уравнение, характеризующее и однозначно определяющее />.
Для этого нам понадобится формула
/>(2), которая выводится следующим образом. Используя свойства интегралов можно записать />. Для любого dпри/>/>, значит />и />, а />. />. Следовательно,/>/>/>/>/>. Интеграл/>можно найти интегрированием по частям, принимая />, />; тогда />, а />. В результате />/>. Вычтем из этого интеграла предыдущий и получим />, отсюда легко следует равенство (2).
Теперь положим в (2) />, />, aи b– целые положительные числа. Тогда />/>. Пусть сначала />, примем a=1, а bустремим к бесконечности. Получим />. Прибавим по единице в обе части равенств:
/> (3).
Выражение />является ограниченным, так как />, а функция />абсолютно интегрируема на промежутке />при />, то есть при />, />. Значит, интеграл />абсолютно сходится при />, причём равномерно в любой конечной области, лежащей в комплексной плоскости справа от прямой />. Тем самым он определяет аналитическую функцию переменной s, регулярную при />. Поэтому правая часть равенства (3) представляет собой аналитическое продолжение дзета-функции на полуплоскость />и имеет там лишь один простой полюс в точке />с вычетом, равным единице.
продолжение--PAGE_BREAK--
Для />можно преобразовать выражение (3) дзета-функции. При />имеем />, значит, />и/>. Теперь при />(3) может быть записано в виде />.
Немного более сложными рассуждениями можноустановить, что вдействительности (3) даёт аналитическое продолжение дзета-функции на полуплоскость />. Положим />, а />, то есть />первообразная для />. />ограничена, так как />, а интеграл />/>и />/>ограничен из-за того, что />. Рассмотрим интеграл />при x1>x2и />. Проинтегрируем его по частям, приняв />, />, тогда />, а по указанному выше утверждению />. Получаем />/>. Возьмём />, а />. Имеем />, />, потому что/>является ограниченнойфункцией. Значит,
продолжение--PAGE_BREAK--
/>(4).
Пользуясь абсолютной сходимостью интеграла />, если/>, и ограниченностью функции />, делаем вывод, что в левой части равенства (4) интеграл тоже сходится при />. Значит формулой (3) можно продолжить дзета-функцию и на полуплоскость правее прямой />.
Нетрудно установить, что для отрицательных />/>, поэтому из (3) имеем
/>(5) при />.
Из теории рядов Фурье известно, что для нецелых значений xсправедливо разложение в ряд
/>(6).
Подставим его в равенство (5) и проинтегрируем ряд почленно:
/>. Сделаем в полученном интеграле подстановку />, отсюда следует />, а />, и получим далее/>. Известно, что />/>, значит/>/>. Из известного соотношения для гамма-функции />, по формуле дополнения />, следовательно />/>
Итак, мы получили функциональное уравнение дзета-функции Римана
/> (7),
которое само по себе может служить средством изучения этой функции, так как вполне характеризует её, в том смысле, что любая другая функция />, удовлетворяющая равенству (7), а также ещё некоторым естественным условиям, тождественна с />.
Пока, правда, как следует из рассуждений, мы доказали формулу (7) для />. Однако правая часть этого равенства является аналитической функцией sи при />. Это показывает, что дзета-функция может быть аналитически продолжена на всю комплексную плоскость, причём не имеет на ней никаких особенностей, кроме упоминавшегося полюса при />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Чтобы доказательство было строгим, мы должны ещё обосновать почленное интегрирование. Поскольку ряд (6) сходится почти всюду и его частичные суммы остаются ограниченными, почленное интегрирование на любом конечном отрезке допустимо. Ввиду />/>для любого />, остаётся доказать, что />/>при />. Но интегрируя внутренний интеграл по частям имеем />
/>. Отсюда без труда получается наше утверждение.
Функциональное уравнение дзета-функции (7) может быть записано многими способами. Например, заменим sна 1-s, получаем равносильное равенство
/>(8). Из него можно получить два небольших следствия.
Подставим в (8) вместо sчисло 2m, где m– натуральное число. Имеем />.По формуле (4) первой главы />/>, а />, поэтому />и произведя в правой части все сокращения, учитывая, что />, получим />.
Покажем ещё, что />. Для этого прологарифмируем равенство (8): />/>и результат продифференцируем />/>. В окрестности точки s=1 />, />/>, />, где С– постоянная Эйлера, а k– произвольная постоянная. Следовательно, устремляя sк единице, получим />, то есть/>. Опять из формулы (4) главы 1 при k=0 />, значит, действительно, />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Глава 3.
Как уже было сказано, дзета-функция Римана широко применяется в математическом анализе. Однако наиболее полно важность её выявляется в теории чисел, где она оказывает неоценимую помощь в изучении распределения простых чисел в натуральном ряду. К сожалению, рассказ о серьезных и нетривиальных применениях дзета-функции Римана выходит за рамки этой работы. Но чтобы хотя бы немного представить мощь этой функции, докажем с её помощью несколько интересных утверждений.
Например, известно, что простых чисел бесконечно много. Самое знаменитое элементарное доказательство принадлежит Евклиду. Оно состоит в следующем. Предположим, что существует конечное число простых чисел, обозначим их p1, p2, …, pn. Рассмотрим число p1p2…pn+1, оно не делится ни на одно из простых и не совпадает ни с одним из них, то есть является простым числом, отличным от вышеуказанных, что противоречит предположению. Значит, количество простых чисел не может быть конечным.
Другое доказательство этого факта, использующее дзета-функцию,было дано Эйлером. Рассмотрим данное в первой главе равенство (5) при s=1, получим />, отсюда />и ввиду расходимости гармонического ряда, имеем при />
/>(1). Если бы количество простых чисел было конечным, то и это произведение имело конечное значение. Однако, полученный результат свидетельствует об обратном. Доказательство завершено.
Теперь перепишем (1) в виде />. Опираясь на теорему о сходимости бесконечного произведения, из расходимости предыдущего делаем вывод, что ряд />расходится. Это предложение даёт некоторую характеристику роста простых чисел. Подчеркнём, что оно гораздо сильнее утверждения о расходимости гармонического ряда, так как здесь речь идёт лишь о частиего членов, тем более что в натуральном ряде имеются сколь угодно длинные промежутки без простых чисел, например: />, />, …, />.
Несмотря на свою простоту приведённые выше предложения важны в концептуальном плане, так как они начинают череду исследований всё более и более глубоких свойств ряда простых чисел, которая продолжается по сей день. Первоначально, основной целью изучения дзета-функции как раз и было исследование функции />, то есть количества простых чисел не превосходящих x. В качестве примера формулы, связывающей />и />, мы сейчас получим равенство
/> (2).
Сначала воспользуемся разложением дзета-функции в произведение: />. Из логарифмического ряда />, учитывая, что />, приходим к ряду />/>. Значит, />.
Теперь вычислим интеграл в правой части (2). Так как при />/>, то />. Во внутреннем интеграле положим />, тогда />и />, отсюда />.В промежутке интегрирования />, поэтому верно разложение />и />/>. Получаем />/>. Теперь />/>/>. Если сравнить полученное значение интеграла с рядом для />, то увидим, что они тождественны и равенство (2) доказано.
продолжение--PAGE_BREAK--
Используем формулу (2) для доказательства одной очень серьёзной и важной теоремы, а именно получим асимптотический закон распределения простых чисел, то есть покажем, что />.
В качестве исторической справки отмечу, что великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс эмпирически установил эту закономерность ещё в пятнадцатилетнем возрасте, когда ему подарили сборник математических таблиц, содержащий таблицу простых чисел и таблицу натуральных логарифмов.
Для доказательства возьмём формулу (2) и попытаемся разрешить это уравнение относительно />, то есть обратить интеграл. Сделаем это с помощью формулы обращения Меллина следующим образом. Пусть />/>. Тогда
/>(3). Этот интеграл имеет нужную форму, а />не повлияет на асимптотику />. Действительно, так как />, интеграл для />сходится равномерно в полуплоскости />, что легко обнаруживается сравнением с интегралом />. Следовательно, />регулярна и ограничена в полуплоскости />. То же самое справедливо и относительно />, так как />/>.
Мы могли бы уже применить формулу Меллина, но тогда было бы весьма затруднительно выполнить интегрирование. Поэтому прежде преобразуем равенство (3) следующим образом. Дифференцируя по s, получаем />. Обозначим левую часть через />и положим />, />, (/>, />и />полагаем равными нулю при />). Тогда, интегрируя по частям, находим />при />, или />.
Но />непрерывна и имеет ограниченную вариацию на любом конечном интервале, а так как/>, то />(/>) и />(/>). Следовательно, />абсолютно интегрируема на />при />. Поэтому />при />, или />при />. Интеграл в правой части абсолютно сходится, так как />ограниченна при />, вне некоторой окрестности точки />. В окрестности />/>и можно положить />, где />ограниченна при />, />и имеет логарифмический порядок при />. Далее, />/>. Первый член равен сумме вычетов в особых точках, расположенных слева от прямой />, то есть />. Во втором члене можно положить />, так как />имеет при />лишь логарифмическую особенность. Следовательно, />. Последний интеграл стремится к нулю при />. Значит,
продолжение--PAGE_BREAK--
/> (4).
Чтобы перейти обратно к />, используемследующую лемму.
Пусть />положительна и не убывает и пусть при />/>. Тогда />.
Действительно, если />— данное положительное число, то />/>(/>). Отсюда получаем для любого />/>. Но так как />не убывает, то />. Следовательно, />. Полагая, например, />, получаем />.
Аналогично, рассматривая />, получаем />, значит />, что и требовалось доказать.
Применяя лемму, из (4) имеем, что />, />, поэтому />и теорема доказана.
Для ознакомления с более глубокими результатами теории дзета-функции Римана могу отослать заинтересованного читателя к прилагаемому списку использованной литературы.
Список использованной литературы.
Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. Череповец, 2000 г.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том II. М.,1970 г.
Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.,1999 г.
Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.,1987 г.
Шафаревич З.А. Теория чисел. М.,1986г.