Реферат: Теоретические основы математических и инструментальных методов экономики

Теоретические основы специальности.Оптимизационные методы решения экономических задач. Классическая постановказадачи оптимизации. Оптимизация функций. Оптимизация функционалов. Общаяпостановка задачи.

К экономическим задачам оптимизационного типа относятсязадачи, в которых требуется найти наилучшее или оптимальное решение призаданных условиях производства. Такие задачи называются задачами на максимумили минимум. Особенностью задач оптимизационного типа являетсямноговариантность их решений, обусловленная следующими причинами:взаимозаменяемостью ресурсов; взаимозаменяемостью готовых видов продукции;существованием альтернативных технологий производства; неодинаковостьютехнико-экономических показателей даже однотипных хозяйственных субъектов.

Возможны два подхода к постановкеоптимизационных задач: при первом подходе требуется получить максимальные конечные результаты при заданных условиях производства; при втором подходетребуется получить заданные конечные результаты при минимальных затратахресурсов.

Математический инструментарий, позволяющий решатьэкономические задачи оптимального типа, называется программированием. Различаютлинейное и нелинейное программирование.

На практике наибольшее распространение получилолинейное программирование.

Методы линейного программирования в математике известны подназванием общей задачи линейного программирования.

Аналитическая формулировка общей задачи линейногопрограммирования

Общая задача линейного программирования формулируетсяследующим образом:

Найти решение {Х1, Х2,….Хn},позволяющее максимизировать или минимизировать целевую функцию

F = C1X1+C2X2+…+CnXn

при условиях

Х1≥0; Х2≥0;…; Хn≥0.

Это развернутая запись общей задачи линейного программирования.

Сокращенная запись этой модели имеет вид:

Найти решение {Xj}, позволяющее максимизировать(минимизировать) функцию

при условиях

/> , i = 1,2,…,n;

Xj ≥ 0, j = 1,2,…,n.

Вышеприведенные записи общей задачи линейногопрограммирования называют аналитической формой записи.

Любое решение, удовлетворяющее условиям, называется допустимым решением. Допустимое решение систем неравенств, удовлетворяющеецелевой функции, называется оптимальным решением. Такое решение единственно призаданных условиях.

Матричная форма записи общей задачи линейногопрограммирования

при ограничениях AX≤B

X≥0,

где С = (с1, с2,…, сn);

/> />

где С – матрица-строка

А – матрица системы

Х – матрица-столбец переменных

В – матрица-столбец свободных членов

Векторная форма записи общей задачи линейногопрограммирования

F = CX → max (min)

при ограничениях

Х≥0,

где СХ – скалярное произведение векторов

С = (С1, С2, …, Сn) и Х =(х1, х2, …, хn),

векторы

состоят соответственно из коэффициентов при переменных исвободных членов.

(про функционал)

В общем случае задача оптимизации формулируется как задачаотыскания max или min значения I(v) для />.

Под решением такой задачи понимается такое />, что для остальныхэлементов />выполняется неравенство /> или/> в зависимости оттребований задачи.

При этом:

v – некоторая функция

I(v) – функционалвида />

Многокритериальная оптимизация. Методы сведения многокритериальной задачи коднокритериальной. Метод уступок. Методы определения уровня предпочтений.Способы поиска паретовского множества альтернатив.

Многокритериальная оптимизация представляет собойминимизацию некого вектора целей F(x), на которой могут быть наложеныдополнительные ограничения или предельные значения:

(3-47)

Отметим, что поскольку F(x) является неким вектором, толюбые компоненты F(x) являюся конкурирующими и отсутсвует некое единое решениепоставленной задачи. Взамен этого, для описания характеристик целей вводитсяконцепция множества точек неулучшаемых решений [41] (так называемаяоптимальность по Паретто [4],[6]). Неухудшаемое решение есть такое решение, вкотором улучшение в одной из целей приводит к некому ослаблению другой. Дляболее точной формулировки данной концепции рассмотрим некую область допустимыхрешений />впараметрическом пространстве />, которое удовлетворяет всемпринятым ограничениям, т.е.

(3-48)

при ограничениях

Отсюда возможно определить соответствующую областьдопустимых решений для пространства целевых функций />.

/>, где />при условии />

(3-49)

Точка неулучшаемого решения может быть определена как:

Определение. Точка />является неулучшаемым решением,если для некоторой окрестности />нет некого />такого, что />и

/>/>

Стратегия взвешенных сумм

Данная стратегия взвешенных сумм преобразуетмногокритериальную задачу минимизации вектора />в некую скалярную задачу путемпостроения неких взвешенных сумм для всех выбранных объектов.

(3-51)

Далее уже к данной задаче оптимизации уже может бытьприменен стандартный алгоритм оптимизации без наличия ограничений. В этомслучае рассматриваются взвешенные коэффициенты для каждой из выбранных целей.Взвешенные коэффициенты необязательно должны напрямую соответствоватьотносительной значимости соответствующей цели или принимать во вниманиевзаимовлияние между конкретно выбранными целями. Более того, границы неулучшаемыхрешений могут быть и не достигнуты, так что определенные решения являются посуществу недостижимыми.

Метод />-ограничений

Некий определенный способ, который отчасти позволяетпреодолеть проблему выпуклости метода взвешенных сумм, есть метод />-ограничений. В этомслучае осуществляется минимизация основной цели />и при представлении остальныхцелей в форме ограничений типа неравенств.

(3-52)

при выполнении условия

Подобный подход позволяет определить некое количествонеулучшаемых решений для случая вогнутой границы, что, по существу, являетсянедоступным в методе взвешенных сумм, например, в точке искомого решения />и />. Однакопроблемой данного метода является подходящий выбор />, который мог бы гарантироватьдопустимость некого решения.

Метод достижения цели.

Описанный далее метод представляет собой метод достиженияцели Гембики. Данный метод включает в себя выражение для множества намеренийразработчика />, которое связано с множествомцелей />.Такая формулировка задачи допускает, что цели могут быть или недо- илипередостижимыми, и что дает разработчику возможность относительно точновыразить исходные намерения. Относительная степень недо- или передостижимостипоставленных намерений контролируется посредством вектора взвешенныхкоэффициентов />и может быть представлена какстандартная задача оптимизации с помощью следующей формулировки

(3-53)

При условии, что

Член />вносит в данную задачу элемент ослабления,что, иначе говоря, обозначает жесткость заданного намерения. Весовой вектор wдает исследователю возможность достаточно точно выразить меру взаимосвязи междудвумя целями. Например, установка весового вектора w как равногоисходному намерению указывает на то, что достигнут тот же самый процент недо-или передостижимости цели />. Посредством установки в нольотдельного весового коэффициента (т.е. />) можно внести жесткие ограниченияв поставленную задачу. Метод достижения цели обеспечивает подходящуюинтуитивную интерпретацию поставленной исследовательской задачи и которая, всвою очередь, является вполне разрешимой с помощью стандартных процедуроптимизации.

Гладкая оптимизация. Седловая точка. Условие Куна-Таккера. Двойственныезадачи оптимизации.

Метод множителей Лагранжа позволяет отыскивать максимум или минимум функции при ограничениях-равенствах.Основная идея метода состоит в переходе от задачи на условный экстремум к задаче отыскания безусловного экстремуманекоторой построенной функции Лагранжа. Пусть заданазадача НП при ограничениях-равенствах вида

минимизировать /> (5.2.1)

при ограничениях

/> (5.2.2)

Предположим, что все функции />–дифференцируемы. Введем набор переменных /> (числокоторых равняется числу ограничений), которые называютсямножителямиЛагранжа, и составим функцию Лагранжатакого вида:

/> (5.2.3)

Справедливо такое утверждение [18]: для тогочтобы вектор /> являлсярешением задачи (5.2.1) при ограничениях (5.2.2), необходимо,чтобы существовал такой вектор />, что пара векторов удовлетворяла бы системе уравнений

/> (5.2.4)

/> (5.2.5)

множителей Лагранжа, который состоит изследующих шагов.

Составляют функциюЛагранжа />

Находят частные производные />

Решают систему уравнений

/> (5.2.16)

и отыскивают точки />, удовлетворяющиесистеме (5.2.16).

Найденные точки /> дальшеисследуют на максимум (или минимум).

Седловая точка и задача нелинейного программирования

Рассмотрим функцию Лагранжа />

Определение Паравекторов /> называется седловойточкой функции Лагранжа />, если при всех /> выполняетсяусловие

/> (5.3.28)

Неравенство (5.3.28) называют неравенством дляседловой точки. Очевидно, что в седловой точке выполняется условие

/> (5.3.29)

Между понятием седловой точки функции Лагранжа/>ирешением задачи НП существует взаимосвязь, которая устанавливается в следующейтеореме.

Теорема 5.9. Пусть/> ивсе /> выпуклыи функции /> удовлетворяют условиюрегулярности Слейтера. Вектор /> является решениемзадачи НП (5.3.1), (5.3.2) тогда и только тогда, когда существует такой вектор />, что

/> (5.3.30)

/> (5.3.31)

Теорема Куна-Таккера. Пусть функции />, имеют непрерывные частныепроизводные на некотором открытом множестве />, содержащем точку />. Если /> являетсяточкой минимума функции /> при ограничениях />,удовлетворяющих условию регулярности в виде линейной независимостивекторов />, то существуют такиенеотрицательные множители Лагранжа />, что

/> (5.3.15)

/> (5.3.16)

Определим функцию Лагранжа следующим образом:

/> (5.3.17)

Тогда теорему Куна-Таккера можно записать ввиде

/> (5.3.18)

/> (5.3.19)

/> (5.3.20)

Заметим, что множители Лагранжа /> в задаче НП с ограничениями-равенствами являютсязнаконеопределенными, тогда как в теореме Куна-Таккера они должны бытьположительными.

Каждой задаче линейного программирования соответствуетдвойственная задача. Двойственная задача по отношению к исходной задачестроится по следующим правилам:

· Если исходная задача ставится на максимум, то двойственнаяставится на минимум и наоборот.

· Коэффициенты целевой функции исходной задачи становятся правымичастями ограничений двойственной задачи. Правые части ограничений исходнойзадачи становятся коэффициентами целевой функции двойственной задачи.

· Если A-матрица коэффициентов исходной задачи, тотранспонированная матрица T A будет матрицей коэффициентов двойственной задачи.

· В задаче на максимум все ограничения имеют знак ≤ (=), а взадаче на минимум все ограничения имеют знак ≥ .

· Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений висходной задаче. Каждому ограничению исходной задачи соответствует переменнаядвойственной задачи. Если ограничение исходной задач имеет знак (≥ ), тосоответствующая переменная двойственной задачи неотрицательна. Если ограничениеимеет знак (=), то соответствующая переменная двойственной задачи можетпринимать положительные и отрицательные значения и наоборот.

Градиентные методы гладкой оптимизации. Общая идея градиентного спуска(подъема). Пропорциональный градиентный метод. Полношаговый градиентный метод.Метод сопряженных градиентов.

Методы отыскания экстремума, использующие производные, имеютстрогое математическое обоснование. Известно, что при отыскании экстремума несуществует лучшего направления, чем движение по градиенту.

Градиентом дифференцируемой функции f(x) в точке х[0]называется n-мерный вектор f(x[0]), компоненты которогоявляются частными производными функции f(х), вычисленными в точке х[0],т. е.

f'(x[0]) = (дf(х[0])/дх1,…, дf(х[0])/дхn)T.

Этот вектор перпендикулярен к плоскости, проведенной черезточку х[0], и касательной к поверхности уровня функции f(x),проходящей через точку х[0].В каждой точке такой поверхности функция f(x)принимает одинаковое значение. Приравнивая функцию различным постояннымвеличинам С0, С1,…, получим серию поверхностей,характеризующих ее топологию

Вектор-градиент направлен в сторону наискорейшеговозрастания функции в данной точке. Вектор, противоположный градиенту (-f’(х[0])),называется антиградиентом и направлен в сторону наискорейшего убыванияфункции. В точке минимума градиент функции равен нулю. На свойствах градиентаоснованы методы первого порядка, называемые также градиентным и методамиминимизации. Использование этих методов в общем случае позволяет определитьточку локального минимума функции.

Очевидно, что если нет дополнительной информации, то изначальной точки х[0] разумно перейти в точку х [1], лежащую внаправлении антиградиента — наискорейшего убывания функции. Выбирая в качественаправления спуска р[k] антиградиент -f’(х[k]) вточке х[k], получаем итерационный процесс вида

х[k+1] = x[k]-akf'(x[k]),аk<sub/>> 0; k=0, 1, 2, ...

В координатной форме этот процесс записывается следующимобразом:

xi[k+1]=хi[k] — ak/>f(x[k])//>xi

i = 1, ..., n; k= 0, 1, 2,...

В качестве критерия останова итерационного процессаиспользуют либо выполнение условия малости приращения аргумента || x[k+l]— x[k] || <= e, либо выполнение условия малости градиента

|| f’(x[k+l]) || <= g,

Здесь e и g — заданные малые величины.

Возможен и комбинированный критерий, состоящий водновременном выполнении указанных условий. Градиентные методы отличаются другот друга способами выбора величины шага аk.

При методе с постоянным шагом для всех итераций выбираетсянекоторая постоянная величина шага. Достаточно малый шаг аkобеспечит убывание функции, т. е. выполнение неравенства

f(х[k+1])= f(x[k] – akf’(x[k])) < f(x[k]).

Однако это может привести к необходимости проводитьнеприемлемо большое количество итераций для достижения точки минимума. С другойстороны, слишком большой шаг может вызвать неожиданный рост функции либопривести к колебаниям около точки минимума (зацикливанию). Из-за сложностиполучения необходимой информации для выбора величины шага методы с постояннымшагом применяются на практике редко.

Более экономичны в смысле количества итераций и надежностиградиентные методы с переменным шагом, когда в зависимости от результатоввычислений величина шага некоторым образом меняется. Рассмотрим применяемые напрактике варианты таких методов.

Метод наискорейшего спуска

При использовании метода наискорейшего спуска на каждойитерации величина шага аkвыбирается из условия минимумафункции f(x) в направлении спуска, т. е.
f(x[k]–akf’(x[k])) = />f(x[k]– af'(x[k])).

Это условие означает, что движение вдоль антиградиентапроисходит до тех пор, пока значение функции f(x) убывает. Сматематической точки зрения на каждой итерации необходимо решать задачуодномерной минимизации по а функции
j(a) = f(x[k]— af'(x[k])) .

Алгоритм метода наискорейшего спуска состоит в следующем.

1. Задаются координаты начальной точки х[0].

2. В точке х[k], k = 0, 1, 2,… вычисляется значение градиента f’(x[k]).

3. Определяется величина шага ak, путемодномерной минимизации по а функции j(a) = f(x[k] — af'(x[k])).

4. Определяются координаты точки х[k+1]:

хi[k+1]= xi[k]– аkf’i(х[k]), i = 1 ,..., п.

5. Проверяются условия останова стерационного процесса. Еслиони выполняются, то вычисления прекращаются. В противном случае осуществляетсяпереход к п. 1.

В рассматриваемом методе направление движения из точки х[k]касается линии уровня в точке x[k+1] (Рис. 2.9). Траекторияспуска зигзагообразная, причем соседние звенья зигзага ортогональны друг другу.Действительно, шаг ak выбирается путем минимизации по афункции φ(a) = f(x[k]— af'(x[k])).Необходимое условие минимума функции dj(a)/da = 0. Вычисливпроизводную сложной функции, получим условие ортогональности векторовнаправлений спуска в соседних точках:

dj(a)/da= -f’(x[k+1]f’(x[k]) = 0.

Градиентные методы сходятся к минимуму с высокой скоростью(со скоростью геометрической прогрессии) для гладких выпуклых функций. У такихфункций наибольшее М и наименьшее m собственные значения матрицывторых производных (матрицы Гессе)

мало отличаются друг от друга, т. е. матрица Н(х)хорошо обусловлена. Напомним, что собственными значениями li, i=1, …, n, матрицы являются корни характеристического уравнения

Однако на практике, как правило, минимизируемые функцииимеют плохо обусловленные матрицы вторых производных (т/М << 1).Значения таких функций вдоль некоторых направлений изменяются гораздо быстрее(иногда на несколько порядков), чем в других направлениях. Их поверхности уровняв простейшем случае сильно вытягиваются, а в более сложных случаях изгибаются ипредставляют собой овраги. Функции, обладающие такими свойствами, называют овражными.Направление антиградиента этих функций (см. Рис. 2.10) существенно отклоняетсяот направления в точку минимума, что приводит к замедлению скорости сходимости.

Метод сопряженных градиентов

Рассмотренные выше градиентные методы отыскивают точкуминимума функции в общем случае лишь за бесконечное число итераций. Методсопряженных градиентов формирует направления поиска, в большей мересоответствующие геометрии минимизируемой функции. Это существенно увеличиваетскорость их сходимости и позволяет, например, минимизировать квадратичнуюфункцию

f(x) = (х, Нх) + (b, х) + а

с симметрической положительно определенной матрицей Нза конечное число шагов п , равное числу переменных функции. Любаягладкая функция в окрестности точки минимума хорошо аппроксимируетсяквадратичной, поэтому методы сопряженных градиентов успешно применяют для минимизациии неквадратичных функций. В таком случае они перестают быть конечными истановятся итеративными.

По определению, два n-мерных вектора х иуназывают сопряженными по отношению к матрице H (или H-сопряженными),если скалярное произведение (x, Ну) = 0. Здесь Н -симметрическая положительно определенная матрица размером пхп.

Одной из наиболее существенных проблем в методах сопряженныхградиентов является проблема эффективного построения направлений. МетодФлетчера-Ривса решает эту проблему путем преобразования на каждом шагеантиградиента -f(x[k]) в направление p[k], H-сопряженноес ранее найденными направлениями р[0], р[1], ..., р[k-1].Рассмотрим сначала этот метод применительно к задаче минимизации квадратичнойфункции.

Направления р[k] вычисляют по формулам:

p[k]= -f’(x[k])+bk-1p[k-l], k >=1;

p[0] = -f’(x[0]).

Величины bk-1 выбираются так,чтобы направления p[k], р[k-1] были H-сопряженными:

(p[k], Hp[k-1])= 0.

В результате для квадратичной функции

/>,

итерационный процесс минимизации имеет вид

x[k+l]=x[k]+akp[k],

где р[k] - направление спуска на k-мшаге; аk - величина шага. Последняя выбирается из условияминимума функции f(х) по а в направлении движения, т. е. врезультате решения задачи одномерной минимизации:

f(х[k] + аkр[k])= />f(x[k]+ ар [k]).

Для квадратичной функции

Алгоритм метода сопряженных градиентов Флетчера-Ривсасостоит в следующем.

1. В точке х[0] вычисляется p[0] = -f’(x[0]).

2. На k-м шаге по приведенным выше формуламопределяются шаг аk. и точка х[k+1].

3. Вычисляются величины f(x[k+1]) и f’(x[k+1]).

4. Если f’(x[k+1]) = 0, то точка х[k+1]является точкой минимума функции f(х). В противном случае определяетсяновое направление p[k+l] из соотношения

и осуществляется переход к следующей итерации. Эта процедуранайдет минимум квадратичной функции не более чем за п шагов. Приминимизации неквадратичных функций метод Флетчера-Ривса из конечного становитсяитеративным. В таком случае после (п+1)-й итерации процедуры 1-4циклически повторяются с заменой х[0] на х[п+1], авычисления заканчиваются при />, где /> — заданное число. При этомприменяют следующую модификацию метода:

x[k+l]= x[k]+akp[k],

p[k] =-f’(x[k])+bk-1p[k-l],k >= 1;

p[0] = -f’(x[0]);

f(х[k]+ akp[k]) = />f(x[k] + ap[k];

/>.

Здесь I — множество индексов: I = {0, n, 2п,Зп, ...}, т. е. обновление метода происходит через каждые п шагов.

Геометрический смысл метода сопряженных градиентов состоит вследующем (Рис. 2.11). Из заданной начальной точки х[0] осуществляетсяспуск в направлении р[0] = -f'(x[0]). В точке х[1]определяется вектор-градиент f'(x [1]). Поскольку х[1] являетсяточкой минимума функции в направлении р[0], то f’(х[1])ортогонален вектору р[0]. Затем отыскивается вектор р [1], H-сопряженныйк р [0]. Далее отыскивается минимум функции вдоль направления р[1]и т. д.

Рис. 2.11. Траектория спуска в методе сопряженныхградиентов

Методы сопряженных направлений являются одними из наиболееэффективных для решения задач минимизации. Однако следует отметить, что оничувствительны к ошибкам, возникающим в процессе счета. При большом числепеременных погрешность может настолько возрасти, что процесс придется повторятьдаже для квадратичной функции, т. е. процесс для нее не всегда укладывается в пшагов.

Выпуклая оптимизация. Условие выпуклости. Субградиентный метод выпуклойоптимизации. Метод растяжения пространства. Метод эллипсоидов.

Основная задача выпуклого программирования

Пусть задано выпуклое и замкнутое множество />. Рассмотрим множество

/>={/>}, />=(/>,…,/>), />Î/>.

где /> (/>) — вогнутые (выпуклые вверх)непрерывные на /> скалярные функции. В теорииматематического программирования каждый элемент />Î/>принятоназывать допустимым планом, а само множество /> — множеством допустимых планов.

Формальная постановка задачи выпуклого программирования

Задачу

/>,

где /> выпукла, а /> определяется вышеприведеннымиусловиями, называется основной задачей выпуклого программирования.

Определение означает, что ставится задача:

Если существует минимальное значение функции /> на множестве />, то среди всехдопустимых планов найти оптимальный план />, для которого

/>=/>=/>

при этом число /> называют значением задачи.

Если оптимального плана не существует, то требуется

· либо найти значение задачи как точную нижнюю грань значенийфункции /> намножестве />:

/>=/>

· либо убедиться, что /> неограничена снизу на множестве />;

· либо убедиться в том, что множество допустимых планов /> пусто.

Для решения предложенной оптимизационной задачи следуетвыполнить следующие действия:

· Определить множество />.

· Определить вектор-функцию />=(/>,…,/>) и вектор />Î/>.

· Определить множество допустимых планов />={/>}.

· Привести задачу к стандартной форме основной задачи выпуклогопрограммирования и определить оптимизируемую функцию />.

· Проверить, является ли полученная оптимизационная задача ЗВП, дляэтого

· проверить на выпуклость множество />;

· проверить на выпуклость функцию />.

В случае успеха п. 5

· Построить функцию Лагранжа полученной ЗВП.

· С помощью дифференциальных условий Куна-Таккера найти седловыеточки построенной функции Лагранжа.

В случае неудачи п. 5 попытаться найти другие методырешения задачи.

Методы субградиентной оптимизации. Эти итеративныепроцедуры формируют последовательность векторов {lk}. Начинаяс некоторого начального значения l0 эти вектора меняются последующему правилу

lk+1= lk +<sup/>tk(A xk - b),

где xk — оптимальное решение задачи />, а tk— размер шага. Фундаментальный теоретический результат заключаетсяв том, что [14]

/>.

Размер шага на практике обычно выбирают, следуя [11],

где qk — скаляр, 0 <qk/>2 и z* — верхняя граница для n(D). Обычноz* получаютэвристикой для P. В методе ветвей и границ z* — текущий рекорд.Последовательность qk, как правило, начинается с q <sup/>0=2 и затем qk делится пополам,через фиксированное число итераций, зависящее от размерности задачи.

Элементы функционального анализа. Метрические, линейные и нормированныепространства. Эвклидово пространство. Гильбертово пространство. Линейныеоператоры и функционалы в линейных нормированных пространствах

Функциональный анализ, часть современной математики, главнойзадачей которой является изучение бесконечномерных пространств и ихотображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. ДляФ. а. характерно сочетание методов классического анализа, топологии и алгебры.Абстрагируясь от конкретных ситуаций, удаётся выделить аксиомы и на их основепостроить теории, включающие в себя классические задачи как частный случай идающие возможность решать новые задачи. Сам процесс абстрагирования имеетсамостоятельное значение, проясняя ситуацию, отбрасывая лишнее и открываянеожиданные связи. В результате удаётся глубже проникнуть в сущностьматематических понятий и проложить новые пути исследования.

Развитие Ф. а. происходило параллельно с развитиемсовременной теоретической физики, при этом выяснилось, что язык Ф. а. наиболееадекватно отражает закономерности квантовой механики, квантовой теории поля ит.п. В свою очередь эти физические теории оказали существенное влияние напроблематику и методы Ф. а.

1. Линейные пространства. Базис

Одно из основных понятий современной математики — линейноепространство.

Пусть L — некоторое множество объектов произвольной природы,а C — множество комплексных чисел. Множество L называют линейным пространством,если на нем определены две операции: 1) операция сложения любых двух элементовэтого множества и 2) операция умножения элементов этого множества на комплексноечисло, причем эти операции удовлетворяют некоторым естественным аксиомам. Болееточно:

Определение. Множество L называется линейнымпространством над полем комплексных чисел C, если

каждой паре элементов x, y из этого пространства поставлен в соответствие элемент z этого пространства, называемый суммой элементов x и y (обозначение: />); каждому элементу x из L и каждому комплексному числу поставлен в соответствие элемент из L, называемый произведением и x (и обозначаемый />или x); указанные операции удовлетворяют следующим аксиомам: />для любых />, />для любых />, существует «нулевой» элемент />, такой, что />для любого />, для каждого />существует «противоположный» ему элемент />, такой, что />, />для любого />, />для любого />и любых />, />для любого />и любых />, />для любого />и любых />.

Подчеркнем, что перечисленные аксиомы являются естественнымобобщением хорошо известных свойств сложения и умножения чисел, сложениявекторов и их умножения на число и т.д.

Иногда рассматривают линейное пространство не над полемкомплексных, а над полем действительных чисел R (т.е. вместо операции умноженияна комплексные числа рассматривается операция умножения на действительныечисла). Аксиомы линейного пространства при этом не меняются.

Приведем некоторые типичные примеры линейных пространств.

Пример 1. Линейное пространство векторов наплоскости (или в трехмерном пространстве) с обычными операциями сложениявекторов и умножения вектора на действительное число. Нулевым элементомявляется нулевой вектор.

Пример 2. Линейное пространство всевозможныхпоследовательностей комплексных чисел с операциями

/>.

Нулевой элемент — последовательность (0, 0, ..., 0, ...).

Пусть теперь /> — некоторые элементы линейногопространства L, а /> — произвольные комплексные (илидействительные) числа. Элемент пространства L, равный />, называется линейной комбинациейэлементов />.

Определение. Система (набор) элементов />пространства Lназывается линейно независимой, если линейная комбинация />равна нулевому элементупространства только в случае />.

Иными словами, система />называется линейно независимой,если из равенства />следует, что />.

Определение. Система элементов />пространства L называетсялинейно зависимой, если равенство />выполнено при некотором набореконстант />,хотя бы одна из которых отлична от нуля.

Таким образом, система называется линейно зависимой, еслиона не является линейно независимой.

Определение. Линейное пространство имеет размерностьn (или, коротко, n-мерно), если в нем найдется n линейно независимых элементов,но любые (n+1) элемент линейно зависимы. Линейное пространство называетсябесконечномерным, если в нем можно указать любое наперед заданное число линейнонезависимых элементов.

Определение. Система элементов линейногопространства называется базисом этого пространства, если любой элемент этогопространства можно единственным образом представить в виде линейной комбинацииэлементов данной системы.

Как мы убедились, в n-мерном пространстве любая линейнонезависимая система из n элементов образует базис.

Определение. Множество M называется метрическимпространством, если каждым двум элементам x, y этого множества поставлено всоответствие действительное число, обозначаемое />и называемое расстоянием междуэлементами x и y, причем выполнены следующие аксиомы:

/>для любых />, причем />в том и только в том случае, когда />; />для любых />; />для любых />.

Если x, y — два фиксированных элемента множества M, то />естьдействительное число, однако, полагая x и y равными всевозможным элементаммножества M, получим, что />является функцией двух переменныхx, y. Эта функция называется метрикой данного пространства.

Определение. Линейное пространство называетсянормированным, если каждому элементу x этого пространства поставлено всоответствие действительное число />(норма x ), причем выполненыследующие аксиомы:

/>для любого x, причем />тогда и только тогда, когда />; />для любого x и любого комплексного; />для любых x, y из данного пространства.

Для линейных пространств над полем действительных чиселтакже вводится понятие нормированного пространства с теми же аксиомами.

Неравенство, фигурирующее в третьей аксиоме, называется неравенствомМинковского.

Простейшими примерами нормированных пространств могутслужить множества действительных чисел R и комплексных чисел C, где в качественормы числа рассматривается его модуль, а также пространство векторов наплоскости (или в пространстве) с нормой, равной длине вектора.

В пространстве непрерывных функций на />(действительном иликомплексном) норму можно ввести, например, следующими способами:

/>, />.

Отметим теперь следующий важный факт. В любом линейномнормированном пространстве можно ввести метрику следующим образом:

При этом выполнение первой аксиомы метрического пространстваследует из первой аксиомы нормированного пространства. Выполнение второйаксиомы также очевидно:

/>.

Наконец, выполнение третьей аксиомы метрическогопространства следует из неравенства Минковского:

Итак, любое линейное нормированное пространство можносделать метрическим пространством указанным выше естественным способом (так,указанные нами нормы в пространстве непрерывных функций порождаютсоответственно равномерную и среднеквадратичную метрику, т.е. порождаютпространства />и />соответственно). Обратноеутверждение, вообще говоря, неверно: не в любом метрическом пространстве можноввести норму, поскольку понятие нормы вводится лишь в линейном пространстве, аметрическое пространство может не быть наделено линейной структурой. Однако,если метрическое пространство наделено линейной структурой (является линейнымпространством), то его всегда можно сделать нормированным, введя норму />

Пусть /> -- вещественное />-мерноепространство, в котором задан базис />.Тогда векторы />и />из />задаютсясвоими координатами:

Скалярное произведение векторов, обозначаеся оно обычно />,задается формулой

/>/>

(18.3)

В отличие от обычного трехмерного пространства, где спомощью транспортира и линейки можно измерить угол между векторами и длинувектора, в />-мерном пространстве ни угол между векторами, ни длину вектораизмерить невозможно (как можно, например, измерить длину многочлена или уголмежду многочленами?). Поэтому ортонормированным в />-мерном пространственазывается тот базис, в котором скалярное произведение вычисляется поформуле (18.3).

Если />,/> --координатные столбцы векторов />и />, тоскалярное произведение можно задать формулой

Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в совпаденииэтой формулы с формулой (18.3)

Определение 18.5 Вещественное линейноепространство, в котором задано скалярное произведение называется евклидовымпространством.

В трехмерном пространстве с помощью склярного произведенияопределялся угол между векторами. В евклидовом пространстве тоже можноопределить угол между векторами. Но угол в />-мерном пространстве неимеет существенного значения, кроме одного случая. В трехмерном проcтранстведва вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведениеравно нулю.

Определение 18.6 Два вектора евклидовапространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равнонулю.

Определение 18.7 Комплексное линейноепространство, в котором введено скалярное произведение, называется унитарнымпространством.

В унитарном пространстве модуль вектора и условиеортогональности вводятся с помощью скалярного произведения так же, как вевклидовом пространстве. В координатной записи

Гильбертово пространство, математическое понятие,обобщающее понятие евклидова пространства на бесконечномерный случай. Возниклона рубеже 19 и 20 вв. в виде естественного логического вывода из работ нем.математика Гильберта в результате обобщения фактов и методов,относящихся к разложениям функций в ортогональные ряды и к исследованиюинтегральных уравнений. Постепенно развиваясь, понятие «Г. п.» находило всеболее широкие приложения в различных разделах математики и теоретическойфизики; оно принадлежит к числу важнейших понятии математики.

Первоначально Г. п. понималось как пространствопоследовательностей со сходящимся рядом квадратов (т.н. пространство l2).Элементами (векторами) такого пространства являются бесконечные числовыепоследовательности

x = (x1, x2,..., xn,...)

такие, что ряд x21 + x22+… + х2n +… сходится. Сумму двух векторовх + y и вектор lx, где l — действительное число,определяют естественным образом:

x + y = (x1 + y1,...,xn + yn,...),

lx = (lx1, lx2,..., lxn,...)/

Для любых векторов х, yÎ l2 формула

(x, y) = x1y1+ x2y2 +… +xnyn + ...

определяет их скалярноепроизведение, а под длиной (нормой) вектора х понимается неотрицательноечисло

Скалярное произведение всегда конечно и удовлетворяетнеравенству |(х, у)| £ ||x|| ||y||. Последовательность векторов хnназывается сходящейся к вектору х, если ||хn—х|| ® 0при n ® ¥. Многие определения и факты теории конечномерныхевклидовых пространств переносятся и на Г. п. Например, формула

где 0 £ j £ p определяет уголj между векторами х и у. Два вектора х и уназываются ортогональными, если (х, у) = 0. Пространство l2полно: всякая фундаментальная последовательность Коши элементов этогопространства (т.е. последовательность хn, удовлетворяющаяусловию ||хп—хm||® 0 при n, m ® ¥)имеет предел. В отличие от евклидовых пространств, Г. п. l2бесконечномерно, т.е. в нём существуют бесконечные системы линейно независимыхвекторов; например, такую систему образуют единичные векторы

e1 = (1, 0, 0,...), e2 = (0,1, 0,...),...

При этом для любого вектора x из l2имеет место разложение

x = x1e1 + x2e2+... (1)

по системе {en}.

Операторы (общие понятия). Функционалы. Пусть X,Y — линейные пространства; отображение A: X ® Yназывается линейным, если для x, у Î X, l, m Î/>,

где x1,..., xn и (Ax)1,...,(Ax) n — координаты векторов x и Ax соответственно.При переходе к бесконечномерным линейным топологическим пространствам положениезначительно усложняется. Здесь прежде всего необходимо различать непрерывные иразрывные линейные операторы (для конечномерных пространств они всегда непрерывны).Так, действующий из пространства L2 (а, b) внего же оператор

(где K (t, s) — ограниченная функция —ядро А) — непрерывен, в то время как определённый на подпространстве C1(a,b) Ì L2(a, b) оператордифференцирования

является разрывным (вообще, характерной особенностьюразрывных операторов является то, что они не определены на всём пространстве).

Линейный функционал, обобщение понятия линейнойформы на линейные пространства. Линейным функционалом f налинейном нормированном пространстве Е называют числовую функцию f(x),определённую для всех х из Е и обладающую следующими свойствами:

1) f(x) линейна, т. е. f((x +(у)= (f(x)+ (f(y),

где х и у — любые элементы из Е,a и b — числа;

2) f(x) непрерывна.

Непрерывность f равносильна требованию, чтобы /> былоограничено в Е; выражение /> называют нормой f иобозначают />.

В пространстве С [a, b] функций a(t),непрерывных при a (t (b, с нормой /> Л. ф. являются,например, выражения:

/>,

f2[((t)] = ((t0),a (t0(b.

В гильбертовом пространстве Н Л. ф.суть скалярные произведения (l, х), где l — любой фиксированныйэлемент пространства Н; ими исчерпываются все Л. ф. этого пространства.

Во многих задачах можно из общих соображенийустановить, что та или иная величина является Л. ф. Например, к Л. ф. приводитрешение линейных дифференциальных уравнений с линейными краевыми условиями.Поэтому очень существенным является вопрос об общем аналитическом выражении Л.ф. в разных пространствах.

Совокупность всех Л. ф. данного пространства Епревращается в линейное нормированное пространство />, если определить естественнымобразом сложение Л. ф. и умножение их на числа. Пространство /> называютсопряжённым к />; это пространство играет большуюроль при изучении Е.

С понятием Л. ф. связано понятие слабой сходимости.Последовательность {xn} элементов линейного нормированного пространстваназывают слабо сходящейся к элементу х, если

Моделирование как метод научного познания. Понятия модели и моделирования.Элементы и этапы процесса моделирования. Виды моделирования. Особенностиматематического моделирования экономических объектов. Производственно-технологическийи социально-экономический уровни экономико-математического моделирования.Особенности экономических наблюдений и измерений. Случайность инеопределенность в экономико-математическом моделировании. Проверкаадекватности моделей.

Моделирование в научных исследованиях стало применятьсяеще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научныхзнаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру,астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большиеуспехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методумоделирования ХХ в. Однако методология моделирования долгое время развиваласьнезависимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единаятерминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования какуниверсального метода научного познания.

Термин «модель» широко используется в различныхсферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений.Рассмотрим только такие «модели», которые являются инструментамиполучения знаний.

Модель — это такой материальный или мысленно представляемыйобъект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, чтоего непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале

Под моделированием понимается процесс построения, изучения иприменения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция,аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает ипостроение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструированиенаучных гипотез.

Главная особенность моделирования в том, что это методопосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает каксвоеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой иобъектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использованияабстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этимобъектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же этоисследование требует много времени и средств.

Процесс моделирования включает три элемента:

· субъект (исследователь),

· объект исследования,

· модель, опосредствующую отношения познающего субъекта ипознаваемого объекта.

Пусть имеется или необходимо создать некоторый объектА. Мы конструируем (материально или мысленно) или находим в реальном миредругой объект В — модель объекта А. Этап построения модели предполагаетналичие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможностимодели обуславливаются тем, что модель отражает какие-либо существенные чертыобъекта-оригинала. Вопрос о необходимости и достаточной мере сходстваоригинала и модели требует конкретного анализа. Очевидно, модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом (тогда она перестает бытьоригиналом), так и в случае чрезмерного во всех существенных отношенияхотличия от оригинала.

Таким образом, изучение одних сторон моделируемого объектаосуществляется ценой отказа от отражения других сторон. Поэтому любая модельзамещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого следует, чтодля одного объекта может быть построено несколько «специализированных» моделей, концентрирующих внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект сразной степенью детализации.

На втором этапе процесса моделирования модель выступает каксамостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследованияявляется проведение «модельных» экспериментов, при которыхсознательно изменяются условия функционирования модели и систематизируютсяданные о ее «поведении». Конечным результатом этого этапа являетсямножество знаний о модели.

На третьем этапе осуществляется перенос знаний с модели наоригинал — формирование множества знаний об объекте. Этот процесс переноса знаний проводится по определенным правилам. Знания о модели должны быть скорректированы с учетом тех свойств объекта-оригинала, которые не нашлиотражения или были изменены при построении модели. Мы можем с достаточнымоснованием переносить какой-либо результат с модели на оригинал, если этотрезультат необходимо связан с признаками сходства оригинала и модели. Если же определенный результат модельного исследования связан с отличием модели от оригинала, то этот результат переносить неправомерно.

Четвертый этап — практическая проверка получаемых с помощью моделей знаний и их использование для построения обобщающей теорииобъекта, его преобразования или управления им.

Для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду,что моделирование — не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования «погружен» в более общий процесс познания. Этообстоятельство учитывается не только на этапе построения модели, но и назавершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания.

Моделирование — циклический процесс. Это означает, что за первымчетырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знанияоб исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенносовершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели,можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, такимобразом, заложены большие возможности саморазвития.

Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, можетбыть охарактеризовано кибернетическим понятием сложная система.

Наиболее распространено понимание системы как совокупностиэлементов, находящихся во взаимодействии и образующих некоторую целостность, единство. Важным качеством любой системы является эмерджентность — наличиетаких свойств, которые не присущи ни одному из элементов, входящих в систему. Поэтому при изучении систем недостаточно пользоваться методом их расчлененияна элементы с последующим изучением этих элементов в отдельности. Одна изтрудностей экономических исследований – в том, что почти не существуетэкономических объектов, которые можно было бы рассматривать как отдельные (внесистемные) элементы.

Сложность системы определяется количеством входящих в нее элементов,связями между этими элементами, а также взаимоотношениями между системой и средой. Экономика страны обладает всеми признаками очень сложной системы. Онаобъединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутреннихсвязей и связей с другими системами (природная среда, экономика других стран и т.д.). В народном хозяйстве взаимодействуют природные, технологические,социальные процессы, объективные и субъективные факторы.

Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснованиеневозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точказрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и любойсложности. И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес длямоделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзяполучить другими способами исследования.

Потенциальная возможность математического моделирования любыхэкономических объектов и процессов не означает, разумеется, ее успешнойосуществимости при данном уровне экономических и математических знаний,имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзяуказать абсолютные границы математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а такжеситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно.

Уже длительное время главным тормозом практическогоприменения математического моделирования в экономике является наполнениеразработанных моделей конкретной и качественной информацией. Точность иполнота первичной информации, реальные возможности ее сбора и обработки вомногом определяют выбор типов прикладных моделей. С другой стороны, исследования по моделированию экономики выдвигают новые требования к системеинформации.

В зависимости от моделируемых объектов и назначения моделейиспользуемая в них исходная информация имеет существенно различный характер и происхождение. Она может быть разделена на две категории: о прошломразвитии и современном состоянии объектов (экономические наблюдения и ихобработка) и о будущем развитии объектов, включающую данные об ожидаемых изменениях их внутренних параметров и внешних условий (прогнозы). Вторая категорияинформации является результатом самостоятельных исследований, которые такжемогут выполняться посредством моделирования.

Методы экономических наблюдений и использования результатовэтих наблюдений разрабатываются экономической статистикой. Поэтому стоит отметить только специфические проблемы экономических наблюдений, связанные с моделированием экономических процессов.

В экономике многие процессы являются массовыми; они характеризуются закономерностями, которые не обнаруживаются на основании лишьодного или нескольких наблюдений. Поэтому моделирование в экономике должноопираться на массовые наблюдения.

Другая проблема порождается динамичностью экономических процессов,изменчивостью их параметров и структурных отношений. Вследствие этогоэкономические процессы приходится постоянно держать под наблюдением, необходимо иметь устойчивый поток новых данных. Поскольку наблюдения заэкономическими процессами и обработка эмпирических данных обычно занимаютдовольно много времени, то при построении математических моделей экономикитребуется корректировать исходную информацию с учетом ее запаздывания.

Познание количественных отношений экономических процессов иявлений опирается на экономические измерения. Точность измерений в значительной степени предопределяет и точность конечных результатовколичественного анализа посредством моделирования. Поэтому необходимым условием эффектного использования математического моделирования являетсясовершенствование экономических измерителей. Применение математическогомоделирования заострило проблему измерений и количественных сопоставленийразличных аспектов и явлений социально-экономического развития, достоверности иполноты получаемых данных, их защиты от намеренных и технических искажений.

В процессе моделирования возникает взаимодействие «первичных» и «вторичных» экономических измерителей. Любаямодель народного хозяйства опирается на определенную систему экономическихизмерителей (продукции, ресурсов, элементов и т.д.). В то же время одним изважных результатов народнохозяйственного моделирования является получениеновых (вторичных) экономических измерителей — экономически обоснованных цен на продукцию различных отраслей, оценок эффективности разнокачественных природныхресурсов, измерителей общественной полезности продукции. Однако этиизмерители могут испытывать влияние недостаточно обоснованных первичныхизмерителей, что вынуждает разрабатывать особую методику корректировкипервичных измерителей для хозяйственных моделей.

С точки зрения «интересов» моделирования экономикив настоящее время наиболее актуальными проблемами совершенствования экономическихизмерителей являются: оценка результатов интеллектуальной деятельности(особенно в сфере научно-технических разработок, индустрии информатики), построение обобщающих показателей социально-экономического развития, измерениеэффектов обратных связей (влияние хозяйственных и социальных механизмов на эффективностьпроизводства).

Для методологии планирования экономики важное значение имеетпонятие неопределенности экономического развития. В исследованиях поэкономическому прогнозированию и планированию различают два типанеопределенности: «истинную», обусловленную свойствами экономическихпроцессов, и «информационную», связанную с неполнотой и неточностьюимеющейся информации об этих процессах. Истинную неопределенность нельзясмешивать с объективным существованием различных вариантов экономическогоразвития и возможностью сознательного выбора среди них эффективных вариантов.Речь идет о принципиальной невозможности точного выбора единственного(оптимального) варианта.

В развитии экономики неопределенность вызывается двумя основнымипричинами. Во-первых, ход планируемых и управляемых процессов, а такжевнешние воздействия на эти процессы не могут быть точно предсказуемы из-задействия случайных факторов и ограниченности человеческого познания в каждыймомент. Особенно характерно это для прогнозирования научно-технического прогресса, потребностей общества, экономического поведения. Во-вторых, общегосударственное планирование и управление не только не всеобъемлющи, но и невсесильны, а наличие множества самостоятельных экономических субъектов с особыми интересами не позволяет точно предвидеть результаты ихвзаимодействий. Неполнота и неточность информации об объективных процессах и экономическомповедении усиливают истинную неопределенность.

На первых этапах исследований по моделированию экономики применялисьв основном модели детерминистского типа. В этих моделях все параметрыпредполагаются точно известными. Однако детерминистские модели неправильнопонимать в механическом духе и отождествлять их с моделями, которые лишенывсех «степеней выбора» (возможностей выбора) и имеют единственноедопустимое решение. Классическим представителем жестко детерминистских моделейявляется оптимизационная модель народного хозяйства, применяемая дляопределения наилучшего варианта экономического развития среди множествадопустимых вариантов.

В результате накопления опыта использования жесткодетерминистских моделей были созданы реальные возможности успешного примененияболее совершенной методологии моделирования экономических процессов,учитывающих стохастику и неопределенность. Здесь можно выделить два основных направления исследований. Во-первых, усовершенствуется методика использования моделей жестко детерминистского типа: проведениемноговариантных расчетов и модельных экспериментов с вариацией конструкциимодели и ее исходных данных; изучение устойчивости и надежности получаемыхрешений, выделение зоны неопределенности; включение в модель резервов, применение приемов, повышающих приспособляемость экономических решений к вероятными непредвидимым ситуациям. Во-вторых, получают распространение модели, непосредственно отражающие стохастику и неопределенность экономических процессови использующие соответствующий математический аппарат: теорию вероятностей иматематическую статистику, теорию игр и статистических решений, теориюмассового обслуживания, стохастическое программирование, теорию случайныхпроцессов.

Сложность экономических процессов и явлений и другиеотмеченные выше особенности экономических систем затрудняют не толькопостроение математических моделей, но и проверку их адекватности,истинности получаемых результатов.

В естественных науках достаточным условием истинностирезультатов моделирования и любых других форм познания является совпадениерезультатов исследования с наблюдаемыми фактами. Категория«практика» совпадает здесь с категорией «действительность». В экономике и других общественных наукахпонимаемые таким образом принцип «практика — критерий истины» вбольшей степени применим к простым дескриптивным моделям, используемым дляпассивного описания и объяснения действительности (анализа прошлого развития,краткосрочного прогнозирования неуправляемых экономических процессов и т.п.).

Однако главная задача экономической науки конструктивна: разработканаучных методов планирования и управления экономикой. Поэтому распространенный тип математических моделей экономики — это модели управляемыхи регулируемых экономических процессов, используемые для преобразованияэкономической действительности. Такие модели называются нормативными. Еслиориентировать нормативные модели только на подтверждение действительности, тоони не смогут служить инструментом решения качественно новыхсоциально-экономических задач.

Специфика верификации нормативных моделей экономики состоитв том, что они, как правило, «конкурируют» с другими, уже нашедшимипрактическое применение методами планирования и управления. При этом далеко не всегда можно поставить чистый эксперимент по верификации модели, устранив влияниедругих управляющих воздействий на моделируемый объект.

Ситуация еще более усложняется, когда ставится вопрос о верификациимоделей долгосрочного прогнозирования и планирования (как дескриптивных, так инормативных). Ведь нельзя же 10-15 лет и более пассивно ожидать наступлениясобытий, чтобы проверить правильность предпосылок модели.

Несмотря на отмеченные усложняющие обстоятельства, соответствие модели фактам и тенденциям реальной экономической жизниостается важнейшим критерием, определяющим направления совершенствованиямоделей. Всесторонний анализ выявляемых расхождений между действительностью имоделью, сопоставление результатов по модели с результатами, полученнымииными методами, помогают выработать пути коррекции моделей.

Значительная роль в проверке моделей принадлежит логическомуанализу, в том числе средствами самого математического моделирования. Такиеформализованные приемы верификации моделей, как доказательство существованиярешения в модели, проверка истинности статистических гипотез о связях между параметрами и переменными модели, сопоставления размерности величин и т.д., позволяют сузить класс потенциально «правильных» моделей.

Внутрення непротиворечивость предпосылок модели проверяетсятакже путем сравнения друг с другом получаемых с ее помощью следствий, атакже со следствиями «конкурирующих» моделей.

Оценивая современное состояние проблемы адекватности математических моделей экономике, следует признать, что создание конструктивнойкомплексной методики верификации моделей, учитывающей как объективные особенности моделируемых объектов, так и особенности их познания, по-прежнемуявляется одной из наиболее актуальных задач экономико-математическихисследований.

Основы оптимального управления. Экономические процессы и их формализованноепредставление. Управление и управляющие воздействия. Общая постановка задачиоптимального управления.

Рассмотрим общую постановку задачи оптимизации экономическихсистем. Пусть имеется система, состояние которой может измениться в результатенекоторого количества управляющих воздействий. Задавая эти воздействия, можнополучить определенный процесс изменения состояния системы. При этом возникаютдве задачи: первая предполагает выбор таких воздействий на систему, чтобы происходящийпроцесс удовлетворял заданным условиям, такие процессы принято называтьдопустимыми), вторая задача — выбор из этого множества допустимых процессовнаилучшего (оптимального) процесса.

Чтобы решать оптимизационные задачи с помощью математическихметодов, нужно сформулировать на математическом языке рассматриваемые процессы,ограничения, накладываемые на состояние системы и управляющие воздействия, атак же записать математические модели, описывающие эти процессы.

Введем некоторые понятия и обозначения. Рассмотрим множествоМ с элементами v/>, где v — пары вида v=(x,у), />,/>,/> -некоторые заданные множества. Проекцией множества М на множество Хназовем подмножество Мx, обладающее тем свойством, что длякаждого /> существует такойэлемент />, что пара /> содержитсяв множестве М.

Введем понятие сечения Мx множества Мпри данном x. Сечением Мx будем называть множество всех y,при которых пара /> принадлежит множеству М.

Введем понятие функционала, являющегося одним из главных взадачах оптимального управления. Будем говорить, что на множестве Мзадан функционал F, если известно правило, которое каждому элементу />ставит всоответствие определенное действительное число F(v).

В общем виде задача оптимизации формулируется как задачаотыскания минимального (или максимального) значения функционала F(v)на множестве М.

Предположим, что требуется минимизировать функционал F(v)на множестве М. Если решение этой задачи существует (обозначим его через/>),то/> называетсяоптимальным элементом множества M, а величина /> -оптимальным значением функционала. Решения поставленной задачи F и /> будемзаписывать следующим образом:

/>.

Аналогично формулируется задача о нахождении максимальногозначения функционала.

Введем понятия точной нижней и верхней границы функционала.Точной нижней границей функционала />на множестве Мназовем такое число т, если:

1) /> для любого />;

2) существует последовательность />, на которой />.

Точная нижняя граница функционалаобозначается

/>.

Последовательность {vs} называетсяминимизирующей последовательностью.

Точно так же определяется точная верхняя граница nфункционала />:

Назовем функционал /> ограниченным снизу(сверху) на множестве М, если существует такое число A, что при всех /> /> (/>). Еслифункционал является ограниченным снизу (сверху), то решение задачи о нахожденииего точной нижней (верхней) границы существует, т. е. имеет место следующаятеорема (приведем без доказательства): Пусть на множестве М задан ограниченныйснизу функционал />. Тогда реализуется одна издвух возможностей:

1) Существуют элемент /> и число />, прикоторых /> и /> при всех />.

2) Существуют последовательность /> элементовмножества М и число />, удовлетворяющее условиям />, /> и/> привсех />.

Данная теорема имеет важное значение для понимания сущностизадачи оптимизации по двум причинам. Во-первых, она говорит о том, чтопостановка задачи об отыскании наименьшего (наибольшего) значения ограниченногоснизу (сверху) функционала имеет смысл. Во-вторых, она объясняет природурешения такой задачи. А именно: решением будет либо определенный элемент /> множестваМ, минимизирующий (максимизирующий) функционал />, либо последовательность /> элементовмножества М, являющаяся минимизирующей (максимизирующей) последовательностью.В первом случае можно говорить о точном решении задачи, а во втором — оприближенном.

Задачи оптимизации управляемых процессов (оптимальногоуправления) являются частными по отношению к сформулированной выше общей задачеоптимизации. Рассмотрим постанову задач оптимального управления.

Введем некоторые понятия.

Важнейшими из них являются понятия состояния системы иуправления. Будем рассматривать системы, состояние которых может быть в любоймомент времени определено вектором х n-мерного пространства скоординатами />/>. Пространство Хбудем называть пространством состояний системы.

Так как система изменяется во времени, то ее поведение можноописать последовательностью состояний. Такую последовательность системы /> называютее траекторией.

Переменная t (называется аргументом процесса) можетбыть некоторым отрезком числовой прямой (/>) или отрезком натуральногоряда (/>).В первом случае процесс, происходящий в системе, называется непрерывным, вовтором случае — многошаговым, а системы — соответственно непрерывными идискретными.

Изменение состояния системы, т. е. процесс в ней, можетпроисходить в результате управляющих воздействий. Будем рассматривать системы,управляющие воздействия в которых моделируются с помощью элементов r-мерногопространства U:

/>, />.

/>Управляющие воздействиямогут задаваться в виде функций от t, т.е. />.

На допустимые состояния системы /> и управления/> могутбыть наложены ограничения. Рассмотрим множество троек /> -совокупность /> - мерных векторов впространстве />. Тогда ограничения насостояние системы и управление в самом общем случае могут быть записаны в виде

/>,

где /> - некоторая область(подмножество) рассматриваемого /> - мерногопространства. Ограничения на величины />, /> в каждыйфиксированный момент времени t могут быть заданы и в виде

/>,

где Vt - сечение множества Vпри заданном значении t.

Пару функций /> назовем процессом.Между функциями /> имеется связь: кактолько задано управление /> системой,последовательность ее состояний (траектория системы) /> определяетсяоднозначно. Связь между /> и /> моделируетсяпо-разному в зависимости от того, является система непрерывной или дискретной.

Для непрерывных систем модели процессов задаются системойдифференциальных уравнений вида

/> />,

или в векторной форме

/>. (4.2.1)

Пусть задано состояние, в котором система находилась вначальный момент />. Для простоты этотмомент примем равным нулю, а момент окончания процесса /> — равным Т.Тогда аргумент процесса t изменяется в пределах />, а начальнымсостоянием системы будет вектор

/>, (4.2.2)

где /> - начальное значение i-йкоординаты вектора состояния системы.

Проанализируем, каким образом модель отражает связь междууправлениями и состоянием системы, изменяющимся под их воздействием. Пусть напромежутке /> задано управление />.Подставляя его в правую часть системы (4.2.3), получим

/> (4.2.3)

Имеем систему дифференциальных уравнений относительно неизвестнойфункции />. Решая ее с учетомначальных условий (4.2.2), получим />. Это решение и естьтраектория, отвечающая заданному управлению />.

Модель дискретной управляемой системы имеет вид системырекуррентных уравнений:

/>, />.

В векторной форме эту модель можно записать в виде

/> , /> (4.2.4)

Здесь t принимает значение />. Начальное значение/> будемсчитать известным.

В дискретной системе, как и в непрерывной, заданиеуправляющих воздействий /> при /> позволяетоднозначно определить отвечающую им траекторию системы. При подстановкезначения u(t) в правую часть (4.2.4) получаем систему уравнений, котораяпозволяет при известном значении состояния /> в момент времени tопределить состояние /> в следующий моментвремени. Так как в начальный момент /> состояние /> известно,то, подставив его в правую часть (4.2.4), получим

/>.

Подставляя затем найденное значение /> и /> в(4.2.4), так же найдем значение />. Продолжая этот процесс,через Т шагов получим последнее искомое значение />.

Таким образом, и в дискретном случае уравнения модели(4.2.4) позволяют однозначно определить траекторию системы />, если заданоуправление />.

Следовательно, процесс /> должен удовлетворятьследующим ограничениям:

1) />при всех />;

2) Пара />удовлетворяет системеуравнений процесса:

а) системе (4.2.1) в непрерывном случае при />;

б) системе (4.2.4) в дискретном случае при />;

3) Заданы начальные условия (4.2.2);

4) В непрерывном случае на функции />, /> накладываютсянекоторые дополнительные ограничения, связанные с применимостью употребляемыхздесь математических записей. Функцию /> будем считатькусочно-непрерывной, а вектор-функцию /> - непрерывной икусочно-дифференцируемой.

Процессы />, удовлетворяющие условиям1) – 4), будем называть допустимыми. Таким образом, допустимый процесс — этоуправляющие воздействия /> и соответствующая имтраектория системы />, удовлетворяющиеперечисленным ограничениям.

Для постановки оптимизационной задачи необходимо ввести врассмотрение функционал F, заданный на множестве М. Задачаоптимального управления будет состоять в выборе элемента /> множества M,на котором функционал F достигает минимального значения. Такойпроцесс называют оптимальным процессом, управление /> -оптимальным управлением, а траекторию /> оптимальнойтраекторией.

Функционал F, заданный на множестве допустимыхпроцессов, описывает цель, согласно которой оптимизируется процесс.

В задачах оптимального управления для непрерывных систембудем рассматривать функционалы следующего вида:

/>, (4.2.5)

где />; /> - заданныефункции. Выражение (4.2.5) позволяет вычислить для каждого допустимого процесса/> определенноезначение и тем самым задать функционал на множестве допустимых процессов. Дляэтого необходимо подставить x(t),/> вместо аргументовфункции />, которая становитсяфункцией времени, после чего вычислить ее интеграл. Затем к значению интегралаприбавляем значение функции /> при />.

Функционал /> состоит из двухчастей: /> и />. Первое из этихслагаемых оценивает качество процесса на /> на всем промежутке />, второеслагаемое — качество конечного состояния системы. Иногда в задачахоптимального управления конечное состояние системы /> задается. Вэтом случае второе слагаемое функционала (4.2.5) есть величина постоянная и,следовательно, не влияет на его минимизацию. Такие задачи называются задачами сфиксированным правым концом траектории.

Для задач оптимизации в дискретных системах функционал имеетвид

/>. (4.2.6)

К функционалу (4.2.6) относятся все замечания и комментарии,сделанные к функционалу (4.2.5).

Таким образом задача оптимизации управляемых процессовсводится к постановке задачи о минимуме функционала (4.2.5) в непрерывном и(4.2.6) в дискретном случае на множестве М допустимых процессов />,удовлетворяющих ограничениям 1)-4).

Эта задача может решаться в двух вариантах:

1. Определить оптимальный процесс />, чтобы

/>;

2. Определить минимизирующую последовательность />, чтобы

/>.

В теории оптимального управления термины «состояние» и«управление» имеют содержательный смысл. Он заключается в том, что, задаваяуправление />, мы задаем и траекториюпроцесса />, а изменяя управляющиевоздействия /> - «управляем»процессом.

Из условия />можно выделить ограниченияна состояние и управление:

/> , />, (4.2.7)

где /> - проекция множества /> напространство X; /> — сечениемножества />при данном />

В задачах оптимального управления область /> возможныхсостояний часто является постоянной или совпадает со всем пространством, аобласть /> возможных управленийне зависит от x. Эти предположения выполняются в большом числепрактических случаев, что упрощает решение задачи.

Выше предполагалось, что промежуток времени /> фиксирован,т. е. задан момент Т окончания процесса. Однако возможны постановкизадач, где этот момент не задан, а определяется решением задачи. Это относится,в частности, к так называемым задачам о быстродействии, когда требуетсяперевести систему (4.2.4) из заданного начального состояния х(0)=х0в заданное конечное состояние />, минимизируя при этом время/> протеканияпроцесса.

Классификация экономико-математических моделей. Примеры.

Математические модели экономических процессов и явлений болеекратко можно назвать экономико-математическими моделями. Для классификации этихмоделей используются разные основания.

По целевому назначению экономико-математические модели делятсяна теоретико-аналитические, используемые в исследованиях общих свойств изакономерностей экономических процессов, и прикладные, применяемые в решенииконкретных экономических задач (модели экономического анализа, прогнозирования, управления).

Экономико-математические модели могут предназначаться дляисследования разных сторон народного хозяйства (в частности, егопроизводственно-технологической, социальной, территориальной структур) и егоотдельных частей. При классификации моделей по исследуемым экономическим процессам и содержательной проблематике можно выделить модели народногохозяйства в целом и его подсистем — отраслей, регионов и т.д., комплексымоделей производства, потребления, формирования и распределения доходов,трудовых ресурсов, ценообразования, финансовых связей и т.д.

Остановимся более подробно на характеристике таких классовэкономико-математических моделей, с которыми связаны наибольшие особенностиметодологии и техники моделирования.

В соответствии с общей классификацией математическихмоделей они подразделяются на функциональные и структурные, а такжевключают промежуточные формы (структурно-функциональные). В исследованиях нанароднохозяйственном уровне чаще применяются структурные модели, поскольку дляпланирования и управления большое значение имеют взаимосвязи подсистем. Типичными структурными моделями являются модели межотраслевых связей.Функциональные модели широко применяются в экономическом регулировании, когда на поведение объекта («выход») воздействуют путем изменения«входа». Примером может служить модель поведения потребителей вусловиях товарно-денежных отношений. Один и тот же объект может описыватьсяодновременно и структурой, и функциональной моделью. Так, например, дляпланирования отдельной отраслевой системы используется структурная модель, ана народнохозяйственном уровне каждая отрасль может быть представленафункциональной моделью.

Выше уже показывались различия между моделями дескриптивнымии нормативными. Дескриптивные модели отвечают на вопрос: как это происходит? или как это вероятнее всего может дальше развиваться?, т.е. они толькообъясняют наблюдаемые факты или дают вероятный прогноз. Нормативные моделиотвечают на вопрос: как это должно быть?, т.е. предполагают целенаправленнуюдеятельность. Типичным примером нормативных моделей являются моделиоптимального планирования, формализующие тем или иным способом целиэкономического развития, возможности и средства их достижения.

Применение дескриптивного подхода в моделировании экономикиобъясняется необходимостью эмпирического выявления различных зависимостей вэкономике, установления статистических закономерностей экономического поведения социальных групп, изучения вероятных путей развития каких-либопроцессов при неизменяющихся условиях или протекающих без внешних воздействий. Примерамидескриптивных моделей являются производственные функции и функциипокупательского спроса, построенные на основе обработки статистических данных.

Является ли экономико-математическая модель дескриптивной илинормативной, зависит не только от ее математической структуры, но от характераиспользования этой модели. Например, модель межотраслевого баланса дескриптивна,если она используется для анализа пропорций прошлого периода. Но эта жематематическая модель становится нормативной, когда она применяется длярасчетов сбалансированных вариантов развития народного хозяйства,удовлетворяющих конечные потребности общества при плановых нормативахпроизводственных затрат.

Многие экономико-математические модели сочетают признаки дескриптивныхи нормативных моделей. Типична ситуация, когда нормативная модель сложнойструктуры объединяет отдельные блоки, которые являются частными дескриптивнымимоделями. Например, межотраслевая модель может включать функции покупательского спроса, описывающие поведение потребителей при изменении доходов.Подобные примеры характеризуют тенденцию эффективного сочетания дескриптивногои нормативного подходов к моделированию экономических процессов. Дескриптивныйподход широко применяется в имитационном моделировании.

По характеру отражения причинно-следственных связей различают модели жестко детерминистские и модели, учитывающие случайность инеопределенность. Необходимо различать неопределенность, описываемуювероятностными законами, и неопределенность, для описания которой законытеории вероятностей неприменимы. Второй тип неопределенности гораздо болеесложен для моделирования.

По способам отражения фактора времени экономико-математическиемодели делятся на статические и динамические. В статических моделях всезависимости относятся к одному моменту или периоду времени. Динамическиемодели характеризуют изменения экономических процессов во времени. Подлительности рассматриваемого периода времени различаются моделикраткосрочного (до года), среднесрочного (до 5 лет), долгосрочного (10-15 иболее лет) прогнозирования и планирования. Само время в экономико-математических моделях может изменяться либо непрерывно, либодискретно.

Модели экономических процессов чрезвычайно разнообразны поформе математических зависимостей. Особенно важно выделить класс линейныхмоделей, наиболее удобных для анализа и вычислений и получивших вследствиеэтого большое распространение. Различия между линейными и нелинейнымимоделями существенны не только с математической точки зрения, но и втеоретико-экономическом отношении, поскольку многие зависимости в экономике носятпринципиально нелинейный характер: эффективность использования ресурсов приувеличении производства, изменение спроса и потребления населения приувеличении производства, изменение спроса и потребления населения при ростедоходов и т.п. Теория «линейной экономики» существенно отличается от теории «нелинейной экономики». От того, предполагаются ли множествапроизводственных возможностей подсистем (отраслей, предприятий) выпуклыми илиже невыпуклыми, существенно зависят выводы о возможности сочетанияцентрализованного планирования и хозяйственной самостоятельности экономическихподсистем.

По соотношению экзогенных и эндогенных переменных, включаемых в модель, они могут разделяться на открытые и закрытые. Полностьюоткрытых моделей не существует; модель должна содержать хотя бы однуэндогенную переменную. Полностью закрытые экономико-математические модели,т.е. не включающие экзогенных переменных, исключительно редки; их построениетребует полного абстрагирования от «среды», т.е. серьезногоогрубления реальных экономических систем, всегда имеющих внешние связи.Подавляющее большинство экономико-математических моделей занимает промежуточноеположение и различаются по степени открытости (закрытости).

Для моделей народнохозяйственного уровня важно деление на агрегированныеи детализированные.

В зависимости от того, включают ли народнохозяйственные моделипространственные факторы и условия или не включают, различают моделипространственные и точечные.

Таким образом, общая классификация экономико-математическихмоделей включает более десяти основных признаков. С развитиемэкономико-математических исследований проблема классификации применяемыхмоделей усложняется. Наряду с появлением новых типов моделей (особенносмешанных типов) и новых признаков их классификации осуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более сложные модельные конструкции.

В виде примеров можно привести простейшие модели –транспортная задача, задача распределения ресурсов, и прочее.

Дескриптивные модели представляют собой в основномстатистические модели (кривые роста, регрессионные линии), предназначенные дляисследования объектов путем установления количественных соотношений между иххарактеристиками или параметрами.

Примеры:

1. Требуется определить зависимость потребления бытовыхуслуг от уровня дохода населения, обеспеченности бытовыми предметами на душунаселения и других факторов потребления. Для этого составляют регрессионноеуравнение

где Y – потребление бытовыхуслуг на душу населения; /> - факторы потребления;/> -коэффициенты уравнения. Если известны коэффициенты, то зависимость потреблениябытовых услуг от принятых факторов считается определенной. Она отражаетреальную ситуацию только в среднем, или в статистическом смысле.

2. Требуется определить количество заместителей директорадля типовых структур управления предприятием. В этом случае проводятстатистическое исследование численности указанной категории работников насуществующих предприятиях и выводят степенное уравнение. При определеннойспециализации количество заместителей директора определяют по формуле

/>,

где /> - численностьпромышленного персонала; /> - основные и оборотныефонды.

Модели без управления применяются для изучения фактическисуществующих процессов, без вмешательства в их течение. К моделям без управленияпринадлежат модели экономики страны, расширенного воспроизводства,прогнозирования рождаемости, численности населения и т.д. Как правило, они даютобщее представление об объекте. Процессы в моделируемом объекте отображаются вагрегированном виде и максимально обобщены. Поэтому модели без управления недают полного представления об объекте моделирования и пригодны для изучениятолько самых общих изменений и тенденций. Модели без управления позволяютизучать явления в целом, комплексно и устанавливают общие фундаментальныесвойства объектов и процессов.

Оптимизационные модели. Их появление и применениевызвано необходимостью решения практических задач экономики и техники.Особенностью оптимизационных моделей является целенаправленность решения иявная оценка эффективности (качества) различных вариантов решения. В отличие отмоделей без управления оптимизационные модели предполагают выявление целиуправления и построение целевой функции.

Суть получения оптимального решения на модели заключается ввыборе из множества возможных решений одного, обеспечивающего максимальнуюэффективность.

Задача об оптимальной перевозке грузов (транспортнаязадача). Пусть осуществляется производство некоторого товара в пунктах />. Объемпроизводства товара в каждом пункте равен соответственно />. Товар необходимодоставить в магазины или потребителям, находящимся в других населенных пунктах:/>.Известна потребность каждого потребителя в товаре: />. Задана такжестоимость /> транспортировки товараиз каждого пункта производства /> каждому потребителю />.Требуется составить план завоза товара в магазины, обеспечивающийудовлетворение их спроса при минимальных транспортных издержках.

Транспортная задача

Пусть необходимо перевезти некоторые партии товара из трехскладов четырем покупателям, при этом известен объем товара на каждом складе итребуемое количество для каждого покупателя, также в таблице указаны стоимостиперевозки от каждого склада к каждому покупателю. Найти оптимальный по ценеплан перевозок.

14 28 21 28 27 10 17 15 24 20 14 30 25 21 43 33 13 27 17

Построение оптимального плана, методом северо-западного угла

28 21 28 27

24 20 14 30

43 33 13 27 17

Расчет потенциалов

/> если />.

u v

7 5 1 -14

-10

20 +

-20

43 33 13 27 17

Полученную разность потенциалов можно трактовать какувеличение цены продукта при перевозке из пункта iв пункт j. По критерию оптимальности, еслипотенциалы в нулевых клетках меньше цен на перевозку, то план оптимален. Иначеплан может быть улучшен.

За основу преобразования обычно берется клетка смаксимальной разностью.

u v

13 11 7

-14

27 -4

20 +

-14

43 33 13 27 17

Данный план тоже не оптимален: клетка (1,3)

u v

9 7 7

-14

27 -8

20 +

-14

43 33 13 27 17

По данному плану вычисляется оптимальное (наименьшее)значение суммарных значений на перевозку:

F=14*7+21*20+17*13+15*7+14*26+21*17=1565

Задача о пользе услуг. Построим оптимизационнуюмодель, у которой некоторые переменные могут принимать только целые значения.Она называется целочисленной задачей линейного программирования. Допустим,перед человеком стоит вопрос, какими видами бытовых услуг — /> -ему следует воспользоваться, чтобы максимально облегчить свой быт (сэкономитьвремя). Предполагается, что сумма денег, которой он располагает равна d. Можно составить такой список:

Класс оптимизационных моделей очень широк. Приведенные вышезадачи относятся к линейному программированию. Существуют также моделидинамического программирования, в которых требуется отыскать не одно, анесколько решений, например, решения принимаемые в различные моменты времени;экстремальные модели, позволяющие найти экстремальное значение одного илинескольких параметров объекта; гомеостатические модели, предназначенные для удержанияпараметров объекта в определенных пределах при наличии каких-либо возмущающихвоздействий, и т.д.

Игровые модели. В некоторых ситуациях оптимизационныемодели не могут быть применены непосредственно. В основном в тех ситуациях,когда система содержит подсистемы с разными и отчасти противоречивыми целями.Например, при описании целенаправленной деятельности коллективов людей,принятии политических и экономических решений в условиях неопределенностинеобходимо анализировать интересы и цели объектов, вступающих в контакт.

Случаи, когда для объекта моделирования характерно наличиепротиводействующих сил или неопределенности параметров, свойств или поведения,рассматриваются теорией игр. Это теория математических моделей принятияоптимальных решений в условиях конфликта или неопределенности. Под конфликтомследует понимать любое разногласие, возникающее вследствие несовпаденияинтересов.

Большое значение имеет понятие неопределенности. Рассмотримна примерах. При моделировании спроса на какой-либо товар могут быть известнытолько либо верхний и нижний пределы колебания спроса, либо статистическоераспределение возможных значений спроса. Тогда в первом случае имеет местостатистическая неопределенность, когда неизвестен даже закон распределениясобытий (значений спроса), а во втором – статистическая неопределенность,соответствующая случаю, при котором нельзя точно назвать значение спроса, хотязакон распределения известен. Неопределенности такого рода могут возникнуть врезультате действий конкурента, удовлетворяющих какую-то часть спроса, иливследствие «игры природы» (изменения климатических, социальных и другихусловий). В любой игре имеются следующие элементы: множество всех игроков />, где i – произвольный игрок. Всякий игрок имеет в своемраспоряжении множество стратегий поведения, или возможных действий, />.

Процесс игры заключается в выборе каждым игроком однойопределенной стратегии />, обеспечивающей игроку,например, максимальный выигрыш />. Здесь функция /> называетсяфункцией выигрыша игрока. Таким образом, налицо множество стратегийигроков называемое ситуацией, в которой каждый игрок или их группа(коалиция) имеет какой-либо выигрыш (проигрыш).

Игры бывают бескоалиционными, когда целью каждогоучастника является получение максимального индивидуального выигрыша, и коалиционные,связанные с обеспечением максимального выигрыша для всей коалиции игроков. Есливыигрыш одного игрока равен проигрышу другого при любой стратегии, то играназывается антагонистической. Если число стратегий одного игрокаконечно, то такая игра носит название матричной.

Основные принципы определения оптимального поведения игроковсводятся к принципам устойчивости, которые состоят в том, чтобыотклонение от выбранной оптимальной стратегии уменьшает выигрыш игрока.Например, для бескоалиционной игры наилучшая стратегия поведения соответствует принципуравновесия, при котором ни одному игроку не выгодно менять стратегию, еслиу остальных игроков остаются неизменными.

Имитационные системы. Применение оптимизационных иигровых моделей в практических задачах встречает затруднение, когда заходитречь о моделировании «больших систем». К ним относятся социально-экономическиесистемы, характеризуемые большим числом параметров, сложным переплетениеминтересов, неопределенной структурой и многочисленными целями. Объекты такоготипа плохо поддаются формализации и математическому описанию на основе аппаратаоптимизационных и игровых моделей. Сложность построения моделей «большихсистем» заключается прежде всего в трудности постановки или формулированиязадачи моделирования, которая требует комплексного системного описания наиболееважных сторон объекта.

Имитационное моделирование представляет собой систему,состоящую из совокупностей следующих элементов:

· имитационных моделей, отображающих определенные черты,свойства или части «большой системы» и позволяющих отвечать на вопрос: чтобудет при данных условиях и принятом решении (прямя задача моделирования)?

· экспертов и экспертных процедур, необходимых для анализа иоценки различных решений, исключения заведомо слабых решений, построения«сценариев» развития событий, выработки целей и критериев;

· «языков ЭВМ», на основе которых осуществляетсядвусторонний контакт экспертов с ЭВМ. Эксперт задает исходные данные, меняетструктуру моделей, формулирует вопросы ЭВМ при помощи специальных языковмоделирования.

Имитационные модели представляют собой программы длякомпьютера, описывающие поведение компонентов системы и взаимодействие междуними. Расчеты при различных исходных данных позволяют имитировать динамическиепроцессы, происходящие в реальной систем.

Математический аппарат, используемый для построения имитационныхмоделей, может быть самым разнообразным, например, теория массовогообслуживания, теория агрегативных систем, теория автоматов, теориядифференциальных уравнений и т.д. Имитационные модели обычно требуютстатистической обработки результатов моделирования, поэтому в основу всякойимитации входят методы теории вероятностей и математической статистики.

Экспертные процедуры используют коллективный опыт людей ипредназначены для усреднения мнений и получения объективной оценки какого-либособытия или явления. Например, для определения пропорций развития отраслевыхгрупп обслуживания экспертам раздают анкеты определенного образца и прелагаютознакомиться со «сценарием» развития сферы обслуживания населения. «Сценарий»представляет собой прогноз определенного рода состояния развития общественныхпотребностей на длительную перспективу, включая численность населения, егодоходы и расходы по статьям затрат, жилищные условия, внедрение в практикуновой техники и технологий, совершенствование видов и форм обслуживания и т.п.

После ознакомления со «сценарием» эксперты выражают своемнение в виде баллов. Затем анкеты собирают, и результаты экспертного анализаусредняют по каждой отраслевой группе и нормируют, т.е. баллы по каждойотраслевой группе делят на их общую сумму. Полученные нормированные баллыотражают желаемые пропорции развития отраслевых групп обслуживания. Можноосуществить учет компетентности эксперта, проставив ему соответствующий «вес»,аналогичный баллам.

При оценке качества функционирования какой-либо имитационноймодели эксперты определяют, какие параметры модели главные, а какие –второстепенные; устанавливают желаемые пределы изменения параметров;осуществляют выбор лучшего варианта модели. В задачи эксперта входит такжеизменение условий моделирования в тех случаях, когда после проведения модельныхэкспериментов выявляются новые неучтенные факторы.

Эконометрика. Основные понятия эконометрического моделирования

Под статистическими данными понимают систематизированные игруппированные однородные, количественные сведения о реальной экономическойдеятельности за прошлые периоды времени или результаты многократно проводимыхэкспериментов и наблюдений. Такие данные играют важную роль вэкономико-математическом моделировании, в частности, для

· построения аналитического вида функций, описывающих взаимосвязимежду экономическими величинами;

· оценки параметров и проверки адекватностиэкономико-математических моделей реальным явлениям;

· выявления закономерностей, которым подчиняются экономическиеявления, и тенденций развития динамических процессов.

На стыке экономической практики и математической статистикив начале 30-х годов зародилась новая самостоятельная дисциплина, получившаяназвание «Эконометрика».

Эконометрика — это наука, которая изучает статистическиезакономерности в экономике.

Методологическая особенность эконометрики заключается вприменении достаточно общих гипотез о статистических свойствах экономическихпараметров и ошибок при их измерении. Полученные при этом результаты могутоказаться нетождественными тому содержанию, которое вкладывается в реальныйобъект. Поэтому важная задача эконометрики — создание как более универсальных,так и специальных методов для обнаружения наиболее устойчивых характеристик вповедении реальных экономических показателей. Эконометрика разрабатывает методыподгонки формальной модели с целью наилучшего имитирования ею поведениямоделируемого объекта на основе гипотезы о том, что отклонения модельныхзначений параметров от их реально наблюдаемых случайны и вероятностныехарактеристики их известны.

Математическая статистика является тем универсальнымаппаратом, который удачно вписывается в содержание различных эконометрическихисследований. Такие ее разделы, как корреляционный и регрессионный анализы,метод наименьших квадратов и прогнозирование, как нельзя лучше подходят длявыявления статистических закономерностей в экономике.

Корреляционный анализ позволяет количественно оценить связимежду большим числом взаимодействующих экономических явлений как между случайнымивеличинами. Его применение делает возможным проверку различных экономическихгипотез о наличии и силе связи между двумя величинами или группой величин.Корреляционный анализ тесно связан с регрессионным анализом, задача которогосостоит в экспериментальном определении параметров корреляционных зависимостей(см. §2.5 ) между экономическими показателями путем наблюдения за характером ихизменения. Одним из основных методов регрессионного анализа является методнаименьших квадратов, краткое содержание которого было изложено в §2.5. Модели,полученные с помощью регрессионного анализа, позволяют прогнозировать вариантыразвития экономических процессов и явлений, изучить тенденции измененияэкономических показателей, т.е. служат инструментом научно-обоснованныхпредсказаний. Результаты прогноза являются исходным материалом для постановкиреальных экономических целей и задач, для выявления и принятия наилучшихуправленческих решений, для разработки хозяйственной и финансовой стратегий вбудущем.

Как составная часть математической экономики, эконометрикавполне естественно вписывается в общий алгоритм экономико-математическихисследований. Эконометрические исследования начинаются после того, как

· определен общий вид математической модели с неизвестнымипараметрами;

· собраны все необходимые статистические данные, имеющие отношениек оцениваемым параметрам;

· поставлена задача отыскания значений неизвестных параметров,обеспечивающих наилучшее приближение модельных значений к их значениям,наблюдавшимся в действительности.

Эконометрика как раз и занимается методами получения лучшихоценок параметров эконометрических моделей, конструируемых в прикладных целях.

Эконометрические модели по сравнению с аналитическими болееточны и подробны, не требуют грубых допущений и упрощений, позволяют учестьбольшое число факторов. Основные их недостатки — громоздкость, плохаяобозримость, большой расход машинного времени при их построении и анализе икрайняя трудность поиска оптимальных решений, которые приходится искать«на ощупь», путем догадок и проб (в отличие от более приспособленныхк оптимизационным задачам аналитических моделей). Наиболее эффективная методикаэкономико-математических исследований — это совместное применение аналитическихи эконометрических моделей. Аналитическая модель дает возможность в общихчертах разобраться в явлении, наметить как бы контуры основных закономерностей.Уточнение же этих закономерностей — прерогатива эконометрических моделей. Сэтой точки зрения важная задача эконометрики — проверка теоретико-экономическихположений и выводов на фактическом (эмпирическом) материале при помощи методовматематической статистики.

В общем случае эконометрическая модель может содержатьнесколько уравнений, а в каждом уравнении — несколько переменных. Задача оцениванияпараметров такой разветвленной модели решается с помощью сложных и причудливыхметодов. Однако все они имеют одну и ту же теоретическую основу. Поэтому дляполучения начального представления о содержании эконометрических методов мыограничимся в последующих параграфах рассмотрением простой линейной регрессии.Термин «регрессия» используется для описания природы связи междупеременными, а термин «корреляция» — для измерения тесноты связи.

По мере возрастания сложности после статистического анализа,который касается поведения отдельных переменных, идет линейная регрессия сдвумя переменными (парная регрессия). Простая линейная регрессия связана с тем,что называется двумерным распределением случайных величин, т.е. распределениемдвух переменных. Понятно, что использование двух переменных дает большуюинформацию, нежели одной. Например, доход от продажи товара можноанализировать, используя только данные о доходе на прошлых периодах времени внесвязи с другими факторами (статистический анализ). Но мы получим гораздо болеебогатую информацию, если примем во внимание другие факторы, которые влияют наобъем продаж: спрос, цена товара, цена товара-конкурента, период времени,затраты на рекламу и др. Если при этом расходы на рекламу явились бы главнымфактором, определяющим объем продаж, то знание вида связи объема продаж ирасходов на рекламу было бы весьма полезным для планирования финансовойполитики компании. Точно так же нас могут интересовать двумерные распределенияобъема продаж и цены товара, дохода от продаж и уровня спроса и т.д. Другимипримерами линейной регрессии с двумя переменными могли бы быть соотношениямежду издержками производства и квалификацией рабочих, между качествомпродукции и продолжительностью рабочего дня, между весом и возрастом кур и т.д.

Линейную регрессию, как математическую модель, можноиспользовать для того, чтобы делать какие-то прогнозы или предсказания.Например, любая курица, реальный вес которой значительно отличается отпрогнозируемого среднего веса, может быть подвергнута обследованию. Врезультате последующего анализа могут быть выявлены причины отклонения веса иприняты меры по улучшению рациона питания или изменению режима обслуживания иусловий содержания.

Основным недостатком, присущим линейным эконометрическиммоделям с двумя переменными, является их неадекватность к реальнойдействительности. Это вызвано, во-первых, тем, что статистическая (и, вчастности, корреляционная) зависимость между экономическими величинамипрактически никогда не бывает в чистом виде линейной; во-вторых, многиефакторы, влияющие на эти две переменные, остаются за пределами модели, т.е.оказываются неучтенными.

Основы системного анализа. Формулировка проблемы. Определение целей.Формирование критериев. Генерирование альтернатив. Выбор. Интерпретации ианализ ожидаемых результатов.

Системный анализ – методология исследования сложных объектовкак систем. Эта методология есть эффективным способом решения сложных, несовсем четко сформулированных проблем. В задачах системного анализа любойобъект рассматривается не как единое целое, а как система взаимосвязанныхчастей (объектов), их взаимосвязей и характеристик. Системный анализ можносвести к уточнению сложной проблемы, её структурированности относительносовокупности задач, которые решаются путем детализации целей, построениеметодов достижения этих целей с помощью экономико-математических и другихметодов..

Системный анализ, зародившись в недрах общественных ибиологических наук, перешел к «освоению» технических наук. Однакосистемы общественные и социальные, биологические и экологические, техническиесистемы, информационные системы и системы научных знаний — это все же системы ссовершенно различными характеристиками и даже с различной терминологией.Вследствие этого формулировки основных положений системного анализаприменительно к конкретным классам систем иногда воспринимаются как слишкомобщие и даже иносказательные; с другой стороны, слишком специальнаятерминология конкретизирует, но одновременно и сильно сужает область применениявыработанных формулировок. По-видимому, все же единственно разумным путемпредставляется «перевод» основных положений системного анализа с«общего» языка на язык конкретной области знаний, к которой относитсяисследуемый объект.

Первый шаг системного анализа — представление объекта в видесистемы. Следующий шаг — системное исследование объекта в трех аспектах. Втабл.2 отражены направления системного исследования и последовательностьосуществления его этапов.

Наиболее успешно системный анализ применяютпри изучении комплексных систем сложной структуры. Интуиции, квалификацииодного человека, независимо от способностей и опыта, теперь уже недостаточнодля управления сложными производственными системами. В дальнейшем руководителюпридется решать проблемы не только в масштабе предприятия, но и в масштабеотрасли. Для принятия решений руководителю необходимо опираться на эмпирическуюи фактическую информацию. Вместо экстраполяции прошлого опыта, как главногопути для принятия решений, теперь рекомендуется применять математическиемодели, информационные системы, составляющие основу системного анализа.

Системный анализ имеет сугубо практическую ориентацию.Однако, несмотря на множество различных примеров его удачного применения, покане полностью разработана его методология. При решении каждой задачи выбираетсясвоя методика, которая базируется на основах наук, законах логики и некоторыхспецифических процедурах. При этом можно выделить следующие основныеособенности системного анализа:

· необходимость составления моделей исследуемой задачи(необязательно математической, можно физической или графической);

· успешное применение его для изучения многофакторных, комплексныхсистем, когда решения трудно достичь с помощью одного какого-либо раздела наукиили простого соединения методов разных дисциплин;

· необходимость точной формулировки задачи: следует точно описать,какого результата, какой цели и при каких ограничениях стремятся достичь прирешении задачи;

· постановка и решение проблемы для достижения желаемых результатовдолжны подчиняться целостному подходу: при решении частей проблемы все времянеобходимо иметь в виду цель решения всей системы.

Обоснование процесса решения проводится с помощью общей целисистемы. Только при этом будет учтено явление синергизма- достижение болеевысокого результата действия системы по сравнению с аддитивным эффектом, т.е.по сравнению с суммой результатов действия отдельных элементов системы.

Задачи системного анализа можно разделить на две группы: математикуи логику.

Математику системного анализа применяют при решенииоптимизационных задач уже четко сформулированных, для чего составляютсяуравнения, описывающие связи множества переменных ограничений системы. При этомопределяются количественные результаты функционирования системы с точки зрениявыбранного критерия оптимальности.

Логика имеет компоненты, связанные с процессомпринятия решений, выявлением таких проблем, как определение целей системы,путей их достижения, анализ внешних условий и ограничений.

Цель в системном анализе понимается как антипод проблемы:это то, что надо сделать для снятия проблемы (а решение — то, как это сделать).

Под критерием в системном анализе подразумевается способсравнения альтернатив, т.е. любой их признак, значение которого можнозафиксировать количественно или качественно. В идеале построение критериевтребует создания четкой иерархии целей с определением всех соотношений междуними; реально же может использоваться несколько критериев, описывающих однуцель по-разному и дополняющих друг друга.

При интеграции знаний наиболее существенны, на наш взгляд, 2критерия «хорошей» («правильной») интеграции:

· интегрировать любую информацию;

· исключать внутренние противоречия.

При моделировании помимо этих критериев следует использоватьспецифические критерии «хорошей» модели:

· универсальность — возможность описывать любое знание ототдельного факта до философского обобщения;

· связность — наличие закономерных причинных связей междусобытиями, процессами, явлениями;

· активность — возможность порождения нового знания, например, посхеме: факт — обобщенный факт — эмпирический закон — теоретический закон — новые факты.

Общий алгоритм:

· Определение конфигуратора.

· Постановка проблемы – отправной момент исследования. Висследовании сложной системы ему предшествует работа по структурированиюпроблемы.

· Расширение проблемы до проблематики, т.е. нахождение системыпроблем, существенно связанных с исследуемой проблемой, без учета которых онане может быть решена.

· Выявление целей: цели указывают направление, в котором надо двигаться,чтобы поэтапно решить проблему.

· Формирование критериев. Критерий – это количественное отражениестепени достижения системой поставленных перед ней целей. Критерий –это правиловыбора предпочтительного варианта решения из ряда альтернативных. Критериевможет быть несколько. Многокритериальность является способом повышенияадекватности описания цели. Критерии должны описать по возможности все важныеаспекты цели, но при этом необходимо минимизировать число необходимыхкритериев.

· Агрегирование критериев. Выявленные критерии могут бытьобъединены либо в группы, либо заменены обобщающим критерием.

· Генерирование альтернатив и выбор с использованием критериевнаилучшей из них. Формирование множества альтернатив является творческим этапомсистемного анализа.

· Исследование ресурсных возможностей, включая информационныепотоки и ресурсы.

· Выбор формализации (построение и использование моделей иограничений) для решения проблемы.

· Оптимизация (для простых систем).

· Декомпозиция.

· Наблюдение и эксперименты над исследуемой системой.

· Построение системы.

· Использование результатов проведенного системного исследования.

Основные положения теории систем. Определение системы. Свойства системы.Классификация систем. Модели экономических систем.

Под системой понимают множество элементов,находящихся в отношениях и связях друг с другом, которое образует определеннуюцелостность, единство. Понятие «система» предполагает рассмотрениеобъекта как целого, состоящего из совокупности элементов. Представление о системевсегда связывается с такими понятиями, как элемент, целостность, структура,связь, подсистема.

Любую систему можно расчленить (не обязательно единственнымспособом) на конечное число частей, называемых подсистемами,каждую из которых в свою очередь, можно разделить на конечное число подсистемболее низкого уровня вплоть до получения подсистем первого уровня-элементовсистемы.

Обычно под элементом системы понимают объектили процесс, не подлежащий при исследовании дальнейшему расчленению на части.

Под структурой системы понимают относительноустойчивый порядок внутренних пространственных связей между ее отдельнымиэлементами, определяющий функциональное назначение системы и ее взаимодействиес внешней средой.

Под целостностью системы понимают принципиальнуюнесводимость свойств системы к сумме свойств составляющих ее элементов.

Связь — это взаимообусловленность существованияявлений, разделенных в пространстве и во времени. Связи могут бытьсущественными и несущественными. По типу процесса, который определяет связь,они разделяются на связи управления, функционирования и др., а по направлениюдействия- на прямые и обратные.

В сложных системах часто обратные связирассматривают как передачу информации о протекании процесса, на основаниикоторой вырабатываются управляющие воздействия. В этом случае обратные связиназываются информационными. Понятие обратной связи как формы взаимодействияиграет большую роль в анализе функционирования сложных систем.

Два основных свойства систем:

· целостность системы означает, что комплекс элементов,рассматриваемый в качестве системы, обладает характерными свойствами иповедением, причем свойства системы несводимы к сумме свойств ее элементов;

· делимость системы отражает тот факт, что любой объект можнопредставить состоящим из элементов. Это значит, что любой объект можнорассматривать как минимум в трех аспектах: как нечто целостное (систему), какчасть более общей системы (надсистемы) и как совокупность более мелких частей(элементов, подсистем).

Системы подразделяют на три группы: простые, сложные и оченьсложные. Система обувного производства относится к третьей группе- оченьсложной. Основными отличительными признаками сложной системыявляются:

· наличие большого количества взаимосвязанных и взаимодействующихмежду собой элементов;

· сложность функции, выполняемой системой и направленной надостижение заданной цели функционирования;

· возможность разбиения системы на подсистемы, целифункционирования которых, подчинены общей цели функционирования всей системы;

· наличие управления (часто имеющего иерархическую структуру),разветвленной информационной сети и интенсивных потоков информации;

· наличие взаимодействия с внешней средой и функционирование вусловиях взаимодействия случайных факторов.

Структура системы — это закономерные устойчивые связи междуэлементами системы, отражающие пространственное и временное расположениеэлементов и характер их взаимодействия (или причинно-следственные отношения).При этом заметим, что связи в системе бывают полезные, бесполезные и вредные.

Функция системы — это внешнее проявление свойств системы,определенный способ взаимодействия с окружающей средой. У любой системы многофункций; однако почти всегда среди этого множества можно выделить одну, самуюсущественную в данной системе отношений. Эта функция называется главнойполезной функцией (ГПФ) системы.

КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ

Существует много различных подходов к классификации систем.Например, классификация может основываться на сложности системы. Вклассификации, приведенной ниже, целый ряд более сложных систем опущен, так какне представляет для нас интереса.

1. Морфологические системы. Это системы, которые описываютсяпри помощи сети структурных взаимосвязей (например, типичная организационнаясхема).

2. Каскадные системы. Они показывают пути прохождениявещества и энергии в системе (например, схема информационных потоков ворганизации).

3. Системы типа действие — реакция объединяют указанные вышеи показывают способ, которым структура привязана к процессу жизнедеятельности(например, наложение информационных потоков на организационную схему).

4. Управляющие системы (transducers)-системы типа 3, вкоторых основные компоненты контролируются человеком. Мы можем считатьнекоторую организацию управляющей, или кибернетической, системой, если контрольпосредством обратной связи приводит к саморегулированию.

Другой способ классификации основывается на взаимодействии свнешней средой.

1. Изолированная система. Границы такой системы закрыты дляэкспорта и импорта вещества и энергии (или информации).

2. Закрытая система. Границы ее препятствуют экспорту иимпорту вещества, но открыты для энергии (или информации).

3. Открытая система. Такая система обменивается и веществом,и энергией (информацией) с внешней средой. Все управленческие системы являются открытыми,хотя при анализе мы иногда рассматриваем их как закрытые, игнорируя всякоевзаимодействие с внешней средой.

Кроме того, мы рассматриваем системы или их окружение какстатичное или динамичное в зависимости от скорости изменения их характеристик вовремени. Адаптивная система может реагировать на изменения среды способом,соответствующим ее обычным действиям. Конечно, это относится к тем изменениям,которые происходят во внешней среде и не касаются внутренних проблем фирмы.Таким образом, мы говорим о релевантной среде, т. е. о событиях или объектах,не связанных с тем, что происходит внутри системы. Иногда употребляют термин«проблемное окружение». Этот термин уже, чем релевантная окружающая среда, таккак охватывает только деятельность покупателей, поставщиков, конкурентов и регламентирующихгрупп, например правительства.

Экономисты говорят об экономических системах, находящихся всостоянии равновесия, т. е. в состоянии покоя, или отсутствия деятельности.Возможно, к «живым» системам, где переменные скорее остаются в рамках заранееустановленных ограничений, чем превращаются в постоянные, больше подходиттермин «устойчивые». О системе, которая функционирует в условиях высокойустойчивости, говорят, что она находится в стационарном состоянии (steady statecondition).

Экономическая система есть совокупность взаимосвязанных иопределенным образом упорядоченных элементов экономики. Вне системногохарактера экономики не могли бы воспроизводиться (постоянно возобновляться)экономические отношения и институты, не могли бы существовать экономическиезакономерности, не могло бы сложиться теоретического осмысления экономическихявлений и процессов, не могло бы быть скоординированной и эффективнойэкономической политики.

· Современная рыночная экономика (современный капитализм). Посравнению со всеми рыночная система оказалась наиболее гибкой: она способнаперестраиваться, приспосабливаться к изменяющимся внутренним и внешнимусловиям.

· Традиционная система. В экономически слаборазвитых странахсуществует традиционная экономическая система. Этот тип экономической системыбазируется на отсталой технологии, широком распространении ручного труда,многоукладности экономики.

· Административно-командная система (централизованно-плановая,коммунистическая). Эта система господствовала ранее в СССР, странах ВосточнойЕвропы и ряде азиатских государств. В последние годы многие отечественные изарубежные экономисты в своих работах попытались дать ее обобщеннуюхарактеристику. Характерными чертами административно-командной системы являютсяобщественная (а в реальности государственная) собственность практически на всеэкономические ресурсы, монополизация и бюрократизация экономики в специфическихформах, централизованное экономическое планирование как основа хозяйственного механизма.

В случае соединения и переплетения различных форм хозяйства,различных формационных образований, различных цивилизационных систем, а такжеболее сложных сочетаний различных элементов системы можно говорить о смешанныхэкономических системах (смешанной экономике). Их отличительная особенность —гетерогенность (разнородность) входящих в них элементов.

Шведская модель. Термин “шведская модель” возник всвязи со становлением Швеции как одного из самых развитых всоциально-экономическом отношении государств. Он появился в конце 60х годов,когда иностранные наблюдатели стали отмечать успешное сочетание в Швециибыстрого экономического роста с обширной политикой реформ на фоне относительнойсоциальной бесконфликтности в обществе. Этот образ успешной и безмятежнойШвеции особенно сильно контрастировали тогда с ростом социальных и политическихконфликтов в окружающем мире.

Сейчас этот термин используется в различных значениях иимеет разный смысл в зависимости от того, что в него вкладывается. Некоторые отмечаютсмешанный характер шведской экономики, сочетающей рыночные отношения игосударственное регулирование, преобладающую частную собственность в сферепроизводства и обобществление потребления.

Другая характерная черта послевоенной Швеции специфика отношениймежду трудом и капиталом на рынке труда. На протяжении многих десятилетийважной частью шведской действительности была централизованная системапереговоров о заключении коллективных договоров в области заработной платы сучастием мощных организаций профсоюзов и предпринимателей в качестве главныхдействующих лиц, причем политика профсоюзов основывалась на принципахсолидарности между различными группами трудящихся.

Еще один способ определения шведской модели исходит изтого, что в шведской политике явно выделяются две доминирующие цели: полнаязанятость и выравнивание доходов, что и определяет методы экономическойполитики. Активная политика на высокоразвитом рынке труда и исключительнобольшой государственный сектор (при этом имеется в виду прежде всего сфераперераспределения, а не государственная собственность) рассматриваются какрезультаты этой политики.

Наконец, в самом широком смысле шведская модель это веськомплекс социально-экономических и политических реалий в стране с ее высокимуровнем жизни и широким масштабом социальной политики. Таким образом, понятие“шведская модель” не имеет однозначного толкования.

Шведская модель исходит из положения, что децентрализованнаярыночная система производства эффективна, государство не вмешивается в производственнуюдеятельность предприятия, а активная политика на рынке труда должна свести кминимуму социальные издержки рыночной экономики. Смысл состоит в максимальномросте производства частного сектора и как можно большем перераспределениигосударством части прибыли через налоговую систему и государственный сектор дляповышения жизненного уровня населения, но без воздействия на основыпроизводства. При этом упор делается на инфраструктурные элементы иколлективные денежные фонды.

Это привело к очень большой роли государства в Швеции враспределении, потреблении и перераспределении национального дохода черезналоги и государственные расходы, достигшие рекордных уровней. В реформистскойидеологии такая деятельность получила название “функциональный социализм”.

Американская модель. Американская модель — этолиберальная рыночно-капиталистическая модель, предполагающая приоритетную рольчастной собственности, рыночно-конкурентного механизма, капиталистическихмотиваций, высокий уровень социальной дифференциации.

Соединенные Штаты Америки — ведущая державакапиталистического мира, обладающая крупнейшим экономическим инаучно-техническим потенциалом. Ни в одной другой стране противоречиякапитализма не выступают так обнажено и остро, как в США.

Становление и развитие американской модели проходило видеальных условиях. Это объясняется многими причинами, среди которых можновыделить минимум две: во-первых, США возникли на территории относительносвободной от предшествующих традиций и различных наслоений социальногохарактера. Во-вторых, европейские переселенцы привнесли предпринимательскуюактивность и инициативу, основанные на укреплявшихся товарно-денежныхотношениях в Европе.

Таким образом, американская модель построена на системевсемерного поощрения предпринимательской активности, обогащения наиболееактивной части населения. Малообеспеченным группам создается приемлемый уровеньжизни за счет частичных льгот и пособий. Задача социального равенства здесьвообще не ставится. Эта модель основана на высоком уровне производительноститруда и массовой ориентации на достижение личного успеха

Германская модель. Германская модель — это модельсоциального рыночного хозяйства, которая расширение конкурентных началувязывает с созданием особой социальной инфраструктуры, смягчающей недостаткирынка и капитала, с формированием многослойной институциональной структурысубъектов социальной политики.

В германской экономической модели государство неустанавливает экономические цели — это лежит в плоскости индивидуальных рыночныхрешений, — а создаст надежные правовые и социальные рамочные условия дляреализации экономической инициативы. Такие рамочные условия воплощаются вгражданском обществе и социальном равенстве индивидов (равенстве прав,стартовых возможностей и правовой защите). Они фактически состоят из двухосновных частей: гражданского и хозяйственного права, с одной стороны, исистемы мер по поддержанию конкурентной среды, с другой. Важнейшая задачагосударства — обеспечивать баланс между рыночной эффективностью и социальнойсправедливостью. Трактовка государства как источника и защитника правовых норм,регулирующих хозяйственную деятельность, и конкурентных условий не выходит запределы западной экономической традиции. Но понимание государства в германскоймодели и, в целом, в концепции социальной рыночной экономики отличается отпонимания государства в других рыночных моделях представлением о более активномвмешательстве государства в экономику.

Германская модель характеризуется следующими чертами:

· индивидуальная свобода как условие функционирования рыночныхмеханизмов и децентрализованного принятия решений. В свою очередь, это условиеобеспечивается активной государственной политикой поддержания конкуренции;

· социальное равенство — рыночное распределение доходов обусловленообъемом вложенного капитала или количеством индивидуальных усилий, в то времякак достижение относительного равенства требует энергичной социальной политики.Социальная политика опирается на поиск компромиссов между группами, имеющимипротивоположные интересы, а также на прямое участие государства впредоставлении социальных благ, например, в жилищном строительстве;

· антициклическое регулирование;

· стимулирование технологических и организационных инноваций;

· проведение структурной политики;

· защита и поощрение конкуренции. Перечисленные особенностигерманской модели есть производные от основополагающих принципов социальнойрыночной экономики, первым из которых является органическое единство рынка игосударства.

Японская модель. Сегодня достижениями Японии никогоне удивишь. Гораздо важнее понять и объяснить причины «японского экономическогочуда», или, вернее, феноменального послевоенного рывка Японии, выведшего ее вразряд «экономической сверхдержавы». И хотя в японском рывке немаловажную рольсыграл американский фактор, все же главными оказались собственные усилиянации.

Таким образом, японская модель характеризуется определеннымотставанием уровня жизни населения (в том числе уровня заработной платы) отроста производительности труда. За счет этого достигается снижениесебестоимости продукции и резкое повышение ее конкурентоспособности на мировомрынке. Препятствий имущественному расслоению не ставится. Такая модель возможнатолько при исключительно высоком развитии национального самосознания,приоритете интересов нации над интересами конкретного человека, готовностинаселения идти на определенные материальные жертвы ради процветания страны.

Китайская модель. Утверждается, что китайскаяэкономика растет так быстро потому, что уровень развития в Китае был низким, атемпы роста слаборазвитых стран выше, чем более развитых стран. Однакоисследование среднегодовых темпов роста ВВП на душу населения показывает, чтотакой закономерности не существует. При одних и тех же душевых показателях ВВПвозможен и быстрый рост и глубокое падение. Ни одна другая слаборазвитая странане имела темпов роста, сколько-нибудь близких к китайским. Более того, темпыроста Китая оказались уникальными для всей мировой экономики. Решающий вклад вускорение экономического роста внесла структура китайской экономики — низкаядоля промышленности и высокая доля сельского хозяйства.

Элементы математической статистики. Выборки и их типы. Статистическоераспределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Статистическиеоценки параметров распределения. Эмпирические моменты, асимметрия и эксцесс.Оценки параметров. Выборочные распределения.

Математическая статистика — это раздел математики,посвященный методам сбора, анализа и обработки статистических данных длянаучных и практических целей.

Статистические данные представляют собой данные, полученныев результате обследования большого числа объектов или явлений; следовательно,математическая статистика имеет дело с массовыми явлениями.

Современная математическая статистика подразделяется на двеобширные области: описательную и аналитическую статистику.

Описательная статистика охватывает методы описаниястатистических данных, представления их в форме таблиц, распределений и пр.

Эти данные могут быть либо количественными (например,измерение роста и веса), либо качественными (например, пол и тип личности).

Аналитическая статистика называется также теориейстатистических выводов. Ее предметом является обработка данных, полученных входе эксперимента, и формулировка выводов, имеющих прикладное значение длясамых различных областей человеческой деятельности.

Теория статистических выводов тесно связана с другойматематической наукой — теорией вероятностей, и базируется на ее математическомаппарате.

Планирование и анализ экспериментов представляет собойтретью важную ветвь статистических методов, разработанную для обнаружения ипроверки причинных связей между переменными.

Экспериментальные данные — это результаты измерениянекоторых признаков объектов, выбранных из большой совокупности объектов.

Часть объектов исследования, определенным образом выбраннаяиз более обширной совокупности, называется выборкой, а исходнаясовокупность, из которой взята выборка,- генеральной (основной)совокупностью.

Исследования, в которых участвуют все без исключенияобъекты, составляющие генеральную совокупность, называются сплошнымиисследованиями. Может использоваться выборочный метод. Суть его втом, что для обследования привлекается лишь выборка из генеральнойсовокупности, но по результатам этого обследования судят о свойствах всейгенеральной совокупности.

Важнейшая характеристика выборки — объем выборки, т.е. число элементов в ней; его принято обозначать символом n.

Предметом изучения в статистике являются изменяющиеся(варьирующиеся) признаки, которые иногда называются статистическими. Ониделятся на качественные и количественные.

Качественными признаками объект обладает либо необладает. Они не поддаются непосредственному измерению (например, спортивнаяспециализация, квалификация, национальность, территориальная принадлежность ит. п.).

Количественные признаки представляют собой результатыподсчета или измерения. В соответствии с этим они делятся на дискретные инепрерывные.

Эмпирические распределения представляют собойраспределения элементов выборки по значениям изучаемого признака. Построениеэмпирических распределений — необходимый этап применения статистическихметодов.

Можно использовать следующий эвристический принцип — будемсчитать, что исследуемая нами генеральная совокупность близка к гипотетическойгенеральной совокупности, состоящей только из значенийх1,...,xn,содержащихся в ней в равной пропорции, т.е. случайная величина /> близкак случайной величине />, принимающей пзначений х1,...,xn с вероятностями 1/n(это, действительно, максимум информации о значениях случайной величины и ихвероятностях, которую можно извлечь из выборки). Распределение случайнойвеличины /> называетсяэмпирическим распределением случайной величины />, а ее функция распределения/> -эмпирической функцией распределения. Очевидно, что каждой выборкесоответствует своя эмпирическая функция распределения, т.е. можно сказать, что /> -случайная функция. /> представляет собойступенчатую функцию, возрастающую от 0 до 1 со скачками высотой 1/n вточках х1,...,xn (очевидно, если некотороезначение повторяется k раз, то ему будет соответствовать один скачоквеличиной k/n). Можно определить эмпирическую функцию формулой />, гдеnx — число значений выборки, непревосходящих х.

Поскольку эмпирическая функция распределения /> являетсяоценкой для F(x) (можно доказать, что при /> вероятностьтого, что максимальное расхождение между /> и F(x)не превзойдет заданного малого числа />, стремится к единице),можно взять характеристики /> в качестве оценокхарактеристик генерального распределения.

Ниже мы приводим полученные таким образом формулы длянекоторых выборочных характеристик.

Название характеристики Формула

Выборочный момент порядка k

Выборочный центральный момент

Порядка k

Выборочное среднее — первый нецентральный момент

Выборочная дисперсия — (см. в главе 2 обоснование деления на n-1 вместо деления на n)

Выборочный коэффициент асимметрии

Выборочный коэффициент эксцесса

выборочное среднее />= (x1 + x2+...+ xn) / n оценка математического ожидания

медиана />= Xk+1, при n = 2k+1
/>= (Xk+Xk+1) / 2, при n = 2k

мода такое значение xm, которое встречаетсяв выборке чаще всего

размах R = X max — X min

выборочная дисперсия /> — оценка дисперсии

среднее квадратичное отклонение S =/> — оценка б

Статистической оценкой теоретического распределения называютфункцию f(X1,X2,…,Xn) от наблюдаемых С.В. X1,X2,…,Xn. Точечной называютстатистическую оценку, которая определяется одним числом K *=f(x1,x2,…,xn),где х1, х2,…,xn – результаты nнаблюдений над количественным признаком Х (выборка). Несмещенной называютточечную оценку, мат. ожидание которой равно оцениваемому параметру при любомобъеме выборки. Смещенной называют точечную оценку, мат. ожидание которой неравно оцениваемому параметру. Несмещенной оценкой генеральной средней (мат.ожидания) служит выборочная средняя: Хв=(сумма по i от1 до k nixi)/n, где xi – варианта выборки, ni – частота варианты xi, n=сумма по i от 1 до k ni – объемвыборки. Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия: Dв=(сумма по i от 1 до k ni(Хi-Xв)*2)/n.Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочнаядисперсия: s*2=n/n-1*Dв=сумма ni(xj – Xв)*2/n-1.Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров заданного распределениясостоит в приравнивании теоретических моментов соответствующим эмпирическиммоментам того же порядка. Если распределение определяется одним параметром, тодля его отыскания приравнивают один теоретический момент одному эмпирическомумоменту того же порядка. Например, можно приравнять начальный теоретическиймомент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка: v1=M1. Учитывая, что v1=M(X) иМ1=Хв, получим М(Х)=Хв. Если распределение определяется двумя параметрами, топриравнивают два теоретических момента двум соответствующим эмпирическиммоментам того же порядка. Учитывая, что v1=M(X),M1=Хв, мю=D(X),m2=Dв, имеем систему: М(Х)=Хв, D(X)=Dв.

Метод наибольшего правдоподобия точечной оценки неизвестныхпараметров заданного распределения сводится к отысканию максимума функцииодного или нескольких оцениваемых параметров. Д.С.В. Пусть Х – Д.С.В., котораяв результате n опытов приняла возможные значениях1, х2,…,xn. Допустим, что вид закона распределениявеличины Х задан, но неизвестен параметр K,которым определяется этот закон; требуется найти его точечную оценку K*=K(x1,x2,…,xn).Обозначим вероятность того, что в результате испытания величина Х приметзначение xi через р(xi;K). Функцией правдоподобия Д.С.В. Хназывают функцию аргумента K: L (x1,x2,…,xn;K)=p(x1;K)*p(x2;K)…p(xn;K).Оценкой наибольшего правдоподобия параметра Kназывают такое его значение K*, прикотором функция правдоподобия достигает максимума. Функции Lи lnL достигают максимума при одном и том же значении K, поэтому вместо отыскания максимумафункции L ищут, что удобнее, максимум функции lnL. Н.С.В. Пусть Х – Н.С.В., которая в результате n испытаний приняла значения х1, х2,…,xn.Допустим, что вид плотности распределения – функции f(x) – задан, но неизвестен параметр K, которым определяется эта функция. Функцией правдоподобияН.С.В. Х называют функцию аргумента K:L(x1,x2,…,xn;K)=f(x1;K)*f(x2;K)…f(xn;K).

Интервальной называют оценку, которая определяется двумячислами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр. Доверительныйинтервал – это интервал, который с заданной надежностью гамма покрываетзаданный параметр. 1. Интервальной оценкой с надежностью гамма мат. ожидания анормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней Хвпри известном среднем квадратическом отклонении сигма генеральной совокупностислужит доверительный интервал: Хв – t(сигма/корень из n)<a<Хв+t(сигма/кореньиз n), где t(сигма/корень из n)=дельта – точность оценки, n –объем выборки, t – значение аргумента функции ЛапласаФ(t), при котором Ф(t)=гамма/2;при неизвестном сигма (и объеме выборки n<30) Хв – t гамма (s/корень из n)<a<Хв+tгамма (s/корень из n), где s-исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение.2. Интервальной оценкой (с надежностью гамма) среднего квадратическогоотклонения сигма нормально распределенного количественного признака Х по«исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению s служит доверительный интервал s(1-q)<сигма<s(1+q),при q<1; 0<сигма<s(1+q), при q>1. 3. Интервальнойоценкой ( с надежностью гамма) неизвестной вероятности р биномиальногораспределения по относительной частоте w служитдоверительный интервал ( с приближенными концами р1 и р2).

ряд наблюдений над случайной (будем далее полагать – всегдадискретной) величиной. По этим наблюдениям можно строить таблицы илигистограммы, используя значения соответствующих частот (вместо вероятностей).Такие распределения принято называть выборочными, а сам набор данных наблюдений– выборкой.

Пусть мы имеем такое выборочное распределение некоторойслучайной величины X – т.е. для ряда ее значений (вполне возможно неполного, с“пропусками" некоторых допустимых) у нас есть рассчитанные нами же частотыf i .

В большинстве случаев нам неизвестен закон распределения СВили о его природе у нас имеются догадки, предположения, гипотезы, но значенияпараметров и моментов (а это неслучайные величины!) нам неизвестны.

Разумеется, частоты fi суть непрерывные СВ и, кроме первойпроблемы – оценки распределения X, мы имеем ещё одну – проблему оценкираспределения частот.

Существование закона больших чисел, доказанность центральнойпредельной теоремы поможет нам мало:

· во-первых, надо иметь достаточно много наблюдений (чтобы частоты“совпали” с вероятностями), а это всегда дорого;

· во-вторых, чаще всего у нас нет никаких гарантий в том, чтоусловия наблюдения остаются неизменными, т.е. мы наблюдаем за независимойслучайной величиной.

Теория статистики дает ключ к решению подобных проблем,предлагает методы “работы” со случайными величинами. Большинство этих методовпоявилось на свет как раз благодаря теоретическим исследованиям распределенийнепрерывных величин.

Проверка статистических гипотез. Уровень значимости. ПравилоНеймана-Пирсона отбора критериев для простых гипотез. Критерии значимости.Доверительная область. Нормальное распределение. Критерий согласия Пирсона.

Определение 19.1. Статистической гипотезой называют гипотезуо виде неизвестного распределения генеральной совокупности или о параметрахизвестных распределений.

Определение 19.2. Нулевой (основной) называют выдвинутуюгипотезу Н0. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н1, котораяпротиворечит нулевой.

Определение 19.3. Простой называют гипотезу, содержащуютолько одно предположение, сложной – гипотезу, состоящую из конечного илибесконечного числа простых гипотез.

В результате проверки правильности выдвинутой нулевойгипотезы ( такая проверка называется статистической, так как производится сприменением методов математической статистики) возможны ошибки двух видов:ошибка первого рода, состоящая в том, что будет отвергнута правильная нулеваягипотеза, и ошибка второго рода, заключающаяся в том, что будет принятаневерная гипотеза.

Замечание. Какая из ошибок является на практике болееопасной, зависит от конкретной задачи. Например, если проверяется правильностьвыбора метода лечения больного, то ошибка первого рода означает отказ отправильной методики, что может замедлить лечение, а ошибка второго рода(применение неправильной методики) чревата ухудшением состояния больного иявляется более опасной.

Определение 19.4. Вероятность ошибки первого рода называетсяуровнем значимости α.

Основной прием проверки статистических гипотез заключается втом, что по имеющейся выборке вычисляется значение некоторой случайнойвеличины, имеющей известный закон распределения.

Определение 19.5. Статистическим критерием называетсяслучайная величина К с известным законом распределения, служащая для проверкинулевой гипотезы.

Определение 19.6. Критической областью называют областьзначений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают, областью принятиягипотезы – область значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Итак, процесс проверки гипотезы состоит из следующихэтапов:

· выбирается статистический критерий К;

· вычисляется его наблюдаемое значение Кнабл по имеющейся выборке;

· поскольку закон распределения К известен, определяется (поизвестному уровню значимости б) критическое значение kкр, разделяющеекритическую область и область принятия гипотезы (например, если р(К > kкр) =б, то справа от kкр располагается критическая область, а слева – область принятиягипотезы);

· если вычисленное значение Кнабл попадает в область принятиягипотезы, то нулевая гипотеза принимается, если в критическую область – нулеваягипотеза отвергается.

Различают разные виды критических областей:

· правостороннюю критическую область, определяемую неравенством K> kкр ( kкр > 0);

· левостороннюю критическую область, определяемую неравенством K< kкр ( kкр < 0);

· двустороннюю критическую область, определяемую неравенствами K< k1, K > k2 (k2 > k1).

Определение 19.7. Мощностью критерия называют вероятностьпопадания критерия в критическую область при условии, что верна конкурирующаягипотеза. Если обозначить вероятность ошибки второго рода (принятиянеправильной нулевой гипотезы) в, то мощность критерия равна 1 – в. Следовательно,чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность совершить ошибку второгорода. Поэтому после выбора уровня значимости следует строить критическуюобласть так, чтобы мощность критерия была максимальной.

В ряде случаев оказывается достаточно трудно, а иногда иневозможно определить даже хотя бы приблизительно не только априорныевероятности гипотез, но и цены решений. Классическим примером такой ситуацииявляется обнаружение сигналов в радиолокации. То же самое имеет место и всистемах передачи дискретных сообщений при обнаружении начала информационнойпоследовательности (радиограммы, команды и т.п.).

В этих условиях обычно приходится задаваться некоторымзначением вероятности ошибочного решения при справедливости одной из гипотез(например, />)и выбирать стратегию, обеспечивающую минимальное значение вероятностиошибочного решения при справедливости другой гипотезы />. Такой критерий оптимизациистратегии называется критерием Неймана-Пирсона. Применительно к случаюрадиолокационного обнаружения задаются вероятностью /> ошибочной регистрации сигналапри наличии на входе только шума, называемой вероятностью ложной тревоги />.Минимизируемая вероятность /> при этом носитназвание вероятностипропуска цели />.

Можно показать, что стратегия, оптимальная поНейману-Пирсону, по-прежнему сводится к сравнению величины отношенияправдоподобия /> с некоторым пороговымзначением />,определяемым в данном случае требуемым значением вероятности ложной тревоги />.

Значимости уровень статистического критерия,вероятность ошибочно отвергнуть основную проверяемую гипотезу, когда она верна.В теории статистической проверки гипотез З. у. называется вероятностью ошибкипервого рода. Понятие «З. у.» возникло в связи с задачей проверкисогласованности теории с опытными данными. Если, например, в результатенаблюдений регистрируются значения n случайных величин X1,...,Xn и если требуется по этим данным проверить гипотезу Н,согласно которой совместное распределение величин X1,...,Xn обладает некоторым определённым свойством, тосоответствующий статистический критерий конструируется с помощью подходящимобразом подобранной функции Y = f (X1,..., Xn);эта функция обычно принимает малые значения, когда гипотеза Н верна, ибольшие значения, когда Н ложна. В частности, если X1,...,Xn — результаты независимых измерений некоторой известнойпостоянной а и гипотеза Н представляет собой предположение оботсутствии в результатах измерений систематических ошибок, то для проверки Нразумно в качестве Y выбрать (2m — n)2, где m- количество тех результатов измерений X1, которыепревышают истинное значение а. Наблюдаемое в опыте большое значение Yможно рассматривать как значимое статистическое опровержение гипотетическогосогласия между результатами наблюдений и проверяемой гипотезой. Соответствующийкритерий значимости представляет собой правило, согласно которому значимымисчитаются значения Y, превосходящие заданное критическое значение у.В свою очередь выбор величины у определяется заданным З. у., который вслучае справедливости гипотезы Н совпадает с вероятностью события {Y>y}.

Мы рассматриваем независимую выборку />, обозначая неизвестнуюфункцию распределения />. Нас интересует вопрос о том,согласуются ли данные наблюдений />с простой гипотезой

где /> — некоторая конкретнаяфиксированная функция распределения.

Вначале разобъем множество />на конечное число непересекающихсяподмножеств />.Пусть />--вероятность, соответствующая функции распределения />, обозначим />Очевидно, что

Теперь сделаем группировку данных аналогично процедуре,описанной в /> 6.3, а именно, определим

/>/>

(50)

Очевидно, что в силу случайных колебаний эмпирическиечастоты />будутотличаться от теоретических вероятностей />. Чтобы контролировать эторазличие, следует подобрать хорошую меру расхождения между экспериментальнымиданными и гипотетическим теоретическим распределением. По аналогии с идеейметода наименьших квадратов в качестве такой меры расхождения можно взять,например, />,где положительные числа />можно выбирать более или менеепроизвольно. Как показал К. Пирсон, если выбрать />, то полученная величина будетобладать рядом замечательных свойств. Таким образом, положим

/>/>

(51)

Подчеркнем, что величина />вычисляется по выборке.Функцию />принято называть статистикойПирсона. Обсудим ее свойства.

Поведение />, когдагипотеза />верна.

Речь идет о поведении при увеличении объема выборки: />.

Теорема К. Пирсона. Предположим, чтогипотеза />верна.Тогда при />распределениевеличины />сходитсяк распределению хи-квадрат с />степенью свободы, то есть,

Практический смысл этой теоремы в том, что при большомобъеме выборки распределение />можно считать распределениемхи-квадрат с />степенью свободы.

Поведение />, когдагипотеза />неверна.

Предположим теперь, что />и разбиение />таково, что

где вероятности />вычислены по функции распределения/>. Тогдаможно показать (см., например, [13, § 10.4]), что

/>/> если />

(52)

Критерий проверки.

То обстоятельство, что поведение />существенно различно в зависимостиот того верна или нет гипотеза />, дает возможность построитькритерий для ее проверки. Зададимся некоторым уровнем значимости />(допустимойвероятностью ошибки) и возьмем квантиль />, определенную формулой (45):

Определим критическое множество />:

Таким образом, наши действия по принятию (или отвержению)гипотезы />состоят в следующем. Подстановкойимеющихся данных />в формулу (51) вычисляетсязначение функции />, которое затем сравниваетсяс />:

если />, то гипотеза />отвергается (приэтом говорят, что выборка обнаруживает значимое отклонение отгипотезы />),

если />, то гипотеза />принимается(говорят, что выборка совместима с гипотезой />).

Действительно, такое решающее правило соответствуетвышеизложенным фактам о поведении функции />. Приведем аргументы, основанныена здравом смысле, свидетельствующие в пользу этого решающего правила. Еслизначения функции />оказались ``слишком большими'',то, принимая во внимание (52), разумно считать, что гипотеза />не имеетместа. Если же значения />``не слишком большие'', то,скорее всего, гипотеза />верна, поскольку это согласуетсяс теоремой Пирсона.

При таком решающем правиле мы может допустить ошибку, отвергнувверную гипотезу />. Из теоремы Пирсона вытекает, чтопри больших />величинавероятности этой ошибки близка к />.

Регрессии. Линейная регрессия для системы двух случайных величин. Основныеаспекты множественной регрессии. Нелинейная регрессия. Метод наименьших квадратов.

Пусть наблюдаемая случайная величина />зависит отслучайной величины или случайного вектора />. Значения />мылибо задаем, либо наблюдаем. Обозначим через />функцию, отражающуюзависимость среднего значения />от значений />:

/>/>

(29)

Функция />называется линиейрегрессии />на />,/> ауравнение />-- регрессионным уравнением.

В регрессионном анализе изучается односторонняя зависимостьпеременной Y от одной или нескольких переменных X1 ,… ,Xk. Переменную Y называют функцией отклика или объясняемой переменной, а X1,… ,Xk — объясняющими переменными. Основная задача регрессионногоанализа — установление формы зависимости между объясняемой и объясняющимипеременными и анализ достоверности модельных параметров этой зависимости.

Пусть требуется найти аналитический вид (формулу вычисления)некоторого экономического показателя Y.

На первом шаге регрессионного анализа идентифицируютпеременные X1 ,… ,Xk, от которых зависит Y, т.е.определяют те существенные факторы, которые воздействуют на этот показатель.Символически этот факт записывается так: />.

На втором шаге регрессионного анализа требуется спецификацияформы связи между Y и X1 ,… ,Xk, т.е. определение видафункции f. Ориентиром для определения вида зависимости являются содержаниерешаемой задачи, результаты наблюдений за поведением показателя относительноизменения факторов на основе статистических данных. Например, выборочныенаблюдения пар наблюдаемых значений />, приведенные на Рис. 9.1a),говорят о линейном характере зависимости вида />, а на Рис 9.1b) — ополиномиальной зависимости вида />.

/>/>

Рис. 9.1. Примеры эмпирических зависимостей

Предположим, что в результате спецификации определеналинейная зависимость между показателем Y и факторами X1 ,… ,Xk:

/>/>

Задача третьего шага регрессионного анализа заключается вопределении конкретных числовых значений параметров />на основе статистических данных онаблюдениях значений Y, X1 ,… ,Xk.

Естественно, линейные зависимости вида (9.2.1) наиболеепросты для эконометрических исследований. Оказывается, что в ряде случаев квиду (9.2.1) можно привести и нелинейные зависимости с помощьюлогарифмирования, введения обратных величин и других приемов. Преобразованиенелинейных функций в линейные называется линеаризацией.

Начнем с очень простого примера. Предположим, что есть триобразца некоторого материала, массы которых />, />и />неизвестны. В наличии имеютсявесы, допускающие случайную нормально распределенную погрешность. Образцывзвешивают раздельно, получая при этом показания весов />, />и />соответственно. Затем три образцавзвешивают вместе и получают показания весов />. Если допустить, что весы всякийраз делают независимую ошибку, то, как правило, окажется, что />.

Если бы мы допустили ``идеальную'' ситуацию, когда весыопределяют массу абсолютно точно, то, очевидно, в четвертом взвешивании не былобы никакого смысла. Что касается реального опыта, когда к теоретическим массамдобавляются случайные ошибки, то интуитивно кажется, что четвертое взвешиваниеможет содержать в себе полезную информацию. Вопрос только в том, как ееправильно обработать.

Общая линейная модель

Теперь сформулируем и обсудим общую модель, а затем вернемсяк примеру.

Предположим, что неизвестные величины />последовательноизмеряются некоторым измерительным прибором, прибавляющим случайную ошибку,распределенную по нормальному закону />. Считая эти измерениянезависимыми между собой и обозначая результаты этих измерений через />соответственно,запишем

/>/>

(37)

где /> — независимые случайные величины,распределенные по закону />. Основное априорное допущениесостоит в том, что вектор />принадлежит некоторому линейномуподпространству />евклидова />-мерного пространства />. Заметим, чтоизмерения />,полученные в результате опыта вовсе не обязаны принадлежать />. Цель --получить оценку для вектора неизвестных параметров />, используя данные измерений />.

Так как />независимы и />имеет распределение />, нетрудновыписать функцию правдоподобия (т.е. совместную плотность распределения />,см. также /> 6.6):

/>/>

(38)

В качестве искомой оценки будем искать точку />, в которой функцияправдоподобия принимает максимальное значение:

Выражение (38) переписывается в следующем виде:

где /> — обычное евклидово расстояниемежду векторами в />. Отсюда видно, что максимальноезначение достигается в такой точке />, для которой

Из курса линейной алгебры известно, что такая точкаединствена и представляет собой проекцию />на подпространство />: />. Посколькузадача свелась к минимизации суммы квадратов, этот метод получил название методанаименьших квадратов/>.

Основы корреляционного анализа. Корреляционный момент и коэффициенткорреляции. Функциональная и статистическая корреляция зависимости. Выборочныйкоэффициент корреляции. Корреляционное отношение как мера корреляционной связи.

Корреляционный анализ позволяет количественно оценить связимежду большим числом взаимодействующих экономических явлений как междуслучайными величинами. Его применение делает возможным проверку различныхэкономических гипотез о наличии и силе связи между двумя величинами или группойвеличин. Корреляционный анализ тесно связан с регрессионным анализом, задачакоторого состоит в экспериментальном определении параметров корреляционныхзависимостей (см. §2.5 ) между экономическими показателями путем наблюдения захарактером их изменения. Одним из основных методов регрессионного анализаявляется метод наименьших квадратов, краткое содержание которого было изложенов §2.5. Модели, полученные с помощью регрессионного анализа, позволяютпрогнозировать варианты развития экономических процессов и явлений, изучитьтенденции изменения экономических показателей, т.е. служат инструментомнаучно-обоснованных предсказаний. Результаты прогноза являются исходнымматериалом для постановки реальных экономических целей и задач, для выявления ипринятия наилучших управленческих решений, для разработки хозяйственной ифинансовой стратегий в будущем.

Корреляционные моменты, коэффициент корреляции — эточисловые характеристики, тесно связанные во введенным выше понятием случайнойвеличины, а точнее с системой случайных величин. Поэтому для введения иопределения их значения и роли необходимо пояснить понятие системы случайныхвеличин и некоторые свойства присущие им.

Два или более случайные величины, описывающих некотороеявление называют системой или комплексом случайных величин.

Первые начальные моменты представляют собой математическиеожидания величин Х и Y, входящих в систему

σ1,0=mx σ0,1=my.

Совокупность математических ожиданий mx , myпредставляет собой характеристику положения системы. Геометрически этокоординаты средней точки на плоскости, вокруг которой происходит рассеиваниеточки (Х, Y).

Важную роль на практике играют также вторые центральныемоменты систем. Два из них представляют собой дисперсии величин Х и Y

/> />,

характеризующие рассеивание случайной точки в направленииосей Ox и Oy.

Особую роль играет второй смещенный центральный момент:

/>,

называемый корреляционным моментом (иначе — «моментомсвязи»)случайных величин Х и Y.

Корреляционный момент есть характеристика системыслучайных величин, описывающая, помимо рассеивания величин Х и Y, еще и связьмежду ними. Для того, чтобы убедиться в этом отметим, что корреляционный моментнезависимых случайных величин равен нулю.

Заметим, что корреляционный момент характеризует не толькозависимость величин, но и их рассеивание. Поэтому для характеристики связимежду величинами (Х;Y) в чистом виде переходят от момента Kxy кхарактеристике

/>/>,

где σx, σy — средниеквадратичные отклонения величин Х и Y. Эта характеристика называется коэффициентомкорреляции величин Х и Y.

Согласно определениям момента корреляции и коэффициентакорреляции

/>. /> (6.37)

Пусть имеется выборка />. Выборочным коэффициентомкорреляции называется оценка истинного коэффициента, полученная по формуле

/>. (6.38)

Здесь />, />, /> — выборочные средние значения идисперсии. Выборочный коэффициент корреляции является случайной величиной.Отсюда после вычисления />возникает необходимость проверкигипотезы о значимости полученной оценки. Проверяется гипотеза /> о равенстве нулюгенерального коэффициента корреляции против альтернативы /> о неравенстве нулюкоэффициента корреляции. Для проверки гипотезы /> против альтернативы /> используютстатистику

/>. />(6.39)

Известно [1], что эта статистика имеет распределениеСтьюдента с (n-2) степенями свободы. Введем уровеньзначимости />длярешения и тогда решающее правило принимает вид

/>. />(6.40)

Здесь /> - квантиль распределенияСтьюдента уровня (1-/>) с /> степенями свободы.

Для графической оценки корреляционной связи двух случайныхпеременных строят так называемые диаграммы рассеяния

Коэффициент корреляции определяет теснотулинейной корреляционной связи между двумя случайными переменными x и y. Однакокорреляционная связь между переменными не обязательно является линейной.Поставим задачу описания корреляционной связи в самом общем виде. Выяснимменяется ли одна случайная величина (y) при изменениидругой случайной величины (x). Рассмотримплоскость (xy), на которой заданы эти величины.На оси x укажем kточек в интересующем нас диапазоне значений и для каждой j-йточки этого диапазона измерим q раз значение переменнойy. В результате получаем kдиапазонов (групп) для величины y, в каждом изкоторых имеется q отсчетов. Значения y внутри отдельной группы будем рассматривать каксамостоятельную совокупность и для нее найдем внутригрупповую среднюю ивнутригрупповую дисперсию соответственно:

/>. (6.41)

(Отметим, что в пределах данного пункта используетсяформула для вычисления смещенной оценки дисперсии.)

Найдем среднюю арифметическую внутригрупповых дисперсий

/>, />(6.42)

а также среднее значение по всей совокупности точек

/>. (6.43)

Запишем выражение для расчета межгрупповой дисперсии,описывающей рассеяние групповых средних относительно средней по всейсовокупности точек

/>, />(6.44)

и выражение для расчета общей дисперсии, описывающейрассеяние отдельных точек относительно среднего по всей совокупности

/> /> (6.45)

Если переменная y связана с x функциональной зависимостью, то определенному значению x соответствует определенное значение y и в каждой группе содержатся q одинаковых чисел.Это означает, что внутригрупповая дисперсия /> равна нулю и на основание (6.51)

/>. (6.52)

Если же переменные x и y связаны корреляционнойзависимостью, то

/>. (6.53)

На основание данного важного свойства соотношениямежгрупповой и общей дисперсий вводится мера оценки тесноты корреляционнойсвязи

/>. (6.54)

Мера (6.54) называется выборочным корреляционнымотношением и характеризует тесноту как линейной, так и нелинейнойкорреляционной связи между двумя случайными величинами. Очевидно, что

/>. (6.55)

Поскольку наиболее общим видом связи двух переменныхявляется полиномиальная связь, можно сказать, что корреляционное отношениеоценивает тесноту связи вида

/> (6.56)

еще рефераты

Еще работы по экономико-математическому моделированию

Реферат по экономико-математическому моделированию

Теория вероятностей

1 Сентября 2013

Реферат по экономико-математическому моделированию

Теория измерений

1 Сентября 2013

Реферат по экономико-математическому моделированию

Уравнения регрессии

1 Сентября 2013

Реферат по экономико-математическому моделированию

Уравнения регрессии. Коэффициент эластичности, корреляции, детерминации и F-критерий Фишера

1 Сентября 2013