Реферат: Философские вопросы математики
/>Введение
Вопрос об отношении математики к реальному миру являетсяодним из основных для объяснения природы математики как науки. Только ответивна вопрос о происхождении и содержании математических понятий и теорий, можноставить и разрабатывать остальные философские вопросы математики. Толкованиеэтих вопросов существенно зависит от того, истолковываются ли математическиепонятия и утверждения как отражение свойств объектов и процессов реального мираили же они трактуются как продукт совершенно «свободного» творчествасубъекта (субъективный идеализм), либо относятся к миру «идей»,имеющих якобы самостоятельное существование (объективный идеализм).
Еще древнегреческие философы дали два противоположныхистолкования вопроса об отношении математики к реальному миру. Аристотельутверждал, что математические понятия являются абстракциями (отвлечения) отреальных вещей. Платон, напротив, считал, что математические понятия занимаютпромежуточное положение между миром чувственно воспринимаемых вещей и миром«идей» и являются лишь слабыми «тенями» последних. Вдальнейшем взгляды Аристотеля и Платона неоднократно подвергались обсуждению.Но как ни подходили философы и математики к решению вопроса об отношенииматематики к реальности, конечным результатом их рассуждений обычно бывалиследующие заключения. Материалисты доказывали, что понятия и законы математикиявляются копиями, отражениями, полученными в процессе абстрагирования отреальных вещей, их свойств и отношений между ними. Субъективные идеалистыутверждали, что основные понятия и законы математики являются продуктами«свободного» мышления людей. Объективные идеалисты пытались доказать,что объекты математики – самостоятельные сущности, существующие независимо отмира реальных вещей, в каком-то особом мире «идей», «идеальныхобъектов». [15; 8]
В течение столетий сторонники материалистического иидеалистического толкований вели борьбу. Но где и как бы ни развертывалась этаборьба, она всегда концентрировалась около вопроса об отношении математики кматериальной действительности. В этой борьбе большинство ведущих математиков,как правило, отстаивало материалистическое толкование математики. Например,Леонард Эйлер, писал: "…математика является наукой, которая не толькопоказывает в каждом случае соотношения, но и определяет причины, от которых онизависят по природе самих вещей" [21; 9]. На материалистических позицияхстояли и замечательные русские математики XIX века Николай Иванович Лобачевскийи Пафнутий Львович Чебышев.
Методы математики способствуют механике, астрономии, физикеи другим наукам проникать в сущность законов природы и предвидеть то, что ещеосталось за границами знания. Например, законы механики и методы математикипомогли У.Леверрье и Д.Адамсу (XIX в.), а потом и П.Ловеллу (ХХ в.)теоретически установить существование двух новых, расположенных за Сатурном,планет – Нептуна и Плутона, после чего их существование было подтвержденоастрономическими наблюдениями. Методы математической физики привели К.Максвеллак заключению о наличии давления света, после чего П.Н.Лебедев подтвердилпрогноз К.Максвелла рядом точных экспериментов. Учение о различных видахгеометрических пространств (аффинном, конечномерным метрических пространствах,гильбертове пространстве) находит применение в электродинамике и теоретическойэлектротехнике. В то же время математика не только помогает решению отдельныхвопросов естествознания, но и способствует формированию и развитию новых теорий.Математика помогла физикам установить основные уравнения квантовой механики;после этого был раскрыт их физический смысл.
1. Математика и действительность как основной философскийвопрос математики.
Центральной в философских вопросах математики являетсяпроблема соотношения весьма абстрактных математических конструкций и реальнойдействительности. Н.Бурбаки пишет, что «основная проблема состоит вовзаимоотношении мира экспериментального и мира математического» [2; 258].Хотя А.Нысанбаев и Г.Шляхин в своей книге «Развитие познания иматематика» отмечают, что «сам автор отказывается всерьез обсуждатьэту проблему, но не потому, что он стремится соблюсти „нейтральность“при рассмотрении основного философского вопроса математики, а потому, что онвыступает как математик, понимающий всю сложность философских проблем и нерешающийся обсуждать их „из-за отсутствия компетентности“ [16; 53].Из этих слов можно сделать вывод, что основной философский вопрос математикидалеко не легок в своем разрешении. И этот вывод очень хорошо подчеркиваетТ.И.Ойзерман: „Многие философские проблемы, в отличие от проблем,возникающих перед естествознанием, являются вечными в том смысле, что онивсегда сохраняют свое значение для человечества“ [17; 217].
Получая свое определенное решение в каждую историческуюэпоху, это вопрос вновь и вновь возникает перед философами в новой форме,обусловленной уровнем достигнутых знаний и характером социальныхпреобразований. Этот вопрос никогда не станет окончательно завершенным, неподлежащим дальнейшему изменению, развитию.
В настоящее время основной вопрос философии по отношению кматематике сместился в план соотношения действительности и языка. „Считатьли математику наукой, изучающей определенные отношения действительности, или жеутверждать, что она имеет дело лишь с формальными преобразованиями символов, неотрицающих никаких реальных связей и отношений? – так ставится вопрос“[17; 227].
Проблему соотношения математики и действительности пыталисьрешить многие философские течения. Эмпиризм, который стремился свести всетеоретические знания к высказыванию о чувственном, хотел провести такую точкузрения и по отношению к математике. В наиболее яркой форме эти идеи быливыражены в работах английского философа Дж.Ст.Милля.
Представление, согласно которому математики рассуждают не ореальных предметах, а о символах, есть, согласно Дж.Ст.Миллю „…иллюзия,возникшая вследствие того, что когда математик пользуется своими знаками, недействительно не думает о тех вещах, которые эти знаки обозначают. Но этопроисходит потому, что истины арифметики справедливы относительно всех вещей ине возбуждают в нашем сознании никаких идей о тех или иных вещах в частности.Поэтому утверждения математики – это утверждения не о символах, а о всех вещах,которые этот символ обозначает“ [14; 561].
Основой того, почему мы верим, что, например, 2+1=3является наш опыт, под которым Дж.Ст.Милль понимал чувственный опыт отдельногоизолированного индивида. Это соотношение, согласно Дж.Ст.Миллю, резюмируетэмпирический факт, который мы до сих пор постоянно встречали в своемнепосредственном опыте. Нам всегда удавалось, встретив три вещи в определенномпорядке, разложить их на группы из двух вещей и одной отдельно отстоящей вещи.Это интуитивная истина, ставшая нам известной благодаря обыденному опыту и стех пор постоянно подтверждающаяся. Алгебра ведет это обобщение дальше: всякийалгебраический символ изображает любые числа. Аналогично в геометрии:»Всякая теорема геометрии есть закон внешней природы и может бытьустановлена путем обобщения наблюдений и опытов" [14; 583].
Миллевская концепция математического знания показывает, какнедостаточно понимал и оценивал он все своеобразие и огромное самостоятельноезначение математики. Применение его идей к математике возможно лишь с грубыминатяжками, искажающими ее сущность.
Пытаясь рассмотреть математическое знание как продуктчувственного опыта отдельного субъекта, эмпиризм встречается с непреодолимымитрудностями. Чувственный опыт всегда имеет дело с единичным и случайным, аматематические положения всеобщи и необходимы. Математика оперирует такимипонятиями, содержание которых далеко выходит за рамки того, что доступночувственному опыту отдельного человека. Непосредственным опытом отдельногосубъекта всеобщие математические положения могут лишь подтверждаться, но непорождаться, так как выводы из непосредственного опыта всегда индуктивные, аматематические положения носят необходимый характер. Поэтому невозможнопостроить грандиозное здание математики на таком шатком основании, какединичный чувственный образ в сознании индивида.
Неопозитивизм считает, что математика (логика), в отличиеот остальных наук, представляют собой вспомогательный аппарат для осуществленияязыковых преобразований в науках о фактах. Б.Рассел, например, так говорит охарактере математического знания: “… математическое знание не выводится изопыта путем индукции; основание, по которому мы верим, что 2+2=4 не в том, чтомы так часто посредством наблюдения находим на опыте, что одна пара вместе сдругой парой дает четверку. В этом смысле математическое знание все еще неэмпирическое. Но это и не априорное знание о мире. Это на самом деле простословесное знание о мире. “3” обозначает “2+1”, а “4” означает “3+1”. Отсюдаследует, что “4” означает то же, что “2+2”. Таким образом, математическоезнание перестало быть таинственным. Оно имеет такую же природу, как и “великаяистина”, что в ярде 3 фута” [19; 839].
Однако выделение языка в особую сферу – такая же ошибка,как и выделение в самостоятельную область мышления. Об этом предупреждалК.Маркс почти за сто лет до новейших позитивистских исследований в областилогики и математики: “Так же, как философы обособили мышление в самостоятельнуюсилу, так должны были они обособить и язык в некое самостоятельное, особоецарство. В этом тайна философского языка, в котором мысли, в форме слов,обладают своим собственным содержанием” [11; 448].
Для диалектического материализма не существует дилеммы:либо признать, что математика сводится к чувственно воспринимаемому, либосчитать ее не имеющей никакого отношения к действительности. Диалектическийматериализм не связывает объективность предмета научного исследования с формой,в которой субъект постигает его. Объективно не только то, что чувственновоспринимаемо, но и то, что находит свое выражение в теоретической форме,несводимой к чувственно воспринимаемому. В.И.Ленин, делая замечания на книгеА.Рея “Современная философия”, отмечает как безусловно правильную мысль о том,что “…полезность разума тем и объясняется, что выводя предложения изпредложений, он вместе с тем выводит друг из друга отношения между фактамиприроды” [9; 479].
Установление математических фактов, например, не путемэмпирических процедур, как это было в математике древних вавилонян и египтян, ас помощью дедуктивных рассуждений в аксиоматической системе Евклида, совсем неозначает, что математика перестает иметь дело с реальностью и погружается визучение умозрительных сущностей. Различие, которое здесь есть, коренится вотличие эмпирического уровня познания от теоретического, а не в различииобъективного от субъективного. Однако решение проблемы объективной ценностиматематики не сводится к признанию того, что существует некоторое объективноесодержание, соответствующее содержанию математических понятий. Главная задачасостоит в том, чтобы раскрыть, как это объективное содержание входит в науку.
2. Проблема существования в современной математике.
В современной математике и математической логике весьмаживо обсуждается проблема существования в применении к абстрактным объектам.Номинализм и реализм ведут нескончаемые споры о принятии или непринятииабстрактных объектов, причем отказ от их рассмотрения мотивируется тем, что впротивном случае мы придем к постулированию мира идей Платона. Те же, ктопризнают абстрактные объекты, тем не менее, отмежевываются от Платона, заявляя,что их рассмотрение не ведет к онтологии платоновского толка. Неопозитивизм влице своих виднейших представителей Б.Рассела и Р.Карнапа также неоднократнообращался к рассмотрению проблемы существования.
Эта проблема возникает из осознания невозможности сведенияабстрактных математических объектов к единичным чувственно воспринимаемымвещам. Если математические объекты существуют не так, как единичные вещи, то окаком их существовании может идти речь? В каком смысле, например, существуют />, n-мерные ибесконечномерные пространства и т. д.
В.И.Ленина интересовал этот вопрос. Конспектируягегелевские «Лекции по истории философии», В.И.Ленин обращаетвнимание на то, что еще древние пифагорейцы задумывались над проблемойсуществования абстрактных математических объектов. «Числа, где они? Отделенныепространством, обитают ли они сами по себе в небе идей? Они не сутьнепосредственно сами вещи, так как вещь, субстанция есть ведь нечто другое, чемчисло, — тело не имеет никакого сходства с последним» [9; 225]. На поляхВ.И.Ленин отмечает важность такой постановки вопроса, наивное недоумением,вызванное действительной трудностью, когда абстрактный объект ставится на очнуюставку с чувственно воспринимаемой действительностью.
Представление о самостоятельном существованииматематических объектов приводит к ряду трудностей как гносеологического, так илогико-математического характера. Математик как бы оказывается между двумяреальностями — чувственно воспринимаемых вещей и математических объектов.Причем как математик он имеет дело лишь со «второй реальностью», а счувственно воспринимаемой действительностью соприкасается лишь постольку,поскольку выступает уже просто как человек, который должен пить, есть, отдыхатьи т. д.
Некритический подход к проблеме существования таит в себенемалую опасность. Например, немецкий физик Г.Герц не может скрыть своегопреклонения перед миром математических объектов: «Невозможно избавиться отощущения, что эти математические формулы существуют независимо от нас иобладают собственным разумом, что они мудрее нас, мудрее даже тех, кто их открыл,и что мы извлекаем из них больше, чем первоначально было» [12; 112].Отсюда остается всего один шаг до признания, что «материя исчезает,остаются одни уравнения». [16; 76]
Но привычка обращаться с математическими объектами так, какбудто бы это вещи реального мира, существующие независимо от математика,вызывает не только гносеологические, но и логико-математические трудности.
А.Н.Колмогоров в своей статье «Современные споры оприроде математики» («Научное слово», 1929, №6) и Г.Вейль вкниге «О философии математики» (М.-Л., 1934) прямо указывают на то,что именно такая привычка обращаться с математическими объектами являетсяисточником серьезных затруднений в обосновании и построении математическихтеорий. Совсем не случайно поэтому появление интуиционистской точки зрения напроблему существования.
Интуиционизм возник как реакция на теоретико-множественную(классическую) концепцию математики.
При наивном понимании проблемы существования в математике,при котором это понятие считается не нуждающимся в каком бы то ни было анализе,интуиционизм избрал главным объектом критики в классической математике понятиеактуальной бесконечности и закон исключенного третьего. Отвергая понятиеактуальной бесконечности, интуиционизм заменяет понятием потенциальной бесконечности.Что же касается закона исключенного третьего, согласно которому утверждение А иего отрицание /> не могут бытьодновременно истинными и ложными, то интуиционизм считает, что утверждение АÚ/> можетсчитаться доказанным лишь тогда, когда указан метод, позволяющий выяснить,какое именно из двух суждений А или /> истинно.
Немецкий математик Л.Кронекер, а также представителипарижской школы теории функций Э.Борель и А.Лебег признавали математическиеобъекты существующими независимо от нашего мышления. Но они считали, что об ихсуществовании мы можем судить лишь с помощью построения, благодаря чему онитолько и становятся познаваемыми для нас. А.Гейтинг называет такую концепцию«полуинтуиционистской» [5; 10]. Собственно же интуиционистскаяконцепция по вопросу о существовании отказывает математическим объектам в какомбы то ни было независимом от мышления существовании и считает, что об ихсуществовании можно утвердительно говорить лишь в том случае, когда они могутбыть тем или иным способом построены.
Классическая математика не принимает во внимание очевидноеразличие между двумя следующими определениями натуральных чисел — числа К ичисла Е.
«I. К есть наибольшее простое число, такое, что К-1также простое. Если такого числа нет, то К=1.
II. Е есть наибольшее простое число, такое, что Е-2 такжепростое. Если такого числа нет, то Е=1.» [16; 84]
Для интуиционизма же это различие весьма существенно. Есличисло К может быть вычислено (К=3), то число Е не вычисляется, так как проблема«близнецов» не разрешена. Поэтому интуиционисты считаю неправильнымдавать определение натурального числа в форме II и считают, что числоопределено только тогда, когда дан способ его вычисления. Или в более общейформе: «Существовать» должно означать то же самое, что «бытьпостроенным» [6; 11].
На основе критики классической математики и в то же времякак реакция на субъективистскую концепцию интуиционизма возникло такжеконструктивное направление. Об абстрактных объектах в конструктивной математикерассуждают на основе абстракции потенциальной осуществимости. В соответствии сэтой абстракцией в конструктивной математике изучаются не только объекты, ужеимеющиеся в наличии, но и возможные (потенциально осуществляемые) объекты.Абстракция актуальной бесконечности как объект математической теорииотклоняется в конструктивном направлении.
В конструктивной математике отрицают так называемые“чистые” теоремы существования. Например, в конструктивной теории множеств неттеоремы существования неизмеримого по Лебегу множества. В ней существованиебесконечного множества с данными свойствами является однозначным в том случае,если дан способ потенциально осуществимого построения объекта с этимисвойствами.
В становлении и развитии конструктивного направления вматематике важную роль сыграли работы А. А. Маркова, Н. А. Шанина, П. С.Новикова. Известный советский ученый Н. А. Шанин в работе “О критикеклассической математики” [20; 284-298] дает конструктивистскую критикуклассической математики и акцентирует внимание исследователей на том, чтомногие теоремы классической математики не обладают удовлетворительной связьюмежду ними и эмпирическим материалом в области естествознания.
Предшественником интуиционистской концепции существования внекотором смысле можно считать А.Пуанкаре. Рассматривая вопрос о существованиинатурального ряда чисел, А.Пуанкаре высказывал взгляды, близкие кинтуиционистским. Например, он считал, что о существовании чисел можно судитьлишь с помощью их построения. Но для математических объектов, отличных отнатуральных чисел, А.Пуанкаре считал доказательство непротиворечивостидоказательством их существования. «В математике существовать может иметьтолько один смысл, — оно означает устранение от противоречия» [18; 124].
Представление о самостоятельном существованииматематических объектов подвергалось критике не только интуиционизмом.Субъективный идеалист Дж.Беркли, чья философия сжато сформулирована взнаменитом афоризме «существовать — значит быть воспринимаемы», рьяновыступал против представления о самостоятельном существовании математическихобъектов. В своем памфлете «Аналитик, или Рассуждение, адресованноеневерующему математику…» Дж.Беркли отрицал существование бесконечно малыхвеличин на том основании, что они чувственно не воспринимаемы. [1; 395]
Б.Рассел начал свою философскую деятельность с идеализматипа Дж.Беркли, но затем изменил свою концепцию под влиянием Д.Мура, которыйподверг критике философию Дж.Беркли и сформулировал принцип нетождественности объектавосприятию. В своем труде “Принципы математики” Б.Рассел переходит на позицииреализма и высказывает мысль, что нельзя обосновать математику, не признаваяматематические объекты, существующими независимо от сознания. [16; 87]
Абстрактные объекты не существуют в качествесамостоятельного объекта, стоящего между субъектом и реальным объектом, ибо ониявляются лишь формами выражения действительности. Сама же действительностьвыступает не как совокупность единичных фактов, созерцая которые, субъект выделяетто общее, что есть в них, а как сложная, расчлененная внутри себя целостность.Неверно превращать математические средства выражения предмета математики в сампредмет. Абстрактные объекты являются не объектами познания, а тем, что должнобыть в голове человека, чтобы можно было в реальной действительности увидеть теили иные аспекты количественных отношений.
Представления, что математика имеет дело с реальнойдействительностью только через посредство абстрактных объектов, которыепонимаются как существующие лишь во внутреннем мире субъекта, замыкаетматематика в рамки уже идеализированных фрагментов действительности и не можетобъяснить факта увеличения математического знания. Математическое познаниеимеет дело не с абстрактными объектами, а с пространственными формами иколичественными отношениями действительности. Манипулирование абстрактнымиобъектами в отрыве от объективной реальности не может привести к новымрезультатам. Абстрактные объекты сами по себе – застывший продукт познания итолько обращение к новым аспектам действительности приводит к обогащениюматематического знания. Все это прекрасно понимал и выразил еще Р.Декарт. В“Правилах для руководства ума” он писал, что “мысля о числе, не нужно делатьвывод, будто измеряемая вещь считается исключенной из нашего представления, какэто делают те, кто приписывает числам чудесные свойства…”. [7; 149]
В этом случае мы сможем по мере надобности обращаться и кдругим свойствам предмета, которые еще не выражены в числах. Тот, ктопревращает математические средства выражения предмета математики в сам предмет,превращается, по словам Р.Декарта, из математика в счетчика, бессмысленнооперирующего со знаками и символами, загораживающими непроницаемой реальныйпредмет математики.
А.Гейтинг замечает, что “мы не могли бы сравниватьнатуральные числа друг с другом, если бы не фиксировали их какими-либосредствами материального представления, почему они и продолжают существоватьпосле акта их построения” [6; 24].
Абстрактные объекты и есть формы, отлитые предшествующейдеятельностью человека в обществе. С точки же зрения каждого отдельногоиндивида они выступают как независимо от него существующая реальность, а этозначит, что человек должен считаться с их природой как и с природой реальносуществующих вещей. Только в этом смысле и можно говорить об особомсуществовании абстрактных объектов.
3. Функция как отражение окружающей действительности
Функция представляет собой одно из основных математическихпонятий XX в., когда функциональному анализу стала принадлежать в математикевыдающаяся роль. Но так было не всегда: после введения в математику понятияфункции понадобилось более двух столетий, чтобы было осознано егодействительное значение для развития математического познания.
Термин “функция” впервые был применен в конце XVII векаЛейбницем (1646-1716) и его учениками. Вначале этот термин употребляли еще вочень узком смысле слова, связывая лишь с геометрическими образами. Речь шла оботрезках касательных к кривым, их проекция на оси координат и о “другого родалиниях, выполняющих для данной фигуры некоторую функцию” (от латинского“функтус” — выполнять). Таким образом, понятие функции еще не было освобожденоот геометрической формы.
Лишь И. Бернулли дал определение функции, свободное от геометрическогоязыка: “Функцией переменной величины называется количество, образованное какимугодно способом из этой переменной величины и постоянных” [4; 17]. Оно привелов восхищение престарелого Лейбница, увидевшего, что отход от геометрическихобразов знаменует новую эпоху в изучении функций.
Определение Бернулли опиралось не только на работы Лейбницаи его школы, но и на исследования великого математика и физика Исаака Ньютона(1643-1727), который изучил колоссальный запас самых различных функциональных зависимостейи их свойств. Вместо слова «функция» Ньютон применял термин«ордината». Он сводил изучение геометрических и физическихзависимостей к изучению этих «ординат», а сами «ординаты»описывали различными аналитическими выражениями.
Чтобы определение функции, данное И.Бернулли, сталополноценным, надо было условиться, какие способы задания функций следуетсчитать допустимыми. Обычно считали, что допускаются функции, заданныевыражениями, в которые входят числа, буквы, знаки арифметических действий, возведениев степень и извлечение корней, а также обозначения тригонометрических, обратныхтригонометрических, показательных и логарифмических функций. Такие функцииназывали элементарными. Вскоре выяснилось, что интегралы от них не всегдавыражаются через элементарные функции. В связи с этим пришлось добавить новыефункции, получающиеся при вычислении интегралов от элементарных функций, прирешении дифференциальных уравнений и т. д. Многие из этих функций нельзя былоявно выразить с помощью ранее известных операций. Поэтому один из самыхзамечательных математиков XVIII века Леонард Эйлер (1707-1783) в одной из своихработ пишет: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом,что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первыеназывают функциями вторых» [2; 18].
В 1834 году Н.И.Лобачевский писал: «Общее понятиефункции требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждогох и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано илианалитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать всечисла и выбрать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать иоставаться неизвестной.» [11; 284]
Более общий подход к понятию функции, при которомотождествляются понятия «функция», «отображение»,«оператор», возник после того, как во второй половине XIX века быловведено общее понятие множества. И именно творцы теории множеств Г. Кантор(1845-1918) и Р. Дедекинд (1831-1916) дали общее определение отображения. Егоможно сформулировать:
Пусть X и Y — два множества; говорят, что заданоотображение f множества X в (на) множество Y, если для каждого элемента x из Xуказан соответствующий ему единственный элемент y из Y. Этот элемент y называютобразом элемента х при отображении f и обозначают f(x). Введение в математикуобщего понятия об отображении множеств позволило прояснить и ряд вопросов,относящихся к функциям, например, уточнить, что такое обратная функция, сложнаяфункция и т. д.
В результате систематического построения математическогоанализа на основе строгой арифметической теории иррациональных чисел и теориимножества возникла новая отрасль математики — теория функций действительногопеременного. Она оказала большое влияние на развитие многих других отделовматематики
В начале XX века на базе этой теории функций возникла новаяветвь математики — функциональный анализ. В нем изучают множества, состоящие изфункций, последовательностей, линий, в которых определены операции сложения иумножения на числа. Эти операции обладают свойствами, похожими на свойстваопераций над векторами. Однако в отличие от нашего пространства, имеющего лишьтри измерения, изучаемые в функциональном анализе, пространства могут бытьбесконечномерными. Это не мешает специалистам по функциональному анализуприменять в своих исследованиях геометрический язык.
Хотя функциональный анализ кажется очень абстрактнойнаукой, он находит многочисленные приложения в вычислительной математике,физике, экономике, позволяя с единой точки зрения трактовать самые различныевопросы и вскрывать геометрическую сущность проблем, которые на первый взглядочень далеки от геометрии. Говоря о связи абстрактной науки с практикой, видныйматематик Р. Курант (1888-1972) писал:
“Мы стартуем с Земли и, сбросив балласт излишней информации,устремляемся на крыльях абстракции в заоблачные высоты, разреженная атмосферакоторых облегчает управление и наблюдение. Затем наступает решающее испытание — приземление; теперь нужно установить, достигнуты ли поставленные цели...” [4;25]
В XX веке понятие функции подверглось дальнейшимобобщением. Возникло понятие функции, отражавшее свойства физических величин,сосредоточенных в отдельных точках, на линиях или поверхностях. Потребностифизики привели к изучению функций, принимавших случайные значения. Но методыматематического анализа позволили справиться и с проблемами теории случайныхфункций, нашедшей многочисленные приложения в физике и технике.
Современная трактовка понятия функции выглядит следующимобразом: «функцией называется отношение двух (группы) объектов, в которомизменению одного из них сопутствует изменение другого» [13; 615-616]
Но как бы далеко ни отходило то или иное обобщение понятияфункции от определений И.Бернулли и Л.Эйлера, к каким бы сложным объектам онони прилагалось, в основе всех построений лежала одна и та же мысль осуществовании взаимозависимых величин, знание значения одной из которыхпозволяет найти значение другой величины.
В результате изучения различных функций в математикепоявились новые теории. Так немецкий математик Ф.Клейн и французский математикА.Пуанкаре создают теорию автоморфных функций, в которой находит замечательныеприменения геометрия Лобачевского. Французские математики Э.Пикар, А.Пуанкаре,Ж.Адамар, Э.Борель глубоко разрабатывают теорию целых функций. Геометрическуютеорию функций и теорию римановых поверхностей развивают А.Пуанкаре,Д.Гильберт, Г.Вейль, немецкий математик К.Каратеодори, теорию конформныхотображений — советские математики И.И.Привалов, М.А.Лаврентьев, Г.М.Голузин идр. На основе комплексных чисел возникает теория функций комплексногопеременного. Общие основы этой теории были заложены О.Коши.
Выше приведенные примеры теорий функции показывают намважность данного понятия в современной науке. Однако можно сделать ошибочныйвывод (в силу множества абстрактных понятий, связанных с функцией) о том, чтовсе эти теории не имеют никаких связей с окружающим миром. В действительностиже эти связи имеют более сложные формы. Многие эти теории возникли не из-зазапросов естествознания и техники, а из внутренних потребностей самойматематики. Т. е. непосредственного отношения к окружающему миру эти теории неимеют. Они играют вспомогательную роль для прикладных наук.
Как мы уже выяснили, понятие “функция” в математике играетзначительную роль. Посмотрим теперь на то, какую же роль играет это понятие вфилософии. Прежде всего следует заметить, что в философских словарях трактовкиэтого понятия трудно найти. Следовательно, можно сделать вывод, что это понятиев философии играет второстепенную роль. Однако, зависимость между элементаминекоторых множеств, — как одна из смысловых сторон “функции”, имеетнепосредственное отношение к окружающему миру.
В. И. Ленин писал: “Первое, что бросается нам в глаза прирассмотрении мира в целом – это взаимная связь всего существующего” (см. ЛенинВ.И. Пол. собр. соч. – Т. 20, с. 20).
Но далеко не все связи могут быть отражены в видефункциональных зависимостей (формул). Наиболее наглядно демонстрируют подобныесвязи в окружающем мире законы физики, которые могут быть записаны в видеформул. Это, например, второй закон Ньютона />,закон Гука />, законы Кеплера и многиедругие законы, отражающие взаимозависимость окружающего мира.
Таким образом, функция, как и любое другое математическоепонятие, непосредственно или опосредованно отражает окружающую насдействительность.
Заключение
Таким образом, проблемы реальности и существования вматематике имеют неоднозначное истолкование в философии. Вопрос о соотношениипонятий и утверждений математики и окружающей действительности был освещен сразных философских позиций. А именно, с точки зрения материализма исубъективного и объективного идеализма, эмпиризма и неопозитивизма. Каждое извышеперечисленных философских течений имели разные взгляды на разрешениепоставленного вопроса.
Проблема существования в математике также была представленанесколькими философскими направлениями: интуиционизмом, конструктивнымматериализмом и субъективным идеализмом. Каждое из этих направлений имело своюточку зрения на данную проблему. Разносторонность подходов к решению поставленныхпроблем говорит об их сложности и неоднозначности в толковании и разрешении.
В качестве примера одного из математических абстракций былорассмотрено понятие “функция”. Описана история возникновения данного понятия,неоднозначность в его толковании, роль и значение в современной науке.