Реферат: Эконометрика
Институт экономики и предпринимательства(ИНЭП)
Контрольнаяработа по дисциплине
«Эконометрика»
Вариант 1
Выполнил:
студент группы №
Проверил:
преподаватель ИНЭП,
кандидат технических наук
Ю.М. Давыдов
г. Лосино-Петровский
2008-2009 уч.год
1. Цель работы
Цель контрольной работы –демонстрация полученных теоретических знаний и приобретенных практическихнавыков по эконометрике – как синтезу экономической теории, экономическойстатистики и математики, в том числе исследование линейных моделей парной(ЛМПР) и множественной регрессии (ЛММР), трендовых моделей, методом наименьшихквадратов (МНК).
Для проведения расчетовиспользовалось приложение к ПЭВМ типа EXCEL.
2. Исследованиелинейных моделей парной (ЛМПР) и
множественной регрессии(ЛММР) методом наименьших
квадратов (МНК).
2.1 Контрольная задача№ 1
2.1.1. Исследуем зависимость производительноститруда Y (т/ч) от уровня механизации Х (%).
Исходные данные для 14однотипных предприятий приводятся в таблице 1:
Таблица 1
xi 32 30 36 40 41 47 56 54 60 55 61 67 69 76 yi 20 24 28 30 31 33 34 37 38 40 41 43 45 482.1.2Матричная форма записи ЛМПР (ЛММР):
Y^ = X* A^ (1),где А^ – вектор-столбец параметров регрессии;
xi1 –предопределенные (объясняющие) переменные, n = 1;
ранг матрицы X = n + 1= 2 < k =14 (2).
Исходные данные представляют в виде матриц.
( 1 32 ) (20 )
( 1 30) (24 )
( 1 36) (28 )
( 1 40 ) (30 )
(1 41 ) (31 )
( 1 47 ) (33)
X = (1 56) Y = (34 )
(1 54) (37 )
(1 60 ) (38 )
(1 55 ) (40 )
( 1 61 ) (41 )
( 1 67 ) (43)
(1 69 ) (45 )
( 1 76 ) (48 )
Значение параметров А^ = (а0, а1)<sup/>T<sup/> и s2 – намнеизвестны и их требуется определить (статистически оценить) методом наименьшихквадратов.
Так как матрица Х, по условию, является прямоугольной,а обратную матрицу Х-1 можно рассчитать только для квадратнойматрицы, то произведем небольшие преобразования матричного уравнения типаY = X *A,умножив левую и правую части на транспонированную матрицу Х Т.
Получим XT* X * A^ = X T<sup/>* Y ,
откуда A^ = (XT<sup/>* X )–1 *( XT<sup/>* Y) (3),
где (XT<sup/>* X )–1 — обратная матрица.
2.1.2. Решение.
а) Найдемтранспонированную матрицу ХТ :
( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )
XT = ( 32 30 36 40 41 47 56 54 60 55 6167 69 76 )
в) Находим произведениематриц XT<sup/>*X :
( 14 724 )
XT<sup/>* X = ( 724 40134)
г) Находим произведениематриц XT<sup/>* Y:
( 492 )
XT<sup/>* Y = ( 26907 )
д) Вычисляем обратнуюматрицу ( XT<sup/>* X) –1 :
( 1,064562 -0,0192 )
( XT<sup/>* X) –1 = (-0,0192 0,000371)
е) Умножаем обратнуюматрицу ( XT<sup/>* X) –1 на произведение
матриц (XT<sup/>*Y) и получаем вектор- столбец A^ = (a0, a 1)T:
( 7,0361 )
A^ = ( XT<sup/>* X) –1 * (XT<sup/>* Y) = ( 0,543501).
Уравнение парнойрегрессии имеет следующий вид:
уi^ = 7,0361 + 0,543501* xi1 (4).
уi^ (60) = 7,0361 + 0,543501*60 = 39,646.
2.1.3 Оценка качества найденных параметров
Для оценки качествапараметров Â применим коэффициент детерминации R2. Величина R2 показывает, какая часть (доля)вариации зависимой переменной обусловлена объясняющей переменной. Чем ближе R2 к единице, тем лучше регрессия аппроксимируетэкспериментальные данные.
Q = ∑(yi — y¯)2 (5) – общая сумма квадратов отклоненийзависимой переменной от средней; QR = ∑(y^i — y¯)2 (6) – сумма квадратов, обусловленнаярегрессией; Qе = ∑(yi – y^i)2 (7) – остаточная суммаквадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов; Q = QR + Qе (8).
Q = 847,714; QR = 795,453; Qе = 52,261.
Q = QR + Qе = 795,453 + 52,261 = 847,714.
R2 = QR / Q = 795,453 / 847,714 = 0,9383.
R2 = 1 – Qe / Q = 1 — 52,261 / 847,714 = 0, 9383.
В нашем примере коэффициентдетерминации R2, очень высокий, что показывает на хорошее качестворегрессионной модели (4).
2.2 Контрольная задача№ 2
2.2.1. Исследуем зависимость урожайностизерновых Y от ряда переменных, характеризующихразличные факторы:
Х1 –количество удобрений, расходуемых на гектар (т\га);
Х2 — количество химических средств защиты растений на гектар ( ц\га) .
Исходные данные для 5районов области приводятся в таблицах:
Таблица 2
I (номер района)yi
хi 1
хi 2
1 9,7 0,32 0,14 2 8,4 0,59 0,66 3 9,3 0,3 0,31 4 9,6 0,43 0,59 5 9,6 0,39 0,162.2.2.Матричная форма записи ЛММР:
Y^ = X* A^ (1),где А^ – вектор-столбец параметров регрессии ;
хi1, хi2 – предопределенные (объясняющие)переменные, n = 2;
Ранг матрицы X = n + 1= 3 < k = 5 (2).
Исходные данные представляют в виде матриц.
( 1 0,32 0,14 ) (9,7)
( 1 0,59 0,66<sub/>) ( 8,4
X = (1 0,3 0,31 ) Y = (9,3 )
( 1 0,43 0,59 ) (9,6)
(1 0,39 0,16 ) (9,6)
Значение параметров А^ = (а0, а1,а2 )<sup/>T<sup/> и s2 – нам неизвестны и их требуется определить (статистически оценить ) методом наименьших квадратов.
Для нахождения параметров A^ применим формулу (3) задачи № 1
A^ = (XT<sup/>* X )–1 * XT<sup/>* (3),
где (XT<sup/>* X )–1 — обратная матрица.
2.2.3. Решение.
а) Найдемтранспонированную матрицу ХТ :
( 1 1 1 1 1 )
XT = ( 0,32 0,59 0,38 0,43 0,39 )
( 0,14 0,66 0,53 0,59 0,13).
в) Находим произведениематриц XT<sup/>*X :
( 5 2,11 2,05 )
XT<sup/>* X = ( 2,11 0,932 0,94 )
( 2,05 0,94 1,101).
г) Находим произведениематриц XT<sup/>* Y:
( 46,6 )
XT<sup/>* Y = ( 19,456 )
( 18,731 ).
д) Вычисляем обратнуюматрицу ( XT<sup/>* X) –1 :
( 5,482 - 15,244 2,808 )
( XT<sup/>* X) –1 = ( -15,244 50,118 -14,805 )
( 2,808 -14,805 7,977 ).
е) Умножаем обратнуюматрицу ( XT<sup/>* X) –1 на произведение
матриц XT<sup/>* Y и получаем вектор- столбец A^ = (a0, a 1, a 2)T :
( 11, 556 )
A^ = (XT<sup/>* X) –1 * (XT<sup/>* Y) = ( -5, 08 )
( 0, 0219 )
Уравнение множественнойрегрессии имеет следующий вид:
yi^ = 11,456 — 5,08 * xi1 — 0,0219 * xi2(4)<sub/>.
2.2.4. Оценка качества найденных параметров
Для оценки качестванайденных параметров а^0, a^1 .a^2необходимо найти оценку дисперсии по формуле
1
s^2 = — (Y – X * A^)T* (Y – X * A^),
k – n — 1
после чего можно найтисреднеквадратические ошибки SL по формуле SL = s^√hii, где hii элементы главной диагонали матрицы (XT<sup/>* X) –1 .
А. Произведение матриц X * A^:
( 9,833 )
( 8,472 )
Y^ =X * A^ = (9,536 )
( 9,283 )
(9,476 ).
Б. Разность матриц ( Y — X * A^ ) :
( -0,132 )
( — 0,072 )
( Y — X * A^ )=(-0,036 )
( 0,116 )
( 0,0835 ).
В. ( Y — X * A^ )T =(-0,132; -0,072; -0,036; 0,116; 0,0835 )
Г. Произведение ( Y — X * A^ )T * ( Y — X * A^ ) = 0,04458 .
С учетом того, что внашем примере к = 5 и n = 2
1 1
s^2 = — (Y – X * A^)T*(Y – X * A^) =------* 0,04458 = 0,0223.
k – n — 1 2
s^ = Ö 0,0223 = 0,1493 .
Г. Среднеквадратическиеошибки оценок параметров будут равны:
S 0= 0,0223 * Ö 5,482 = 0,3496 ;
S 1 = 0,0223 * Ö 50,118 = 1,057 ;
S 2 = 0,0223 * Ö 7,977 = 0,4217 .
Среднеквадратическиеошибки имеют различное значения, иногда превышающие оценки параметров, чтосвязано с малым количеством статистических данных.
3. Контрольная задача№ 3
Оценки параметров трендовоймодели.
3.1. По данным орозничном товарообороте региона нужно
произвести анализосновной тенденции развития товарооборота.
Таблица 3
Год Объем розничного товарооборота, млрд. руб. Темп роста по годам, % Абсолютный прирост по годам, млрд. руб. 1 2 3 4 1 18,4 - - 2 18,9 103,5 0,5 3 19,8 105,3 0,9 4 20,3 102,6 0,5 5 21,1 104,4 0,8 В среднем 19,7 103,9 0,673.2. Решение задачи будем производитьметодом множественной регрессии с оценкой параметров а0, а1,а2, а3, так как: во-первых, абсолютный приростнеравномерен по годам; во-вторых, темпы роста также неравны между собой, тоесть необходимо оценивать параметры а2 и а3 .
Матрица Х размерами 5×4и вектор-столбец Y размерами 5×1, будут иметь следующий вид:
( 1 1 1 1 ) (1,84E+10 )
( 1 2 4 8 ) ( 1,89E+10 )
X = ( 1 3 9 27) Y = ( 1, 98E+10)
( 1 4 16 64) (2,03E+10)
( 1 5 25 125) ( 2,11E+10 )
Решение задачи с помощьюп риложения EXCEL позволило получить следующие оценкипараметров Â и соответственно аппроксимируемые значения Y^:
(а0) (1,79E+10 ) (1, 838E+10 )
(а1 ) (3,976E+08 ) ( 1,899E+10 )
 = (а2) = ( 8,929E+07 ) Y^ = ( 1, 967E+10 )
(а3 ) (-8,333E+06) ( 2, 039E+10)
( 2, 108E+10).
Отрицательное значениепараметра а3 = — 8,333Е+06 говорит о том, что ускорение (темп роста)замедляется, что качественно можно оценить и из вышеприведенной таблицы.
3.3. Анализ полученной трендовой моделина качество аппроксимации произведем помощью коэффициента детерминации R2<sub/>.
Значение коэффициентадетерминации R2 = 0,9931 говорит об очень хорошем качестве трендовоймодели
yt (млрд.руб) = 17,9 + 0,3976 * t + 0,08929*t2 – 0,008333*t3 .