Реферат: Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного доступа
--PAGE_BREAK--1. Исследование нестационарной сети случайного доступа с динамическим протоколом в условиях большой загрузкиРассмотрим спутниковую сеть связи, управляемую динамическим протоколом случайного множественного доступа с оповещением о конфликте. Архитектура такой сети состоит из большого числа территориально-распределенных абонентских станций (АС), которые передают сообщения через геостационарный спутник-ретранслятор. Так как спутниковый канал связи совместно используют все АС, то возможно совпадение времени ретрансляции сообщений от двух или более АС, при этом сообщения искажаются и требуют повторной передачи. Такая ситуация называется конфликтом. Предполагается, что спутник-ретранслятор имеет возможность обнаружения возникающих конфликтов и реализации сигнала оповещения. Абонентские станции способны воспринимать (идентифицировать) сигнал оповещения о конфликте, так, чтобы в каждой АС по прошествии заданного времени распространения сигнала можно было определить, правильно приняты переданные сообщения или нет.
Сообщения, поступающие на спутник-ретранслятор во время распространения сигнала оповещения о конфликте, считаются искаженными. Все искаженные сообщения поступают в источник повторных вызовов (ИПВ). После определения АС того, что посланное сообщение попало в конфликт, АС производит случайную задержку, после которой вновь реализует передачу. В динамическом протоколе предлагается использовать случайную задержку повторной попытки, распределенную экспоненциально с параметром, зависящим от количества сообщений, находящихся в ИПВ. Динамические протоколы, как правило, не реализуемы. Но могут приближенно оценивать функционирование адаптивных протоколов, в которых количество заявок в ИПВ заменяется некоторым оценочным числом.
В качестве математической модели сети связи, управляемой динамическим протоколом случайного множественного доступа с оповещением о конфликте, рассмотрим однолинейную СМО. Прибор (спутник-ретранслятор) может находиться в одном из трех состояний:
<img width=«569» height=«68» src=«ref-1_286470325-1801.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028">
Каждая заявка в момент поступления в систему встает на прибор и немедленно начинает обслуживаться. Если за время ее обслуживания другие заявки не поступали, то она после окончания обслуживания покидает систему и в дальнейшем не рассматривается. Если же за время ее обслуживания поступает другая заявка, то возникает конфликтная ситуация и начинается этап оповещения о конфликте, длительность которого распределена по экспоненциальному закону.
Заявки, попавшие в конфликт, а также поступающие в систему во время оповещения о конфликте, автоматически переходят в источник повторных вызовов (ИПВ). Из него они вновь обращаются к прибору с попыткой повторного обслуживания через случайные интервалы времени, распределенные по экспоненциальному закону с параметром <img width=«19» height=«48» src=«ref-1_286472126-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029"> (i– число заявок в ИПВ в момент времени t), и могут вновь попасть в конфликтные передачи. После успешной передачи заявка покидает систему.
Время обслуживания распределено по одному и тому же показательному закону с параметром <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_286472247-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030">, как для первичных, так и для повторных вызовов.
Будем считать, что на вход системы поступает простейший поток заявок с параметром <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_286472347-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">. Структура такой СМО имеет вид рис. 1.1.
Состояние рассматриваемой системы определим вектором <img width=«37» height=«24» src=«ref-1_286472443-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">, изменение во времени которого образует однородный дискретный двумерный марковский процесс <img width=«72» height=«25» src=«ref-1_286472599-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033"> с бесконечным числом состояний.
<img width=«186» height=«49» src=«ref-1_286472846-377.coolpic» v:shapes="_x0000_s1076 _x0000_s1081"> <img width=«230» height=«191» src=«ref-1_286473223-1745.coolpic» v:shapes="_x0000_s1077 _x0000_s1082 _x0000_s1087 _x0000_s1089 _x0000_s1090 _x0000_s1093"> <img width=«89» height=«125» src=«ref-1_286474968-1547.coolpic» v:shapes="_x0000_s1078 _x0000_s1455 _x0000_s1080 _x0000_s1095 _x0000_s1083 _x0000_s1084 _x0000_s1091 _x0000_s1096 _x0000_s1457"> <img width=«43» height=«125» src=«ref-1_286476515-794.coolpic» v:shapes="_x0000_s1079 _x0000_s1458 _x0000_s1085 _x0000_s1456"> <img width=«12» height=«12» src=«ref-1_286477309-220.coolpic» v:shapes="_x0000_s1092"> <img width=«12» height=«12» src=«ref-1_286477529-221.coolpic» v:shapes="_x0000_s1094"> <img width=«197» height=«50» src=«ref-1_286477750-377.coolpic» v:shapes="_x0000_s1086 _x0000_s1088">
Рис. 1.1 – Модель системы массового обслуживания
Математическая модель исследуемого протокола множественного доступа построена, проведем ее анализ, получим аналитические выражения, определяющие зависимости для основных ее характеристик.
Для исследования процесса <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_286478127-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039"> введем следующие обозначения
<img width=«349» height=«28» src=«ref-1_286478375-645.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040">,
вероятность того, что в момент времени t прибор находится в состоянии k и в ИПВ находится i заявок.
Рассмотрим вероятности переходов из состояния системы <img width=«49» height=«25» src=«ref-1_286479020-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041"> в произвольный момент времени t в состояние <img width=«52» height=«25» src=«ref-1_286479198-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042"> за бесконечно малый интервал времени <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_286479379-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043">.
1. Пусть система находится в состоянии <img width=«35» height=«24» src=«ref-1_286479486-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044">, то есть в ИПВ находится i заявок и прибор свободен, за интервал времени <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_286479379-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045"> состояние системы может измениться таким образом (рис. 1.2):
а) с вероятностью <img width=«88» height=«24» src=«ref-1_286479749-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046"> из входящего потока требований поступит новая заявка, которая немедленно займет прибор и начнет обслуживание, тогда система в момент времени <img width=«45» height=«20» src=«ref-1_286479992-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">будет находиться в состоянии <img width=«32» height=«24» src=«ref-1_286480127-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">;
б) с вероятностью <img width=«88» height=«24» src=«ref-1_286480275-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049"> к прибору обратится одна из i заявок, находящихся в ИПВ и система перейдет в состояние <img width=«55» height=«24» src=«ref-1_286480519-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050">;
в) с вероятностью <img width=«151» height=«24» src=«ref-1_286480698-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051"> состояние системы не изменится.
2. Пусть система в момент времени t находится в состоянии <img width=«32» height=«24» src=«ref-1_286480127-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">, то есть прибор занят обслуживанием заявки и в ИПВ находится i требований, за интервал времени <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_286479379-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">возможны следующие переходы (рис. 1.3):
а) с вероятностью <img width=«88» height=«24» src=«ref-1_286481296-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054"> прибор успешно завершит обслуживание, и в момент времени <img width=«45» height=«20» src=«ref-1_286479992-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">система будет находиться в состоянии <img width=«35» height=«24» src=«ref-1_286479486-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">;
б) с вероятностью <img width=«88» height=«24» src=«ref-1_286479749-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057"> в систему поступит новое требование из входящего потока и произойдет конфликт. Как вновь поступившая, так и заявка с прибора перейдут в ИПВ, и начнется интервал оповещения о конфликте, следовательно, система перейдет в состояние <img width=«61» height=«24» src=«ref-1_286482080-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">;
в) с вероятностью <img width=«88» height=«24» src=«ref-1_286480275-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059"> к прибору обратится одна из заявок с ИПВ, произойдет конфликт, и обе заявки переместятся в ИПВ, следовательно, система в момент времени <img width=«45» height=«20» src=«ref-1_286479992-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">будет находиться в состоянии <img width=«57» height=«24» src=«ref-1_286482655-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061">;
г) с вероятностью <img width=«179» height=«24» src=«ref-1_286482843-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062"> состояние системы не изменится.
3. Пусть система в момент времени t находится в состоянии <img width=«35» height=«24» src=«ref-1_286483235-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063">. Посмотрим, что произойдет через интервал времени длины <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_286479379-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">(рис. 1.4):
а) с вероятностью <img width=«88» height=«24» src=«ref-1_286479749-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065"> к прибору обратится заявка из входящего потока, которая автоматически попадет в ИПВ. В момент времени <img width=«45» height=«20» src=«ref-1_286479992-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066"> система будет в состоянии <img width=«57» height=«24» src=«ref-1_286482655-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">;
б) с вероятностью <img width=«93» height=«25» src=«ref-1_286484064-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068"> интервал оповещения о конфликте завершится, и система перейдет в состояние <img width=«35» height=«24» src=«ref-1_286479486-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">;
в) с вероятностью <img width=«157» height=«25» src=«ref-1_286484466-345.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070"> состояние системы не изменится.
Все остальные вероятности переходов не превышают порядка малости <img width=«43» height=«24» src=«ref-1_286484811-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">.
<img width=«292» height=«291» src=«ref-1_286484980-4758.coolpic» v:shapes="_x0000_s1184 _x0000_s1185 _x0000_s1186 _x0000_s1187 _x0000_s1188 _x0000_s1189 _x0000_s1190 _x0000_s1191 _x0000_s1192 _x0000_s1193 _x0000_s1194 _x0000_s1195 _x0000_s1196 _x0000_s1197 _x0000_s1198 _x0000_s1199">
Рис. 1.2 – Возможные переходы из состояния <img width=«35» height=«24» src=«ref-1_286479486-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">
<img width=«399» height=«373» src=«ref-1_286489894-7026.coolpic» v:shapes="_x0000_s1120 _x0000_s1121 _x0000_s1122 _x0000_s1123 _x0000_s1124 _x0000_s1125 _x0000_s1126 _x0000_s1127 _x0000_s1128 _x0000_s1129 _x0000_s1130 _x0000_s1131 _x0000_s1132 _x0000_s1133 _x0000_s1134 _x0000_s1135 _x0000_s1136 _x0000_s1137 _x0000_s1138 _x0000_s1139">
Рис. 1.3 – Возможные переходы из состояния <img width=«32» height=«24» src=«ref-1_286480127-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">
<img width=«299» height=«291» src=«ref-1_286497068-4776.coolpic» v:shapes="_x0000_s1140 _x0000_s1141 _x0000_s1142 _x0000_s1143 _x0000_s1144 _x0000_s1145 _x0000_s1146 _x0000_s1147 _x0000_s1148 _x0000_s1149 _x0000_s1150 _x0000_s1151 _x0000_s1152 _x0000_s1153 _x0000_s1154 _x0000_s1155">
Рис. 1.4 – Возможные переходы из состояния <img width=«35» height=«24» src=«ref-1_286483235-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">
Таким образом, можно записать систему конечно-разностных уравнений для вероятностей <img width=«53» height=«25» src=«ref-1_286502000-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099"> состояний системы:
<img width=«529» height=«25» src=«ref-1_286502179-976.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">
<img width=«553» height=«25» src=«ref-1_286503155-996.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">
<img width=«581» height=«25» src=«ref-1_286504151-1017.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">
следовательно, в нестационарном режиме, эти вероятности удовлетворяют системе дифференциально-разностных уравнений
<img width=«315» height=«47» src=«ref-1_286505168-826.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">,
<img width=«361» height=«47» src=«ref-1_286505994-892.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">, (1.1)
<img width=«471» height=«52» src=«ref-1_286506886-1138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">,
где <img width=«52» height=«51» src=«ref-1_286508024-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106"> <img width=«52» height=«51» src=«ref-1_286508218-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107"> <img width=«59» height=«52» src=«ref-1_286508403-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108"> <img width=«40» height=«23» src=«ref-1_286508610-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">,
решить которую практически невозможно, но можно решить асимптотически в условиях «большой загрузки», т.е. при <img width=«45» height=«27» src=«ref-1_286508743-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">, <img width=«55» height=«24» src=«ref-1_286508899-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">, где <img width=«32» height=«24» src=«ref-1_286509082-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">пропускная способность исследуемой сети связи (верхняя граница множества тех значений загрузки <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_286509188-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">, для которых в системе существует стационарный режим).
Рассмотрим исходную систему уравнений (1.1) и произведем в ней замену переменных: <img width=«69» height=«23» src=«ref-1_286509281-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">, <img width=«53» height=«25» src=«ref-1_286509442-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">, <img width=«51» height=«24» src=«ref-1_286509586-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">, <img width=«156» height=«47» src=«ref-1_286509715-423.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">. В результате замены производится переход от дискретной переменной <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_286510138-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118"> к непрерывной переменной <img width=«69» height=«25» src=«ref-1_286510301-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">. В новых обозначениях производная равна <img width=«319» height=«47» src=«ref-1_286510498-882.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">.
Тогда систему (1.1) перепишем
<img width=«429» height=«47» src=«ref-1_286511380-993.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">,
<img width=«477» height=«47» src=«ref-1_286512373-1053.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">, (1.2)
<img width=«513» height=«73» src=«ref-1_286513426-1426.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">
Получим вид решения системы (1.2), которую будем решать в три этапа.
1 этап.В уравнениях (1.2) устремим <img width=«48» height=«20» src=«ref-1_286514852-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124"> и обозначим <img width=«179» height=«33» src=«ref-1_286514982-447.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">, заметим что, <img width=«73» height=«33» src=«ref-1_286515429-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">. Будем иметь
<img width=«269» height=«47» src=«ref-1_286515656-644.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">,
<img width=«253» height=«25» src=«ref-1_286516300-509.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">, (1.3)
<img width=«196» height=«47» src=«ref-1_286516809-512.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">.
Выразим <img width=«63» height=«25» src=«ref-1_286517321-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130"> через <img width=«149» height=«57» src=«ref-1_286517514-453.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131"> и получим
<img width=«227» height=«48» src=«ref-1_286517967-575.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">,
<img width=«225» height=«48» src=«ref-1_286518542-548.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">, (1.4)
<img width=«227» height=«52» src=«ref-1_286519090-591.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">.
где <img width=«79» height=«23» src=«ref-1_286519681-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135"> <img width=«52» height=«24» src=«ref-1_286519860-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136"> – асимптотическая плотность распределения вероятностей нормированного числа заявок в ИПВ.
Введем обозначения
<img width=«148» height=«144» src=«ref-1_286520038-938.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137"> (1.5)
(<img width=«24» height=«25» src=«ref-1_286520976-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138"> — это асимптотическая вероятность того, что обслуживающий прибор находится в состоянии k). Из системы (1.3) следуют равенства, связывающие <img width=«23» height=«25» src=«ref-1_286521089-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">, <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_286521198-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">, <img width=«23» height=«25» src=«ref-1_286521304-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141"> и выглядят так
<img width=«119» height=«47» src=«ref-1_286521413-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">
<img width=«124» height=«25» src=«ref-1_286521721-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143"> (1.6)
<img width=«75» height=«47» src=«ref-1_286522007-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">.
Найдем вид функции <img width=«52» height=«24» src=«ref-1_286519860-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">. Для этого перейдем ко второму этапу.
2 этап
.Неизвестные функции <img width=«76» height=«25» src=«ref-1_286522423-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146"> будем искать с точностью до <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_286522636-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147"> в следующем виде
<img width=«285» height=«25» src=«ref-1_286522722-565.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">, (1.7)
Определим вид функций <img width=«60» height=«25» src=«ref-1_286523287-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">, для этого в системе уравнений (1.2) разложим функции с аргументом <img width=«95» height=«24» src=«ref-1_286523482-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150"> в ряд по приращению аргумента <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_286523676-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151"> (ограничиваясь двумя слагаемыми), будем иметь
<img width=«311» height=«47» src=«ref-1_286523764-722.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">,
<img width=«396» height=«47» src=«ref-1_286524486-930.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">, (1.8)
<img width=«523» height=«95» src=«ref-1_286525416-1805.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">
В полученные уравнения подставим <img width=«76» height=«25» src=«ref-1_286522423-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155"> в форме (1.7), заменим <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_286509188-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156"> разностью <img width=«41» height=«20» src=«ref-1_286527527-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">, сумму <img width=«43» height=«23» src=«ref-1_286527647-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158"> на G и не учтем слагаемые, имеющие порядок <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_286527784-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">. Получим
<img width=«545» height=«47» src=«ref-1_286527887-1174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">,
<img width=«508» height=«71» src=«ref-1_286529061-1400.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161"> (1.9)
<img width=«573» height=«95» src=«ref-1_286530461-2434.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">
Теперь приведем подобные слагаемые, учтем равенства (1.6), и получим неоднородную линейную систему алгебраических уравнений для нахождения неизвестных функций <img width=«183» height=«25» src=«ref-1_286532895-415.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163"> такого вида
<img width=«309» height=«47» src=«ref-1_286533310-724.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">,
<img width=«483» height=«47» src=«ref-1_286534034-1090.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">, (1.10)
<img width=«589» height=«47» src=«ref-1_286535124-1347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">
Нетрудно заметить, что ранг матрицы однородной системы алгебраических уравнений, соответствующей (1.10) равен двум. Следовательно, для того, чтобы система была разрешима, необходимо, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен двум, т.е. чтобы выполнялось следующее равенство
<img width=«271» height=«47» src=«ref-1_286536471-656.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">. (1.11)
С учетом того, что
<img width=«635» height=«49» src=«ref-1_286537127-1218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">равенство (1.11) принимает вид
<img width=«148» height=«47» src=«ref-1_286538345-441.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">. (1.12)
Равенство нулю производной противоречит смыслу задачи, следовательно <img width=«51» height=«25» src=«ref-1_286538786-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">, т. е. пропускная способность исследуемой сети связи равна асимптотической вероятности того, что обслуживающий прибор «обслуживает», на рис. 1.5 продемонстрирован этот результат.
<img width=«457» height=«274» src=«ref-1_286539068-1572.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172"><img width=«16» height=«27» src=«ref-1_286540640-99.coolpic» v:shapes="_x0000_s1156"> <img width=«53» height=«16» src=«ref-1_286540739-108.coolpic» v:shapes="_x0000_s1157"> <img width=«26» height=«2» src=«ref-1_286540847-82.coolpic» v:shapes="_x0000_s1166"><img width=«14» height=«50» src=«ref-1_286540929-126.coolpic» v:shapes="_x0000_s1165"> <img width=«26» height=«2» src=«ref-1_286540847-82.coolpic» v:shapes="_x0000_s1164"><img width=«14» height=«50» src=«ref-1_286540929-126.coolpic» v:shapes="_x0000_s1163"><img width=«3» height=«2» src=«ref-1_286541369-74.coolpic» v:shapes="_x0000_s1162"><img width=«2» height=«26» src=«ref-1_286541443-83.coolpic» v:shapes="_x0000_s1160"> <img width=«2» height=«98» src=«ref-1_286541637-103.coolpic» v:shapes="_x0000_s1158"><img width=«162» height=«2» src=«ref-1_286541740-124.coolpic» v:shapes="_x0000_s1159">
Рис. 1.5
Таким образом, мы выяснили, что система (1.10) разрешима. Ее решение можно записать так
<img width=«479» height=«52» src=«ref-1_286541864-1184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">,
<img width=«57» height=«25» src=«ref-1_286543048-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176"> — произвольная функция, (1.13)
<img width=«571» height=«52» src=«ref-1_286543237-1403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">.
Перейдем к третьему этапу.
3 этап. Запишем уравнения системы (1.2) с точностью до <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_286527784-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">, получим
<img width=«429» height=«47» src=«ref-1_286511380-993.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">,
<img width=«527» height=«97» src=«ref-1_286545736-1683.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180"> (1.14)
<img width=«581» height=«55» src=«ref-1_286547419-1397.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">
<img width=«589» height=«103» src=«ref-1_286548816-1939.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">
Как и на втором этапе в полученные уравнения подставим <img width=«76» height=«25» src=«ref-1_286522423-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183"> в форме (1.7), заменим <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_286509188-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184"> разностью <img width=«41» height=«20» src=«ref-1_286527527-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">, сумму <img width=«43» height=«23» src=«ref-1_286527647-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186"> на G и не учтем слагаемые, имеющие порядок выше <img width=«20» height=«25» src=«ref-1_286551318-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">, получим
<img width=«536» height=«92» src=«ref-1_286551421-1662.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">
<img width=«577» height=«97» src=«ref-1_286553083-2450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">(1.15)
<img width=«577» height=«52» src=«ref-1_286555533-1352.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">
<img width=«581» height=«152» src=«ref-1_286556885-3770.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">
Просуммировав все уравнения системы (1.15), получим равенство для нахождения <img width=«52» height=«24» src=«ref-1_286519860-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">
<img width=«521» height=«97» src=«ref-1_286560833-2052.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193"> (1.16)
Подставляя выражения для <img width=«60» height=«25» src=«ref-1_286523287-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">, найденные на втором этапе, для <img width=«52» height=«24» src=«ref-1_286519860-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195"> получим уравнение Фоккера-Планка
<img width=«287» height=«52» src=«ref-1_286563258-809.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">, (1.17)
где
<img width=«556» height=«97» src=«ref-1_286564067-1511.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">
Решим уравнение (1.17) с помощью преобразования Лапласа по x. Левую и правую части уравнения умножим на <img width=«87» height=«24» src=«ref-1_286565578-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198"> и проинтегрируем. С учетом обозначения <img width=«189» height=«61» src=«ref-1_286565816-524.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199"> и свойств этой функции уравнение (1.17) приобретет вид
<img width=«499» height=«60» src=«ref-1_286566340-1375.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200"> (1.18)
Таким образом, мы перешли от уравнения Фоккера-Планка с постоянными коэффициентами к обыкновенному дифференциальному уравнению, решение которого с точностью до неизвестных <img width=«17» height=«20» src=«ref-1_286567715-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">, <img width=«51» height=«24» src=«ref-1_286567810-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202"> и <img width=«61» height=«47» src=«ref-1_286567990-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203"> записывается следующим образом
<img width=«576» height=«119» src=«ref-1_286568252-2077.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">(1.19)
Для того чтобы получить окончательное решение уравнения (1.17) нужно провести дополнительное исследование, которое бы показало поведение исследуемого процесса в окрестности нуля. Используя асимптотику <img width=«45» height=«27» src=«ref-1_286508743-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">, это не удается сделать.
Предположим, что сеть связи функционирует в стационарном режиме, тогда (1.17) перепишется в виде
<img width=«189» height=«52» src=«ref-1_286570485-574.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206"> (1.20)
Следовательно, в стационарном режиме асимптотическое распределение вероятностей нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов подчиняется экспоненциальному закону с параметром <img width=«41» height=«49» src=«ref-1_286571059-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207"> и <img width=«37» height=«24» src=«ref-1_286571237-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208"> имеет вид
<img width=«227» height=«52» src=«ref-1_286571392-624.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209"> (1.21)
2. Исследование неоднородной нестационарной сети случайного доступа с динамическим протоколом в условиях перегрузки
Рассмотрим сеть связи, описанную в разделе 1, в которой интенсивность входящего потока зависит от времени и равна <img width=«48» height=«52» src=«ref-1_286572297-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">, где Т – некоторый интервал времени, в течение которого функционирует сеть связи. Структура сети изображена на рис. 2.1.
<img width=«230» height=«180» src=«ref-1_286572528-1583.coolpic» v:shapes="_x0000_s1213 _x0000_s1206 _x0000_s1201 _x0000_s1211 _x0000_s1214 _x0000_s1217"> <img width=«167» height=«12» src=«ref-1_286574111-145.coolpic» v:shapes="_x0000_s1205"> <img width=«45» height=«134» src=«ref-1_286574256-810.coolpic» v:shapes="_x0000_s1203 _x0000_s1209 _x0000_s1459 _x0000_s1462"> <img width=«76» height=«130» src=«ref-1_286575066-1378.coolpic» v:shapes="_x0000_s1202 _x0000_s1460 _x0000_s1204 _x0000_s1220 _x0000_s1207 _x0000_s1208 _x0000_s1221 _x0000_s1461"> <img width=«12» height=«12» src=«ref-1_286576444-219.coolpic» v:shapes="_x0000_s1215"> <img width=«12» height=«12» src=«ref-1_286477309-220.coolpic» v:shapes="_x0000_s1216"> <img width=«12» height=«12» src=«ref-1_286477529-221.coolpic» v:shapes="_x0000_s1219"> <img width=«197» height=«50» src=«ref-1_286477750-377.coolpic» v:shapes="_x0000_s1210 _x0000_s1212">
Рис. 2.1 – Модель системы массового обслуживания
В нестационарном режиме распределение
<img width=«349» height=«28» src=«ref-1_286478375-645.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">
удовлетворяют системе дифференциально-разностных уравнений вида
<img width=«356» height=«55» src=«ref-1_286578126-1035.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">
<img width=«436» height=«55» src=«ref-1_286579161-1216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218"> (2.1)
<img width=«573» height=«55» src=«ref-1_286580377-1517.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">
где <img width=«125» height=«52» src=«ref-1_286581894-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">, <img width=«47» height=«51» src=«ref-1_286582344-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">, <img width=«55» height=«52» src=«ref-1_286582524-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">, <img width=«40» height=«23» src=«ref-1_286508610-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">.
Замечание: система уравнений (2.1) получена аналогично системе уравнений (1.1). Вероятности переходов для состояний системы совпадают с точностью до замены <img width=«77» height=«52» src=«ref-1_286582854-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">.
Систему (2.1) будем решать в условиях перегрузки, то есть при <img width=«52» height=«24» src=«ref-1_286583137-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">.
Первое приближение
В системе уравнений (2.1) произведем замену переменных: <img width=«315» height=«47» src=«ref-1_286583270-649.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">. В результате такой замены производится переход от дискретной переменной <img width=«95» height=«24» src=«ref-1_286583919-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227"> к непрерывной переменной <img width=«69» height=«25» src=«ref-1_286510301-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">, от tперешли к <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_286584307-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">, причем <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_286584307-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230"> такое, что <img width=«65» height=«20» src=«ref-1_286584479-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">. После замены производная равна <img width=«309» height=«47» src=«ref-1_286584636-860.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">.
Тогда уравнения (2.1) перепишем
<img width=«441» height=«47» src=«ref-1_286585496-1042.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">
<img width=«511» height=«47» src=«ref-1_286586538-1158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234"> (2.2)
<img width=«543» height=«73» src=«ref-1_286587696-1569.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">
Решим систему уравнений (2.2) в два этапа.
1 этап.Считая <img width=«40» height=«20» src=«ref-1_286589265-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236"> и предполагая, что <img width=«197» height=«33» src=«ref-1_286589388-470.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237"> будем иметь
<img width=«289» height=«47» src=«ref-1_286589858-721.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">
<img width=«289» height=«25» src=«ref-1_286590579-604.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239"> (2.3)
<img width=«212» height=«47» src=«ref-1_286591183-573.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">.
Выразим <img width=«61» height=«25» src=«ref-1_286591756-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241"> через функцию <img width=«149» height=«57» src=«ref-1_286517514-453.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242"> и получим
<img width=«271» height=«52» src=«ref-1_286592398-769.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">
<img width=«269» height=«52» src=«ref-1_286593167-742.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244"> (2.4)
<img width=«272» height=«56» src=«ref-1_286593909-777.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">
где <img width=«117» height=«24» src=«ref-1_286594686-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246"> <img width=«68» height=«25» src=«ref-1_286594974-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">асимптотическая плотность распределения нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов.
Обозначим
<img width=«208» height=«155» src=«ref-1_286595164-1606.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248"> (2.5)
(<img width=«47» height=«25» src=«ref-1_286596770-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249"> — это асимптотическая вероятность того, что обслуживающий прибор находится в состоянии k). Заметим, что из системы (2.3) следуют равенства связывающие <img width=«45» height=«25» src=«ref-1_286596937-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">, <img width=«43» height=«25» src=«ref-1_286597100-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251"> и <img width=«45» height=«25» src=«ref-1_286597261-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">
<img width=«201» height=«47» src=«ref-1_286597426-556.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">
<img width=«205» height=«25» src=«ref-1_286597982-478.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254"> (2.6)
<img width=«137» height=«47» src=«ref-1_286598460-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255">.
Найдем вид функции <img width=«52» height=«24» src=«ref-1_286519860-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">, для этого перейдем ко второму этапу.
2 этап
.В системе дифференциальных уравнений (2.2) все функции с аргументом <img width=«93» height=«24» src=«ref-1_286599070-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257"> разложим в ряд по приращению аргумента <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_286523676-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258">, ограничиваясь слагаемыми порядка <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_286522636-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">, получим
<img width=«412» height=«47» src=«ref-1_286599435-971.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">
<img width=«492» height=«47» src=«ref-1_286600406-1177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261"> (2.7)
<img width=«541» height=«95» src=«ref-1_286601583-2181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">
Просуммируем левые и правые части уравнений системы (2.7) и получим равенство
<img width=«467» height=«47» src=«ref-1_286603764-1173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">. (2.8)
С учетом того, что
<img width=«600» height=«49» src=«ref-1_286604937-2177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264">
равенство (2.8) принимает вид
<img width=«261» height=«47» src=«ref-1_286607114-737.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">. (2.9)
Уравнение (2.9) является однородным линейным уравнением с частными производными первого порядка. Для того чтобы его решить составим уравнение
<img width=«132» height=«52» src=«ref-1_286607851-425.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266">,
его решение <img width=«183» height=«61» src=«ref-1_286608276-524.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">, тогда <img width=«187» height=«61» src=«ref-1_286608800-520.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">
Общее решение уравнения (2.9) имеет вид
<img width=«249» height=«65» src=«ref-1_286609320-781.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">, (2.10)
где <img width=«35» height=«24» src=«ref-1_286610101-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270"> — произвольная дифференцируемая функция, аналитическое выражение которой найдем из начальных условий.
Пусть распределение в начальный момент времени <img width=«91» height=«24» src=«ref-1_286610252-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271"> где <img width=«34» height=«24» src=«ref-1_286610518-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272"> некоторая плотность распределения. Тогда <img width=«155» height=«24» src=«ref-1_286610667-369.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">следовательно <img width=«244» height=«65» src=«ref-1_286611036-769.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">. Возьмем в качестве начальной плотности распределения <img width=«109» height=«26» src=«ref-1_286611805-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">, где <img width=«29» height=«24» src=«ref-1_286612087-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276"> — дельта-функция Дирака, а <img width=«60» height=«25» src=«ref-1_286612222-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277">, <img width=«16» height=«25» src=«ref-1_286612381-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278"> — число заявок в источнике повторных вызовов в начальный момент времени.
Таким образом <img width=«296» height=«68» src=«ref-1_286612477-950.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279">, из свойств функции Дирака следует, что <img width=«191» height=«60» src=«ref-1_286613427-541.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280">.
То есть мы получили, что <img width=«63» height=«24» src=«ref-1_286613968-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">, <img width=«35» height=«24» src=«ref-1_286614155-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282"> имеет смысл асимптотического среднего.
Из приведенных рассуждений вытекает еще одно важное следствие, а именно
<img width=«100» height=«24» src=«ref-1_286614304-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283"> имеет место <img width=«92» height=«25» src=«ref-1_286614506-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">, тогда <img width=«61» height=«24» src=«ref-1_286614759-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285"> (отрицательная функция <img width=«35» height=«24» src=«ref-1_286614155-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286"> противоречит смыслу задачи). В нашем случае <img width=«44» height=«25» src=«ref-1_286615102-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287"> совпадает с пропускной способностью системы.
Перейдем ко второму приближению, в котором будем искать распределение отклонения от асимптотического среднего.
Второе приближение
В исходной системе уравнений (2.1) сделаем замену переменных <img width=«397» height=«47» src=«ref-1_286615263-806.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">.
Заметим, что в новых обозначениях производная по времени <img width=«76» height=«47» src=«ref-1_286616069-313.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289"> равна <img width=«520» height=«51» src=«ref-1_286616382-1386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">. С учетом этого система (2.1) примет вид
<img width=«568» height=«51» src=«ref-1_286617768-1333.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">
<img width=«532» height=«73» src=«ref-1_286619101-1543.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292"> (2.11)
<img width=«580» height=«76» src=«ref-1_286620644-1890.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293">
Решение системы уравнений (2.11) аналогично решению системы (2.2), но проводится в три этапа.
1 этап
.В системе дифференциальных уравнений (2.13) сделаем предельный переход при <img width=«48» height=«20» src=«ref-1_286514852-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294"> и предположим, что <img width=«200» height=«33» src=«ref-1_286622664-477.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">, получим
<img width=«263» height=«47» src=«ref-1_286623141-642.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">
<img width=«240» height=«25» src=«ref-1_286623783-525.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297"> (2.12)
<img width=«184» height=«47» src=«ref-1_286624308-497.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298">.
Решим эту систему аналогично тому, как решили систему уравнений (2.3). Введем функцию <img width=«152» height=«57» src=«ref-1_286624805-469.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299"> и выразим через нее <img width=«63» height=«25» src=«ref-1_286625274-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">, получим
<img width=«273» height=«52» src=«ref-1_286625471-775.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301">
<img width=«272» height=«52» src=«ref-1_286626246-749.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302"> (2.13)
<img width=«273» height=«56» src=«ref-1_286626995-782.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">
где <img width=«72» height=«25» src=«ref-1_286627777-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304">асимптотическая плотность распределения отклонения числа заявок в источнике повторных вызовов от асимптотического среднего.
2 этап
.Функции <img width=«77» height=«25» src=«ref-1_286627974-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305"> будем искать с точностью до <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_286522636-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306"> в форме
<img width=«313» height=«25» src=«ref-1_286628278-626.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307"> (2.14)
Найдем вид функций <img width=«60» height=«25» src=«ref-1_286628904-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">, <img width=«57» height=«25» src=«ref-1_286629100-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309"> и <img width=«60» height=«25» src=«ref-1_286629290-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">. Для этого в системе дифференциальных уравнений (2.11) все функции с аргументом <img width=«96» height=«24» src=«ref-1_286629483-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311"> разложим в ряд по приращению аргумента <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_286629687-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312">, ограничимся слагаемыми порядка <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_286522636-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313">. Получим
<img width=«461» height=«51» src=«ref-1_286629865-1068.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314">
<img width=«541» height=«51» src=«ref-1_286630933-1296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315"> (2.15)
<img width=«592» height=«100» src=«ref-1_286632229-2313.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316">
В уравнения (2.15) подставим <img width=«77» height=«25» src=«ref-1_286627974-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317"> в форме (2.14), приведем подобные и получим систему неоднородных линейных алгебраических уравнений относительно <img width=«132» height=«28» src=«ref-1_286634760-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318"> вида
<img width=«404» height=«51» src=«ref-1_286635116-1025.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319">,
<img width=«521» height=«51» src=«ref-1_286636141-1314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320">, (2.16)
<img width=«516» height=«100» src=«ref-1_286637455-2027.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">
Нетрудно увидеть, что между уравнениями этой системы есть зависимость и ранг матрицы системы равен, следовательно, чтобы решение уравнений (2.16)существовало, необходимо выполнение равенства
<img width=«253» height=«51» src=«ref-1_286639482-717.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322"> (2.17)
Из однородного линейного уравнения с частными производными первого порядка (2.9) мы знаем, что <img width=«141» height=«25» src=«ref-1_286640199-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323">. Таким образом, можно сделать вывод, что система (2.16) разрешима. При условии, что функция <img width=«57» height=«25» src=«ref-1_286629100-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324"> известна, решение можно записать в виде
<img width=«527» height=«55» src=«ref-1_286640720-1430.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325">,
<img width=«505» height=«108» src=«ref-1_286642150-2143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326"> (2.18)
Теперь все готово, для того, чтобы найти функцию <img width=«53» height=«24» src=«ref-1_286644293-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327">. Перейдем к третьему этапу.
3 этап
. В системе дифференциальных уравнений (2.11) все функции с аргументом <img width=«99» height=«24» src=«ref-1_286644476-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328"> разложим в ряд по приращению аргумента <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_286629687-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329">, ограничиваясь слагаемыми порядка <img width=«20» height=«25» src=«ref-1_286551318-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330">, получим
<img width=«567» height=«51» src=«ref-1_286644877-1308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331">
<img width=«536» height=«105» src=«ref-1_286646185-1999.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332"> (2.19)
<img width=«576» height=«159» src=«ref-1_286648184-3722.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">
Теперь подставим в уравнения (2.19) <img width=«77» height=«25» src=«ref-1_286627974-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334"> в форме (2.14) и просуммируем левые и правые части уравнений, будем иметь
<img width=«548» height=«146» src=«ref-1_286652124-2794.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335"> (2.20)
Подставляя вместо <img width=«60» height=«25» src=«ref-1_286628904-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336"> и <img width=«60» height=«25» src=«ref-1_286629290-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337"> их выражения, полученные на втором этапе получим для <img width=«53» height=«24» src=«ref-1_286644293-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338"> уравнение Фоккера-Планка
<img width=«189» height=«57» src=«ref-1_286655490-625.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339">, (2.21)
где
<img width=«608» height=«132» src=«ref-1_286656115-3671.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340">
Нормированным решением полученного одномерного уравнения диффузии [8] является плотность нормального распределения вероятностей с нулевым средним и дисперсией
<img width=«124» height=«61» src=«ref-1_286659786-414.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341">. (2.22)
продолжение
--PAGE_BREAK--3. Исследование нестационарной сети случайного доступа со статическим протоколом в условиях большой задержки
Исследуем сеть связи, функционирование которой изложено в разделе 1, в условиях большой задержки. В этом случае удобнее рассматривать случай, когда интенсивность каждой заявки в ИПВ равна <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_286660200-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342">. Структура такой СМО имеет вид рис. 3.1.
<img width=«186» height=«49» src=«ref-1_286472846-377.coolpic» v:shapes="_x0000_s1469 _x0000_s1471"> <img width=«230» height=«191» src=«ref-1_286660667-1713.coolpic» v:shapes="_x0000_s1470 _x0000_s1472 _x0000_s1477 _x0000_s1479 _x0000_s1480 _x0000_s1483"> <img width=«89» height=«107» src=«ref-1_286662380-1363.coolpic» v:shapes="_x0000_s1463 _x0000_s1464 _x0000_s1467 _x0000_s1468 _x0000_s1473 _x0000_s1474 _x0000_s1481 _x0000_s1485 _x0000_s1487"> <img width=«41» height=«107» src=«ref-1_286663743-715.coolpic» v:shapes="_x0000_s1465 _x0000_s1466 _x0000_s1475 _x0000_s1486"> <img width=«12» height=«12» src=«ref-1_286477309-220.coolpic» v:shapes="_x0000_s1482"> <img width=«12» height=«12» src=«ref-1_286477529-221.coolpic» v:shapes="_x0000_s1484"> <img width=«197» height=«50» src=«ref-1_286477750-377.coolpic» v:shapes="_x0000_s1476 _x0000_s1478">
Рис. 3.1 – Модель системы массового обслуживания
Вероятности переходов из состояния системы <img width=«49» height=«25» src=«ref-1_286479020-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348"> в произвольный момент времени t в состояние <img width=«52» height=«25» src=«ref-1_286479198-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349"> за бесконечно малый интервал времени <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_286479379-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350"> показаны на рис. 3.2, рис. 3.3, рис. 3.4.
Выпишем уравнения статистического равновесия для нестационарного распределения процесса <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_286478127-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351">, описывающего функционирование сети
<img width=«321» height=«47» src=«ref-1_286665990-847.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352">
<img width=«407» height=«47» src=«ref-1_286666837-998.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353"> (3.1)
<img width=«512» height=«52» src=«ref-1_286667835-1221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354">
где <img width=«215» height=«52» src=«ref-1_286669056-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355">
<img width=«367» height=«313» src=«ref-1_286669540-4934.coolpic» v:shapes="_x0000_s1367 _x0000_s1368 _x0000_s1369 _x0000_s1370 _x0000_s1371 _x0000_s1372 _x0000_s1373 _x0000_s1374 _x0000_s1375 _x0000_s1376 _x0000_s1377 _x0000_s1378 _x0000_s1379 _x0000_s1380 _x0000_s1381 _x0000_s1382">
Рис. 3.2 – Возможные переходы из состояния <img width=«35» height=«24» src=«ref-1_286479486-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363">
<img width=«399» height=«372» src=«ref-1_286674630-7166.coolpic» v:shapes="_x0000_s1383 _x0000_s1384 _x0000_s1385 _x0000_s1386 _x0000_s1387 _x0000_s1388 _x0000_s1389 _x0000_s1390 _x0000_s1391 _x0000_s1392 _x0000_s1393 _x0000_s1394 _x0000_s1395 _x0000_s1396 _x0000_s1397 _x0000_s1398 _x0000_s1399 _x0000_s1400 _x0000_s1401">
<img width=«375» height=«289» src=«ref-1_286681796-4856.coolpic» v:shapes="_x0000_s1402 _x0000_s1403 _x0000_s1404 _x0000_s1405 _x0000_s1406 _x0000_s1407 _x0000_s1408 _x0000_s1409 _x0000_s1410 _x0000_s1411 _x0000_s1412 _x0000_s1413 _x0000_s1414 _x0000_s1415 _x0000_s1416 _x0000_s1417">Рис. 3.3 – Возможные переходы из состояния <img width=«32» height=«24» src=«ref-1_286480127-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380">
Рис. 3.4 – Возможные переходы из состояния <img width=«35» height=«24» src=«ref-1_286483235-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381">
Найти точное аналитическое решение системы (3.1) практически невозможно, но можно решить асимптотически в условиях большой задержки, то есть при <img width=«47» height=«24» src=«ref-1_286686956-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382">.
Первое приближение
Для асимптотического решения системы (3.1) сделаем замену переменных <img width=«309» height=«47» src=«ref-1_286687098-624.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383">. В результате замены производится переход от дискретной переменной <img width=«95» height=«24» src=«ref-1_286583919-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384"> к непрерывной переменной <img width=«69» height=«25» src=«ref-1_286510301-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385">.
В новых обозначениях <img width=«309» height=«47» src=«ref-1_286584636-860.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386">. Тогда система (3.1) примет вид
<img width=«423» height=«47» src=«ref-1_286688970-988.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387">
<img width=«511» height=«47» src=«ref-1_286689958-1116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388"> (3.2)
<img width=«541» height=«73» src=«ref-1_286691074-1469.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389">
Получим вид решения системы (3.2), которую будем решать в два этапа.
1 этап.Считая <img width=«41» height=«20» src=«ref-1_286692543-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390"> и предполагая, что <img width=«197» height=«33» src=«ref-1_286589388-470.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391">, будем иметь
<img width=«271» height=«47» src=«ref-1_286693134-664.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392">
<img width=«252» height=«25» src=«ref-1_286693798-505.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393"> (3.3)
<img width=«193» height=«47» src=«ref-1_286694303-510.coolpic» v:shapes="_x0000_i1394">.
Выразим <img width=«63» height=«25» src=«ref-1_286517321-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395"> через функцию <img width=«149» height=«57» src=«ref-1_286517514-453.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396"> и получим
<img width=«275» height=«52» src=«ref-1_286695459-772.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397">
<img width=«272» height=«52» src=«ref-1_286696231-745.coolpic» v:shapes="_x0000_i1398"> (3.4)
<img width=«275» height=«56» src=«ref-1_286696976-790.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399">
где <img width=«103» height=«25» src=«ref-1_286697766-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400"> <img width=«52» height=«24» src=«ref-1_286519860-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401"> — асимптотическая плотность нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов.
Обозначим
<img width=«213» height=«155» src=«ref-1_286698180-1633.coolpic» v:shapes="_x0000_i1402"> (3.5)
Заметим, что из системы (3.3) следуют равенства
<img width=«207» height=«47» src=«ref-1_286699813-573.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403">
<img width=«212» height=«25» src=«ref-1_286700386-485.coolpic» v:shapes="_x0000_i1404"> (3.6)
<img width=«143» height=«47» src=«ref-1_286700871-435.coolpic» v:shapes="_x0000_i1405">.
Осталось найти вид функции<img width=«52» height=«24» src=«ref-1_286519860-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1406">. Для этого перейдем ко второму этапу.
2 этап
.В системе (3.2) разложим функции по приращению аргумента <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_286523676-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1407">, ограничиваясь слагаемыми порядка <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_286522636-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408">, получим систему
<img width=«413» height=«47» src=«ref-1_286701658-976.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409">
<img width=«515» height=«47» src=«ref-1_286702634-1217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410"> (3.7)
<img width=«527» height=«95» src=«ref-1_286703851-2038.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411">
Просуммируем полученные уравнения, поделим на <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_286522636-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412"> и перейдем <img width=«32» height=«33» src=«ref-1_286705975-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413">. Тогда будем иметь
<img width=«428» height=«47» src=«ref-1_286706130-1087.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414">. (3.8)
С учетом того, что
<img width=«603» height=«49» src=«ref-1_286707217-1977.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415">
равенство (3.8) принимает вид
<img width=«249» height=«47» src=«ref-1_286709194-695.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416">. (3.9)
Таким образом мы получили, что <img width=«52» height=«24» src=«ref-1_286519860-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417"> удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка с коэффициентом переноса равным <img width=«72» height=«25» src=«ref-1_286710067-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1418">, и нулевым коэффициентом диффузии. Из определения для коэффициента переноса можно сделать вывод, что <img width=«125» height=«25» src=«ref-1_286710267-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1419">, то есть <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_286523676-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1420"> зависит от времени и <img width=«64» height=«24» src=«ref-1_286710644-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1421"> – имеет смысл асимптотического среднего, в ее окрестности достаточно долго флуктуируют значения нормированного процесса <img width=«84» height=«24» src=«ref-1_286710827-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1422">.
Второе приближение
Зная асимптотическое среднее, найдем распределение вероятностей значений отклонения <img width=«28» height=«24» src=«ref-1_286711071-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1423"> от его среднего. Для этого в исходной системе уравнений (3.1) сделаем замену переменных <img width=«53» height=«47» src=«ref-1_286711209-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1424">, <img width=«57» height=«29» src=«ref-1_286711388-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1425">, <img width=«112» height=«29» src=«ref-1_286711533-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1426">,<img width=«159» height=«47» src=«ref-1_286711783-424.coolpic» v:shapes="_x0000_i1427">.
В новых обозначениях производная <img width=«76» height=«47» src=«ref-1_286616069-313.coolpic» v:shapes="_x0000_i1428"> равна <img width=«520» height=«51» src=«ref-1_286616382-1386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1429">.
Будем иметь
<img width=«540» height=«95» src=«ref-1_286713906-1624.coolpic» v:shapes="_x0000_i1430">
<img width=«569» height=«73» src=«ref-1_286715530-1756.coolpic» v:shapes="_x0000_i1431"> (3.10)
<img width=«540» height=«76» src=«ref-1_286717286-1901.coolpic» v:shapes="_x0000_i1432">
Решение системы (3.10) аналогично решению системы (3.2), но проводится в три этапа.
1 этап
.В системе дифференциальных уравнений (3.10) положим <img width=«40» height=«20» src=«ref-1_286589265-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1433"> и найдем решение в виде
<img width=«273» height=«52» src=«ref-1_286625471-775.coolpic» v:shapes="_x0000_i1434">
<img width=«272» height=«52» src=«ref-1_286626246-749.coolpic» v:shapes="_x0000_i1435"> (3.11)
<img width=«273» height=«56» src=«ref-1_286626995-782.coolpic» v:shapes="_x0000_i1436">
где <img width=«271» height=«57» src=«ref-1_286721616-699.coolpic» v:shapes="_x0000_i1437"> – асимптотическое распределение нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов в окрестности асимптотического среднего.
Перейдем ко второму этапу.
2 этап
.Неизвестные функции <img width=«77» height=«25» src=«ref-1_286627974-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1438"> будем искать с точностью до <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_286522636-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1439"> форме
<img width=«315» height=«25» src=«ref-1_286722619-624.coolpic» v:shapes="_x0000_i1440"> (3.12)
где <img width=«143» height=«25» src=«ref-1_286723243-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1441"> имеют вид аналогичный (3.5), где в качестве <img width=«40» height=«24» src=«ref-1_286723597-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1442"> выступает <img width=«39» height=«24» src=«ref-1_286723757-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1443"> и для них справедливы равенства (3.7).
Найдем вид функций <img width=«123» height=«28» src=«ref-1_286723912-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1444">.
С точностью до <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_286522636-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1445"> (3.10) запишем
<img width=«503» height=«51» src=«ref-1_286724297-1164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1446">
<img width=«511» height=«100» src=«ref-1_286725461-1647.coolpic» v:shapes="_x0000_i1447"> (3.13)
<img width=«596» height=«100» src=«ref-1_286727108-2218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1448">
В уравнения (3.13) подставим <img width=«77» height=«25» src=«ref-1_286627974-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1449"> в форме (3.12), уничтожим подобные слагаемые и получим систему неоднородных линейных алгебраических уравнений относительно функций <img width=«123» height=«28» src=«ref-1_286723912-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1450"> вида
<img width=«516» height=«51» src=«ref-1_286729843-1250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1451">,
<img width=«529» height=«100» src=«ref-1_286731093-1916.coolpic» v:shapes="_x0000_i1452">, (3.14)
<img width=«608» height=«100» src=«ref-1_286733009-2188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1453">
Система (3.14) будет иметь решение, если <img width=«228» height=«51» src=«ref-1_286735197-657.coolpic» v:shapes="_x0000_i1454">. Из уравнения Фоккера-Планка (3.9) мы знаем, что <img width=«121» height=«25» src=«ref-1_286735854-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1455">. Таким образом, можно сделать вывод, что система (3.14) разрешима. При условии, что функция <img width=«57» height=«25» src=«ref-1_286629100-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1456"> известна, решение системы (3.14) можно записать так
<img width=«521» height=«108» src=«ref-1_286736329-2065.coolpic» v:shapes="_x0000_i1457"> (3.15)
<img width=«597» height=«108» src=«ref-1_286738394-2277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1458">
Перейдем к третьему этапу.
3 этап
. С точностью до <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_286527784-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1459"> уравнения (3.10) запишем следующим образом
<img width=«515» height=«95» src=«ref-1_286740774-1595.coolpic» v:shapes="_x0000_i1460">
<img width=«539» height=«105» src=«ref-1_286742369-2330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1461"> (3.16)
<img width=«573» height=«159» src=«ref-1_286744699-3743.coolpic» v:shapes="_x0000_i1462">
Теперь подставляем в систему уравнений (3.16) <img width=«77» height=«25» src=«ref-1_286627974-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1463"> в форме (3.12), оставляем слагаемые, имеющие порядок не выше <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_286527784-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1464"> и суммируем уравнения. Получим равенство для нахождения <img width=«53» height=«24» src=«ref-1_286644293-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1465">
<img width=«571» height=«148» src=«ref-1_286748946-3288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1466"> (3.17)
В полученное равенство подставим выражения для функции <img width=«60» height=«25» src=«ref-1_286628904-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1467"> и <img width=«60» height=«25» src=«ref-1_286629290-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1468">, найденные на втором этапе. В результате приведения подобных, для <img width=«53» height=«24» src=«ref-1_286644293-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1469"> получим уравнение Фоккера-Планка
<img width=«368» height=«56» src=«ref-1_286752806-1047.coolpic» v:shapes="_x0000_i1470"> (3.18)
с коэффициентом переноса <img width=«268» height=«51» src=«ref-1_286753853-715.coolpic» v:shapes="_x0000_i1471"> и коэффициентом диффузии
<img width=«609» height=«104» src=«ref-1_286754568-2834.coolpic» v:shapes="_x0000_i1472">
Уравнение Фоккера-Планка (3.18) получено для некоторого диффузионного процесса <img width=«35» height=«24» src=«ref-1_286757402-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1473">, плотность распределения вероятностей которого <img width=«53» height=«24» src=«ref-1_286644293-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1474">.
Запишем стохастическое дифференциальное уравнение для <img width=«35» height=«24» src=«ref-1_286757402-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1475"> в общей форме
<img width=«273» height=«24» src=«ref-1_286757897-634.coolpic» v:shapes="_x0000_i1476">, (3.19)
где <img width=«37» height=«24» src=«ref-1_286758531-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1477"> — винеровский процесс с нулевым средним и единичным коэффициентом диффузии, в нашем случае оно приобретает вид
<img width=«265» height=«24» src=«ref-1_286758687-610.coolpic» v:shapes="_x0000_i1478">. (3.20)
Введем новый случайный процесс <img width=«117» height=«24» src=«ref-1_286759297-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1479">, (3.21)
для его приращения справедливо
<img width=«587» height=«47» src=«ref-1_286759609-1924.coolpic» v:shapes="_x0000_i1480">
Выберем функцию <img width=«39» height=«24» src=«ref-1_286761533-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1481"> так, чтобы она удовлетворяла дифференциальному уравнению <img width=«152» height=«24» src=«ref-1_286761686-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1482">. Например, <img width=«179» height=«63» src=«ref-1_286762049-609.coolpic» v:shapes="_x0000_i1483">. Тогда <img width=«169» height=«24» src=«ref-1_286762658-426.coolpic» v:shapes="_x0000_i1484"> и, следовательно, <img width=«215» height=«61» src=«ref-1_286763084-666.coolpic» v:shapes="_x0000_i1485">.
Выразим из (3.21) функцию <img width=«35» height=«24» src=«ref-1_286757402-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1486"> (заметим, что <img width=«84» height=«24» src=«ref-1_286763906-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1487">) и получим
<img width=«415» height=«65» src=«ref-1_286764159-1207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1488"> (3.22)
Анализируя вид процесса <img width=«35» height=«24» src=«ref-1_286757402-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1489"> можно сделать вывод, что он распределен по нормальному закону. Найдем <img width=«52» height=«24» src=«ref-1_286765522-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1490"> и <img width=«49» height=«24» src=«ref-1_286765715-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1491">, которые полностью определяют вид плотности распределения <img width=«53» height=«24» src=«ref-1_286644293-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1492">. Учитывая свойства винеровского процесса, получим
<img width=«464» height=«65» src=«ref-1_286766076-1338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1493"> (3.23)
Найдем дисперсию.
<img width=«484» height=«212» src=«ref-1_286767414-3577.coolpic» v:shapes="_x0000_i1494">
рассмотрим второе слагаемое подробнее. Для этого введем обозначение <img width=«121» height=«24» src=«ref-1_286770991-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1495">, тогда получим
<img width=«587» height=«129» src=«ref-1_286771311-3180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1496">
С учетом того, что <img width=«273» height=«49» src=«ref-1_286774491-806.coolpic» v:shapes="_x0000_i1497"> будем иметь
<img width=«261» height=«69» src=«ref-1_286775297-888.coolpic» v:shapes="_x0000_i1498">
Тогда в окончательном варианте дисперсия равна
<img width=«305» height=«65» src=«ref-1_286776185-968.coolpic» v:shapes="_x0000_i1499"> (3.24)
Теперь можно записать решение уравнения Фоккера-Планка (3.18), которое имеет вид
<img width=«316» height=«60» src=«ref-1_286777153-992.coolpic» v:shapes="_x0000_i1500"> (3.25)
Пусть <img width=«64» height=«24» src=«ref-1_286778145-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1501">, где <img width=«71» height=«23» src=«ref-1_286778329-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1502"> — точка покоя дифференциального уравнения <img width=«125» height=«25» src=«ref-1_286710267-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1503">, которая определяется конечным уравнением
<img width=«75» height=«25» src=«ref-1_286778783-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1504">, (3.26)
где <img width=«311» height=«53» src=«ref-1_286778989-796.coolpic» v:shapes="_x0000_i1505">.
Возможны три варианта:
1. <img width=«73» height=«25» src=«ref-1_286779785-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1506">, тогда точек покоя не существует (рис. 3.5).
2. <img width=«72» height=«25» src=«ref-1_286779991-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1507">, тогда существует одна точка покоя <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_286780195-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1508">.
3. <img width=«72» height=«25» src=«ref-1_286780298-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1509">, тогда существует две точки покоя <img width=«20» height=«25» src=«ref-1_286780504-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1510"> и <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_286780603-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1511">.
Для примера рассмотрим случай, когда <img width=«183» height=«24» src=«ref-1_286780704-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1512"> (рис. 3.6). Тогда уравнение (3.26) имеет единственный корень <img width=«75» height=«25» src=«ref-1_286781035-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1513">. Коэффициенты диффузии уравнения Фоккера-Планка не зависят от времени и равны <img width=«285» height=«29» src=«ref-1_286781213-536.coolpic» v:shapes="_x0000_i1514">. Если взять <img width=«64» height=«25» src=«ref-1_286781749-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1515">, то уравнение (3.26) будет иметь два корня <img width=«72» height=«25» src=«ref-1_286781934-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1516"> и <img width=«73» height=«25» src=«ref-1_286782114-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1517"> (рис. 3.7). Для первой точки коэффициенты диффузии равны <img width=«168» height=«29» src=«ref-1_286782291-333.coolpic» v:shapes="_x0000_i1518">, для второй <img width=«179» height=«29» src=«ref-1_286782624-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1519">. Точка <img width=«19» height=«25» src=«ref-1_286782960-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1520"> является нежелательной. Если предположить, что сеть связи работает в стационарном режиме, то в окрестности точки <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_286780603-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1521"> распределение нормированного числа заявок в ИПВ является нормальным [1] и имеет вид
<img width=«268» height=«51» src=«ref-1_286783160-721.coolpic» v:shapes="_x0000_i1522">, (3.27)
<img width=«16» height=«39» src=«ref-1_286783881-108.coolpic» v:shapes="_x0000_s1524">
<img width=«26» height=«2» src=«ref-1_286784246-81.coolpic» v:shapes="_x0000_s1529"><img width=«14» height=«26» src=«ref-1_286784327-104.coolpic» v:shapes="_x0000_s1528"><img width=«26» height=«2» src=«ref-1_286784246-81.coolpic» v:shapes="_x0000_s1527"><img width=«14» height=«26» src=«ref-1_286784327-104.coolpic» v:shapes="_x0000_s1526"><img width=«39» height=«16» src=«ref-1_286784616-98.coolpic» v:shapes="_x0000_s1525"><img width=«457» height=«274» src=«ref-1_286784714-1607.coolpic» v:shapes="_x0000_i1525">
Рис. 3.5
<img width=«16» height=«39» src=«ref-1_286783881-108.coolpic» v:shapes="_x0000_s1532">
<img width=«2» height=«154» src=«ref-1_286786532-114.coolpic» v:shapes="_x0000_s1539"> <img width=«26» height=«2» src=«ref-1_286540847-82.coolpic» v:shapes="_x0000_s1535"><img width=«14» height=«26» src=«ref-1_286786821-104.coolpic» v:shapes="_x0000_s1534"> <img width=«26» height=«2» src=«ref-1_286540847-82.coolpic» v:shapes="_x0000_s1537"><img width=«14» height=«26» src=«ref-1_286786821-104.coolpic» v:shapes="_x0000_s1536"><img width=«39» height=«16» src=«ref-1_286787275-100.coolpic» v:shapes="_x0000_s1533"><img width=«457» height=«274» src=«ref-1_286787375-1597.coolpic» v:shapes="_x0000_i1529">
Рис. 3.6
<img width=«16» height=«39» src=«ref-1_286783881-108.coolpic» v:shapes="_x0000_s1542">
<img width=«2» height=«110» src=«ref-1_286789280-103.coolpic» v:shapes="_x0000_s1550"><img width=«2» height=«110» src=«ref-1_286789280-103.coolpic» v:shapes="_x0000_s1549"> <img width=«26» height=«2» src=«ref-1_286784246-81.coolpic» v:shapes="_x0000_s1547"><img width=«14» height=«26» src=«ref-1_286789731-105.coolpic» v:shapes="_x0000_s1546"> <img width=«26» height=«2» src=«ref-1_286784246-81.coolpic» v:shapes="_x0000_s1545"><img width=«14» height=«26» src=«ref-1_286789731-105.coolpic» v:shapes="_x0000_s1544"><img width=«39» height=«16» src=«ref-1_286790115-100.coolpic» v:shapes="_x0000_s1543"><img width=«457» height=«274» src=«ref-1_286790215-1601.coolpic» v:shapes="_x0000_i1534">
Рис. 3.7
4. Исследование стационарного режима в сети с динамическим протоколом случайного множественного доступа для конечного числа станций
Рассматривается сеть связи, состоящая из конечного числа малых абонентских станций, центральной станции и спутника ретранслятора. Спутник, приняв сообщение от периферийной станции передает его на центральную. Так как спутниковый канал связи совместно используют все станции, то возможно совпадение времени ретрансляции сообщений, при этом сообщения искажаются (попадают в конфликт) и требуют повторной передачи. Архитектура подобных сетей связи позволяет реализовать протоколы случайного множественного доступа с оповещением о конфликте, в которых для избежания искажения других сообщений, центральной станцией рассылается сигнал оповещения о конфликте. Сообщения, попавшие в конфликт, должны будут переданы абонентскими станциями повторно после случайной задержки для избежания повторных конфликтов.
Математической моделью рассматриваемой сети связи может служить однолинейная система массового обслуживания, на вход которой поступает примитивный поток неповторных требований с параметром <img width=«101» height=«47» src=«ref-1_286791816-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1535">, где N – число периферийных абонентских станций сети, i – число тех АС, которые либо передают свои сообщения, либо осуществляют их случайную задержку для повторной передачи, <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_286792105-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1536">, если обслуживающий канал (спутник) свободен, <img width=«40» height=«20» src=«ref-1_286792232-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1537">, если обслуживающий канал осуществляет успешную передачу.
Каждое требование в момент поступления в систему встает на прибор и начинает обслуживаться. Отправив заявку на обслуживание, АС не генерирует других заявок до тех пор, пока отправленная заявка не обслужится успешно. Обслуживание экспоненциальное с параметром m. Если за время обслуживания какого-либо требования другие заявки не поступали в систему, то исходное требование считается успешно обслуженным и покидает систему. В противном случае, т.е. когда одновременно обслуживались два или более требований, происходит конфликт. Продолжительность этапа оповещения о конфликте распределена по экспоненциальному закону с параметром <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_286792350-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1538">. Заявки, попавшие в конфликт, переходят в ИПВ, откуда пытаются встать на обслуживание вновь через экспоненциально (с параметром <img width=«19» height=«48» src=«ref-1_286472126-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1539">) распределенную задержку. Структура такой СМО имеет вид рис. 4.1.
<img width=«236» height=«157» src=«ref-1_286792573-1737.coolpic» v:shapes="_x0000_s1366 _x0000_s1365 _x0000_s1361 _x0000_s1332 _x0000_s1348 _x0000_s1355"> <img width=«14» height=«206» src=«ref-1_286794310-274.coolpic» v:shapes="_x0000_s1352"> <img width=«136» height=«238» src=«ref-1_286794584-1263.coolpic» v:shapes="_x0000_s1333 _x0000_s1338 _x0000_s1340 _x0000_s1341">
<img width=«34» height=«29» src=«ref-1_286795975-431.coolpic» v:shapes="_x0000_s1362">
<img width=«128» height=«13» src=«ref-1_286796406-139.coolpic» v:shapes="_x0000_s1351"> <img width=«241» height=«158» src=«ref-1_286796545-2206.coolpic» v:shapes="_x0000_s1334 _x0000_s1364 _x0000_s1335 _x0000_s1342 _x0000_s1353 _x0000_s1354 _x0000_s1356 _x0000_s1357 _x0000_s1358 _x0000_s1359 _x0000_s1360 _x0000_s1363"> <img width=«39» height=«158» src=«ref-1_286798751-640.coolpic» v:shapes="_x0000_s1336 _x0000_s1346 _x0000_s1347"> <img width=«128» height=«12» src=«ref-1_286799512-135.coolpic» v:shapes="_x0000_s1344"> <img width=«12» height=«11» src=«ref-1_286799647-220.coolpic» v:shapes="_x0000_s1343"> <img width=«12» height=«11» src=«ref-1_286799867-323.coolpic» v:shapes="_x0000_s1345"> <img width=«195» height=«51» src=«ref-1_286800190-384.coolpic» v:shapes="_x0000_s1337 _x0000_s1339">
Рис. 4.1 – Модель системы массового обслуживания
Состояние исследуемой сети связи можно описать двумерной случайной величиной <img width=«37» height=«25» src=«ref-1_286800574-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1548">, изменение во времени которой образует двумерный процесс <img width=«72» height=«25» src=«ref-1_286472599-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1549">.
Случайная величина <img width=«32» height=«24» src=«ref-1_286800974-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1550"> описывает состояние обслуживающего канала в момент времени t и принимает три значения:
<img width=«572» height=«68» src=«ref-1_286801123-1558.coolpic» v:shapes="_x0000_i1551">
величина <img width=«28» height=«24» src=«ref-1_286711071-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1552"> показываетчисло заявок в ИПВ в момент времени t .
Рассмотрим вероятности переходов из состояния системы <img width=«49» height=«25» src=«ref-1_286479020-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1553"> в произвольный момент времени t в состояние <img width=«52» height=«25» src=«ref-1_286479198-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1554"> за бесконечно малый интервал времени <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_286479379-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1555">.
1. Пусть система находится в состоянии <img width=«35» height=«24» src=«ref-1_286479486-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1556">, то есть в ИПВ находится i заявок и прибор свободен, за интервал времени <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_286479379-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1557"> состояние системы может измениться таким образом:
а) с вероятностью <img width=«148» height=«47» src=«ref-1_286803548-423.coolpic» v:shapes="_x0000_i1558"> из входящего потока требований поступит новая заявка, которая немедленно займет прибор и начнет обслуживание, тогда система в момент времени <img width=«45» height=«20» src=«ref-1_286479992-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1559">будет находиться в состоянии <img width=«32» height=«24» src=«ref-1_286480127-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1560">;
б) с вероятностью <img width=«88» height=«24» src=«ref-1_286480275-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1561"> к прибору обратится одна из i заявок, находящихся в ИПВ и система перейдет в состояние <img width=«55» height=«24» src=«ref-1_286480519-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1562">;
в) с вероятностью <img width=«215» height=«52» src=«ref-1_286804677-591.coolpic» v:shapes="_x0000_i1563"> состояние системы не изменится.
2. Пусть система в момент времени t находится в состоянии <img width=«32» height=«24» src=«ref-1_286480127-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1564">, то есть прибор занят обслуживанием заявки и в ИПВ находится i требований, за интервал времени <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_286479379-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1565">возможны следующие переходы:
а) с вероятностью <img width=«88» height=«24» src=«ref-1_286481296-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1566"> прибор успешно завершит обслуживание, и в момент времени <img width=«45» height=«20» src=«ref-1_286479992-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1567">система будет находиться в состоянии <img width=«35» height=«24» src=«ref-1_286479486-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1568">;
б) с вероятностью <img width=«171» height=«47» src=«ref-1_286806064-447.coolpic» v:shapes="_x0000_i1569"> в систему поступит новое требование из входящего потока, произойдет конфликт. Как вновь поступившая, так и заявка с прибора перейдут в ИПВ, и начнется интервал оповещения о конфликте, следовательно, система перейдет в состояние <img width=«61» height=«24» src=«ref-1_286806511-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1570">;
в) с вероятностью <img width=«88» height=«24» src=«ref-1_286480275-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1571"> к прибору обратится одна из заявок с ИПВ, произойдет конфликт, и обе заявки переместятся в ИПВ, следовательно,
система в момент времени <img width=«45» height=«20» src=«ref-1_286479992-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1572">будет находиться в состоянии <img width=«57» height=«24» src=«ref-1_286482655-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1573">;
г) с вероятностью <img width=«265» height=«52» src=«ref-1_286807272-666.coolpic» v:shapes="_x0000_i1574"> состояние системы не изменится.
3. Пусть система в момент времени t находится в состоянии <img width=«35» height=«24» src=«ref-1_286483235-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1575">. Посмотрим, что произойдет через интервал времени длины <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_286479379-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1576">:
а) с вероятностью <img width=«148» height=«47» src=«ref-1_286803548-423.coolpic» v:shapes="_x0000_i1577"> к прибору обратится заявка из входящего потока, которая автоматически попадет в ИПВ. В момент времени <img width=«45» height=«20» src=«ref-1_286479992-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1578"> система будет в состоянии <img width=«57» height=«24» src=«ref-1_286482655-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1579">;
б) с вероятностью <img width=«93» height=«25» src=«ref-1_286484064-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1580"> интервал оповещения о конфликте завершится, и система перейдет в состояние <img width=«35» height=«24» src=«ref-1_286479486-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1581">;
в) с вероятностью <img width=«220» height=«52» src=«ref-1_286809349-606.coolpic» v:shapes="_x0000_i1582"> состояние системы не изменится.
Все остальные вероятности переходов не превышают порядка малости <img width=«43» height=«24» src=«ref-1_286484811-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1583">.
Процесс <img width=«72» height=«25» src=«ref-1_286472599-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1584"> является марковским, распределение которого
<img width=«349» height=«28» src=«ref-1_286478375-645.coolpic» v:shapes="_x0000_i1585">
в стационарном режиме удовлетворяет системе уравнений
<img width=«585» height=«172» src=«ref-1_286811016-3246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1586">(4.1)
продолжение
--PAGE_BREAK--4.1. Асимптотический анализ распределения вероятностей состояний сети
Систему уравнений (4.1) будем решать асимптотическим методом марковизируемых систем [7] при <img width=«56» height=«24» src=«ref-1_286814262-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1587">.
Первое приближение
В системе уравнений (4.1) сделаем следующие замены переменных: <img width=«236» height=«48» src=«ref-1_286814407-530.coolpic» v:shapes="_x0000_i1588">. В результате такой замены производится переход от дискретной переменной <img width=«92» height=«24» src=«ref-1_286814937-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1589"> к непрерывной переменной <img width=«85» height=«25» src=«ref-1_286815137-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1590">. В новых обозначениях система (4.1) примет вид
<img width=«575» height=«108» src=«ref-1_286815363-2298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1591"> (4.2)
Получим вид решения системы (4.2), которую будем решать в два этапа.
1 этап.Устремим <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_286522636-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1592"> к нулю и обозначим <img width=«151» height=«33» src=«ref-1_286817747-399.coolpic» v:shapes="_x0000_i1593">. Тогда система (4.2) перейдет в систему
<img width=«282» height=«103» src=«ref-1_286818146-1430.coolpic» v:shapes="_x0000_i1594"> (4.3)
решение которой имеет вид
<img width=«201» height=«144» src=«ref-1_286819576-1331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1595"> (4.4)
где <img width=«128» height=«25» src=«ref-1_286820907-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1596"> <img width=«120» height=«57» src=«ref-1_286821166-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1597"> – асимптотическая плотность распределения вероятностей нормированного числа заявок в ИПВ.
Осталось найти вид функции <img width=«37» height=«24» src=«ref-1_286571237-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1598">, для этого перейдем ко второму этапу.
2 этап.В системе (4.2) все функции с аргументом <img width=«95» height=«24» src=«ref-1_286523482-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1599"> разложим в ряд по приращению аргумента <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_286523676-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1600">, ограничиваясь слагаемыми порядка <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_286522636-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1601">, получим
<img width=«565» height=«169» src=«ref-1_286822092-3117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1602"> (4.5)
Сложив все уравнения системы, будем иметь
<img width=«484» height=«47» src=«ref-1_286825209-1061.coolpic» v:shapes="_x0000_i1603"> (4.6)
В полученном равенстве поделим левую и правую части на <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_286522636-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1604"> и <img width=«41» height=«35» src=«ref-1_286826356-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1605">, прейдем к такому равенству
<img width=«385» height=«47» src=«ref-1_286826533-912.coolpic» v:shapes="_x0000_i1606"> (4.7)
Подставим в (4.7) функции <img width=«139» height=«25» src=«ref-1_286827445-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1607"> в форме (4.4) и получим
<img width=«532» height=«113» src=«ref-1_286827787-1855.coolpic» v:shapes="_x0000_i1608">(4.8)
следовательно
<img width=«504» height=«108» src=«ref-1_286829642-1681.coolpic» v:shapes="_x0000_i1609"> (4.9)
где С – некоторая постоянная.
Необходимо найти константу C. Нетрудно заметить, что при х=0 выражение в фигурных скобках не положительно, следовательно <img width=«47» height=«20» src=«ref-1_286831323-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1610">, а при х=1 <img width=«47» height=«20» src=«ref-1_286831458-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1611">. Итак, <img width=«47» height=«20» src=«ref-1_286831593-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1612">. Таким образом, произведение двух функций равно нулю, следовательно, <img width=«37» height=«24» src=«ref-1_286571237-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1613"> может принимать какое-либо ненулевое значение лишь в тех точках, в которых выражение в скобках равно нулю.
Получим функцию <img width=«37» height=«24» src=«ref-1_286571237-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1614">, везде равную нулю, за исключением точек, являющихся корнями уравнения
<img width=«615» height=«52» src=«ref-1_286832033-1294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1615">
после преобразований это выражение принимает вид
<img width=«176» height=«48» src=«ref-1_286833327-433.coolpic» v:shapes="_x0000_i1616"> (4.10)
Так как <img width=«37» height=«24» src=«ref-1_286571237-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1617"> – плотность распределения вероятностей, то должно выполняться условие нормировки <img width=«91» height=«61» src=«ref-1_286833915-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1618">. Этим условиям удовлетворяет лишь функция вида
<img width=«161» height=«57» src=«ref-1_286834250-486.coolpic» v:shapes="_x0000_i1619">,
где <img width=«23» height=«29» src=«ref-1_286834736-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1620">– корни уравнения (4.10), n – число корней, <img width=«133» height=«57» src=«ref-1_286834852-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1621">.
Если уравнение (4.10) имеет единственный корень <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_286780195-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1622">, то эту точку назовем точкой стабилизации, потому что она является модой распределения вероятностей нормированного процесса заявок в ИПВ <img width=«83» height=«24» src=«ref-1_286835325-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1623">, и в ее окрестности достаточно долго флуктуируют значения этого процесса. В этом случае назовем сеть моностабильной.
Второе приближение
Пусть уравнение (4.10) имеет единственный корень <img width=«49» height=«25» src=«ref-1_286835565-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1624">, то есть плотность распределения исследуемой сети сосредоточена около точки <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_286835697-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1625">. Найдем плотность распределения отклонения от этой точки. Для этого в системе (4.1) сделаем замену переменных:<img width=«57» height=«47» src=«ref-1_286835798-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1626">, <img width=«97» height=«25» src=«ref-1_286835993-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1627">, <img width=«139» height=«47» src=«ref-1_286836193-387.coolpic» v:shapes="_x0000_i1628">.
В новых обозначениях система (4.1) примет вид
<img width=«567» height=«148» src=«ref-1_286836580-3416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1629"> (4.11)
Систему (4.11) будем решать в три этапа.
1 этап.Устремим <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_286522636-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1630"> к нулю и обозначим <img width=«159» height=«33» src=«ref-1_286840082-429.coolpic» v:shapes="_x0000_i1631">, тогда система (4.11) перейдет в систему
<img width=«325» height=«117» src=«ref-1_286840511-1992.coolpic» v:shapes="_x0000_i1632"> (4.12)
решение которой имеет вид
<img width=«225» height=«152» src=«ref-1_286842503-1499.coolpic» v:shapes="_x0000_i1633"> (4.13)
где <img width=«131» height=«28» src=«ref-1_286844002-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1634">, <img width=«129» height=«57» src=«ref-1_286844314-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1635"> – плотность распределения нормированной величины <img width=«32» height=«24» src=«ref-1_286844746-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1636">отклонения процесса <img width=«83» height=«24» src=«ref-1_286835325-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1637"> от значения <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_286780195-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1638"> – корня уравнения (4.10).
Найдем вид функции <img width=«43» height=«24» src=«ref-1_286845236-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1639">.
2 этап.Неизвестные функции <img width=«139» height=«28» src=«ref-1_286845399-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1640"> будем искать в форме
<img width=«255» height=«25» src=«ref-1_286845762-540.coolpic» v:shapes="_x0000_i1641"> (4.14)
где <img width=«471» height=«52» src=«ref-1_286846302-1013.coolpic» v:shapes="_x0000_i1642"> (4.15)
<img width=«24» height=«25» src=«ref-1_286847315-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1643"> – асимптотическая вероятность того, что состояние обслуживающего канала равно <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_286847429-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1644">.
В системе уравнений (4.11) все функции с аргументом <img width=«93» height=«24» src=«ref-1_286847523-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1645"> разложим в ряд по приращению аргумента <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_286847723-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1646">, ограничиваясь слагаемыми порядка <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_286522636-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1647">, получим
<img width=«556» height=«185» src=«ref-1_286847897-4222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1648"> (4.16)
В полученных формулах заменяем <img width=«65» height=«25» src=«ref-1_286852119-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1649"> по формуле (4.14), при этом учитываем, что из системы (4.12) следуют равенства
<img width=«140» height=«117» src=«ref-1_286852319-800.coolpic» v:shapes="_x0000_i1650"> (4.17)
Получим неоднородную линейную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных функций <img width=«137» height=«25» src=«ref-1_286853119-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1651"> (в предположении, что <img width=«43» height=«24» src=«ref-1_286845236-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1652"> известна) вида
<img width=«511» height=«180» src=«ref-1_286853639-3268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1653"> (4.18)
Заметим, что ранг соответствующей однородной системы равен двум. Следовательно, для того, чтобы решение системы (4.18) существовало, необходимо, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы также равнялся двум, т.е. чтобы выполнялось следующее равенство
<img width=«357» height=«47» src=«ref-1_286856907-943.coolpic» v:shapes="_x0000_i1654"> (4.19)
откуда следует, что
<img width=«299» height=«29» src=«ref-1_286857850-611.coolpic» v:shapes="_x0000_i1655"> (4.20)
Чтобы показать равенство (4.20) воспользуемся определением для <img width=«25» height=«25» src=«ref-1_286858461-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1656"> и свойствами констант <img width=«92» height=«25» src=«ref-1_286858571-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1657">, получим
<img width=«560» height=«79» src=«ref-1_286858788-1905.coolpic» v:shapes="_x0000_i1658"> (4.21)
Если предположить, что функция <img width=«41» height=«25» src=«ref-1_286860693-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1659"> известна, то решение системы (4.18) примет вид
<img width=«491» height=«148» src=«ref-1_286860858-2801.coolpic» v:shapes="_x0000_i1660"> (4.22)
3 этап.В системе (4.11) все функции с аргументом <img width=«93» height=«24» src=«ref-1_286847523-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1661"> разложим в ряд по приращению аргумента <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_286847723-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1662">, ограничиваясь слагаемыми порядка <img width=«20» height=«25» src=«ref-1_286551318-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1663">, будем иметь
<img width=«366» height=«47» src=«ref-1_286864050-873.coolpic» v:shapes="_x0000_i1664">
<img width=«547» height=«97» src=«ref-1_286864923-1734.coolpic» v:shapes="_x0000_i1665"> (4.23)
<img width=«612» height=«151» src=«ref-1_286866657-3888.coolpic» v:shapes="_x0000_i1666">
Сложив левые и правые части системы уравнений (4.23) получим
<img width=«512» height=«97» src=«ref-1_286870545-2280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1667"> (4.24)
Чтобы сделать предельный переход в полученной формуле, нужно чтобы все слагаемые имели порядок <img width=«20» height=«25» src=«ref-1_286551318-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1668">. Заменим <img width=«65» height=«25» src=«ref-1_286852119-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1669"> по формуле (4.14), подставив вместо <img width=«116» height=«28» src=«ref-1_286873128-333.coolpic» v:shapes="_x0000_i1670"> их выражения, полученные на втором этапе. Для <img width=«43» height=«24» src=«ref-1_286845236-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1671"> получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка вида
<img width=«244» height=«52» src=«ref-1_286873624-725.coolpic» v:shapes="_x0000_i1672"> (4.25)
где
<img width=«551» height=«125» src=«ref-1_286874349-2621.coolpic» v:shapes="_x0000_i1673"> (4.26)
Решение уравнения (4.25) можно найти в виде
<img width=«223» height=«60» src=«ref-1_286876970-670.coolpic» v:shapes="_x0000_i1674"> (4.27)
продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по математике
Реферат по математике
Инверсия и ее применение
3 Сентября 2013
Реферат по математике
Аналитическая геометрия
3 Сентября 2013
Реферат по математике
Поверхности
3 Сентября 2013
Реферат по математике
Проектирование процесса исследования для модуля корпоративных информационных систем по учету зат
3 Сентября 2013