Реферат: Ряды Фурье и их приложения

--PAGE_BREAK--2.1. Интегралы от периодических функций.

Пусть ƒ(x) – периодическая функция, с периодом Т, интегрируемая на любом сегменте вида [х0, х0+Т]. Тогда величина интеграла <img width=«79» height=«71» src=«ref-1_299450779-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">остаётся при любом х0одной и той же: для любых х0, х0'

<img width=«181» height=«73» src=«ref-1_299451139-537.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">.
2.2. Интегралы от некоторых тригонометрических
<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_299421793-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">функций.

Укажем значения некоторых интегралов:

 
<img width=«213» height=«65» src=«ref-1_299451845-535.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">       (k = 1,2,…),                      (13)

<img width=«167» height=«65» src=«ref-1_299452380-423.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">  (k =1,2,..; m =1,2,…),                        (14)

<img width=«320» height=«65» src=«ref-1_299452803-652.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">      
                        (15)

(k =1,2,…; m =1,2,…;k ≠ m),

<img width=«236» height=«65» src=«ref-1_299453455-556.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">    (k =1,2,…)                          (16)

Теперь можем вычислить коэффициенты Фурье akи bk ряда (2). Для разыскания коэффициента an при каком-либо определенном значении n≠0 умножим обе части равенства (2) на cosnx и произведя математические операции в пределах от –π до π, получим:

<img width=«176» height=«65» src=«ref-1_299454011-496.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">                                            (17)

<img width=«173» height=«65» src=«ref-1_299454507-501.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">                                              (18)

<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_299421793-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">  Коэффициенты, определенные по формулам (4), (17), (18) называются коэффициентами Фурье функции ƒ(x), а составленный тригонометрический ряд (18) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции ƒ(x).

В некоторых случаях, для более узких классов функций, формулы (17), (18) были известны ещё Эйлеру. Таким образом, эти формулы ещё называют формулами Эйлера-Фурье.

Обратим внимание, что постоянная <img width=«28» height=«49» src=«ref-1_299455177-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088"> в (2) пишется в таком виде,  чтобы придать единообразие формулам  (17) и (18).

Вышеприведенные соображения показывают, что поиски тригонометрического разложения данной функции целесообразно начать с изучения её ряда Фурье, откладывая на потом строгое изучение вопроса о том, для каких функций ряд сходится, и притом именно к данной функции. Пока же этого не сделано, функции ƒ(x) сопоставляют её формальный ряд Фурье, что обычно записывают в виде:

<img width=«13» height=«25» src=«ref-1_299455413-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">ƒ(x) ~ <img width=«239» height=«60» src=«ref-1_299424353-564.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">,                      (19)

про который известно, что его коэффициенты вычислены по функции ƒ(x) по формулам Эйлера – Фурье (4), (17) и (18), но ничего не утверждается о его сходимости и тем более – о его сходимости к данной функции.

Из определения ряда Фурье не следует, что функция должна в него разлагаться. Из сказанного выше следует только, что некоторая функция допускает разложение в равномерно сходящийся ряд вида (19), то этот ряд будет её рядом Фурье.
3. Признаки сходимости
<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_299421793-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">рядов Фурье. (стр. 331, Пискунов)

Зададим вопрос: какими свойствами должна обладать функция, чтобы построенный, для неё ряд Фурье сходился и чтобы сумма построенного ряда Фурье равнялась значениям данной функции в соответствующих точках?

 Сформулируем теорему, которая даст достаточные условия представимости функции ƒ(x) рядом Фурье. (из Пискунова)

Определение. Функция ƒ(x) называется кусочно- монотонной на отрезке[a, b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек х1, х2, …, хn-1  на интервалы (а, х1), (х1, х2),…, (хn-1, b) так, что на каждом из интервалов функция монотонна, т. е. либо не возрастающая, либо неубывающая.

Теорема.

Если периодическая функция ƒ(x) с периодом 2π – кусочно монотонная и ограниченная на отрезке [-π, π], то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда s(x) равна значению функции ƒ(x) в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции ƒ(x) сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции ƒ(x)справа и слева, т. е. если х = с – точка разрыва функции ƒ(x), то

<img width=«211» height=«48» src=«ref-1_299456315-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092"> .

Из этой теоремы следует, что класс функций, представимых рядами Фурье, довольно широк. Поэтому ряды Фурье нашли широкое применение в различных отделах математики. Особенно успешно ряды Фурье применяются в математической физике и её приложениях к конкретным задачам механики и физики.

Этот вопрос можно решить с помощью теоремы Дирихле. («Краткий курс высшей математики», Шнейдер и др., стр. 181)

При выводе формул  (4), (17), (18) мы заранее предполагали, что функция ƒ(x) разлагается в правильно сходящийся тригонометрический ряд (1). Если же такого предположения не делать, а допустить, что для функции ƒ(x) существуют все интервалы, стоящие в правых частях формул (4), (17), (18), то по этим формулам можно вычислить коэффициенты a0, ak и bk и составить тригонометрический ряд (1), который представляет собой ряд Фурье, соответствующий данной функции.

Является ли построенный таким образом ряд Фурье сходящимся и если он сходится, то имеем ли мы право утверждать, что он сходится именно к функции ƒ(x), с помощью которой вычислялись коэффициенты ряда?

Оказывается, что сходимость ряда Фурье к заданной функции имеет место для довольно широкого класса функций. Достаточные условия сходимости ряда Фурье, и, следовательно, возможность разложения функций в ряд Фурье даются теоремой Дирихле. Прежде чем формулировать эту теорему, введем два определения.

Функция ƒ(x) называется кусочно-монотонной на сегменте [a, b], если этот сегмент можно разделить на конечное число сегментов, внутри каждого, из которых функция либо только возрастает, либо только убывает, либо постоянна.

Основное определение.  Функция ƒ(x)называется удовлетворяющей условиям Дирихле на сегменте [
a,
b], если:

                       1)функция непрерывна на сегменте [
a,
b] или же имеет                     

                         на нем конечное число точек разрыва 1 рода;

                  2) функция кусочно-монотонна на сегменте [
a,
b].
3.1. Примеры разложения функций в ряды Фурье.

Пример 1. Периодическая функция ƒ(x) с периодом 2π определяется следующим образом: ƒ(x) = х, -π < x ≤ π.

Эта функция – кусочно монотонная и ограниченная. Следовательно, её можно разложить в ряд Фурье.

<img width=«531» height=«214» src=«ref-1_299456802-4116.coolpic» v:shapes="_x0000_s1026 _x0000_s1033 _x0000_s1043 _x0000_s1046 _x0000_s1047 _x0000_s1049 _x0000_s1050 _x0000_s1051 _x0000_s1056 _x0000_s1064 _x0000_s1153 _x0000_s1181 _x0000_s1188">



По формуле (4) находим:

<img width=«199» height=«65» src=«ref-1_299460918-539.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">

Применяя формулам (17), (18) и интегрируя по частям, получим:

<img width=«425» height=«71» src=«ref-1_299461457-922.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">

<img width=«516» height=«71» src=«ref-1_299462379-1043.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">.

Таким образом, получаем ряд:

<img width=«421» height=«52» src=«ref-1_299463422-729.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">.

Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева, т. е. нулю.

Пример 2. Периодическая функция ƒ(x) с периодом 2π определена следующим образом:

ƒ(x) = -1 при –π < x < 0,

ƒ(x) = 1 при 0 ≤ x ≤ π.

Эта функция кусочно монотонна и ограничена на отрезке     [-π, π]. Вычислим ее коэффициенты Фурье:

<img width=«321» height=«68» src=«ref-1_299464151-741.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">,

<img width=«507» height=«68» src=«ref-1_299464892-1037.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">

<img width=«568» height=«139» src=«ref-1_299465929-1628.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">

(Нарисовать: рис. 377, стр. 334, Пискунов)
Следовательно, для рассматриваемой функции ряд Фурье имеет вид:

<img width=«424» height=«57» src=«ref-1_299467557-818.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">.

Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва.

4. Замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье.

Отметим следующее свойство периодической функции ψ(x) с периодом 2π:

<img width=«172» height=«65» src=«ref-1_299468375-550.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">, каково бы ни было число λ.

Действительно, так как ψ(ξ — 2π) = ψ (ξ), то, полагая x = ξ — π, можем написать при любых c и d:

<img width=«415» height=«65» src=«ref-1_299468925-1036.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">.

В частности, принимая с = — π, d = λ, получим:

<img width=«180» height=«65» src=«ref-1_299469961-554.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">

поэтому

<img width=«379» height=«135» src=«ref-1_299470515-1476.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">

Указанное свойство означает, что интеграл от периодической функции ψ(x) по любому отрезку, длина которого равна периоду, имеет всегда одно и тоже значение.

Из доказанного свойства вытекает, что при вычислении коэффициентов Фурье мы можем заменить промежуток интегрирования  (-π,  π) промежутком интегрирования (λ, λ +2π), т. е. можем положить
<img width=«204» height=«204» src=«ref-1_299471991-1129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_299421793-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">             (20)

где λ – любое число.

Это следует из того, что функция ƒ(x) является, по условию, периодической с периодом 2π; следовательно и функция ƒ(x)·cоsnx, и ƒ(x)·sinnx являются периодическими функциями с периодом 2π. В некоторых случаях доказанное свойство упрощает процесс нахождения коэффициентов.

Пример.

Пусть требуется разложить в ряд Фурье функцию ƒ(x) с периодом 2π, которая на отрезке 0 < x ≤ 2π задана равенством ƒ(x)= х.

(Пискунов, рис. 382, стр. 339)
Эта функция на отрезке [-π, π] задается двумя формулами:

ƒ(x) = х + 2π на отрезке [-π, 0]

ƒ(x) = х на отрезке [0, π].

В то же время  на отрезке [0, 2π] гораздо проще она задается одной формулой ƒ(x) = х. Поэтому для разложения этой функции в ряд Фурье выгоднее воспользоваться формулами (20), приравняв λ=0.

<img width=«556» height=«201» src=«ref-1_299473289-2438.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">

Следовательно,

<img width=«477» height=«48» src=«ref-1_299475727-860.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">
5. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций.

Из определения четной и нечетной функции следует, что если ψ(x) – четная функция, то

<img width=«171» height=«65» src=«ref-1_299476587-446.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">.

Действительно,

<img width=«445» height=«135» src=«ref-1_299477033-1382.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">

так как по определению четной функции ψ(- x) = ψ(x).

Аналогично можно доказать, что если ψ(x) – нечетная функция, то

<img width=«468» height=«65» src=«ref-1_299478415-937.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">

Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция ƒ(x), то произведение ƒ(x) ·coskx есть функция также нечетная, а ƒ(x) · sinkx – четная; следовательно,

<img width=«328» height=«204» src=«ref-1_299479352-1401.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">                  (21)

т. е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы».

Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение ƒ(x) · sinkx есть функция нечетная, а ƒ(x) · coskx – четная, то:

<img width=«212» height=«204» src=«ref-1_299480753-1101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">              (22)

т. е. ряд Фурье четной функции содержит «только косинусы».

Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при разыскании коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является четной или нечетной. Очевидно, что не всякая периодическая функция является четной или нечетной.
6. Ряд Фурье для функции с периодом 2
l.

Пусть функция ƒ(x) есть периодическая функция с периодом 2l, вообще говоря, отличным от 2π. Разложим её в ряд Фурье.

Сделаем замену переменной по формуле

<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_299421793-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">х = lt / π.

Тогда функция ƒ(lt / π) будет периодичной функцией от tс периодом 2π. Её можно разложить в ряд Фурье на отрезке  –π ≤ x ≤ π:

<img width=«419» height=«60» src=«ref-1_299482023-893.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">                                

где  (Пискунов, стр. 341 – дописывать не надо)

<img width=«140» height=«65» src=«ref-1_299482916-485.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">

<img width=«185» height=«65» src=«ref-1_299483401-559.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">

<img width=«184» height=«65» src=«ref-1_299483960-561.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">

Возвратимся к старой переменной x:

<img width=«71» height=«56» src=«ref-1_299484521-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">  <img width=«57» height=«48» src=«ref-1_299484790-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">  <img width=«75» height=«48» src=«ref-1_299485066-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">

Тогда будем иметь:

<img width=«200» height=«204» src=«ref-1_299485369-1179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">             (24)

Формула  (23) получит вид

<img width=«327» height=«60» src=«ref-1_299486548-844.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">,         (25)

где коэффициенты a0, ak,  bk вычисляются по формулам (24). Это и есть ряд Фурье для периодической функции с периодом 2l.

Заметим, что все теоремы, которые имели место для рядов Фурье от периодических функций с периодом 2π, сохраняются и для рядов Фурье от периодических функций с каким-либо другим периодом 2 l.

Пример.

Разложить в ряд Фурье функцию ƒ(x) с периодом 2l, которая на отрезке  [-l, l] задается равенством ƒ(x) = | x |.

(Пискунов, стр.342, рис. 383)
Решение. Так как рассматриваемая функция – четная, то

<img width=«459» height=«89» src=«ref-1_299487392-1090.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">

Следовательно, разложение имеет вид

<img width=«383» height=«85» src=«ref-1_299488482-909.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">
7. Разложение в ряд Фурье непериодической функции.
Пусть на некотором отрезке [a, b] задана кусочно монотонная функция ƒ(x). Покажем, что данную функцию ƒ(x) в точках её непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье. Для этого рассмотрим произвольную периодическую кусочно монотонную функцию ƒ1(x) с периодом 2μ ≥ a — b, совпадающую с функцией ƒ(x) на отрезке [a, b]. Таким образом, дополнили определение функции ƒ(x).

Разложим функцию ƒ1(x) в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией ƒ(x), т. е. мы разложили функцию ƒ(x) в ряд Фурье на отрезке  [a, b].

Рассмотрим следующий важный случай. Пусть функция ƒ(x) задана на отрезке [0, l]. Дополняя определение этой функции произвольным образом на отрезке [ l, 0 ], мы можем разложить эту функцию в ряд Фурье. В частности, если мы дополним  определение данной функции так, чтобы при  — l≤ х < 0 было  ƒ(x) = ƒ(-x). В результате получится четная функция. В этом случае говорят, что функция ƒ(x) «продолжена четным образом». Эту функцию разлагают в ряд Фурье, которая содержит только косинусы. Таким образом, заданную на отрезке [0, l] функцию ƒ(x) мы разложили по косинусам.

Если  мы продолжим определение функции ƒ(x) при  — l≤ х <0 так: ƒ(x) = -ƒ(-x), то получим нечетную функцию, которая разлагается по синусам. Таким образом, если на отрезке [0, l] задана некоторая кусочно монотонная функция ƒ(x), то её можно разложить в ряд Фурье как по косинусам, таки по синусам.
 Комплексная форма ряда Фурье для функций с периодом 2π.
Пусть ƒ(x) – функция, удовлетворяющая условиям определения:

Пусть функция ƒ(x) с периодом 2π, имеющая на сегменте [-π, π] не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте (т. е. она интегрируема на любом сегменте).

Тогда пусть ряд (2) является рядом Фурье функции ƒ(x). Преобразуем общий член этого ряда с помощью формул Эйлера, выражающих косинус и синус через показательную функцию. Имеем:

<img width=«436» height=«105» src=«ref-1_299489391-1071.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">

 <img width=«391» height=«49» src=«ref-1_299490462-693.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">,

где <img width=«244» height=«49» src=«ref-1_299491155-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">.

Полагая ещё <img width=«67» height=«49» src=«ref-1_299491642-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129"> получим для частичных сумм ряда Фурье выражение

<img width=«352» height=«125» src=«ref-1_299491912-1186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">

Для новых коэффициентов cn получаем формулу (учитывая формулы an и bn).

<img width=«527» height=«196» src=«ref-1_299493098-1805.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">

Непосредственно видно, что эта формула верна для n = 0 и для n <0 (последнее видно, например, из того, что <img width=«84» height=«31» src=«ref-1_299494903-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132"> где  <img width=«13» height=«27» src=«ref-1_299495170-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133"> обозначает число, сопряженное с).

По доказанному имеем в точках дифферуемциемоcти:

<img width=«405» height=«128» src=«ref-1_299495371-1318.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">

Итак, в точках дифференцируемости

<img width=«147» height=«60» src=«ref-1_299496689-454.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">                (26)

где

<img width=«377» height=«67» src=«ref-1_299497143-693.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">

Правая часть формулы (26) представляет собой комплексную форму ряда Фурье для  функции с периодом 2π.
Комплексная форма ряда Фурье для функции с любым периодом.  (Романовский стр.33)

Пусть ƒ(x) – функция с периодом 2l, удовлетворяющая условиям , указанным в пункте 6. Тогда подстановка x=lt/ π приводит нас к функции ƒ(lt/ π)  с периодом 2π. В силу предыдущего пункта в точках дифференцируемости имеем:

<img width=«385» height=«67» src=«ref-1_299497836-921.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">

Переходя как в ряде, так и формулах для коэффициентов к старому переменному х и замечая, что t = πx /l, dt=(π/l)dx, получим в точках дифференцируемости:

<img width=«168» height=«60» src=«ref-1_299498757-482.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">                         (27)

где

<img width=«515» height=«67» src=«ref-1_299499239-818.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">Правая часть формулы (27), где коэффициенты определяются равенствами (28), называется комплексной формой ряда Фурье для функции с периодом 2l.

Основные типы уравнений математической физики.

Основными уравнениями математической физики называют (для случая функций двух независимых переменных) следующие дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка.

1.                                              
Волновое уравнение:

<img width=«247» height=«55» src=«ref-1_299500057-543.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа.

2.                                              
Уравнение теплопроводности или уравнение Фурье:

<img width=«244» height=«55» src=«ref-1_299500600-506.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141"> 

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде (например, фильтрации нефти и газа с подземных песчаниках), некоторые вопросы теории вероятностей и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа.

3.                                              
Уравнение Лапласа:

<img width=«271» height=«59» src=«ref-1_299501106-539.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики, диффузии и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением эллиптического типа.

В уравнениях (29), (30) и  (31) искомая функция u  зависит от двух переменных. Рассматриваются также соответствующие уравнения и для функций с большим числом переменных. Так, волновое  уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид:

<img width=«304» height=«63» src=«ref-1_299501645-739.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">

уравнение теплопроводности с тремя независимыми переменными имеет вид:

<img width=«284» height=«63» src=«ref-1_299502384-715.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">

уравнение Лапласа с тремя неизвестными переменными имеет вид:

<img width=«292» height=«59» src=«ref-1_299503099-639.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">

    продолжение
--PAGE_BREAK--