Реферат: Элейская школа

довольно интересна для исследования, так как это одна издревнейших школ, в трудах которой математика и философия достаточно тесно иразносторонне взаимодействуют. Основными представителями элейской школы считаютПарменида (конец VI — V в. до н.э.) и Зенона (первая половина V в. до н.э.).

Философия Парменида заключается в следующем: всевозможные системымиропонимания базируются на одной из трех посылок: 1)Есть только бытие, небытиянет; 2)Существует не только бытие, но и небытие; 3)Бытие и небытиетождественны. Истинной Парменид признает только первую посылку. Согласно ему,бытие едино, неделимо, неизменяемо, вневременно, закончено в себе, только оноистинно сущее; множественность, изменчивость, прерывность, текучесть — все этоудел мнимого.

С защитой учения Парменида от возражений выступил его ученик Зенон. Древниеприписывали ему сорок доказательств для защиты учения о единстве сущего (противмножественности вещей) и пять доказательств его неподвижности (противдвижения). Из них до нас дошло всего девять. Наибольшей известностью во всевремена пользовались зеноновы доказательства против движения; например,«движения не существует на том основании, что перемещающееся тело должнопрежде дойти до половины, чем до конца, а чтобы дойти до половины, нужно пройтиполовину этой половины и т.д.».

Аргументы Зенона приводят к парадоксальным, с точки зрения «здравогосмысла», выводам, но их нельзя было просто отбросить как несостоятельные,поскольку и по форме, и по содержанию удовлетворяли математическим стандартамтой поры. Разложив апории Зенона на составные части и двигаясь от заключений кпосылкам, можно реконструировать исходные положения, которые он взял за основусвоей концепции. Важно отметить, что в концепции элеатов, как и в дозеноновскойнауке фундаментальные философские представления существенно опирались наматематические принципы. Видное место среди них занимали следующие аксиомы:

1. Сумма бесконечно большого числа любых, хотя бы и бесконечно малых, нопротяженных величин должна быть бесконечно большой;

2. Сумма любого, хотя бы и бесконечно большого числа непротяженных величинвсегда равна нулю и никогда не может стать некоторой заранее заданнойпротяженной величиной.

Именно в силу тесной взаимосвязи общих философских представлений сфундаментальными математическими положениями удар, нанесенный Зеноном пофилософским воззрениям, существенно затронул систему математических знаний.Целый ряд важнейших математических построений, считавшихся до этого несомненноистинными, в свете зеноновских построений выглядели как противоречивые.Рассуждения Зенона привели к необходимости переосмыслить такие важныеметодологические вопросы, как природа бесконечности, соотношение междунепрерывным и прерывным и т.п. Они обратили внимание математиков на непрочностьфундамента их научной деятельности и таким образом оказали стимулирующеевоздействие на прогресс этой науки.

Следует обратить внимание и на обратную связь — на роль математики вформировании элейской философии. Так, установлено, что апории Зенона связаны снахождением суммы бесконечной геометрической прогрессии. На этом основаниисоветский историк математики Э. Кольман сделал предположение, что «именнона математический почве суммирования таких прогрессий и вырослилогико-философские апории Зенона». Однако такое предположение,по-видимому, лишено достаточных оснований, так как оно слишком жестко связываетучение Зенона с математикой при том, что имеющие исторические данные не даютоснования утверждать, что Зенон вообще был математиком.

Огромное значение для последующего развития математики имело повышение уровняабстракции математического познания, что произошло в большой степени благодарядеятельности элеатов. Конкретной формой проявления этого процесса быловозникновение косвенного доказательства («от противного»),характерной чертой которого является доказательство не самого утверждения, аабсурдности обратного ему. Таким образом был сделан шаг к становлениюматематики как дедуктивной науки, созданы некоторые предпосылки для ееаксиоматического построения.

Итак, философские рассуждения элеатов, с одной стороны, явились мощнымтолчком для принципиально новой постановки важнейших методологических вопросовматематики, а с другой — послужили источником возникновения качественно новойформы обоснования математических знаний.