Реферат: Топологические пространства

--PAGE_BREAK--Достаточность. Пусть непрерывное отображение f замкнуто над каждой точкойyÎY. Предположим, что образ f (F) некоторого замкнутого в Х множества Fне замкнут в Y. Пусть точка  y Î [f(F)] \ f(F), т.е. принадлежит границе множества f (F). Множество X \ Fявляется окрестностью множества f –1(y). Следовательно, существует такая окресность Oyточки y, что f –1(Oy) Ì X \ F. Но тогда  Oy ∩ f (F) = Æ и поэтому точка y Ï [f (F)].
Получили противоречие. Отсюда, отображение f замкнуто. €
Следующие утверждения указывают на некоторые важнейшие примеры замкнутых отображений.
Предложение 2.1. Непрерывное отображение f :X ® Y компактного пространства X в хаусдорфово пространство Y является замкнутым.
Доказательство. Рассмотрим произвольное множество F, замкнутое в Х. Оно будет компактным (по теореме 1.7). Тогда непрерывный образ f (F) компактного множества F будет компактен в Y (по теореме 1.9). Пространство Y хаусдорфово, следовательно, множество f (F) – замкнуто (в силу теоремы 1.8). Таким образом, отображение f является замкнутым. 
Следствие 2.1. Биективное непрерывное отображение f :X ® Y компактного пространства X на хаусдорфово пространство Y является гомеоморфизмом.
Доказательство. Рассмотрим произвольное замкнутое подмножество F компактного пространства X. В силу предложения 2.1, образ f (F) – замкнутое множество. Тогда, по теореме 1.1, отображение f  –1 является непрерывным, следовательно, f – гомеоморфизм.ÿ
Предложение 2.2. Пусть отображение f :X ® Y замкнуто над точкой y Î Y и пусть множество Z замкнуто в X. Тогда подотображение g = f |Z :Z ® Y замкнуто над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто (над каждой точкой y Î Y), то и отображение g замкнуто.
Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î Y и рассмотрим окрестность U Ì Z слоя g–1(y). Тогда в Х найдётся открытое множество  U¢  такое, что  U = U¢ <shape id="_x0000_i1056" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image039.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb70760.zip» v:shapes="_x0000_i1056"> Z.  Множество  O = U¢ <shape id="_x0000_i1057" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image041.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb70750.zip» v:shapes="_x0000_i1057"> (X \ Z)  будет окрестностью слоя  f –1(y). Отображение f замкнутое над точкой  y Î Y,  поэтому найдётся такая окрестность Oy точкиy, что       f –1(Oy) Ì O. Тогда g–1(Oy) Ì Z <shape id="_x0000_i1058" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image042.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb70760.zip» v:shapes="_x0000_i1058"> O = Z <shape id="_x0000_i1059" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image043.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb70760.zip» v:shapes="_x0000_i1059"> U¢ = U.
В силу произвольности выбора точки y Î Y, можно заключить, что если отображение f замкнутое над каждой точкой y Î Y, то и отображение g замкнутое над каждой точкой y Î Y. 
Предложение 2.3. Пусть отображение f :X®Yзамкнуто над точкой y Î T Í Y, где T– произвольное множество в Y.Тогдапод-отображение  g = f |<shape id="_x0000_i1060" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image044.wmz» o:><img width=«41» height=«21» src=«dopb70761.zip» v:shapes="_x0000_i1060"> :f –1(T) ® Tзамкнуто над точкой y. В частности, если отображение fзамкнуто (над каждой точкой y Î T), то и отображение gтоже замкнуто (над каждой точкой  y Î T).
Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î T Í Y и некоторую окрестность О слоя g–1(y) = f –1(y), такую что
O = O' <shape id="_x0000_i1061" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image046.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb70760.zip» v:shapes="_x0000_i1061"> f –1(T),
где О¢ – открытое в Х множество.Так как отображение fзамкнутое над точкой y, найдётся такая окрестность O'y в Y точки y, что            f –1(O'y) Ì О'. Тогда в Т существует  такая окрестность Oy точки y, что Oy = Oy' <shape id="_x0000_i1062" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image047.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb70760.zip» v:shapes="_x0000_i1062"> T, и  f –1(Oy) = g–1(Oy) Ì O' <shape id="_x0000_i1063" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image046.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb70760.zip» v:shapes="_x0000_i1063"> f –1(T) = О. Следовательно, отображение gбудет замкнуто над y Î Y.
Если отображение  f  замкнутое над каждой точкой y, то и отображение g будет замкнутым над каждой точкой y. 
Установим теперь связь между связными и послойно связными замкнутыми отображениями.
Предложение 2.4. Пусть отображение f :X→Y замкнуто над точкой y Î Y  и слой f –1(y) является несвязным множеством. Тогда отображение f несвязное над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто и каждый его слой несвязен, то оно несвязное над каждой точкой y Î Y.
Доказательство. Поскольку слой f –1(y) является несвязным множеством, то найдутся такие непустые открытые в f–1(y) множества О1 и О2, что О1 ∩ О2 = Æ и О1 <shape id="_x0000_i1064" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image011.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb70750.zip» v:shapes="_x0000_i1064"> О2 = f  –1(y). Тогда в Х существуют открытые множества Q1 и Q2 такие, что
O1 = Q1<shape id="_x0000_i1065" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image048.wmz» o:><img width=«17» height=«23» src=«dopb70762.zip» v:shapes="_x0000_i1065"> f  –1(y),            O2 = Q2 <shape id="_x0000_i1066" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image048.wmz» o:><img width=«17» height=«23» src=«dopb70762.zip» v:shapes="_x0000_i1066"> f  –1(y).
Рассмотрим замыкание этих множеств <shape id="_x0000_i1067" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image050.wmz» o:><img width=«34» height=«27» src=«dopb70763.zip» v:shapes="_x0000_i1067"> и <shape id="_x0000_i1068" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image052.wmz» o:><img width=«36» height=«27» src=«dopb70764.zip» v:shapes="_x0000_i1068"> в Х. Их пересечение <shape id="_x0000_i1069" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image054.wmz» o:><img width=«116» height=«25» src=«dopb70765.zip» v:shapes="_x0000_i1069"> есть замкнутое множество, и F <shape id="_x0000_i1070" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image048.wmz» o:><img width=«17» height=«23» src=«dopb70762.zip» v:shapes="_x0000_i1070"> f  –1(y) = Æ (т.к.О1 и О2 замкнутые в f  –1(y), как дополнения до открытых). Множество О = (Q1<shape id="_x0000_i1071" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image056.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb70750.zip» v:shapes="_x0000_i1071"> Q2) \ F открыто в Х, причём  f  –1(y) Ì О. Для этой окрестности О (в силу замкнутости отображения f  ) найдётся такая окрестность Oy точки y, что  f  –1(Oy) Ì О. Пусть G1 = f  –1(Oy) <shape id="_x0000_i1072" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image057.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb70760.zip» v:shapes="_x0000_i1072"> Q1 и G2 = f  –1(Oy) <shape id="_x0000_i1073" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image058.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb70760.zip» v:shapes="_x0000_i1073"> Q2 – открытые в f  –1(Oy) множества. Так как
<shape id="_x0000_i1074" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image054.wmz» o:><img width=«116» height=«25» src=«dopb70765.zip» v:shapes="_x0000_i1074"> Ì Х \ f  –1(Oy),
то G1 ∩ G2 = Æ. Тогда f –1(Oy) = G1 <shape id="_x0000_i1075" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image011.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb70750.zip» v:shapes="_x0000_i1075">G2. Следовательно, трубка f –1(Oy) несвязна.
Пусть U Í Oy– произвольная окрестность точки y. Тогда <shape id="_x0000_i1076" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image059.wmz» o:><img width=«138» height=«28» src=«dopb70766.zip» v:shapes="_x0000_i1076"> и <shape id="_x0000_i1077" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image061.wmz» o:><img width=«138» height=«28» src=«dopb70767.zip» v:shapes="_x0000_i1077"> – дизъюнктные множества, открытые вf  –1(U),  и непустые, т.к. О1 Ì <shape id="_x0000_i1078" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image063.wmz» o:><img width=«23» height=«28» src=«dopb70768.zip» v:shapes="_x0000_i1078"> и О2 Ì <shape id="_x0000_i1079" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image065.wmz» o:><img width=«25» height=«28» src=«dopb70769.zip» v:shapes="_x0000_i1079">. Следовательно, для любой окрестности U Í Oy трубка f  –1(U) несвязна. Отображение f  несвязно над точкой y по определению.
Если отображение f замкнутое над каждой точкой  y Î Y  и каждый его слой несвязн, тогда, для произвольной точки y, отображение f  будет несвязным над ней, следовательно, и над каждой точкой y Î Y.
Из установленного предложения автоматически вытекает
Следствие 2.2. Пусть отображение f :X→Y замкнуто над точкой y Î Yи связно над точкой y. Тогда слой f –1(y) является связным множеством. В частности, если f замкнутое и связное отображение, то оно послойно связное.
Предложение 2.5. Пусть отображение f :X→Y замкнутое и послойно связное. Тогда оно связное.
Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î Y и предположим, что отображение f несвязно над точкой y. Тогда существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y. Зафиксируем некоторую такую связную окрестность U, для которой выполняются следующие условия:
f –1(U) = О1 <shape id="_x0000_i1080" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image011.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb70750.zip» v:shapes="_x0000_i1080"> О2,       О1 ∩ О2 = Æ,
где О1 и О2 – непустые открытые в  f –1(U) множества.
Слой f –1(y) связен и f –1(y) Ì f –1(U), отсюда,  f –1(y) содержится либо в О1, либо в О2 (по теореме 1.4). Рассмотрим произвольную точку х1ÎО1. Образ этой точки f (x1) = y1 Ì U. По условию, слой f –1(y1) связен и  f –1(y1) Ì О1 <shape id="_x0000_i1081" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image011.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb70750.zip» v:shapes="_x0000_i1081">О2 = f –1(U). Поскольку О1 ∩ О2 = Æ и х1ÎО1, следовательно (по теореме 1.4),  f –1(y1) Ì О1. (Другими словами, если одна точка слоя принадлежит множеству О1, то и весь слой принадлежит этому множеству.)
Отсюда, так как точка х1 произвольная, то О1 = f –1( f (O1)). Аналогично доказывается, что О2 = f –1(f (O2)).
Отображение f  замкнутое, тогда, по теореме 2.3, подотображение  g = f : f –1(Oy) ® Oy также замкнутое. Таким образом, множества f (O1) = g (O1)  и  f (O2) = g (O2) будут непересекающимися открыто-замкнутыми в U и U = f (O1) <shape id="_x0000_i1082" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image067.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb70750.zip» v:shapes="_x0000_i1082"> f (O2), т.е. окрестность U несвязна. Это противоречит выбору окрестностиU. 
Для замкнутых отображений итоговую взаимосвязь между послойной связностью и связностью теперь можно выразить в форме следующей теоремы:
Теорема 2.3.Замкнутое отображение f :X→Y связно тогда и только тогда, когда оно послойно связно.
(Вытекает из следствия 2.1 и предложения 2.5).
Из последней теоремы и предложений 2.2 – 2.3 получаются такие следствия:
Следствие 2.3. Пусть отображение f :X→Y замкнутое, Z Í X замкнуто в Х. Подотображение g = f |Z :Z ® Y является связным тогда и только тогда, когда оно послойно связное.
Следствие 2.4. Пусть отображение f :X→Y замкнутое, T Í Y произвольное множество. Подотображение  g = f |<shape id="_x0000_i1083" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image044.wmz» o:><img width=«41» height=«21» src=«dopb70761.zip» v:shapes="_x0000_i1083"> :f –1(T) ® T является связным тогда и только тогда, когда оно послойно связное.
Рассмотренные здесь свойства будут использованы в следующих пунктах в качестве основы для построения примеров связных и несвязных отображений.
2.3. Связь между связностью пространств
и отображений
Пусть пространство Y = {*} – одноточечное. В этом случае отображение f :X→Y непрерывно и является связным (несвязным) тогда и только тогда, когда пространство Х связно (несвязно), т.к. трубки и слои над пространством Y совпадают со всем пространством Х.
Этот факт позволяет строить многочисленные примеры связных и несвязных отображений. Для этого достаточно взять связные и несвязные пространства и отображение их в одноточечные множества.
Пример. Рассмотрим отображение f : [-1;1] ® R, для которого f (х) = 0 при любом х Î [-1;1]. Отображение f связно тогда и только тогда, когда слой  f –1(y) над точкой y = 0 связен. Но f –1(0) = [-1;1] – связное множество. Причём, понятия трубки и слоя над точкой y = 0 совпадают, поэтому отображение f является связным и послойно связным.
Если отображение f : [-1;1] <shape id="_x0000_i1084" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image068.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb70750.zip» v:shapes="_x0000_i1084"> [2;3] ® R задано условием  f (х) = 0 для любого х Î [-1;1] <shape id="_x0000_i1085" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image068.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb70750.zip» v:shapes="_x0000_i1085"> [2;3], то оно несвязно (послойно несвязно) над точкой y = 0 в силу несвязности трубки (слоя) f –1(0) = [-1;1] <shape id="_x0000_i1086" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image068.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb70750.zip» v:shapes="_x0000_i1086"> <shape id="_x0000_i1087" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image068.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb70750.zip» v:shapes="_x0000_i1087"> [2;3].
В рассмотренных примерах пространство Y является связным. Это условие и условие связности отображения f оказались необходимым и достаточным условием для связности пространства Х. Более того, имеет место
Теорема 2.4.Пусть сюръективное отображение f :X→Y непрерывно и связно. Пространство  X является связным тогда и только тогда, когда пространство Y связное.
Доказательство. Необходимость. По теореме 1.5 (§1), если  f : Х→Y непрерывное отображение,  f (X) = Y и  Х связно, то Y связно.
Достаточность. Пусть пространство Y связно. Предположим, что пространство Х несвязно. Тогда в Х найдутся такие непустые дизъюнктные открытые множества О1 и О2, что О1 <shape id="_x0000_i1088" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image068.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb70750.zip» v:shapes="_x0000_i1088"> О2 = Х. Допустим, что найдётся точка y Î <shape id="_x0000_i1089" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image069.wmz» o:><img width=«157» height=«27» src=«dopb70770.zip» v:shapes="_x0000_i1089">. Тогда в любой окрестности слоя f –1(y) содержаться как точки множества О1, так и точки множества О2. С другой стороны,  f –1(y) Ì f –1(U), где трубка f –1(U) является связным множеством (в силу связности отображения f над точкой y) и должна содержаться либо в О1, либо в О2 (по теореме 1.4). Получили противоречие. Следовательно,
<shape id="_x0000_i1090" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image069.wmz» o:><img width=«157» height=«27» src=«dopb70770.zip» v:shapes="_x0000_i1090"> = Æ,
т.е. <shape id="_x0000_i1091" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image071.wmz» o:><img width=«59» height=«24» src=«dopb70771.zip» v:shapes="_x0000_i1091">  и  <shape id="_x0000_i1092" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image073.wmz» o:><img width=«60» height=«24» src=«dopb70772.zip» v:shapes="_x0000_i1092"> – непустые дизъюнктные замкнутые множества. Но f (О1) <shape id="_x0000_i1093" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image068.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb70750.zip» v:shapes="_x0000_i1093"> f (О2) = Y, значит,
<shape id="_x0000_i1094" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image075.wmz» o:><img width=«68» height=«27» src=«dopb70773.zip» v:shapes="_x0000_i1094"> = f (О1)     и    <shape id="_x0000_i1095" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image077.wmz» o:><img width=«71» height=«27» src=«dopb70774.zip» v:shapes="_x0000_i1095"> = f (О2),
т.е. эти множества открыто-замкнутые. Это противоречит связности пространства Y.
Таким образом, предположение о несвязности топологического пространства Х неверно, а верно то, что требуется доказать. €
Другой связи между связностью пространств и связностью отображений может и не быть.
<oval id="_x0000_s1026" o:allowincell=«f» fillcolor=«gray»><fill src=«15276.files/image079.gif» o: type=«pattern»><img width=«137» height=«140» src=«dopb70775.zip» v:shapes="_x0000_s1026"><oval id="_x0000_s1027" o:allowincell=«f»><img width=«67» height=«65» src=«dopb70776.zip» v:shapes="_x0000_s1027"><shapetype id="_x0000_t202" coordsize=«21600,21600» o:spt=«202» path=«m,l,21600r21600,l21600,xe»><path gradientshapeok=«t» o:connecttype=«rect»><shape id="_x0000_s1028" type="#_x0000_t202" o:allowincell=«f» strokecolor=«white»>  <line id="_x0000_s1029" from=«316.65pt,6.2pt» to=«316.65pt,153.95pt» o:allowincell=«f»><img width=«13» height=«200» src=«dopb70777.zip» v:shapes="_x0000_s1029"><line id="_x0000_s1030" from=«234.15pt,87.2pt» to=«396.9pt,87.2pt» o:allowincell=«f»><img width=«220» height=«13» src=«dopb70778.zip» v:shapes="_x0000_s1030"><shape id="_x0000_s1031" type="#_x0000_t202" o:allowincell=«f» strokecolor=«white»>  <shape id="_x0000_s1032" coordsize=«1500,1875» o:allowincell=«f» path=«m,c57,232,212,1082,330,1395v118,313,245,480,375,480c835,1875,978,1702,1110,1395,1242,1088,1419,315,1500,30e» filled=«f»><img width=«102» height=«127» src=«dopb70779.zip» v:shapes="_x0000_s1032"><polyline id="_x0000_s1033" points=«99.15pt,146.45pt,99.2pt,7.15pt» coordsize=«1,2786» o:allowincell=«f» filled=«f»><img width=«13» height=«188» src=«dopb70780.zip» v:shapes="_x0000_s1033"><line id="_x0000_s1034" from=«18.15pt,109.7pt» to=«191.4pt,109.7pt» o:allowincell=«f»><img width=«234» height=«13» src=«dopb70781.zip» v:shapes="_x0000_s1034"><shape id="_x0000_s1036" type="#_x0000_t202" o:allowincell=«f» strokecolor=«white»><shape id="_x0000_s1035" type="#_x0000_t202" o:allowincell=«f» strokecolor=«white»><img width=«259» height=«269» src=«dopb70782.zip» v:shapes="_x0000_s1036"> <img width=«259» height=«269» src=«dopb70782.zip» v:shapes="_x0000_s1035">
Примеры. Пусть отображение f :X→Y непрерывно. Если пространство Х связно, то и его образ f (X) связен, но отображение f  не обязано быть связным. А именно, пусть f : R ® [0; + ¥], и f (х) = х 2 для любого х Î R (рис. 1). Расмотрим произвольную точку y Î (0; + ¥). Пусть окрестностью точки y является любой интервал U = (a; b) Í (0; + ¥), содержащий эту точку. Тогда трубка
<polyline id="_x0000_s1037" points="-94.8pt,99.15pt,-94.65pt,-46.7pt,-94.75pt,-52.35pt" coordsize=«3,3030» o:allowincell=«f» filled=«f»><img width=«13» height=«205» src=«dopb70783.zip» v:shapes="_x0000_s1037">f –1(U) = <shape id="_x0000_i1096" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image089.wmz» o:><img width=«165» height=«27» src=«dopb70784.zip» v:shapes="_x0000_i1096">
распадается на два непустых непересекающихся открытых в R множества, т.е. f –1(U) – несвязное множество. Таким образом, отображение f несвязно по определению.
Можно привести ещё пример такого рода. Пусть Oxy – прямоугольная декартова система координат. Рассмотрим кольцо ω с центром в начале координат и радиусами r = a, R = b (рис. 2). Пусть prX : ω → [– b; b] – проекция этого кольца на ось Ox, где prX (x; y) = х Î [– b; b] для любой точки (x; y) Î ω. Возьмём произвольную точку х Î (– a; a) Ì [– b; b]. Для любой окрестности       U Ì (– a; a)  точки х трубка <shape id="_x0000_i1097" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image091.wmz» o:><img width=«66» height=«29» src=«dopb70785.zip» v:shapes="_x0000_i1097"> является несвязной, т.к. состоит из двух частей A и B (рис. 2). Таким образом, проекция prX  –  является несвязным отображением.
<shape id="_x0000_s1038" type="#_x0000_t202" o:allowincell=«f» strokecolor=«white»>  <rect id="_x0000_s1039" o:allowincell=«f» fillcolor="#969696"><fill src=«15276.files/image093.gif» o: type=«pattern»><img width=«88» height=«80» src=«dopb70786.zip» v:shapes="_x0000_s1039"><rect id="_x0000_s1040" o:allowincell=«f» fillcolor="#969696"><fill src=«15276.files/image093.gif» o: type=«pattern»><img width=«84» height=«81» src=«dopb70787.zip» v:shapes="_x0000_s1040"><line id="_x0000_s1041" from=«219.15pt,67.65pt» to=«219.15pt,128.4pt» o:allowincell=«f»><img width=«12» height=«90» src=«dopb70788.zip» v:shapes="_x0000_s1041"><line id="_x0000_s1042" from=«322.65pt,150.9pt» to=«387.15pt,150.9pt» o:allowincell=«f»><img width=«95» height=«12» src=«dopb70789.zip» v:shapes="_x0000_s1042"><line id="_x0000_s1043" from=«236.4pt,150.15pt» to=«302.4pt,150.15pt» o:allowincell=«f»><img width=«97» height=«12» src=«dopb70790.zip» v:shapes="_x0000_s1043"><shape id="_x0000_s1044" type="#_x0000_t202" o:allowincell=«f» strokecolor=«white»>  <shape id="_x0000_s1045" type="#_x0000_t202" o:allowincell=«f» strokecolor=«white»>  <shape id="_x0000_s1046" coordsize=«1500,1485» o:allowincell=«f» path=«m,c182,20,858,25,1095,120v237,95,263,223,330,450c1492,797,1484,1295,1500,1485e» filled=«f»><img width=«102» height=«101» src=«dopb70791.zip» v:shapes="_x0000_s1046"><shape id="_x0000_s1047" coordsize=«1620,1455» o:allowincell=«f» path=«m,c17,162,25,753,105,975v80,222,122,280,375,360c733,1415,1383,1430,1620,1455e» filled=«f»><img width=«110» height=«99» src=«dopb70792.zip» v:shapes="_x0000_s1047"><line id="_x0000_s1048" from=«10.65pt,132.9pt» to=«183.15pt,132.9pt» o:allowincell=«f»><img width=«233» height=«13» src=«dopb70793.zip» v:shapes="_x0000_s1048"><shape id="_x0000_s1050" type="#_x0000_t202" o:allowincell=«f» strokecolor=«white»><line id="_x0000_s1049" from=«93.9pt,52.65pt» to=«93.9pt,208.65pt» o:allowincell=«f»><img width=«263» height=«262» src=«dopb70794.zip» v:shapes="_x0000_s1050"> <img width=«13» height=«211» src=«dopb70795.zip» v:shapes="_x0000_s1049">
Может быть и наоборот, отображение f связное, а пространства X и Y – несвязные.
Пусть, например, отображение f : R \ {0} ® R \ {0} задано формулой  f (х) = <shape id="_x0000_i1098" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image104.wmz» o:><img width=«17» height=«48» src=«dopb70796.zip» v:shapes="_x0000_i1098"> для любого х ÎR \ {0} (рис. 3). Возьмём произвольную точку y Î R \ {0}. Для любой окрестности Oy ÌR \ {0} точки y найдётся связная окрестность U Í (0; + ¥) (или U Í (– ¥; 0)), трубка     f –1(U)  над которой связна (т.к. f –1(U) содержит часть ветви гиперболы или всю ветвь, которая связна и даже линейно связна).
Пусть Х = [0; 1], Y = [0; 1] <shape id="_x0000_i1099" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image068.wmz» o:><img width=«19» height=«23» src=«dopb70797.zip» v:shapes="_x0000_i1099"> [2; 3]. Рассмотрим проекцию <shape id="_x0000_i1100" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image107.wmz» o:><img width=«31» height=«27» src=«dopb70798.zip» v:shapes="_x0000_i1100">: X ´ Y ® Y (рис. 4), где prY (x; y) = y Î Y для любой точки (x; y) Î X ´ Y. Множества X ´ Y  и Y являются несвязными, но проекция <shape id="_x0000_i1101" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15276.files/image107.wmz» o:><img width=«31» height=«27» src=«dopb70798.zip» v:shapes="_x0000_i1101">  – связное отображение (в силу теоремы 2.7, которая будет доказана в пункте 2.4).
Рассмотрим другие примеры связных отображений, связаные с непрерывными числовыми функциями.
Теорема 2.6. Непрерывная функция f :[a; b] → R является связной тогда и только тогда, когда она монотонна, т.е. когда для любых точек х, х¢ Î [a; b], где х £ х¢, выполняется только одно из двух свойств: f (x) £ f (x¢ )либо f (x) ³ f (x¢ ).
Доказательство. Необходимость. Функция f является отображением компактного множества в хаусдорфово пространство, поэтому она замкнута (в силу предложения 2.1). Тогда, по теореме 2.3, функция  f  является послойно связной.
    продолжение
--PAGE_BREAK--