Реферат: Соотношение интуитивного и логического в математике

Вопрос о взаимосвязи математики и философии впервые был задан довольнодавно. Аристотель, Бэкон, Леонардо да Винчи — многие

великие умычеловечества занимались этим вопросом и достигали выдающихся

результатов.Это не удивительно: ведь основу взаимодействия философии

с какой-либоиз наук составляет потребность использования аппарата

философии дляпроведения исследований в данной области; математика же,

несомненно, более всего среди точных наук поддается философскому анализу

(в силу своейабстрактности). Наряду с этим прогрессирующая математизация

науки оказывает активное воздействие на философское мышление.

Если пытаться некоторым образом классифицировать различные науки, тонеизбежно приходишь к выводу, что и математика, и философия занимают некотороеособое место в этой классификации. Необходимо замечаешь, что между ними многообщего. Рассмотрим этот вопрос поподробнее.

Во времена античности и средневековья вообще нельзя было отделитьматематику и философию. Примером тому являются Аристотель и Декарт, которымматематики обязаны новыми взглядами на логику и на геометрию. В то же время этиученые создали собственные философские учения, тесно связанные, лучше дажесказать, неотделимые от их исследований в области математики. И обратно, ихматематические результаты базируются на их философских взглядах и в то же времяследуют из них. Такое положение продолжалось вплоть до XVII веков. Даже

фундаментальныйтруд Исаака Ньютона, положивший начало всему

дифференциально-интегральномуисчислению и механике, был озаглавлен

«Математическиеначала натуральной философии». Надо сказать, что и в

дальнейшемвсе настоящие великие математики являлись и

мыслителями-философами.К их числу можно отнести, кроме вышеперечисленных,

Лобачевского,Римана, Брауэра, Гильберта, Пуанкаре, Геделя.

Затемфилософия выделяется в

отдельнуюобласть человеческого знания, причем очень специфическую

область. Еслиразличные естественные науки имеют дело с материальными

объектами,изучая их с некоторой, вполне определенной точки зрения

(биология — сживыми организмами, физика — с пространством, временем,

телами и т.д.), общественные и социальные науки имеют дело с такими

понятиями,как государство, революция и эволюция и т. д., гуманитарные

науки — сословом, текстом, музыкой, психология имеет

дело с мозгоми поведением человека и т.д., то философия делает предметом

своегоанализа обобщения частных наук. Если учесть, что каждая

частная наукакак раз и характеризуется тем, что обобщает и классифицирует

знания, тофилософия имеет дело с более высоким, вторичным уровнем

обобщения.

То же самоеможно сказать и про математику. Ни один

математическийобъект не встречается в реальной жизни. При этом если для

некоторыхобъектов, как то точка, прямая, натуральное число, мы можем

увидеть иосознать их грубую модель в природе, то для подавляющего

большинстваматематических понятий таких моделей нет и быть не может.

Они возникликак чисто умозрительные построения и обобщения уже построенных объектов.Парадокс состоит в том, что при всем своем отрыве от действительности онипомогают познавать природу. Надо заметить, что это происходит не напрямую, а спомощью привлечения еще какой-либо науки из области естествознания, а последнее время и общественные науки стали серьезно использовать математическиеметоды в своих исследованиях. Таким образом, математика тоже имеет дело совторичным уровнем обобщения.

Особняком ковсем наукам стоит логика. Все науки, в том числе философия и математика)подчиняются

формально-логическимзаконам (иначе они теряют право называться наукой), в то же время логика — наука об наиболее общих законах мышления, поэтому ее можно рассматривать какчасть философии или близкую к ней науку. Не случайно Гедель рассматривалфилософию прежде всего с точки зрения «науки

логики».ootnote Философия. Под ред. В.Н Лавриненко. М.,1996. С.25 В то же время логикарассматривается как часть математики, так как

логическиезаконы могут быть отображены в формализованные языки

(логическиеисчисления) и исследованы с помощью математических методов.

Именно вматематике обращается наибольшее внимание на логическую

строгостьдоказательств, и именно в связи с проблемой обоснования

математики былиразработаны неклассические логики. Их создание и развитие,

в своюочередь, сильно повлияло на развитие математики, в частности,

общейалгебры, топологии, теории множеств, теории рекурсивных функций и

многих другихобластей математики. Ни с одной другой наукой логика не

находится втаком тесном взаимопроникновении, как с математикой и

философией.Знаменательно, что законы логики заложил Аристотель -

философ иматематик.

Кроме того, иматематика, и философия характеризуются одной важной особенностью, которой втакой мере не обладает ни одна другая наука. Эта особенность напрямую вытекаетиз того, что обе науки имеют дело со вторичным уровнем абстракции. Ниматематик, ни философ не имеют возможности воспользоваться напрямую такимдейственным методом познания, как практический эксперимент или опыт. Ниматематику, ни философу не нужно дорогостоящее оборудование или статистическиеданные. Они довольствуются умозрительными экспериментами и данными других наук.Для работы им необходимо иметь только ручку и лист бумаги (или другое средстводля записи мыслей и результатов). Таким образом, если чувственное познаниеотходит на второй план, возрастает роль логического познания. Как нипарадоксально, при этом в творческом процессе возрастает роль интуиции,озарения, которую зачастую противопоставляют логике и не всегда признают вкачестве способа достижения новых результатов, представляя движение мысли какряд непрерывных строго обоснованных логических звеньев цепи силлогизмов. Именнороли и месту интуиции и логики в математике и математическом творчествепосвящен данный реферат.

ewpage

egincenter

Историявопроса ootnoteОсновные факты, используемые в этой части, взяты из книг [3] и[4]

ndcenter

Сейчас вматематике, как ни в одной другой науке, особое внимание обращается настрогость и логическую последовательность доказательств. При этом терассуждения, которые применялись еще сравнительно недавно и рассматривались какстрогие, на нынешнем этапе уже не являются доказательствами и требуютдополнительного обоснования. Например, допускали, что непрерывная функция неможет изменить знак, не проходя через нуль. Теперь это доказывают.

Первым особоевнимание логической стройности рассуждений уделил Аристотель. Именно егопонятие силлогизма и группа выделенных им законов (тождества, противоречия иисключенного третьего), по которым должно строится любое доказательство,надолго определили развитие логики. Группа работ Аристотеля была объединена подназванием «Органон», то есть инструмент для получения истинного знания.В Новое время вопросами теории познания (в то время еще не отделившейся отлогики) занимались Фрэнсис Бэкон и Рене Декарт. В частности, был поставленвопрос о формировании исходных понятий (определений и аксиом). У Бэконаосновным инструментом познания служила индукция, а у Декарта — дедукция.Декарт, как истинный геометр, призывал допускать в качестве истинных толькоочевидные утверждения.

Такимобразом, аксиомы постигаются интуитивно, а все остальные знания выводятся изних с помощью дедукции без пропуска логических звеньев. В «Рассуждении ометоде» Декарт предлагает следующие правила познания:

1) допускатьв качестве истины только такие утверждения, которые ясно и отчетливопредставлены уму и не могут вызывать

никакихсомнений; 2) расчленять сложные задачи на более простые и

доступные длярешения; 3) последовательно переходить от известного и доказанного кнеизвестному и недоказанному; 4) не допускать пропуска звеньев в цепилогических доказательств.

Родоначальникомсовременной математической логики явился Готфрид Лейбниц, развившийаристотелевскую силлогистику и учение Декарта о врожденных

идеях. Именноон выдвинул идею создания алфавита мыслей, или универсального языка. Еслисоздать систему знаков для высказываний, подобную системе цифр в арифметике, исоздать некую формальную комбинаторику, которая может определять истинность илиложность некоторой мысли или утверждения, то можно получить общий метод и спомощью формально логических законов получать все возможные истины илиопределять случаи, когда высказывание неизбежно окажется ложным.

Противоположныхвзглядов на математику

придерживалсяфилософ Иммануил Кант. Если, по Лейбницу, все

математическиенауки можно воплотить в некотором универсальном логическом исчислении, то Кантутверждал, что все математические положения могут доказываться только путемобращения к наглядному представлению, которое дается только априорными формамичувственности.

Но в прошломвеке положение начало резко меняться.

Начало этомуположила геометрия Лобачевского, в которой

только один постулат(аксиома) отличался от традиционной евклидовой геометрии. Эта геометрия уже несоответствовала привычным представлениям людей, но в то же время была логическибезупречна и непротиворечива. Дальнейшие работа немецкого математика Римана,создавшего систему различных геометрий, наиболее известна из которыхсферическая геометрия Римана, итальянского математика Бельтрами показали, чтогеометрии можно строить на различных системах аксиом и получать при этомнепротиворечивые теории. Математика перешла на новый уровень абстракции.

Что жепослужило толчком для подобного события? Основу классической геометриисоставляли пять постулатов Евклида, из которых первые четыре казалисьочевидными, и только пятый был достаточно сложным и казался более похожим натеорему. На протяжении почти двух тысячелетий многие математики пыталисьвывести его из других аксиом, но это не удавалось. Тем не менее, на геометриюсмотрели как на идеал научного знания, и вопрос о единственности геометрии былне просто математическим вопросом, а имел мировоззренческий, философскийхарактер. У Канта, например, идея единственности геометрии была органичнойчастью его философской системы. Иначе говоря, в то время математики рассуждалитак: геометрия Евклида является великолепно выстроенным зданием, правда, в неместь некоторая неясность, связанная с 5 постулатом, однако, в конце концов, всевыясниться и неясность будет устранена.

Однако вначале XIX века вдруг наступил кризис в отношении пятого постулата, и сразутрое человек (Н. Лобачевский, Ф. Гаусс и Я. Больяи) решают этот кризис методомпостроения новой геометрии. Почему же именно в этот момент произошел перелом?Вряд ли можно предполагать, что одновременно появились три гения, которых небыло на протяжении многих веков.

Дело в том,что проблема пятого постулата предстала перед математиками в новом свете, ужене как досадная неясность, а как проблема,

порождающая ряд фундаментальных вопросов: как вообще должна бытьпостроена математика? Может ли она быть построена на действительно прочных основаниях?Является ли она достоверным знанием? Является ли она логически точным знанием?Эти вопросы возникли не в связи с постановкой проблемы пятого постулата, а былиопределены общим состоянием математики в тот исторический момент.

Вплоть доXVII века математика находилась как бы в зачаточном состоянии. Наиболееразработана была геометрия, известны начала алгебры и тригонометрии. Но с XVIIвека математика начала бурно развиваться, и к началу XIX века она представляласобой довольно сложную и развитую систему знаний. Для нужд механики былосоздано и развивалось дифференциальное и интегральное исчисление; значительноеразвитие получила алгебра, появилось понятие функции; появилась теориявероятностей и теория рядов. Математическое знание выросло не только количественно,но и качественно. С этим развитием появилось множество новых понятий, которыематематики не могли истолковать. Например, алгебра несла с собой понятие числа.Положительные, отрицательные и мнимые величины были в равной степени ееобъектами, но что это такое, никто толком не знал до XIX века. Не было ответадаже на более общий вопрос — что такое число? Что такое бесконечно малаявеличина, которая уже широко использовалась в дифференциальном и интегральномисчислениях? Как можно обосновать дифференцирование, интегрирование,суммирование рядов, то есть операции, требующие предельного перехода? Чтопредставляет собой вероятность?

В итогеименно в XIX веке сложилась кризисная ситуация в математике.

Но трудностиистолкований новых понятий еще можно было понять: то, что неясно сегодня,станет ясно завтра, когда соответствующая область получит должное развитие,когда там будет сосредоточено достаточное количество интеллектуальных усилий.Иначе дело обстояло с проблемой пятого постулата — она стояла уже около двухтысячелетий, и многие люди ей занимались, но решения не было. Может быть, чтоэта проблема устанавливала некий эталон для истолкования тогдашнего состоянияматематики и уяснения того, что есть математика вообще. Возможно, математикане является точным знанием. В свете этих вопросов проблема пятого постулатаперестала быть частной задачей, а стала фундаментальной проблемой и была решенапутем построения новых геометрий. Параллельно на основе нового взгляда наметематику развивались и другие области.

Алгебралогики возникла в работах англичанина Джона Буля, который предложилрассматривать логику как алгебру, где переменные принимают только два значения- 0 и 1, и применять к высказываниям методы алгебры. Буль полагал, что естьнекие общие принципы мышления, что дает основания для аналогий между логикой иалгеброй. Эта идея блестяще подтвердилась, кроме того, булевозначные алгебры,как оказалось, являются моделями классической теории множеств.

На этомподходе ныне базируется вся электронно-вычислительная техника. Дальнейшееразвитие этот подход получил в работах математика Готлоба

Фреге, который осуществил дедуктивно-аксиоматическое построение логикивысказываний и

логикипредикатов. Он построил систему формализованной арифметики, тем

самым пытаясьобосновать идею сводимости значительной части математики к

чистойлогике. Это направление получило название логицизм, который был

развит вработе «Принципы математики» англичанами Бертраном Расселом и

АльфредомУайтхедом. В этом же направлении работали гениальные математики

Пеано (имсоздана знаменитая система аксиом Пеано для определения базового понятияматематики — натурального числа и принципа математической индукции) и Гильберт,строго аксиоматически изложивший евклидову геометрию в своем труде «Основаниягеометрии»(1889). Надо сказать, что она была достаточно далека от тойгеометрии, которую до сих пор преподают в школах.

Однако с углублением формализации математики начали натыкаться наразличные парадоксы, связанные с определениями абстрактных понятий, из которыхнаиболее известен парадокс Рассела в теории множеств. Возникла

ситуация,похожая на ситуацию с евклидовой геометрией. Опять еще более

остро сталифилософские вопросы обоснования математики и возможности

ее построенияна чисто логико-аксиоматической основе.

В 1931 году

австрийскийматематик Курт Гедель доказал неполноту достаточно богатых

формальныхсистем, что и означало, что лейбницева программа полной

формализациимышления невозможна. Иначе говоря, существуют

предложения,которые формулируются в терминах данной теории, но

недоказуемы инеопровержимы в рамках этой теории. Эти исследования

наряду сисследованиями поляка Тарского и голландца Чёрча определили

современноесостояние математической логики. На сегодняшний день

ситуация склассической логикой повторила ситуацию с евклидовой

геометрией.Созданы и развиваются интуиционистская и конструктивная

логики,основанные на отбрасывании или замене классических

аристотелевскихзаконов логики. Ведутся исследования в области

многозначных,релевантных и модальных логик.

Итак, можносказать, что в ходе развития математики все большее внимание уделялосьстрогости логики. Надо сказать, что это не является какой-то особенностьюименно математики. Для примера можно взять юриспруденцию и сравнить законы, которыеиспользовались в средние века, в Новое время и сегодняшний свод законов. Можноувидеть, что при сохранении основных идей (записанных еще в Библии — неубий, не укради и т.д.) увеличивается детальность и логическаяпоследовательность законов. Тем более это видно в естественных науках. Былмомент, когда казалось, что все в математике можно свести к формальным правиламвычислений. Иначе говоря, можно было бы сконструировать некую машину, котораямогла бы генерировать все теоремы и их доказательства, а нужда вматематике-человеке с его интуицией бы отпала. Только в 30-х годах XX векавновь появилось понимание, что машина не может заменить человека в этой областизнаний (и, по-видимому, ни в какой другой).

egincenter

О природематематического умозаключения

ndcenter

Самавозможность математического познания при рассмотрении ее с точки зрениялогицизма кажется неразрешимым противоречием. Если все предложения в математикевыведены одно из другого по правилам формальной логики, то верно ли, что вся математикасводится к бесконечному повторению и тавтологии? Ведь силлогизм Аристотеля неможет научить ничему новому, и если все теоремы вытекают из закона тождества,то все должно к сводится к нему и к нескольким аксиомам, лежащим в основематематики. Правда, надо предположить или проверить, что эта система аксиом несводится к закону противоречия.

Получается,что ни одна теорема не могла бы дать никаких новых знаний, если бы в еедоказательство не входила бы новая аксиома. Ведь сам силлогизм ничего не добавляетк тем данным, которые даются в посылке. Иначе говоря, вся математика сводиласьбы к нескольким аксиомам и скрытому способу говорить, что А есть А. Крометого, если математика имеет дедуктивный характер, то как объяснить тот факт,что 90 процентов математических статей связаны с обобщением уже известныхрезультатов. Чтобы объяснить смысл этих противоречий, надо признать, чтоматематическое умозаключение само по себе имеет род творческой силы, и этимотличается от силлогизма.

Рассмотримодин из важнейших, если не самый важный, тип математических умозаключений,причем сделаем это на простейшем примере, на примере арифметике. Выражение«дважды два равно четырем» используется, когда говорят о чем-то оченьпростом, элементарном. Это вроде бы ясно, и доказывать тут нечего. Первымпытался доказать это Лейбниц. Для этого необходимо ввести некие понятия (посути — аксиомы), а именно понятие числа 1 и операции прибавления к некоторомучислу х числа 1. Далее определяем числа 2, 3 и 4 следующими равенствами

2=1+1, 3=2+1,4=3+1. Теперь определим операцию прибавления 2 следующим образом х+2=(х+1)+1.Заметим, что пока ничего содержательного не появилось, но при этом вопределении новой операции неявно используется аксиома ассоциативностисложения. Иначе говоря, либо вводится эта аксиома, и тогда новая операцияопределяется однозначно, либо сначала определяется новая операция прибавления2, и из нее получается ассоциативность сложения как свойство (а не какаксиома). Далее имеем цепочку равенств 2+2=(2+1)+1=3+1=4. Откуда и получим, что2+2=4. Таким образом, на основе формально введенных понятий мы доказалиформальное(!) равенство. Вроде бы эти рассуждения может проделать и машина, сэтим никто не спорит.

Но еслиспросить любого математика об этом доказательстве, то он скажет, что эторассуждение доказательством не является, это просто проверка. Грань междудоказательством и проверкой очень тонкая, и если все математики ее чувствуютинтуитивно, то далеко не все смогут ее точно определить. На самом деле проверка- это некое бесплодное рассуждение, где фактически мы просто проверили законтождества, перевели предпосылки на другой язык. Истинное доказательство должнобыть плодотворным, и вывод должен заключать в себе некое новое знание, чемпосылка, которое берется не из новых введенных аксиом, а из самой творческойсилы умозаключения.

Рассмотримдругое рассуждение, которое, по-видимому, лежит в самой основе математики.Пусть у нас есть некоторое высказывание, зависящее от n, например, чтосуществует n-угольник, у которого 3 острых угла. Ряд силлогизмов будетвыглядеть следующим образом

Это верно дляn=3.

Если этоверно для n=3, то это верно для n=4.

Следовательно,это верно для n=4.

Если этоверно для n=4, то это верно для n=5.

Следовательно,это верно для n=5. и т.д.

Такимобразом, мы получаем бесконечный ряд силлогизмов. Если мы хотим проверить нашеутверждение для 10-угольника, то нам необходимо пройти все предыдущие этапы, иобосновать 7 силлогизмов. Для 100-угольника потребуется немного больше времени--- 97 силлогизмов. Тем не менее это время конечное. А вот если потребуетсяузнать, верна ли теорема для многоугольника с миллиардом углов, то жизни одногочеловека уже не хватит. Однако, как бы далеко мы не шли, мы никогда не дойдемдо применимой ко всем числам теоремы, которая и есть предмет науки математика.Чтобы ее достигнуть, необходимо пройти бесконечный ряд силлогизмов, то естьнадо перескочить бездну, сделать шаг, на который не способна формальная логика,и, следовательно, на этот шаг неспособна машина.

Орудием, которое

позволяетпереходить от конечного к бесконечному, является математическая индукция,которая избавляет нас от ряда долгих и однообразных проверок, позволяя получитьобщую теорему. Надо сказать, что метод математической индукции для натуральных,а в последнее время и для трансфинитных чисел, включен в систему аксиом Пеано.Если задуматься, то это очень странный факт — ведь МЕТОД мышления включен всистему аксиом, он не может быть выведен из других аксиом — понятий при помощилогических законов. Причем еще в начале нашего века множество математиковпыталось создать систему аксиом без индукции (кстати, это же пытался сделать исам Пеано, и великий Гильберт), но так или иначе, индукция возникала в скрытой,неявной форме.

Втораястранность заключается вот в чем. Если аксиома — это то, что нам очевидно, тонадо сказать, что метод математической индукции имеет дело с бесконечностью,перед которой бессилен любой человеческий опыт. Это правило не доступно дляаналитического или опытного доказательства или проверки. Но тем не менее, этотметод достаточно очевиден для мало-мальски образованного и подготовленного ума.Доказательством тому является тот факт, что в последние годы он входит вшкольную программу для 10-11 классов, а наиболее подготовленные ученики осваиваютего в 7-8 классе, причем интуитивно они начинают его применять примерно с 6класса, и поэтому его логическую формулировку воспринимают достаточно легко.Здесь, по-видимому, сказывается только утверждение могущества человеческогоразума, который способен постичь общность бесконечного повторения одного и тогоже акта, даже в различных его вариациях. В силу этого могущества разум обладаетнепосредственной интуицией бесконечного и интуицией обобщения.

Еще одинаспект проблемы индукции в математике связан с процессом конструирования. Имеяпростые понятия, математики строят более сложные совокупности или конструкции.Затем путем анализа этих сочетаний они возвращаются к первоначальным объектам,раскрывая соотношение этих элементов и выводя отсюда отношение самихсовокупностей. В этом процессе конструирования, которому всегда совершенносправедливо придавалось большое значение, некоторые хотели видеть необходимое идостаточное условие прогресса математики и вообще точных наук. Необходимостьочевидна. А вот достаточность? Ведь для того, чтобы процесс конструирования былполезен, необходимо, чтобы конструкция несла в себе что-то новое по сравнению ссоставляющими ее элементами. Например, для чего изучать многоугольники, скоторыми несомненно, дело иметь гораздо труднее, вместо того, чтобыограничиться изучением только треугольников? Ведь любой многоугольник можетбыть составлен из треугольников.

Делается этодля того, чтобы получать и доказывать общие свойства многоугольников с любымчислом сторон (например, оценка периметра через сумму диагоналей), которыеможно применять затем в любом частном случае. Если же рассматриватьмногоугольник только как фигуру, состоящую из элементарных треугольников, тоувидеть эти свойства удается только ценой значительных умственных усилий илиинтуиции, или не удается вообще.

Отсюдаполучается, что конструирование становится плодотворным тогда, когда его можносравнивать с аналогичными конструкциями того же родового понятия и когда естьвозможность доказывать некоторые родовые свойства, не прибегая к проверке этихсвойств для каждой конструкции. Для этого опять необходимо подняться отчастного к общему, а это делается с помощью математической индукции.

egincenter

Два типаматематического мышления

ndcenter

Еслиознакомится с работами различных математиков, то легко заметить, что существуютдва сильно отличающихся типа математического мышления. Один из них можноусловно называют геометрическим или европейским тип, а другой — алгебраическимили азиатским (ныне его также называют аналитическим стилем мышления). Конечно,подобные названия сильно условны, и появились, по-видимому, в связи с тем, чтогеометрия как школа и наука развилась в Европе (Пифагор, Евклид, Декарт,Лобачевский), а начало алгебре, уравнениям и т.д. было положено в трудах арабовАль-Хорезми, Омара Хайяма и других. Само слово алгебра происходит от арабскогослова аль-джебр.

Аналитикипридерживаются в своих работах логической стройности, двигаясь вперед шаг зашагом. Обычно они не пропускают без доказательства ни одной мелочи, аккуратнообосновывая каждый шаг. При этом общая идея доказательства может потонуть занагромождением разного рода деталей. Чертежи или иного рода наглядныепредставления используются в работах аналитиков чрезвычайно редко.

Совершенноиная ситуация у математиков с

геометрическимстилем мышления. Их работы изобилуют рисунками, если это вообще возможно. Еслинет, то по крайней мере они на словах пытаются

объяснить то,что представляется их внутреннему взору. При этом общие идеи доказательствобычно выписываются до строгой формулировки теорем, а иногда и вместо нее. Онине затрудняют себя доказательством мелких деталей.

Надо сказать,что условное деление на геометров и аналитиков вовсе не означает, что онизанимаются именно той областью математики, которая вынесена в названиесоответствующего типа мышления. Это просто условное название того типамышления, который присущ данным людям. Причем, видимо, эта склонность дается отрождения, а не формируется в результате воспитания или обучения, хотя в ходе этихпроцессов можно развить или подкорректировать эти склонности. Чтобыпроиллюстрировать все вышесказанное примерами, обратимся к свидетельствуфранцузского математика Анри Пуанкаре, записанной в его книге «Ценностьнауки». Я позволю себе процитировать довольно большой кусок, потому что ондает яркие примеры двух типов математиков, с которыми Пуанкаре был знакомлично.

«Так,Мере хочет доказать, что двучленное уравнение всегда имеет корень, или, говоряпросто, что всегда можно разделить угол на части. Если есть истина, которую мымогли бы узнать непосредственной интуицией, то она здесь. Кто станетсомневаться, что угол всегда можно разделить на какое угодно количество равныхчастей, и чтобы доказать это, ему нужно несколько страниц. Напротив, посмотритена Клейна: он изучает один из самых абстрактных вопросов теории функций;требуется узнать, всегда ли существует на данной поверхности Римана функция,допускающая данные сингулярности. Что делает знаменитый немецкий геометр? Онзаменяет поверхность Римана металлической поверхностью, электропроводностькоторой меняется по известным законам, и соединяет две точки ее с двумяполюсами элемента. Ток, говорит он, непременно пройдет, и распределение этоготока по поверхности определит функцию, особыми свойствами которой будут именноте, которые предусмотрены условием. Без сомнения, Клейн знает, что он дал здесьлишь наглядный очерк; и все-таки он не задумался опубликовать его; вероятно, оннадеялся найти здесь если не строгое доказательство, то по крайней мере как бынравственную уверенность. Логик с ужасом отбросил бы подобную концепцию или — вернее — ему и не нужно было бы ее отбрасывать, потому что она никогда немогла бы возникнуть в его уме.»

Аналогичная,даже еще более характерная ситуация сложилась в общей теории функций, особеннофункций комплексного переменного. Основа этого направления заложена в работахдвух немецких математиков, Вейерштрасса и Римана. Они жили примерно в одновремя, и получили примерно одинаковое образования. Математическая одаренность каждогоиз них не вызывает никаких сомнений. Работали они примерно в одной области, нонасколько разительно их подходы отличаются друг от друга! Если Вейерштрасссводил все функции к аналитическим рядам и рассматривал далее операции исвойства числовых и функциональных рядов, то есть как будто сводил всю теориюфункций к алгебре или даже арифметике, то

Риманприбегал к помощи геометрии и особенно топологии. Особенно интересно затронутьэтот вопрос в свете того, что сама я лично была свидетелем очень яркого примераподобной классификации умов, и именно в этой области. Во время моего обучения вуниверситете теорию функций комплексного переменного нам одновременно читали два преподавателя: Леонид Эммануилович Медников и Александр БорисовичВоронецкий. Естественно, они разделили темы, и каждый читал эту теорию с тойточки зрения, которая ему ближе. Если Воронецкий имеет ярко выраженные чертыаналитического склада мышления, то Медников, наоборот, ярко выраженный геометри, естественно, читал топологическую часть, связанную с римановымимногообразиями. Воронецкий же читал часть, связанную с оценками, неравенствами,разложениями в ряды и т.д. В чем же еще было отличие? Всем моим одногруппникамнравились лекции Воронецкого, потому что он не пропускал ни одной детали, все унего было логически правильно построено, при этом записано на бумаге, весьтекст он полностью переносил на доску. Отдельно были выделены определения,затем теоремы, доказательства и примеры. Лекции же Медникова, по общему мнению,слушать было еще можно, а вот запоминать или записывать — нет. Он не записывална доске практически ни одной формулы, а рисовал множество картинок, поясняяобщую идею доказательства и не вдаваясь в детали. При этом в принципе былоневозможно понять, где доказательство теоремы, а где пример. На мой взгляд, онкак бы моделировал творческую работу математика, процесс его размышлений надтеоремами. Причем надо заметить и неоднозначную оценку студентами методов тогои другого. Если мои одногруппники считали, что лекции Медникова не понятны ипоэтому скучны, то для меня, наоборот, лекции Воронецкого казались загруженныминенужными деталями и поэтому скучными и сложными для понимания, а идеидоказательства, выраженные в картинках, я помню до сих пор, и до сих пор именнокрасота интуитивных идей делает для меня эти рассуждения простыми. Иначеговоря, эти два отличия присущи не только великим умам, но и встречаютсяповсюду. Если аналитики не способны представлять в пространстве(а у мы, будучистудентами, подозревали, что Медников может представить четырехмерноепространство), то геометры не способны к длительным вычислениям и скоро в нихпутаются (именно сейчас, в ходе работы над диссертацией, у меня возникаютсерьезные проблемы со строгой записью доказательств. Надо ли говорить, что я считаюсвой стиль мышления более геометрическим, чем аналитическим). Оба рода умоводинаково необходимы для развития науки, оба делают те открытия и шаги, накоторые неспособны другие.

egincenter

Роль интуициив математике

ndcenter

Но, раз уж мыговорим, что математические рассуждения ученых античности и нового временигрешат отсутствием логической строгости, там не доказаны казавшиеся очевиднымифакты, то означает ли это, что все эти ученые были по своему складу умагеометрами? Конечно, это не так.

Иначепришлось бы заключить, что в древности природа создавала только геометров, затов 19 веке и на рубеже 20 вдруг перевыполнила план по аналитикам. Например, есливзять Евклида, про которого неизвестно ничего, кроме одного сочинения, вкотором и излагается система его аксиом, то можно с уверенностью заключить, чтоэтот человек — аналитик. Только логик мог в античные времена вообще принятьнеобходимость выделения в геометрии неизбыточной системы непротиворечивых аксиом. С большой вероятностью можно утверждать, что сами аксиомы, принимаемыеинтуитивно, были высказаны другими учеными, тем более другими людьми доказанытеоремы геометрии. Но тем не менее эту геометрию мы называем евклидовой, потомучто именно Евклид взял на себя труд обобщить и систематизировать разрозненныезнания.

Насегодняшний день изменились не умы, а идеи. Сейчас от математиков,руководствуются они интуицией или логикой, требуется некий необходимый уровеньстрогости, и эта необходимость признана всеми. Какова же причина этогонегласного соглашения? Она лежит на поверхности. Мало того, что интуиция, привсей ее творческой силе, не может дать нам строгости. Это еще полбеды. Ксожалению, она не может дать достоверности знания, полученного с ее помощью.

Например, всемы имеем интуитивное понятие о

непрерывнойфункции как о функции, график которой представляется непрерывной линией. В тоже время строгое определение непрерывности, на каком языке (топологическом,языке последовательностей, $ e- l$-окрестностей) его не формулируй, не может несодержать менее 5 предикатов, а нормальный, не занимавшийся математикой человекможет понять сходу фразу, содержащую не более двух вложенных предикатов. Зачемтогда вообще нужно это строгое логическое определение? Но с помощью тогоинтуитивного представления, которое мы имеем, представляя непрерывную кривую,мы получаем такое «доказательство»: любая непрерывная функция имеетпроизводную, так как любая кривая имеет касательную. В то же время известно, что далеко не всегда непрерывность функции обеспечивает ее гладкость.

Интуиция нас«обманывает» ровно в силу того, что в математике мы имеем дело не среальными объектами, а с идеальными. Мы не можем представить себе кривую, неимеющую толщины. В лучшем случае мы представляем не канат, а очень тонкуюлинию, но тем не менее предельного перехода чувственная интуиция совершить неможет. Это необходимо остается на долю логиков.

Такимобразом, необходима логическая строгость, а она

невозможна врассуждениях, если ее нет в определениях. Таким образом, усилия логиков были направленына сами начальные определения. Так, интуитивное понятие непрерывности сложилосьв сложную систему неравенств. Понятие вещественного числа строго былоопределено только в 19 веке Дедекиндом, причем пришлось столкнуться с такимисложностями, что подобное определение изучают только ПРИ ПОЛУЧЕНИИ ВЫСШЕГООБРАЗОВАНИЯ, и то только технические специальности. Очевидное интуитивноепонятие натурального числа тоже формализовано только в 19 веке, и тоже сбольшими трудностями.

Естественновозникает вопрос: а закончилась ли эта эволюция строгости? Ведь не из лени и неиз-за отсутствия внимательности предыдущие поколения математиков не добивалисьтребуемой нынешним временем строгости.

Кстати,физики до сих пор оперируют в своих рассуждениях уровнем строгости такогосорта, что вызывают ужас у математиков. Результаты

экспериментовэкстраполируются некоторой формулой, и если результаты последующихэкспериментов хорошо ложатся в эту формулу, то она признается верной. Крометого, их не интересуют такие тонкие случаи, как поведение решений на границах идругих множествах меры нуль, так как вероятность попадания туда равна нулю. Вто же время математик не сочтет задачу решенной, пока не исследует поведениерешения во всех точках, и, как правило, его интересуют именно тонкие случаи.

Древниесчитали свой уровень строгости достаточным. Не потребуют

ли нашипотомки еще большего господства логики? Конечно, одной логикой обойтись нельзя,так как она сводит все к чистой тавтологии. Необходима интуиция. А что жевообще может пониматься под словом интуиция? Рассмотрим следующие утверждения:

1) Двевеличины, равные третьей, равны между собой;

2) Пустьтеорема равна для n=1, и верно, что если она верна для n, то верна и для n+1.Тогда теорема верна для всех целых чисел;

3) Если точка С лежит на прямой между А и В, а точка D лежит между А и С,то точка D лежит между А и В;

4) Через дветочки можно провести только одну прямую.

Все четыревысказывания являются аксиомами и должны быть приписаны интуиции. Тем не менеепервое есть выражение формального логического закона (если заранее определенопонятие равенства), второе есть выражение метода, называемого математическойиндукцией, третье есть апелляция к геометрической или пространственнойинтуиции и к интуитивно понимаемому отношению «между», а четвертоеутверждение есть фактически скрытое определение прямой. Иначе говоря, интуицияне есть обязательно свидетельство чувств человека. Есть несколько видовинтуиции — обращение к чувствам или воображению, интуиция обобщения, и, наконец,интуиция чистого числа, породившая арифметику и в дальнейшем всю математику.Первые две не могут дать достоверности, но третья является основой математики,иначе говоря, сомневаться в ней означает сомневаться в арифметике. Сейчас вматематике окончательно изгнана из доказательств интуиция первого рода, строгоформализована интуиция второго рода. Остальное составляют силлогизмы и интуициячистого числа. На современном уровне развития философии можно сказать, что вматематике достигнута абсолютная строгость.

egincenter

Интуицияученого

ndcenter

Если мыговорим, что логика дает только чистую тавтологию, то в чем же заключаетсяпроцесс творчества ученого? Этот вопрос особенно интересен для

математическоготворчества, потому что в этом акте человеческий ум заимствует из внешнего мираменьше всего, и орудием, и объектом воздействия является он сам. Поэтому,изучая процесс математического творчества, можно надеяться проникнуть в самусущность человеческого ума.

На самом делеудивителен тот факт, что некоторые люди совершенно не понимают математическихрассуждений. При этом они могут быть талантливы, умны, но не пониматьматематику. На самом деле, ведь если математика есть цепь силлогизмов,построенных по общим нормальным законам логики, которые понятны каждому нормальномучеловеку, и основанных на некоторых принципах, называемых аксиомами, которыеобщи для всех и никто не собирается их отрицать, то почему большое количестволюдей не понимает эти построения? Понятно, что не каждый способен натворчество, понятно также, что не каждый может запомнить однажды услышанноедоказательство. Но каким образом такое количество людей не могут понятьдоказательство в тот момент, когда его излагают? Это подтверждает даже тотфакт, что математика, преподаваемая в школе и не имеющая самого элементарногоуровня строгости, считается одним из наиболее трудных предметов и усваиваетсядалеко не всеми. Кроме того, как могут возникать ошибки в математическихдоказательствах? Ведь это просто цепь предложений, построенных по очень простымправилам. Но, тем не менее, ошибки допускали даже великие умы, причем бывало,что ошибки в их доказательствах были найдены через столетия после опубликованияработ (яркий пример тому — метод множителей Лагранжа).

Ответ на этотвопрос можно дать следующий. Если доказательство являет собой длинную цепьсиллогизмов, заключение каждого из которых является посылкой следующего, товряд ли хоть кто-то совершит ошибку или не поймет такое доказательство. Нонастоящее математическое доказательство не есть прямая цепочка. Иногданекоторый вывод, полученный в заключении некоторого элементарного силлогизма,используется в качестве посылки спустя длительное время, при этом параллельноразвертывается несколько логических цепей. Когда мы возвращаемся к нашемупредложению, мы можем забыть или исказить его смысл. Кроме того, одно и то жерассуждение, применяемое несколько раз, кажется настолько очевидным, что черезнекоторое время можно начать применять его без достаточного обоснования, и приэтом допустить ошибку. Таким образом получается, что способности к математикеопределяются хорошей памятью и аккуратностью. Но тогда все математики были былюдьми собранными, ни в коем случае не рассеянными, имеющими большиеспособности к вычислениям, например. Но это не так, и много есть примеровгениальных математиков, которые были страшно рассеянными или не могли безошибок провести простейшие операции. Почему же плохая память не мешала им припроведении математических рассуждений?

На самом делематематическое доказательство не есть нагромождение неких

аксиом исиллогизмов, пусть даже и связанных друг с другом (кстати, те

люди, которыене понимают доказательств, отзываются о них как о куче

илинагромождении непонятных фактов). Все выводы в доказательстве

расположены визвестном порядке, причем порядок здесь более важен, чем сами элементы. Именнооб это и говорят те математики, которые сначала обозревают общий ход решения,не задерживаясь на деталях, затем формулируют теорему и строго ее доказывают,отдавая дань необходимости соблюдения всех логических законов. Если же человекобладает интуицией такого порядка расположения фактов и силлогизмов, то, повсей видимости, это и называется математическим дарованием. Память здесьиграет не такую важную роль, так как в случае интуиции такого рода всесиллогизмы без больших усилий занимают отведенные им места. И в силу этогоотпадает необходимость зубрить доказательство, так как достаточно понять егоодин раз, и при желании или необходимости его можно воспроизводитьсамостоятельно. Понятно, что все люди не могут обладать одновременно и хорошейпамятью, и математической интуицией, и достаточным вниманием дляконцентрирования именно на этой области. Таким образом, математическоедарование не может быть всеобщим.

Математическоетворчество состоит не только в

конструированиинекоторых объектов, оно состоит также в том, чтобы выбрать из множествавозможных объектов и комбинаций полезные и плодотворные. Очевидно, что машину,генерирующие некоторые истины по строгим логическим законам, можно сравнить с тойзнаменитой обезьяной с пишущей машинкой, которая бьет по клавишам в случайномпорядке. Конечно, она может случайно напечатать роман Толстого «Война имир» или какое-то другое литературное произведение, но произойдет это снулевой вероятностью. Чтобы появилось подобное литературное произведение, малопроверять все комбинации, как ученый из «Путешествия Гулливера», анеобходим еще акт творчества. Именно так обстоит дело и с математическимтворчеством.

Но творить,изобретать не значит уметь выбирать из большого множества вариантов. На самомделе практически все бесплодные варианты даже не представляются умуизобретателя, а перед ним возникают только полезные комбинации или комбинации,которые впоследствии будут отброшены с помощью логического анализа, но они нелишены черт полезных. Именно это и можно назвать математической интуицией.

Феноменинтуиции чрезвычайно широк и не всегда то, что считают интуитивным,действительно заслуживает такого названия. Нередко можно встретитьумозаключения, посылки которых не формулируются в явном виде, и результатыкажутся неожиданными, но они вовсе не интуитивны, как можно предположить. Длятого, чтобы таких случаев было как можно меньше, в математике добиваютсявозможно большей, на современном этапе абсолютной строгости. При этом посылкисиллогизмов должны быть выписаны явным образом. Слово интуиция применяетсятакже к сенсорно-чувственной интуиции, но математическая интуиция по своейсути есть интуиция интеллектуальная.

И еще одначрезвычайно важная черта свойственна интуиции — ее непосредственность.Непосредственным знанием (в отличие от опосредованного) принято называть такое,которое не опирается на логическое доказательство. Интуиция являетсянепосредственным знанием только в том отношении, что в момент выдвижения новогоположения оно не следует с логической необходимостью из существующегочувственного опыта и теоретических построений. ootnote Копнин П.В.«Гносеологические и теоретические основы науки». С.190 Иначе говоря,интуиция — это способность постижения истины путем прямого ее усмотрения безобоснования с помощью доказательства. ootnote «Философскийэнциклопедический словарь», М.,1989. С.221 Приведем примеры. Свои ощущенияи размышления излагает Анри Пуанкаре в книге «Наука и метод».

«Втечении двух недель я старался доказать, что невозможна никакая

функция,которая была бы подобна тем, которым я впоследствии дал

названиефуксовых функций; в то время я был еще весьма далек от того,

что мне былонужно. Каждый день я усаживался за свой рабочий стол,

проводил за нимодин-два часа, перебирал большое число комбинаций и не приходил ни к какомурезультату. Однажды вечером я выпил, вопреки своему обыкновению, чашку черногокофе; я не смог заснуть; идеи возникали во множестве; мне казалось, что ячувствую, как они сталкиваются между собой, пока, наконец, две из них, как бысцепившись друг с другом, не образовали устойчивого соединения. Наутро яустановил существование класса функций Фукса, а именно тех, которые получаютсяиз гипергеометрического ряда; мне оставалось лишь сформулировать результаты,что отняло у меня лишь несколько часов.»

Далее онподробно описывает свои дальнейшие размышления над развитием теории фуксовыхфункций, и каждый новый шаг характеризуется тем толчком, или озарением, а затемкропотливой работой по записи и логическому оформлению результатов.

БертранРассел отмечал, что иногда его попытки протолкнуть силой воли ход творческойработы оказывались бесплодными, и он убеждался в необходимости терпеливоожидать подсознательного вызревания идей, что было результатом напряженныхразмышлений. «Когда я работаю над книгой, — писал он, — я вижу ее восне почти каждую ночь. Не знаю, возникают ли при этом новые идеи или оживляютсястарые, зачастую я вижу целые страницы и могу во сне прочесть их.» ootnoteЦит. по «Интуиция и научное творчество». Аналитический сборник ИНИОН.М.,1981. С.17 Примеров тому можно привести много, и, конечно же, не только изобласти математики. Здесь вспоминается и Эйнштейн, и химик Кекуле, которомуприснилась формула бензола, и Менделеев, которому приснилась его таблица.

Но всеизложенное выше демонстрирует по крайней мере еще две черты, свойственныеинтуиции: внезапность и неосознанность. Решение проблемы в этих примерахприходило всегда неожиданно, случайно, и казалось бы, в неподходящих длятворчества условиях, так или иначе непохожих на условия целенаправленногонаучного поиска.

Интуитивноевидение совершается не только случайно, но и без явной осознанности путей исредств, приводящих к данному результату. Причем иногда неосознанным остается ирезультат, а самой интуиции при таком исходе ее действия уготована лишь участьвозможности, не становящейся действительностью. Человек может вообще несохранить никаких воспоминаний о моменте озарения. Одно замечательноенаблюдение было сделано американским математиком Леонардом Юджином Диксоном.Его мать и ее сестра, которые в школе были соперницами по геометрии, провелидолгий и бесплодный вечер над решением какой-то задачи. Ночью матери присниласьэта задача, и она стала решать ее вслух громким и ясным голосом. Ее сестра,услышав это, встала и записала. На следующее утро в ее руках было правильноерешение, неизвестное матери Диксона ootnote Налчаджян А.А. «Некоторыепсихологические и философские проблемы интуитивного познания (интуиция в процессенаучного творчества)».

М.,1972…Аналогичный пример, правда, не принадлежащий области математики, можно привестии с Владимиром Маяковским. По его словам, у него никак не складывались нужныестрочки, отражающие его чувства и обстановку в Петрограде времен гражданскойвойны. Он промучился весь вечер и лег спать. Во сне ему приснились наконецнужные строчки, он вскочил и записал их на спичечном коробке, валявшемся настоле. С утра он очень долго не мог вспомнить, откуда они взялись.

Такимобразом, интуитивной способности человека свойственны следующие особенности:

1)неожиданность решения задачи;

2)неосознанность путей и средств ее решения;

3)непосредственность постижения истины на сущностном уровне объекта.

С чем жесвязана такая быстрота и эффективность интуиции? Рассмотрим вопрос спсихофизиологической точки зрения. Опыты показали, что три компонента речи — понятийный, вербализационный и моторный ---

локализуютсяотносительно самостоятельно. Оценивая эти данные в плане интуиции,А.А.Налчаджян пишет:" Если принять эту схему, то можно заключить, чтовполне возможно мышление бессловесное, с отсутствием или слабым моторнымсопровождением. А это не что иное, как подсознательное или же осознанное, нообразное мышление. Отсюда можно также заключить, что творческое мышление,процесс подсознательной инкубации, по всей вероятности, связано с относительносамостоятельной активностью идеационной части локализованных следов памяти.Каким образом конкретно осуществляется образование следов памяти и какдостигается физиологически эта относительная самостоятельность регистрацииразличных компонентов, имевших языковое выражение и воспринятых слухомсодержаний, нам пока что неизвестно. Вполне возможно, что это осуществляетсявовлечением одних и тех же нервных

клеток в различныемногоклеточные узоры." ootnote Налчаджян А.А. «Некоторыепсихологические и философские проблемы интуитивного познания (интуиция впроцессе научного творчества)».

М.,1972.C.149. Он приводит убедительные доводы в подтверждение того положения, что послепрекращения сознательного анализа научной проблемы процесс ее решенияпродолжается в подсознательной сфере, что соответствующиеэлектро-физиологические процессы также не прекращаются, а преобразуются,продолжают протекать, но лишь с измененными характеристиками.

Поражаетвнезапность этого озарения, что, по всей видимости, свидетельствует одлительной бессознательной работе. Это проявляется не только в таких яркихслучаях, которые приведены выше, но и в житейской, повседневной жизни. Часто,когда раздумываешь над какой-то задачей и кажется, что ты в тупике и мысльпошла по кругу, то волей-неволей идешь отдыхать или отвлекаешься от задачикаким-то другим способом. Через некоторое время садишься за стол, проходит ещечас или около того, и вдруг в голове возникает решение. Можно подумать, чтосознательная работа стала эффективнее от того, что клетки мозга получили отдых,к ним вернулась сила и свежесть. Но скорее всего отдых был занятподсознательной работой, и именно ее результаты сказались на том, что возниклорешение. Иначе говоря, поскольку интуитивная работа мышления происходит вподсознательной сфере, продолжается даже при «отключенности» субъектаот проблемы, то можно сделать вывод, что подобное временное отключение можетоказаться полезным.

Ж. Адамар,например, советовал после первой серьезной работы над проблемой откладывать еерешение на некоторое время и заниматься другими проблемами. Ученый, по егословам, может параллельно работать над несколькими проблемами, время от временипереходя от одной к другой для активизации подсознательных механизмов мышления.Хорошим дополнением к этой рекомендации может быть совет известного венгерскогоученого и популяризатора математики, человека, организовавшего системуматематических олимпиад для школьников Д. Пойа из его книги " Как решатьзадачу": лучше не откладывать в сторону нерешенную задачу без чувства хотябы небольшого успеха; хоть какая-нибудь маленькая деталь должна быть улажена;нужно уяснить себе какую-нибудь сторону вопроса к моменту, когда мы прекращаемработать над решением.

Кроме того,бессознательная работа возможна или по крайней мере плодотворна лишь в томслучае, если ей предшествует и за нею следует период сознательной работы.Никогда эти внезапные внушения не происходят иначе, как после некотороговремени волевых усилий, казалось бы, совершенно бесплодных. Но эти усилиястимулируют, запускают машину бессознательного поиска и дают ей направление.Необходимость второго периода сознательной работы тем более очевидна. Надопустить в действие результаты вдохновения, привести их в логически стройныйпорядок, провести доказательства и прежде всего проверить интуитивные догадки.К сожалению, они не всегда бывают правильными и достоверными. Случается, чтоинтуиция обманывает человека.

Можно сделатьвывод, что к общим условиям

формированияинтуиции относятся следующие ootnote Алексеев П.В.,

Панин А.В. Философия: Учебник для ВУЗов--- М.: ТЕИС, 1996. C.242:

1)основательная профессиональная подготовка человека, хорошее владениематериалом, глубокое знание проблемы или задачи;

2) поисковаяситуация, состояние проблемности;

3) наличие усубъекта поисковой доминанты на основе непрерывных попыток решить проблему,длительные напряженные усилия при решению проблемы;

4) наличие«подсказки».

Под«подсказкой» понимается некий факт внешнего мира, напрямую несвязанный с решаемой проблемой, но наталкивающий субъекта на некие ассоциации,которые могут, в свою очередь, определить некий бессознательный выбор того илииного решения. Это может быть любой предмет. Классический пример«подсказки» — яблоко, упавшее на голову Ньютону. На мой взгляд,хотя доказать свое утверждение я не могу,

наличиеподобной «подсказки» вовсе необязательно, и оно лишь иногдаподталкивает подсознание не к правильному решению, которое уже выбрано наоснове каких-либо принципов, о которых пойдет речь в следующей части, аподталкивает только выход этого решения из области подсознательного в областьсознательного.

Другое дело,если подсказка является существенной и исходит из той же области знаний, что ирешаемая проблема. На таких подсказках построен процесс обучения математике уталантливых педагогов. Ни один из них не рассказывает детям доказательства техили иных фактов. Они основывают все на некоторых ключевых задачах, которые детисами решают с помощью умело выстроенных подсказок, которые не ведут к решениюзадачи на прямую, а подсказывают некие ассоциации с идеями решения иосвобождают ум от шаблонов. К сожалению, в процессе познания никто заранее неможет составить подобную систему подсказок, так как ее можно составить, толькоглубоко чувствуя ход и идеи доказательства. Если в процессе обучения у учениковвозникает как бы наведенная, запланированная преподавателем интуиция, то впроцессе математического творчества она является самопроизвольной.

egincenter

Красотадоказательства как критерий его правильности

ndcenter

В процессебессознательной деятельности загадочно ускоряется сам ход мышления,

наблюдаетсявозможность переработки на бессознательном уровне $10^9$ бит информации всекунду, а на сознательном — только 100 бит. ootnote Алексеев П.В.,

Панин А.В. Философия: Учебник для ВУЗов--- М.: ТЕИС, 1996. C.242. Все это является важнойпредпосылкой для развертывания быстрых мыслительных процессов, для оперированияогромной по своему объему информацией в подсознательной сфере. Подсознаниеспособно проводить за короткое время огромную работу, которая не под силусознанию за тот же короткий срок.

Иначе говоря,подсознательное «я» играет в математическом творчестве рольпервостепенной важности. Но это подсознательное «я» считаютсовершенно автоматическим. Между тем мы видели, что математическая работа неесть простая механическая работа, в самом математическом умозаключении заложенакт творчества, математическую работу нельзя доверить машине. Ведь дело не втом, чтобы перебирать все комбинации, количество которых превышает все мыслимыепределы, а в том, чтобы сделать выбор между этими комбинациями, причем еще доих рассмотрения, дабы освободить себя от труда создавать все бессмысленныйсочетания. Но правила, руководящие таким априорным выбором, очень тонкого,почти неуловимого свойства. Они явственно чувствуются, но плохо поддаютсяформулировке словами. Поэтому невозможно представить себе некий механизм,который мог бы отсеивать варианты или целые направления априорно, до ихпостроения и проверки.

В такомслучае представляется правдоподобной следующая гипотеза: «я»подсознательное нисколько не ниже, чем «я» сознательное, оно не имеетмеханического характера, а способно к распознаванию, обладает той самойматематической интуицией, о которой говорилось выше. Причем надо заметить, чтозачастую оно справляется лучше, чем «я» сознательное, ему удается то,что в сознательном состоянии оказывается недоступным. Верно ли, чтоподсознательное «я» является чем-то высшим, чем «я»сознательное?

По всейвидимости, это все-таки не так. Так как подсознание действует эффективнее вплане объема информации, то оно может построить гораздо больше комбинаций, чемчеловек это делает в сознательном состоянии.Тем не менее, это число ограничено.Заметим также, что при проявлении интуиции внутреннему взору человека предстаетодна, и только одна комбинация, которая зачастую оказывается правильной.Получается, что подсознание проводит выбор два раза — когда априорно выбираетте комбинации, которые будут построены, и когда из построенных комбинацийвыбирается та одна, которой и удается переступить порог сознания. Если быпервый выбор был случаен, то с очень маленькой вероятностью среди произвольныхкомбинаций возникала бы правильная, гармоничная. Тем более не случаен второйвыбор, так как он выбирает уже среди подходящих комбинаций наилучшую, а непроизвольную. Но на основе каких принципов происходит этот выбор?

По всейвидимости, первый выбор обусловлен как раз той предварительной сознательнойработы, и именно в этом заключается ее роль. Математик начинает перебирать непроизвольные возможные варианты и пути решения, а совершает перебор именно втом направлении, где он ждет найти правильное решение. Выбор этого направленияобусловлен опытом предыдущих решений. Если в этом направлении не находитсянеобходимое решение, то мысль расширяет область поиска, уходит в сторону, нотем не менее имеется некоторый стержень, который позволяет априори отбрасыватьбесплодные комбинации. Таким образом, начальный период сознательной работысоздает то направление, в котором начинает работу подсознание. В силу своейбольшей производительности оно имеет возможность охватить те области, которыесознание не успевает охватить в силу нехватки времени, усталости или другихфакторов.

Но по какомупринципу осуществляется выбор одной-единственной

комбинациисреди многих построенных? Каков критерий прорыва этой версии в сознание или этаверсия выбирается случайным образом?

Очевидно,нет, так как если бы дело обстояло именно так, то, учитывая примерный объемпроверенных комбинаций (а его легко вычислить на основе цифр, характеризующихпроизводительность подсознания), и считая, что версии выбираются с одинаковойвероятностью, мы получим, что интуиция должна обманывать нас с вероятностью,близкой к единице. Тем не менее, все совсем не так, и чем талантливее ученый,тем больше можно доверять его интуиции, тем реже она обманывает.

Второй этапвыбора, по всей видимости, подчиняется общему закону человеческого восприятия.Среди всех раздражителей наших чувств наше внимание остановится только на самыхинтенсивных воздействиях, причем чем сильнее раздражитель, тем большую частьвнимания он забирает. Недаром при сильном горе человек забывает обо всем, дажео еде. Здесь действует аналогичный механизм, только сигнал воспринимают неорганы слуха, зрения, обоняния и т.д., а нечто другое, что можно назватьматематической интуицией. Именно это может объяснить и тот факт, что ученыечасто бывают рассеянными, но в то же время в своей области проявляютнезаурядную память. Дело в том, что для на их интуицию интеллектуальныйраздражитель действует с такой огромной силой, что забирает большую частьвнимания, а внешние раздражители оказываются второстепенными, более слабыми.

Каждыйматематик не раз сталкивался с ситуацией, когда доказательство некого фактавызывает чувство глубокого эстетического наслаждения, сродни наслаждению отискусства. При этом другой человек, понимая и видя то же самое доказательство,не может понять, как оно может вообще вызывать какие-то эмоции. Иначе говоря,он не может отличить то, что математики называют красивым доказательством, оттого, что математики называют техническим доказательством, или доказательством«в лоб», «муторным» или «тупым» доказательством,доказательством, «где надо только работать руками». Кроме этих,существует еще множество эпитетов. То есть математик способен получать чувствоэстетического наслаждения от самих рассуждений. Понятно, что эта способность,как и способность, например, к музыке и к наслаждению музыкой, не можетотносится ко всем. Но если музыке радуются те, кто имеет слух (имеются в виду,конечно, музыкальные способности, а не просто отсутствие глухоты), то вматематике дело обстоит точно так же, и математикой имеют счастье наслаждатьсяте, кто в какой-нибудь мере наделен математической интуицией.

Что же именнокажется прекрасным и изящным в математических предметах и доказательствах? Этоте конструкции, элементы которых расположены настолько гармонично, что ум безтруда может охватить всю картину и не упустить деталей, причем эта гармониясложена из далеких, казалось бы, друг от друга элементов. Иначе говоря, изящнымрассуждением в математике будет считаться то, которое позволяет за сложностьюзадачи увидеть гармонию различных ее частей. Эта картина не толькоудовлетворяет эстетические потребности, но и позволяет легко ее запомнить, таккак она как бы сама руководит умом. И в то же время, давая чувство правильнорасположенного целого, она дает предчувствие математического закона. Аединственными заслуживающими внимания математическими фактами служат как разте, которые могут привести к открытию нового закона. Иногда новый законполучался вследствие того, что был замечен некоторый КРАСИВЫЙ факт, а затемматематики пытались выяснить, что же скрывается за этим фактом или наблюдением,и примеров тому в математике множество. Таким образом, наиболее полезнымиоказываются как раз те комбинации, которые кажутся изящными с математическойточки зрения.

Теперьпредставим себе, что подсознание перебирает множество комбинаций, и чемкомбинация изящней и чем более развито математическое чувство эстетики, тембольшее влияние окажет комбинация на внимание человека. Некоторые из вариантовоказываются столь гармоничными и прекрасными, что очень сильно воздействовуютна эту специальную восприимчивость математика, и это позволит им перешагнутьпорог сознания.

Этоподтверждается так же и

тем фактом,что те интуитивные гипотезы, которые не выдерживают логической проверки, тем неменее в полной мере обладают гармонией. В этом случае часто говорят:«Жаль,что это неверно.» Эта фраза означает не то, что математику жалкопотраченного на проверку неправильной гипотезы времени, а именно то, что еслибы это интуитивное утверждение было бы верным, то оно удовлетворяло быэстетическому чувству этого человека. Отсюда можно получить, что это тонкоечувство математической эстетики и является содержанием математической интуиции,и человек, лишенный этого чувства, не имеет возможности стать творцом в областиматематики.

egincenter

Роль логикипри проверке интуитивных гипотез

ndcenter

После периодабессознательной работы мозга обязательно должен следовать период сознательноготруда. Чем же это вызвано? Исследователи отмечают, что интуитивная способностьобразовалась, по-видимому, в результате длительного развития живых организмоввследствие необходимости принимать решения при неполной информации о событиях,и способность интуитивно познавать можно расценивать как вероятностный ответ навероятностные условия среды. ootnoteАлексеев П.В., Панин А.В. Философия:Учебник для ВУЗов.

С. 246 Таккак ученому для совершения открытия даны не все посылки и средства, то оносуществляет именно вероятностный выбор на основе интуиции. Получается, чтоинтуиция носит вероятностный характер, и для человека это означает, что наоснове интуиции есть возможность получить как истинное знание, так и ошибочное.

«Интуициибывает достаточно для усмотрения истины, но ее недостаточно, чтобы убедить вэтой истине других и самого себя. Для этого необходимо доказательство.» ootnoteФилософский энциклопедический словарь.

М.,1989.С.222 А само доказательство должно быть проведено на строгом логическом уровне,и без этого доказательства никто не сможет оценить правильность интуитивнойгипотезы. Надо заметить, что вдохновение и интуицию сопровождает чувствоабсолютной достоверности, и тем труднее заставить себя провести строгоедоказательство. Это кажется скучным и ненужным, и только воспоминание обобманах интуиции заставляют проделывать эту работу. Хотя, возможно, я говорю сточки зрения геометрического мышления, потому что на этом этапе наступает тачасть, в которой именно аналитики-логики чувствуют себя как рыба в воде и могутдовольно продолжительное время тратить на обоснование всех мелочей.

Другое замечание.Никогда не бывает так, чтобы бессознательная работа доставила вполне готовымрезультат сколько-нибудь продолжительного вычисления, состоящего только вмногократном применении простых правил. Казалось бы, если наше подсознаниеработает механически, то уж к такой работе, которую выполнит любая машина, онодолжно быть способно. Но сколько ни думай с вечера о каком-либо интеграле, кутру не получишь его первообразную. Или еще более механическая работа состоит впроверке того, что производная данной первообразной является интегральнойфункцией. Здесь та же ситуация, сколько ни размышляй об этом, достоверногоответа с помощью интуиции не получишь, а если первообразная хоть сколько-нибудьсложна, то не получишь вообще никакого ответа. Все придется проверять либовручную, либо с помощью специальных программ.

Иначе говоря,от интуитивных внушений приходится ждать не ответа, а только исходной точки дляподобных вычислений, а сами вычисления приходится проводить во время второгопериода сознательной деятельности. Именно в этот период проверятся интуитивныеидеи и делаются из них выводы. Этот процесс происходит на основе современнойлогики, поэтому он достаточно сложен и требует дисциплины, повышенноговнимания, участия воли, а следовательно, может происходить только при участиисознания. Если перерыв в работе требовался для того, чтобы освободить вниманиеи позволить подсознанию отвлечь на себя ресурсы мозга, создать некоторуюсвободу для составления различных комбинаций, то теперь вся работа должнанаправлена на обоснование одной-единственной комбинации, и все сосредоточеноименно на одной точке, а это уже может произойти только при включенномсознании. В этом периоде математического творчества опять должна превалироватьработа аналитическо-логического мышления, и это даже более важно, чем в первомпериоде, где абсолютная строгость не обязательна, и, даже более того, не можетбыть достигнута.

egincenter

Заключение

ndcenter

Говоря о двухразличных типах математического мышления, можно заметить, что первый геометрическийтип можно назвать также интуитивным типом.

Этиматематики обладают чувственной интуицией, которая позволяет им нагляднопредставлять те объекты, которые получены путем комбинирования другихабстрактных объектов. Эта чувственная интуиция в сочетании с математическойинтуицией, дает возможность «видеть» математическое пространство,оттого этот тип изначально более тяготел к геометрии. Кроме того, этот типмышления более полезен при выдвижении гипотез, каких-то общих положений, потомучто при таком способе мышления легче подняться над частностями и обозретьобщее. Иначе говоря, геометрическому типу мышления более свойственна индукция.К сожалению, «большое видится на расстоянии», но при этом ускользаютдетали. Иначе говоря, математики этого типа получают наибольшее эстетическоленаслаждение от наглядного доказательства, допускающего какие-то другиеинтерпретации в других, неожиданных областях, то есть от гармонии«содержания». Их более интересует сама идея, чем ее реализация.

Второмуаналитическому типу более свойственна интуиция числа, формы, что при работевыражается в чувстве удовлетворенности от стройности и системности изложениярешения. Этому типу мышления более свойственна дедукция. Иначе говоря, чувствоэстетического наслаждения они получают от завершенности и полной доказанностиутверждений, от гармонии «связи», то есть следования всем логическимзаконам и неизбыточности содержания. При этом все не упускаются из виду всемелкие детали, но общая идея может быть упущена, если при ее доказательствелогик задержится на первом или втором шаге, и в дальнейшем сочтет невыполнимойвсю идею. На самом деле, этот тип мышления более полезен при проверке и строгомоформлении гипотез и идей, выдвинутых заранее. Он делает то, в чемзатрудняется человек геометрического стиля мышления. Он способен длительноконцентрировать внимание на кропотливой работе, в то время как человек,руководимый интуицией, предпочитает работать на подсознательном уровне, и всилу этого не любит концентрировать внимание на монотонных деталях.

Надозаметить, что оба стиля одинаково необходимы в математике и присутствовали, повсей видимости, всегда. Победа какого-то стиля оказывалась временной и дажевредной. Математика может развиваться только при условии единства интуитивногои логического, и в каждом математике присутствуют в той или иной мере обанаправления. Но именно преобладание одного из направлений эстетичекого чувстваделает мышление ученого принадлежащим к какому-то типу. При этом невозможнопредставить математика, имеющего чисто геометрический или аналитический стильмышления. Ведь даже интуиция может быть основана только на логике, и безпервого этапа сознательной ЛОГИЧЕСКОЙ деятельности не состоится акт интиуции, вто же время чистый логик не смог бы ничего творить в силу отсутствия в еговыкладках творческой силы, без которой они сводятся к тавтологии. Единствологического и интуитивного — единственный путь развития математики и любойдругой науки.

ewpage

egincenter

Список литературы

ndcenter

1. АлексеевП. В., Панин А.В. Философия: Учебник для ВУЗов--- М.: ТЕИС,

1996.

2. Налчаджян А.А. Некоторые психологические и философские проблемыинтуитивного познания (интуиция в процессе научного творчества).--- М.: Мысль,1972 (глава 2: Проблема интуитивного «озарения» в научном творчестве, с.60--86)

3. Философия/ Под ред. проф. В.Н. Лавриненко.--- М.: «Юристъ», 1996.

4.Философский словарь / Под ред. И.Т. Фролова. — 6-е изд., перераб. и доп.---М.: Политиздат, 1991.

5.Философский энциклопедический словарь / Гл. ред. Л.Ф. Ильичев и др. — М.:Советская энциклопедия, 1983.

6. АнриПуанкаре. О науке: Пер с франц.--- М.: Наука. Главная редакцияфизико-математической литературы, 1983.

7. Д. Пойа.Как решать задачу.--- М.: Учпедгиз, 1961.

8. КопнинП.В. Гипотеза и ее роль в познании. — М.: Знание, 1958.

9. Интуиция инаучное творчество. Аналитический сборник ИНИОН.---

М., 1981.

10. Философияи методология науки: Учеб. пособие / Под ред. В.И.

Купцова.---М.: Аспект Пресс, 1996.

nddocument

еще рефераты