Реферат: Ряды и интеграл Фурье 2

--PAGE_BREAK--Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций


Последовательность функций <img width=«193» height=«23» src=«ref-2_1941971034-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057"> непрерывных на отрезке [a,b], называется ортогональной системой функции на отрезке [a,b], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если

<img width=«131» height=«51» src=«ref-2_1941971370-451.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">  <img width=«49» height=«20» src=«ref-2_1941971821-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">

Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],

если выполняется условие

<img width=«177» height=«51» src=«ref-2_1941971959-587.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">

Пусть теперь f(x) — любая функция непрерывная на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на отрезке [a,b] по ортогональной системе называется ряд:

<img width=«84» height=«47» src=«ref-2_1941972546-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061">

коэффициенты которого определяются равенством:
<img width=«144» height=«99» src=«ref-2_1941972916-743.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062">  n=1,2,...
Если ортогональная система функций на отрезке [a,b] ортонормированная, то в этом случаи
<img width=«133» height=«51» src=«ref-2_1941973659-453.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063"> где n=1,2,...
Пусть теперь f(x) — любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на томже отрезке

по ортогональной системе называется ряд:

<img width=«79» height=«47» src=«ref-2_1941974112-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">,
Если ряд Фурье функции f(x) по системе (1) сходится к функции f(x) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [a,b]. В этом случае говорят что f(x) на отрезке [a,b] разлагается в ряд по ортогональной системе (1).


Комплексная форма ряда Фурье


Выражение <img width=«69» height=«48» src=«ref-2_1941974479-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065"> называется комплексной формой ряда Фурье функции f(x), если <img width=«17» height=«23» src=«ref-2_1941974807-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066"> определяется равенством
<img width=«149» height=«51» src=«ref-2_1941974900-482.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">, где <img width=«100» height=«19» src=«ref-2_1941975382-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068"> 
Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:
<img width=«111» height=«137» src=«ref-2_1941975571-664.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">     <img width=«83» height=«72» src=«ref-2_1941976235-389.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">         (n=1,2,… .)


Задача о колебании струны


Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной  l  с концами x=0 и x=l. Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости.

<img width=«288» height=«192» src=«ref-2_1941976624-878.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">

При сделанных выше допущениях можно показать, что функция u(x,t), характеризующая положение струны в каждый момент времени t, удовлетворяет уравнению
<img width=«97» height=«45» src=«ref-2_1941977502-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">    (1)    , где а — положительное число.
Наша з а д а ч а — найти функцию u(x,t), график которой дает форму струны в любой момент времениt, т. е. найти решение уравнения (1) при граничных:

<img width=«144» height=«20» src=«ref-2_1941977809-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">    (2)

и начальных условиях:
<img width=«204» height=«24» src=«ref-2_1941978072-366.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">  (3)
Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, что u(x,t)<img width=«15» height=«13» src=«ref-2_1941978438-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">0 является решением уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Будем искать решения, не равные тождественно 0, представимые в виде произведения u(x,t)=X(x)T(t),    (4), где <img width=«59» height=«16» src=«ref-2_1941978517-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">, <img width=«85» height=«15» src=«ref-2_1941978662-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">.

Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает:

<img width=«100» height=«44» src=«ref-2_1941978822-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">

Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений:

<img width=«189» height=«24» src=«ref-2_1941979091-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">

Используя это условие X(0)=0, X(l)=0, докажем, что <img width=«15» height=«19» src=«ref-2_1941979388-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080"> отрицательное число, разобрав все случаи.

a)  Пусть <img width=«44» height=«19» src=«ref-2_1941979478-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">Тогда X”=0 и его общее решение запишется так:

<img width=«113» height=«23» src=«ref-2_1941979600-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">

<img width=«103» height=«48» src=«ref-2_1941979822-352.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">

откуда <img width=«80» height=«23» src=«ref-2_1941980174-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084"> и <img width=«64» height=«19» src=«ref-2_1941980342-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">, что невозможно, так как мы рассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в нуль.

б) Пусть <img width=«40» height=«19» src=«ref-2_1941980505-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">. Тогда решив уравнение

<img width=«84» height=«20» src=«ref-2_1941980626-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">

<img width=«161» height=«27» src=«ref-2_1941980804-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">

получим <img width=«163» height=«27» src=«ref-2_1941981083-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">, и, подчинив, найдем, что <img width=«67» height=«19» src=«ref-2_1941981399-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">

в) <img width=«43» height=«19» src=«ref-2_1941981564-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091"> Если <img width=«96» height=«20» src=«ref-2_1941981685-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092"> то

<img width=«185» height=«24» src=«ref-2_1941981868-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">

Уравнения имеют корни :

<img width=«188» height=«27» src=«ref-2_1941982172-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">

получим:

<img width=«213» height=«25» src=«ref-2_1941982493-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">

<img width=«219» height=«25» src=«ref-2_1941982879-402.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">

где <img width=«96» height=«23» src=«ref-2_1941983281-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097"> -произвольные постоянные. Из начального условия найдем:

<img width=«271» height=«25» src=«ref-2_1941983486-423.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">

откуда  <img width=«76» height=«23» src=«ref-2_1941983909-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">, т. е.

<img width=«64» height=«23» src=«ref-2_1941984100-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">    (n=1,2,...)

<img width=«75» height=«49» src=«ref-2_1941984275-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">  (n=1,2,...).

Учитывая это, можно записать:
    продолжение
--PAGE_BREAK--<img width=«228» height=«80» src=«ref-2_1941984537-715.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102"> (n=1,2,...).
и,  следовательно

<img width=«376» height=«47» src=«ref-2_1941985252-776.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">, (n=1,2,...),

но так как A и B разные для различных значений n то имеем

<img width=«316» height=«47» src=«ref-2_1941986028-695.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">, (n=1,2,...),
где <img width=«21» height=«23» src=«ref-2_1941986723-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105"> и <img width=«21» height=«23» src=«ref-2_1941986828-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106"> произвольные постоянные, которые попытаемся определить таким образом, чтобы ряд удовлетворял уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3).

Итак, подчиним функцию u(x,t) начальным условиям, т. е. подберем <img width=«21» height=«23» src=«ref-2_1941986932-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107"> и <img width=«20» height=«23» src=«ref-2_1941987035-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108"> так, чтобы выполнялись условия

<img width=«208» height=«47» src=«ref-2_1941987139-582.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">

<img width=«245» height=«47» src=«ref-2_1941987721-664.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">

Эти равенства являются соответственно разложениями функций <img width=«35» height=«20» src=«ref-2_1941988385-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111"> и <img width=«33» height=«21» src=«ref-2_1941988513-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112"> на отрезки [0,l] в ряд Фурье по синусам. ( Это значит что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной функций). Таким образом, решение о колебании струны с заданным граничными и начальными условиями дается формулой

<img width=«333» height=«47» src=«ref-2_1941988639-863.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">

где

<img width=«193» height=«104» src=«ref-2_1941989502-1044.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114"> (n=1,2,...)

Интеграл Фурье

Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.

Для того, чтобы f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:

1)  абсолютной интегрируемости на <img width=«60» height=«20» src=«ref-2_1941990546-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">
<img width=«95» height=«51» src=«ref-2_1941990705-397.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">(т.е. интеграл сходится)
2)  на  любом  конечном отрезке [-L, L] функция была бы кусочно-гладкой
3)  в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f(x)

Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:
<img width=«195» height=«51» src=«ref-2_1941991102-571.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">

, где  <img width=«160» height=«51» src=«ref-2_1941991673-499.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">,

<img width=«156» height=«51» src=«ref-2_1941992172-497.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">.
Интеграл Фурье для четной и нечетной функции
Пусть f(x)-четная функция, удовлетворяющая условиям  представимости интегралом Фурье.

Учитывая, что <img width=«79» height=«51» src=«ref-2_1941992669-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">,  а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x=0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем:

<img width=«168» height=«77» src=«ref-2_1941993045-698.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">  (3)

Таким образом, интеграл Фурье четной функции f(x) запишется так:

<img width=«151» height=«51» src=«ref-2_1941993743-469.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122"> ,

где a(u) определяется равенством (3).

Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции  f(x) :

<img width=«164» height=«77» src=«ref-2_1941994212-694.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">   (4)

и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:

<img width=«144» height=«51» src=«ref-2_1941994906-470.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124"> ,

где b(u) определяется равенством (4).
Комплексная форма интеграла Фурье
<img width=«128» height=«51» src=«ref-2_1941995376-435.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125"> ,   (5)

где

<img width=«155» height=«51» src=«ref-2_1941995811-494.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">.

Выражение  в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f(x).

Если в формуле (5) заменить c(u) его выражением, то получим:

<img width=«200» height=«51» src=«ref-2_1941996305-635.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">, где правая часть формулы называется двойным интегралом

Фуpье в  комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу
в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:
<img width=«127» height=«88» src=«ref-2_1941996940-654.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">
Формулы дискретного преобразования Фурье
Обратное преобразование Фурье.

<img width=«153» height=«48» src=«ref-2_1941997594-533.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">

<img width=«143» height=«48» src=«ref-2_1941998127-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">

гдеn=1,2,…, k=1,2,...

Дискретным преобразованием Фурье — называется N-мерный вектор <img width=«77» height=«24» src=«ref-2_1941998614-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">

<img width=«144» height=«48» src=«ref-2_1941998810-505.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">

при этом,    <img width=«63» height=«45» src=«ref-2_1941999315-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">.

ГЛАВА 2

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

    продолжение
--PAGE_BREAK--Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье


Исходные данные :

 

<img width=«155» height=«49» src=«ref-2_1941999520-492.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">  (Рис. 1)
     Функция периодическая с периодом <img width=«72» height=«17» src=«ref-2_1942000012-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">.( f(x+T)=f(x) )  Функция имеет на промежутке <img width=«47» height=«20» src=«ref-2_1942000165-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136"> конечное число точек разрыва первого рода.

     Сумма ряда в точках функции сходится к значению самой функции, а в точках разрыва к величине <img width=«144» height=«43» src=«ref-2_1942000313-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">, где <img width=«17» height=«23» src=«ref-2_1942000667-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">-точки разрыва.
<img width=«527» height=«287» src=«ref-2_1942000761-2438.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">
Рис. 1
     Производная также непрерывна везде, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Вывод: функция удовлетворяет условию разложения в ряд Фурье.
     1) F(x) — кусочно-непрерывна на интервале <img width=«51» height=«20» src=«ref-2_1942003199-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">.

     2) F(x) — кусочно-монотонна.
     Так как отсутствует симметрия относительно OY, а также центральная симметрия — то рассматриваемая функция произвольна.
Представление функции рядом Фурье.
<img width=«233» height=«47» src=«ref-2_1942003342-609.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">

<img width=«381» height=«51» src=«ref-2_1942003951-972.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">

<img width=«584» height=«107» src=«ref-2_1942004923-2505.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">
<img width=«620» height=«140» src=«ref-2_1942007428-2273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">
     Из разложения видим, что при n нечетном <img width=«19» height=«23» src=«ref-2_1942009701-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">  принимает значения равные 0, и дополнительно надо рассмотреть случай когда n=1.

<img width=«248» height=«55» src=«ref-2_1942009799-669.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">

Поэтому формулу для <img width=«19» height=«23» src=«ref-2_1942009701-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147"> можно записать в виде:
<img width=«159» height=«45» src=«ref-2_1942010566-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">
<img width=«620» height=«104» src=«ref-2_1942010926-2634.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">

( так как  <img width=«87» height=«21» src=«ref-2_1942013560-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">).
     Отдельно рассмотрим случай когда n=1:
<img width=«571» height=«52» src=«ref-2_1942013758-1395.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">.
     Подставим найденные коэффициенты в <img width=«233» height=«47» src=«ref-2_1942003342-609.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152"> получим:
<img width=«472» height=«48» src=«ref-2_1942015762-1016.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">

и вообще

<img width=«209» height=«47» src=«ref-2_1942016778-636.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">.
     Найдем первые пять гармоник для найденного ряда:
1-ая гармоника <img width=«55» height=«43» src=«ref-2_1942017414-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">,
<img width=«556» height=«298» src=«ref-2_1942017592-1999.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">
2-ая гармоника <img width=«72» height=«43» src=«ref-2_1942019591-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">,
<img width=«556» height=«298» src=«ref-2_1942019802-2653.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">
3-ая гармоника <img width=«107» height=«43» src=«ref-2_1942022455-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">,
<img width=«556» height=«298» src=«ref-2_1942022724-2710.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">
4-ая гармоника <img width=«107» height=«43» src=«ref-2_1942025434-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">,
<img width=«556» height=«298» src=«ref-2_1942025711-2416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">
5-ая гармоника <img width=«107» height=«43» src=«ref-2_1942028127-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">,
<img width=«556» height=«298» src=«ref-2_1942028403-2305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">
и общий график F(x), сумма выше перечисленных гармоник. и сами гармоники.
<img width=«667» height=«423» src=«ref-2_1942030708-10612.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">
Запишем комплексную форму полученного ряда
     Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. теорию)
<img width=«196» height=«47» src=«ref-2_1942041320-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">,
но при <img width=«88» height=«23» src=«ref-2_1942041760-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">  не существует, поэтому рассмотрим случай когда n=+1 :
<img width=«61» height=«43» src=«ref-2_1942041928-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">(т.к. <img width=«99» height=«43» src=«ref-2_1942042100-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169"> см. разложение выше)
и случай когда n=-1:
<img width=«55» height=«43» src=«ref-2_1942042331-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170"> (т.к. <img width=«399» height=«51» src=«ref-2_1942042501-870.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">)
     И вообще комплексная форма:
<img width=«471» height=«47» src=«ref-2_1942043371-1279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">
или
<img width=«327» height=«47» src=«ref-2_1942044650-1065.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">
или
<img width=«277» height=«47» src=«ref-2_1942045715-851.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">
Разложение  четной функции в ряд
Данную выше функцию сделаем четной(см. теорию), и рассмотрим ее на промежутке от 0 до <img width=«24» height=«17» src=«ref-2_1942046566-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175"> смотри рис.2
<img width=«573» height=«247» src=«ref-2_1942046672-3210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">

Рис.2
поэтому разложение по  косинусу  имеет вид:
<img width=«167» height=«47» src=«ref-2_1942049882-523.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">

<img width=«311» height=«51» src=«ref-2_1942050405-800.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">

<img width=«445» height=«51» src=«ref-2_1942051205-1061.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">

<img width=«600» height=«65» src=«ref-2_1942052266-1420.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">
     Из разложения видим что при n=2 дробь теряет смысл поэтому отдельно рассмотрим разложения первого и второго коэффициента суммы:
<img width=«495» height=«51» src=«ref-2_1942053686-1122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">

<img width=«155» height=«64» src=«ref-2_1942054808-456.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">
     На основе данного разложения запишем функцию в виде ряда:
<img width=«657» height=«69» src=«ref-2_1942055264-1932.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">
и вообще

<img width=«360» height=«71» src=«ref-2_1942057196-1141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">.
     Найдем первые пять гармоник для найденного ряда:
1-ая гармоника  <img width=«53» height=«43» src=«ref-2_1942058337-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">
<img width=«542» height=«292» src=«ref-2_1942058512-1878.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">
2-ая гармоника  <img width=«96» height=«43» src=«ref-2_1942060390-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">
<img width=«542» height=«292» src=«ref-2_1942060650-2725.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">
3-я гармоника <img width=«117» height=«43» src=«ref-2_1942063375-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">
<img width=«543» height=«292» src=«ref-2_1942063662-3021.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">
4-ая гармоника  <img width=«115» height=«43» src=«ref-2_1942066683-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">
<img width=«542» height=«292» src=«ref-2_1942066953-3120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">
5-ая гармоника  <img width=«123» height=«43» src=«ref-2_1942070073-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">
<img width=«542» height=«292» src=«ref-2_1942070374-2503.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">
     А теперь рассмотрим сумму этих гармоник F(x):
<img width=«655» height=«356» src=«ref-2_1942072877-10623.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">
Комплексная форма ряда по косинусам
 Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. гл.1)

<img width=«213» height=«71» src=«ref-2_1942083500-589.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">,

но при <img width=«89» height=«23» src=«ref-2_1942084089-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">  не существует, поэтому рассмотрим случай когда n=+2 :

<img width=«48» height=«23» src=«ref-2_1942084261-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">(т.к. <img width=«99» height=«23» src=«ref-2_1942084396-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199"> см. разложение выше)

и случай когда n=-2:
<img width=«52» height=«23» src=«ref-2_1942084587-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200"> (   т.к. <img width=«213» height=«51» src=«ref-2_1942084729-516.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">)

<img width=«217» height=«51» src=«ref-2_1942085245-565.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">

     И вообще комплексная форма:
<img width=«485» height=«71» src=«ref-2_1942085810-1693.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">
или
<img width=«483» height=«71» src=«ref-2_1942087503-1703.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">
или
<img width=«152» height=«43» src=«ref-2_1942089206-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205"><img width=«292» height=«71» src=«ref-2_1942089563-1226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">
Разложение нечетной функции в ряд
     Аналогичным образом поступаем с данной функцией F(x), продлевая ее как нечетную, и рассматриваем на промежутке от 0 до <img width=«24» height=«17» src=«ref-2_1942046566-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207"> смотри рис.3
<img width=«550» height=«324» src=«ref-2_1942090895-3324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">
Рис.3

поэтому разложение по синусам имеет вид:
<img width=«136» height=«47» src=«ref-2_1942094219-471.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">

<img width=«621» height=«53» src=«ref-2_1942094690-1599.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">

<img width=«453» height=«67» src=«ref-2_1942096289-1164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">
     Из данного разложения видно, что при n=2 произведение неопределенно (можно не учесть часть суммы), поэтому рассмотрим два отдельных случая.
     При n=1:

<img width=«55» height=«43» src=«ref-2_1942097453-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">,
и при n=2:

<img width=«305» height=«53» src=«ref-2_1942097637-836.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">
     Учитывая данные коэффициенты имеем разложения в виде

<img width=«672» height=«72» src=«ref-2_1942098473-1876.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">
и вообще

<img width=«375» height=«47» src=«ref-2_1942100349-981.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">
     Найдем первые пять гармоник для данного разложения:

1-ая гармоника  <img width=«95» height=«43» src=«ref-2_1942101330-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">
<img width=«544» height=«292» src=«ref-2_1942101592-2607.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">
2-ая гармоника <img width=«71» height=«43» src=«ref-2_1942104199-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">
<img width=«544» height=«292» src=«ref-2_1942104410-3605.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">
3-ая гармоника  <img width=«115» height=«47» src=«ref-2_1942108015-341.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">
<img width=«544» height=«292» src=«ref-2_1942108356-2957.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">
4-ая гармоника  <img width=«133» height=«47» src=«ref-2_1942111313-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">
<img width=«544» height=«292» src=«ref-2_1942111681-2491.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">
5-ая гармоника  <img width=«124» height=«47» src=«ref-2_1942114172-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">
<img width=«544» height=«292» src=«ref-2_1942114534-2366.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">
     И просуммировав выше перечисленные гармоники получим график функции F(x)
<img width=«640» height=«356» src=«ref-2_1942116900-9963.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">
Вывод:

     На основании главы 2, разложение функции в тригонометрический ряд(рис.1), разложение в ряд по косинусам(рис.2), разложение по синусам(рис.3), можно заключить, что данная функция разложима в тригонометрический ряд и это разложение единственное. И проанализировав суммы первых пяти гармоник по каждому разложению можно сказать, что наиболее быстрее к заданному графику достигается при разложении по синусам.
Комплексная форма ряда по синусам
     Основываясь на теорию (см.  гл.1) для ряда получаем:
<img width=«47» height=«23» src=«ref-2_1942126863-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227"> ,  <img width=«292» height=«47» src=«ref-2_1942126998-649.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228"> (т.к. <img width=«45» height=«23» src=«ref-2_1942127647-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">)
тогда комплексный ряд имеет вид:
<img width=«208» height=«47» src=«ref-2_1942127778-711.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230"><img width=«192» height=«47» src=«ref-2_1942128489-613.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231"><img width=«185» height=«47» src=«ref-2_1942129102-604.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">

ГЛАВА 3

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ
Проверка условий представимости
     Данную ранее функцию (см. гл. 2) доопределим на всей прямой от <img width=«25» height=«12» src=«ref-2_1942129706-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233"> до <img width=«25» height=«15» src=«ref-2_1942129802-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234"> как равную нулю(рис.4).
<img width=«547» height=«204» src=«ref-2_1942129905-3454.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">
Рис.4
а) f(x)-определенна на R;

б) f(x)  возрастает на <img width=«45» height=«47» src=«ref-2_1942133359-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">, f(x) убывает на <img width=«49» height=«47» src=«ref-2_1942133564-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">  — кусочнo-монотонна.

f(x)  = const на <img width=«48» height=«27» src=«ref-2_1942133767-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238"> и <img width=«51» height=«27» src=«ref-2_1942134016-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">.
<img width=«332» height=«51» src=«ref-2_1942134273-924.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240"> < <img width=«16» height=«12» src=«ref-2_1942135197-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">.
Интеграл Фурье
     В соответствии с теорией (см. гл. 1) найдем a(u) и b(u):
<img width=«656» height=«51» src=«ref-2_1942135285-1427.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">
<img width=«600» height=«45» src=«ref-2_1942136712-1119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">

<img width=«629» height=«45» src=«ref-2_1942137831-1249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">

<img width=«85» height=«45» src=«ref-2_1942139080-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">;

<img width=«661» height=«51» src=«ref-2_1942139371-1425.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">
<img width=«672» height=«45» src=«ref-2_1942140796-1378.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">

<img width=«332» height=«45» src=«ref-2_1942142174-704.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">.
     И в конечном варианте интеграл Фурье будет выглядеть так:

<img width=«313» height=«51» src=«ref-2_1942142878-871.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249">
Интеграл Фурье в комплексной форме
     Теперь представим интеграл Фурье в комплексной форме. На основе выше полученных разложений имеем:
<img width=«128» height=«43» src=«ref-2_1942143749-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">,
<img width=«215» height=«47» src=«ref-2_1942144080-560.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">,
а теперь получим интеграл в комплексной форме:
<img width=«285» height=«51» src=«ref-2_1942144640-946.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">.

ГЛАВА 4


ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПОЛИНОМОМ ЛЕЖАНДРА

Основные сведения
    Функцию можно разложить в ортонормированной системе пространства X=[-1,1], причем полиномы получим, если проинтегрируем выражение:
<img width=«181» height=«44» src=«ref-2_1942145586-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">
     Соответственно получим для n=0,1,2,3,4,5,… :
<img width=«64» height=«48» src=«ref-2_1942146007-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">

<img width=«123» height=«85» src=«ref-2_1942146264-495.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255">

<img width=«187» height=«85» src=«ref-2_1942146759-749.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">

… .
     Для представления функции полиномом Лежандра необходимо разложить ее в ряд:
<img width=«124» height=«47» src=«ref-2_1942147508-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257">,
 где   <img width=«155» height=«51» src=«ref-2_1942147948-491.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258">    и разлагаемая  функция  должна  быть  представлена  на  отрезке от -1 до 1.
Преобразование функции
     Наша первоначальная функция имеет вид (см. рис. 1):
<img width=«155» height=«49» src=«ref-2_1941999520-492.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">
т. к. она расположена на промежутке от 0 до <img width=«23» height=«17» src=«ref-2_1942148931-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260"> необходимо произвести замену, которая поместит функцию на промежуток от -1 до 1.

     Замена:
<img width=«80» height=«20» src=«ref-2_1942149037-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261">

и тогда F(t) примет вид
<img width=«192» height=«49» src=«ref-2_1942149214-536.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">
или
<img width=«171» height=«49» src=«ref-2_1942149750-492.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">
Вычисление коэффициентов ряда
     Исходя из выше изложенной формулы для коэффициентов находим:
<img width=«323» height=«51» src=«ref-2_1942150242-765.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264">
<img width=«564» height=«64» src=«ref-2_1942151007-1572.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">

<img width=«335» height=«59» src=«ref-2_1942152579-846.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266">
<img width=«661» height=«65» src=«ref-2_1942153425-1851.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">

<img width=«673» height=«64» src=«ref-2_1942155276-1854.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">
<img width=«399» height=«51» src=«ref-2_1942157130-1079.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269"><img width=«189» height=«65» src=«ref-2_1942158209-632.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270"><img width=«475» height=«59» src=«ref-2_1942158841-1364.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271"><img width=«196» height=«59» src=«ref-2_1942160205-685.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">

<img width=«256» height=«51» src=«ref-2_1942160890-730.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">

     Далее вычисление коэффициентов осложнено, поэтому произведем вычисление на компьютере в системе MathCad и за одно проверим уже найденные:
<img width=«101» height=«43» src=«ref-2_1942161620-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">

<img width=«129» height=«43» src=«ref-2_1942161871-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">

<img width=«191» height=«43» src=«ref-2_1942162148-413.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">

<img width=«153» height=«43» src=«ref-2_1942162561-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277">

<img width=«299» height=«51» src=«ref-2_1942162940-806.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">

<img width=«308» height=«51» src=«ref-2_1942163746-828.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279">
     Рассмотрим процесс стремления суммы полинома прибавляя поочередно <img width=«33» height=«23» src=«ref-2_1942164574-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280"> — слагаемое:

<img width=«112» height=«43» src=«ref-2_1942164701-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">

<img width=«435» height=«264» src=«ref-2_1942164975-1713.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">
<img width=«123» height=«23» src=«ref-2_1942166688-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">

<img width=«435» height=«264» src=«ref-2_1942166940-1939.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">
<img width=«173» height=«23» src=«ref-2_1942168879-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">
<img width=«435» height=«264» src=«ref-2_1942169189-1899.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286">
<img width=«220» height=«23» src=«ref-2_1942171088-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">
<img width=«435» height=«264» src=«ref-2_1942171460-1828.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">
<img width=«268» height=«23» src=«ref-2_1942173288-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">
<img width=«435» height=«264» src=«ref-2_1942173710-2224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">
      А теперь рассмотрим график суммы пяти полиномов F(t) на промежутки от -1 до 0 (рис.5):

 

<img width=«315» height=«23» src=«ref-2_1942175934-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">
<img width=«435» height=«264» src=«ref-2_1942176418-2219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">
    продолжение
--PAGE_BREAK--