Реферат: Модель экспертной оценки

--PAGE_BREAK--Теорема 2.1(Янг [1975])

(а) Все отображения голосования, основанные на подсчете очков (подмножества кандидатов, которые выбирают, с наибольшим суммарным количеством очков), удовлетворяют аксиоме пополнения. Если при равенстве очков выбор проводится на основе фиксированного порядка на А, то соответствующие правила голосования также удовлетворяют аксиоме пополнения.

(b) Не существует зажиточного по Кондорсу правила голосования (или отображение голосования), которое бы удовлетворяло аксиоме пополнения.

Аксиома участия. Пусть кандидат а выбирается из множественного числа А избирателями из N. Рассмотрим дальше избирателя и за N. Тогда избиратели из NÈ{i} должны избрать или а, или кандидата, что для агента I и строго лучше а.

Значит, что если дополнительный голос действительно изменяет результат выборов, то это может быть только на руку «ключевому» избирателю.

Теорема 2.2 (Мулен [1986с])

(a) Для всех правил голосования с подсчетом очков, когда при равенстве очков выбор осуществляется с помощью заданного порядка на А, выполняется аксиома участия.

(b) Если А состоит хотя бы из четырех кандидатов, то ни одно зажиточное по Кондорсу правило голосования не удовлетворяет аксиоме участия.

Непрерывность. Пусть избиратели из N1 избирают кандидата а из A, а группа N2, которая не пересекается из N1, избирает другого кандидата b. Тогда существует достаточно большое число m дублей группы избирателей N1, такое что комбинированная группа избирателей (mN1)ÈN2 выберет а.

Теорема 2.3 (Янг [1975]).

Отображение голосования основано на методе подсчета очков (определение 2.3 без фиксации правила для случая равенства очков) тогда и только затем, когда оно удовлетворяет таким четырем свойствам:

анонимность, нейтральность

аксиома пополнения и непрерывность.


<img width=«76» height=«92» src=«ref-1_864792116-456.coolpic» v:shapes="_x0000_s1026 _x0000_s1027 _x0000_s1028 _x0000_s1029 _x0000_s1030 _x0000_s1031 _x0000_s1032 _x0000_s1033 _x0000_s1034">


Голосование с последовательным исключением.

Сначала по правилу большинства исключается или а, или b, потом по правилу большинства проводится сравнение победителя первого раунда и с и так далее. В случае равенства проигрывает нижний кандидат.

В этом процессе поправок пусть а — поправка, b — поправка к поправке, с — исходное предложение, d — status quo.

Этот метод удовлетворяет аксиоме по Кондорсу: если а — победитель по Кондорсу, то он выигрывает. В действительности возможность при сравнениях по правилу большинства справедливая в более широком содержании.

Возможность по Смиту. Если множественное число А кандидатов разбивается на два подмножества В1, B2, что не пересекаются, и каждый кандидат b1ÎВ1 выигрывает (за суровым большинством) у любого кандидата b2ÎВ2, то должен быть избран результат из В1.

С другой стороны, голосование при последовательном исключении очевидно не является нейтральным. Порядок исключений, конечно, влияет на результат.

Правило равномерного исключения.Сначала по правилу большинства выравниваются пары а из b и с из d. Победители встречаются в финале, где сравниваются по правилу большинства. В случае равенства выбирается кандидат, который идет раньше по алфавиту.

Это — опять зажиточный по Кондорсу метод. Более того, для избрания каждому кандидату х нужно победить в двух сравнениях по правилу большинства. Допустимо сначала, что равенства при сравнении с этими двумя кандидатами нет (х выигрывает для сурового большинства). Тогда х не может доминироваться по Парето некоторым кандидатом в, иначе b был бы победителем по Кондорсу. Следовательно, метод равномерного исключения выбирает оптимальный по Парето результат в случае, когда при бинарных выборах нет равенств. Однако если равенства возможны, то оптимум по Парето может нарушаться.

Бинарным деревомна А есть такое конечное дерево, в котором каждой нефинальной вершине (включая начальную) отвечают ровно две следующие, а каждой финальной вершине (у которой нет следующих) приписан кандидат (элемент из A), причем каждый кандидат появляется по крайней мере в одной финальной вершине.

Среди бинарных деревьев самыми простыми являются те, в которых каждый кандидат приписан ровно одной вершине. Назовем их деревьями без повторных исключений.

Лемма 2.1(а) Если А состоит из трех кандидатов, то дерево после последовательного исключения является единственным безповторним деревом. Соответствующее правило голосования оптимально за Парето (при нашем условии, что все сравнения по большинства суровые). (b) Если А состоит из четырех кандидатов, то есть только два безповторних деревья: последовательное исключение и ривнобижне исключение. Первое из них нарушает оптимум за Парето, а последнее — нет. (c) Если А содержит пять или больше кандидатов, то любое исключение по безповторному дереву приводит к избранию кандидата для некоторых профилей, во что доминируется по Парето.

Существует бинарное дерево, определенное для произвольного количества участников, что позволяет избежать обеих этих опасностей. Соответствующие последовательные исключения порождают оптимальное по Парето, анонимное и монотонное правило голосования. Это дерево называется деревом многоэтапного исключения.

Для каждого конкретного упорядочения кандидатов существует по одному такому дереву. Обозначим через Гp(1,2,… ,р) дерево, которое отвечает порядку A={1,2..., р}. Определим его индуктивно по размеру А:
<img width=«423» height=«95» src=«ref-1_864792572-1857.coolpic» v:shapes="_x0000_s1035 _x0000_s1036 _x0000_s1037 _x0000_s1038 _x0000_s1039 _x0000_s1040 _x0000_s1041 _x0000_s1042 _x0000_s1043">
Да, для трех и четырех кандидатов получаем:


<img width=«484» height=«148» src=«ref-1_864794429-2540.coolpic» v:shapes="_x0000_s1044 _x0000_s1045 _x0000_s1046 _x0000_s1047 _x0000_s1048 _x0000_s1049 _x0000_s1050 _x0000_s1051 _x0000_s1052 _x0000_s1053 _x0000_s1054 _x0000_s1055 _x0000_s1056 _x0000_s1057 _x0000_s1058 _x0000_s1059 _x0000_s1060 _x0000_s1061 _x0000_s1062 _x0000_s1063 _x0000_s1064 _x0000_s1065 _x0000_s1066 _x0000_s1067 _x0000_s1068 _x0000_s1069 _x0000_s1070">
При р кандидатах образуются 2p-l финальные вершины; кандидат 1 приписанный 2p-2 финальным вершинам, а кандидат р только одной. Тем не меньше для избрания даже кандидату р нужно победить в р-1 дуэлях (хотя ему возможно придется по нескольку раз столкнуться с тем же оппонентом). Хотя дерево многоэтапного исключения большое, его решение (то есть вычисление кандидата, который выигрывает) может быть получено с помощью очень простого алгоритма.

Теорема 2.4(Шепсл и Вейнгаст [1984]).

Заданы дерево многоэтапного исключения Гp(1,2,… ,ри профиль преимущества, которое отвечает мажоритарному турниру Т. Кандидат а* может быть найден по такому алгоритму:
<img width=«328» height=«103» src=«ref-1_864796969-1157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032"> (12)

Следствие теоремы 2.4.

Кандидат а, что выбирается по дереву многоэтапного исключения с турниром Т, удовлетворяет условию:

для любого bÎА,b¹а:
{аТb}і/или {для некоторого с,аТс і сTb}.       (14)
В частности, а оптимальный по Парето. Более того, дерево многоэтапного исключения порождает монотонный метод голосования.

Среди зажиточных по Кондорсу правил голосования мы обнаружили три метода, которые удовлетворяют основным требованиям оптимума по Парето, анонимности и монотонности: множественное число победителей по Копленду, множественное число победителей по Симпсону и дерево многоэтапного исключения. Первые два нейтральные, но могут выделять несколько победителей (дополнительное правило при равенстве очков нарушит нейтральность). Заметим, что победитель при многоэтапном исключении находится быстрее, поскольку алгоритм (12) в среднем нуждается в сравнении не больше половины от всех p(p-l) пар. В то же время для определения победителей по Копленду и Симпсону нужно провести весь турнир сравнений по правилу большинства.




3.               
Математические методы решения
В предыдущем разделе были описанные методы подсчета глазков и основные требования к ним. Сравним эти методы. Как было отмечено, найлегшим среди них, но и наихудшим, есть правило относительного большинства. Можно убедиться, что в действительности оно противореччит мнению большинства. Поэтому оно не может быть выбрано для компьютерной реализации. Как Борда, так и Кондорсе заметили, что правило относительного большинства может приводить к избранию плохого кандидата, точнее такого кандидата, что в парном сравнении по правилу большинства проигрывает любому другому кандидату.

Для того, чтобы перебороть этот изъян, Кондорс и Борде предложили отказаться от правила относительного большинства, причем каждый из них предложил свое правило вместо данного. Кондорс предложил выбирать кандидата, который побеждает любого другого кандидата в парном сравнении, если такой победитель по Кондорсу существует. Борде предложил приписать очко каждому кандидату, который линейно растет в зависимости от его ранга в преимуществе избирателя. Потом он предложил избрать кандидата, который получил наибольшее суммарное количество очков у всех избирателей. Эти две идеи порождают два больше всего важных семейств правил голосования.

Результаты этих правил голосования могут сильно отличаться по свойствам. Одним из таких свойств есть аксиома монотонности. Правило голосование называется монотонным, если кандидат остается избранным при усилении его поддержки (то есть когда относительная позиция данного кандидата в чьих-то преимуществах улучшается, а относительные позиции других кандидатов не изменяются). Все методы подсчета глазков являются монотонными, но некоторые известные методы, что возникают из подсчета глазков, не являются такими. Примерами таких правил служит очень популярное правило относительного большинства с выбыванием и метод альтернативних голосов.

Есть две аксиомы, которые приводят к критике зажиточных по Кондорсе правил (поскольку данные правила нарушают эти аксиомы). С другой стороны, на этих аксиомах основана характеризация метода подсчета глазков. Эти аксиомы сравнивают кандидатов, избранных разнообразными группами избирателей. Они называются свойствами пополнения и участия. Пополнение значит, что если две группы избирателей, которые не пересекаются, (например, сенат и палата представителей) избирают того же кандидата а, то объединение этих двух избирательных органов подтвердит избрание а. Участие значит, что избиратель не может выиграть, воздерживаясь от голосования, в сравнении с возможностью принимать участие в голосовании и выразить свои преимущества. Любое зажиточное по Кондорсе правило нарушает обе этих аксиомы. В противовес этому правила подсчету очков характеризуются свойством пополнения (теорема Янга) и удовлетворяют аксиоме участия. Теорема Янга в настоящее время является самым существенным доказательством в поддержку методов подсчета очков, в частности системы очков Борда.

Зажиточные по Кондорсу правила голосования все же чрезвычайно популярны, в частности, благодаря простоте доведения парного сравнения по правилу большинства. Соответствующий класс зажиточных по Кондорсу методов основан на последовательных сравнениях по правилу большинства. Законопроект и многочисленные поправки к нему в конгрессе США голосуются именно таким способом. Известен метод последовательного исключения может нарушать условие оптимума по Парето. Другие методы, основанные на бинарных деревьях парных сравнений по правилу большинства, противоречат аксиоме монотонности. Наиболее простое правило, которое основано на последовательном сравнении и является оптимальным по Парето и монотонным, называется многоэтапным методом исключения. При использовании этого метода нужно меньше парных сравнений, чем в других, концептуально более простых методах, например в правиле Копленда. По последнему правилу избирается тот, кто выигрывает большинство парных дуэлей. Таким образом, голосование, основанное на последовательных парных сравнениях, может удовлетворять больше всего важным аксиоматическим требованиям, но только в том случае, если мы аккуратно выберем эту последовательность.

Правила Борда, относительного большинства и антибольшинства являют собой примеры правил голосования с подсчетом очков. Однако правило антибольшинства явно не монотонно, а правило относительного большинства – несправедливое.

Победитель Борда не может быть наихудших по Кондорсу, так как он является кандидатом, который имеет наивысший средний балл. По этому правилу всегда находятся оптимальный по Парето победитель или их множественное число. Примерами зажиточных по Кондорсу правил являются правила Копленда и Симпсона. Так же, как и правило Борда или любой другой метод подсчета очков, эти правила выбирают для каждого профиля подмножество победителей, которое может состоять из нескольких кандидатов, которые получили одинаковую оценку.

Как уже было отмечено, правила голосования должны быть монотонные, оптимальные по Парето, анонимные и нейтральные. Все правила голосования с подсчетом очков, кроме правила антибольшинства, оптимальны по Парето, монотонные, анонимные и нейтральные, если мы не указываем, что делать при равенстве очков. Кроме того, правила голосования должны удовлетворять аксиоме участия и пополнения. Метод Борда относится к этим правилам (это было показано в предыдущем разделе).

Правила Борда и Копленда, как отмечает Мулен, опираясь на практику, не очень части приводят к равенству очков, потому в этом ракурсе является наилучшими. Однако методы Кондорсе, к которым относится и правило Копленда, для некоторых профилей может не удовлетворять аксиоме участия.

Следующей группой правил являются правила, основанные на последовательном исключении за методом подсчета очков (относительное большинство с выбыванием, метод альтернативных голосов). Однако эти правила, как и любые другие методы, с выбыванием кандидатов нарушают свойство монотонности для некоторых профилей.

Метод ривнобижного исключения выбирает оптимальный за Парето результат в случае, когда при бинарных выборах нет ривностей. Однако если равенству возможные, то оптимум за Парето может нарушаться. Невзирая на выше перечисленные трудности, возможность за Кондорсе, широко известная в качестве демократического принципа, в то время как правило Борда «скрывает» настоящие симпатии избирателей за математической формулой. К зажиточным по Кондорсу правилам относят также следующие методы голосования:

а) голосование с последовательным исключением. При очевидных причинах это правило не является нейтральным и оптимальным по Парето, так как порядок исключений влияет на результат голосования. Определяя повестку дня, председатель фактически контролирует процесс выборов. Однако это правило достаточно широко используется Конгрессом США;

б) правило равномерного исключения. Оно порождает дерево без повторных исключений и требует проведения целого ряда мажоритарных турниров. Как было доказано в предыдущем разделе, бинарное дерево может дать оптимальное по Парето правило голосование только в более сложном случае, чем безповторне дерево. Также может нарушаться монотонность;

в) дерево многоэтапных исключений. Этот метод обеспечивает проведение наполовину меньшего количества мажоритарных турниров, чем метод Копленда. Оно имеет большой размер. Кандидатам, возможно, нужно принимать участие в дуэлях с тем же оппонентом по нескольку раз. Однако его алгоритм является достаточно простым. Дерево многоэтапного исключения порождает оптимальный за Парето и монотонный метод голосования. Всегда находится единственный победитель, а не множественное число. Однако этот метод порождает все трудности, которые связаны с использованием бинарных деревьев.

Таким образом, была проведена сравнительная характеристика всех методов голосования большинством голосов с исключением случаев безразличия и представления неправдивой информации.

Среди зажиточных по Кондорсу правил голосования мы обнаружили три метода, которые удовлетворяют основным требованиям оптимума по Парето, анонимности и монотонности: множественное число победителей по Копленду, множественное число победителей по Симпсону и дерево многоэтапного исключения. Среди методов подсчета очков наилучшим оказался метод определения победителя по Борду. Зажиточные по Кондорсу правила примененные на парном сравнении кандидатов по правилу относительного большинства. Для рядового избирателя они являются наиболее понятными.

Правило Борда удовлетворяет аксиоме участия и пополнения, но скрывает за математической формулой настоящие преимущества избирателей.

Для программной реализации выберем один из методов Копленда как самый простой и для сравнения определим победителя за Борда.

Приведем еще раз правила Копленда и Борда для того, чтобы перейти к формулировке алгоритма программы.

Правило Борда.Каждый избиратель сообщает свои преимущества, ранжируя р кандидатов от лучшего к худшему (безразличность запрещается). Кандидат не получает очков за последнее место, получает одно очко за предпоследнее и так далее, получает р-1 очков за первое место. Побеждает кандидат с наибольшей суммой очков. Он называется победителем по Борду.

Правило Копленда.Сравним кандидата а с любым другим кандидатом х. Начислим ему +1, если для большинства а лучше за х, -1, если для большинства х лучше за а, и 0 при равенстве. Суммируя общее количество очков по всем х, х¹
аполучаем оценку Копленда для а. Избирается кандидат, названный победителем по Копленду, с наивысшей из таких оценок.

Считаем, что входными данными задачи является уже сгруппированная информация: сформированные группы избирателей с одинаковыми в каждой группе рангами преимуществ. Однако допускается и занесение информации каждым избирателем отдельно.




4.               
Описание алгоритма

В данном разделе наводятся алгоритмы для нахождения победителей выборов. Для определения победителей Борда и Копленда воспользуемся непосредственно приведенными выше правилами, то есть реализуем их программно. Сложность алгоритмов, описанных ниже, прямо пропорциональна количеству групп избирателей и количества кандидатов, что еще раз подтверждает принадлежность данной задачи к Р-типу.
4.1          
Определение победителя Борда
Для нахождения оценок Борда кандидаты ранжируются, то есть за каждое место в шкале избирателей кандидат получает определенное количество баллов.

Далее эти баллы суммируются.

Введем следующие переменные.

Пусть М – количество кандидатов;        

S – количество групп избирателей;        

Nаme[M] – массив имен избирателей;    

Rаng[1..M, 1..S] – профиль преимуществ;        

Many[S] – количество избирателей в каждой группе;        

Bord[M] – массив оценок кандидатов.

Рассматриваем отдельно каждую группу избирателей. Для этой группы кандидат получает оценку [количество избирателей many[i]]*([количество кандидатов M] – [текущее значение счетчика j]). Найденная оценка добавляется к предыдущей. Алгоритм продолжает работу до тех пор, пока не будут рассмотрены все группы избирателей (i=S).

По правилу Борда получаем следующий алгоритм для нахождения оценок Борда.


<img width=«473» height=«814» src=«ref-1_864798126-6829.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">

Рис. 4.1 Алгоритм нахождения оценок Борда.




<img width=«443» height=«785» src=«ref-1_864804955-6162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">

Рис. 4.2 Алгоритм нахождения оценок Копленда (начало)




4.2          
Нахождение оценки Копленда
Для нахождения оценки Копленда кроме выше приведенных используем следующие переменные: Kopl[M] – массив оценок Копленда; Vybor1, vybor2 – вспомогательные переменные; используются для пересмотра имен кандидатов из массива имен name.

Сравнение проходит следующим образом.

Переменной vybor1 присваиваем значение имени первого кандидата из множественного числа имен name (contrl=1), а vybor2 – следующее (k=contrl+1). Если vybor1 находится выше, чем vybor2, в преимуществах избирателей всех групп, то к оценке Копленда (kopl[contrl]) кандидата vybor1 добавляется глазок, а vybor2 (kopl[k]) – отнимается и наоборот. Дальше переменной vybor2 присваивается следующее значение из массива имен (k=k+1), и процедура сравнения опять повторяется. Цикл продолжается до тех пор, пока не исчерпаются имена в списке кандидатов.

После этого переменной vybor1 присваивается второе имя из списка кандидатов (contrl=contrl+1), а vybor2 – третья. Опять проходит цикл по переменной vybor2. Цикл по переменной         vybor1 заканчивается тогда, когда будут пересмотрены все кандидаты.

Получаем следующий алгоритм нахождения оценки Копленда.




<img width=«462» height=«830» src=«ref-1_864811117-10326.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035">

Рис. 4.3 Алгоритм нахождения оценок Копленда (конец)


    продолжение
--PAGE_BREAK--