Реферат: Теория устойчивости

--PAGE_BREAK--Определение 3.   Нулевое решение x ( t ) º   0  системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если "   e   > 0   $   d   = d   (  e  )  > 0 такое, что  "   x0

         |  D  x0|  £    d   Þ     | x ( t; t0, x0  ) |   £   e        "   t ³   t0.

Если кроме того,

<img width=«21» height=«2» src=«ref-1_747349596-152.coolpic» v:shapes="_x0000_s1126"><img width=«11» height=«2» src=«ref-1_747345572-151.coolpic» v:shapes="_x0000_s1127"><img width=«21» height=«2» src=«ref-1_747349899-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1128"><img width=«12» height=«2» src=«ref-1_747340381-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1129">$<img width=«2» height=«2» src=«ref-1_747341153-151.coolpic» v:shapes="_x0000_s1130">    D   > 0        "   x0        |  D  x0|  £   D     Þ     | x ( t; t0, x0  )  |   ®    0, t ®     +  ¥
    ,

<img width=«21» height=«2» src=«ref-1_747333436-162.coolpic» v:shapes="_x0000_s1131"><img width=«21» height=«2» src=«ref-1_747333598-158.coolpic» v:shapes="_x0000_s1132">то решение  x ( t )  º   0  системы (1)  называется асимптотически устойчивым в положительном направлении ( или асимптотически устойчивым ).

<img width=«21» height=«2» src=«ref-1_747350680-158.coolpic» v:shapes="_x0000_s1133"><img width=«11» height=«2» src=«ref-1_747336508-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1134"><img width=«11» height=«2» src=«ref-1_747340998-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1135"><img width=«11» height=«2» src=«ref-1_747351146-154.coolpic» v:shapes="_x0000_s1136">Определение 4.     Нулевое решение   x ( t )  º   0  системы  (1)  называется неустойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчиво), если оно не является устойчивым в положительном направлении, т.е.

<img width=«12» height=«2» src=«ref-1_747351300-162.coolpic» v:shapes="_x0000_s1137"><img width=«21» height=«2» src=«ref-1_747351462-156.coolpic» v:shapes="_x0000_s1138">$    e   > 0     $   t1 > t0    "   d  > 0    x0  ¹   0     |  x0|  £    d   Þ     | x ( t; t0, x0  ) |   >   e  .

Геометрическая интерпритация устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения  x ( t )  º   0 системы (1)  дана соответственно на рис.5-7.
 




2.  Устойчивость решения автономной системы. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной (или стационарной, или консервативной, или динамической), если независимая переменная не входит явно в систему уравнений.

Нормальную автономную систему n — го порядка можно записать в векторной форме :

<img width=«12» height=«2» src=«ref-1_747353232-162.coolpic» v:shapes="_x0000_s1145"><img width=«12» height=«2» src=«ref-1_747353394-160.coolpic» v:shapes="_x0000_s1146"><img width=«12» height=«2» src=«ref-1_747353554-160.coolpic» v:shapes="_x0000_s1147">                                   dx / dt = f ( x ).                                                                          (5)

Рассмотрим задачу Коши для системы (5) с начальными условиями (2). В дальнейшем предполагаем, что задача Коши (5), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.

<img width=«11» height=«2» src=«ref-1_747337444-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1148"><img width=«12» height=«2» src=«ref-1_747353869-163.coolpic» v:shapes="_x0000_s1149"><img width=«12» height=«2» src=«ref-1_747342099-157.coolpic» v:shapes="_x0000_s1150"><img width=«12» height=«2» src=«ref-1_747354189-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1151">Пусть x = x ( t ) — есть решение системы (5). Направленная кривая  g   , которую можно параметрически задать в виде xi = xi ( t )      ( i = 1,…, n ), называется траекторией (фазовым графиком) системы (5) или траекторией решения x = x ( t ). Пространство Rn с координатами ( x1,…, xn ), в котором расположены траектории системы (5), называется фазовым пространством автономной системы (5). Известно, что интегральные кривые системы (5) можно параметрически задать в виде  t = t, x1 = x1 ( t ),…, xn = xn ( t ). Следовательно, интегральная кривая принадлежит пространству Rn+1 с координатами ( t, x1, x2,…, xn ), а траектория является проекцией интегральной кривой на пространство Rn параллельно оси t. Проиллюстрируем это для случая n  = 2, т.е. когда Rn+1  — трехмерное пространство, а фазовое пространство Rn  — двумерная плоскость. На рис.8, а изображена интегральная кривая, заданная параметрическими уравнениями t = t, x1 = x1 ( t ), x2 = x2 ( t ), на рис.8, б -  ее проекция на плоскость, т.е. траектория, заданная параметрическими уравнениями x1 = x1 ( t ), x2 = x2 ( t ). Стрелкой указано направление возрастания параметра t.

<img width=«11» height=«2» src=«ref-1_747339461-150.coolpic» v:shapes="_x0000_s1157"><img width=«12» height=«2» src=«ref-1_747356177-159.coolpic» v:shapes="_x0000_s1158"><img width=«12» height=«2» src=«ref-1_747356336-160.coolpic» v:shapes="_x0000_s1159"><img width=«12» height=«2» src=«ref-1_747356496-160.coolpic» v:shapes="_x0000_s1160"><img width=«12» height=«2» src=«ref-1_747356656-158.coolpic» v:shapes="_x0000_s1161">Определение 5.  Точка ( a1, a2,…, an ) называется точкой покоя (положением равновесия) автономной системы (5), если правые части f1, f2,…, fn  системы (5) обращаются в этой точке в нуль, т.е. f (a) = 0, где  a = ( a1, a2,…, an ), 0 = ( 0, 0,…, 0 ).

<img width=«21» height=«2» src=«ref-1_747356814-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1162"><img width=«21» height=«2» src=«ref-1_747356969-161.coolpic» v:shapes="_x0000_s1163"><img width=«12» height=«2» src=«ref-1_747356336-160.coolpic» v:shapes="_x0000_s1164"><img width=«11» height=«2» src=«ref-1_747357290-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1165"><img width=«12» height=«2» src=«ref-1_747345723-159.coolpic» v:shapes="_x0000_s1166"><img width=«12» height=«2» src=«ref-1_747357604-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1167"><img width=«12» height=«2» src=«ref-1_747356336-160.coolpic» v:shapes="_x0000_s1168">Если ( a1,…, an ) — точка покоя, то система (5) имеет постоянное решение x ( t ) = a. Как известно, исследование устойчивости любого, а значит, и постоянного решения a можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения. Поэтому далее будем считать, что система (5) имеет нулевое решение x ( t )  º   0, т.е. f ( 0 )  = 0, и точка покоя совпадает с началом координат фазового пространства Rn. В пространстве Rn+1 точке покоя соответствует нулевое решение. Это изображено на рис.8 для случая n = 2.

Таким образом, устойчивость нулевого решения системы (5) означает устойчивость начала координат фазового пространства системы (5), и наоборот.

<img width=«12» height=«2» src=«ref-1_747357919-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1169"><img width=«12» height=«2» src=«ref-1_747358072-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1170">Дадим геометрическую интерпретацию устойчивого, асимптотически устойчивого и неустойчивого начала плоскости, т.е. когда n = 2. Для этого следует спроектировать аналоги рис.5-7 в двумерном случае на фазовую плоскость R2, причем проекциями e   — трубки и  d   -  трубки являются окружности с радиусами  e   и  d  . Начало x = 0 устойчиво, если все траектории, начинающиеся в пределах   d   — окружности, не покидают   e   — окружность    "   t ³   t0(рис.9); асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и все траектории, начинающиеся в области притяжения  D   , стремятся к началу (рис.10); неустойчиво, если для любой   e   — окружности и всех  d   > 0  существует хотя бы одна траектория, покидающая ее (рис.11).

<img width=«11» height=«2» src=«ref-1_747346970-151.coolpic» v:shapes="_x0000_s1171"><img width=«12» height=«2» src=«ref-1_747358376-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1172">Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющая вид

                                               dx / dt =  A x,                                                    (6)

где  A — постоянная матрица размера n  ´  n, является частным случаем системы (5). Следовательно, для этой системы справедливы все сделанные выше утверждения об автономных системах.




3. Простейшие типы точек покоя.

 Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

   æ  dx / dt = P ( x, y ),

   í                                                                                                                            (A)

   î  dy / dt = Q ( x, y ).
Точка ( x0, y0) называется точкой покоя или особой точкой системы (A), если P ( x0, y0) = 0, Q ( x0, y0) = 0.

Рассмотрим систему

   æ  dx / dt = a11 x + a12 y,

   í                                                                                                                            (7)

   î  dy / dt = a21 x + a22 y.
где  aij ( i, j = 1, 2 ) — постоянные. Точка ( 0, 0 ) является точкой покоя системы (7). Исследуем расположение траектории системы (7) в окрестности этой точки. Ищем решение в виде

                                    x =  a  1  e k t   ,    y =   a  2 e k t  .                                                       (8)

Для определения k получаем характеристическое уравнение

<img width=«4» height=«70» src=«ref-1_747371385-178.coolpic» v:shapes="_x0000_s1186"><img width=«4» height=«70» src=«ref-1_747371563-174.coolpic» v:shapes="_x0000_s1187">                                               a11 — k              a12

                                                                                              =   0.                                       (9)

                                               a21                   a22 — k
Рассмотрим возможные случаи.

I. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Подслучаи :

1) k1 < 0, k2 < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k1  >  0, k2  > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k1  > 0, k2  <  0. Точка покоя неустойчива (седло).

4) k1  = 0,  k2  >  0. Точка покоя неустойчива.

5) k1  = 0,  k2 < 0. Точка покоя устойчива, но не асимптотически.

II. Корни характеристического уравнения комплексные :           k1 = p + q i, k2 = p — q i. Подслучаи :

1) p < 0, q  ¹   0.  Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус).

2) p > 0, q  ¹   0.  Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус).

3) p = 0, q  ¹   0.  Точка покоя устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет.

III. Корни кратные: k1  = k2. Подслучаи :

1) k1 = k2 < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k1 = k2 > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k1 = k2 = 0. Точка покоя неустойчива. Возможен исключительный случай, когда все точки плоскости являются устойчивыми точками покоя.

Для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами

                        dxi                        n

<img width=«41» height=«4» src=«ref-1_747371737-166.coolpic» v:shapes="_x0000_s1188">                                   =          å     ai j xj                    ( i = 1, 2,…, n )                                    продолжение
--PAGE_BREAK--