Реферат: Теория вероятностей

Задание1

Вероятность того, чтостудент сдаст первый экзамен равна 0,7; второй – 0,95; третий – 0,45. Вычислитьвероятность того, что студент сдаст:

а) один экзамен;

б) ни одногоэкзамена;

в) хотя бы дваэкзамена.

Решение:

а) Введемобозначения:

событие А – «студентсдаст только один экзамен»;

событие А1 — «студентсдаст 1-ый экзамен»

событие А2 — «студентсдаст 2-ой экзамен»

событие А3 — «студентсдаст 3-ий экзамен»

В соответствии с условиемзадачи:

Р(А1)=0,7 Р(А2)=0,95 Р(А3)=0,45

Тогда противоположныесобытия, т.е. события «студент не сдаст i-ый экзамен» />, имеютвероятности, соответственно:

/>, />,/>

Событие А можнопредставить в виде: />

Указанные слагаемыепредставляют собой несовместные события, поэтому по теореме сложениявероятностей несовместных событий имеем:

/>.

Так как события /> независимые, то, применяятеорему умножения вероятностей независимых событий, имеем:

Таким образом,вероятность того, что студент сдаст только один экзамен, равна />

б) Введемобозначения:

событие В – «студент несдаст ни одного экзамена»;

Таким образом,вероятность того, что студент не сдаст ни одного экзамена, равна />

в) Введемобозначения:

событие С – «студентсдаст хотя бы два экзамена»,

Так как в результатеданного испытания могут появиться три события: />,то появление хотя бы двух из них означает наступление либо двух, либо трехсобытий.

Следовательно, применяятеорему появления независимых событий, имеем:

Таким образом,вероятность того, что студент сдаст хотя бы два экзамена, равна />

Ответ: />;/>; />

Задание 2

На фабрикепроизводятся швейные изделия. Вероятность появления брака равна 0,10. Былавведена упрощенная сиситема контроля изделий, состоящая из двух независимыхпроверок. В результате k-ой проверки (k=1, 2) изделие удовлетворяющее стандарту, отбраковывается с вероятностью,/>, а бракованное изделиепринимается с вероятностью />.Изделие принимается, если оно прошло обе проверки. Найти вероятности событий:

а) бракованноеизделие будет принято;

б) изделие,удовлетворяющее стандарту, будет отбраковано;

в) случайновзятое на проверку швейное изделие будет отбраковано;

г) отбракованноеизделие удовлетворяет стандарту;

д) из 5 изделий,взятых на проверку, 1 изделие будет удовлетворять стандарту.

/>; />; />;/>

Решение:

Пусть А – событие,состоящее в том, что изделие удовлетворяет стандарту, /> - изделие не удовлетворяетстандарту, /> - изделие принимается при k-ой проверке; /> - изделие бракуется при k-ой проверке.

а) определимвероятность того, что бракованное изделие будет принято. Так как заранееизвестно, что изделие с браком, то вероятность события /> не учитывается. Чтобы этоизделие было принято, должно произойти событие />,т.е. бракованное изделие принимается полсе обеих проверок. Вероятность этогособытия равна:

б) найдемвероятность того, что изделие, удовлетворяющее стандарту, будет отбраковано.Здесь известно по условию, что оно уже удовлетворяет стандарту. Значитсоответствующее событие будет равно сумме двух событий: 1 – изделие отбракованопри первой проверке />; 2 – изделиебыло принято при первой проверке, но отбраковано при второй: />. Знаяит вероятность будетравна:

в) пусть С –событие, состоящее в том, что случайно взятое изделие на проверку будетотбраковано. Изначально нам не известно, какое изделие идет на проверку.

Возможны две гипотезы:

Н1 – на проверку идет изхделие,удовлетворяющее стандарту;

Н2 – на проверку идет бракованноеизделие.

По условию,

Р(Н1)=1-р=1-0,10=0,90

Р(Н2)=р=0,10

Вероятность искомогособытия найдем по формуле полной вероятности. Если событие может произойти лишьпри условии наступления какого-либо из несовместных событий-гипотез, образующихполную группу (т.е. какое-то одно из них обязательно наступает), то еговероятность равна сумме произведений вероятностей этих гипотез на условныевероятности искомого события при условии, что соответствующие гипотезыпроизошли. Таким образом, при двух гипотезах

Р(С)=Р(Н1)Р(С/Н1)+Р(Н2)Р(С/Н2)

Р(С/Н1)=р2=0,0592

Р(С/Н2)=1-р1=1-0,000006=0,999994

Следовательно,

Р(С)=0,90*0,0592+0,1*0,999994=0,05328+0,0999994=0,1532794

г) Отбракованноеизделие удовлетворяет стандарту. Следовательно произошла гипотеза Н1,при условии что наступило событие С. Вероятность этого события найдем поформуле Байеса, которая служит для переоценки вероятностей гипотез после того,как стало известно, что основное событие произошло. Таким образом,

д) Найдем вероятностьр3 того, что одно случайно взятое на проверку изделиеудовлетворяет стандарту. Это событие противоположно событию С. Значит, р3=1-Р(С)=1-0,1532794=0,8467206

Для нахождениявероятности тог, что из 5 изделий, взятых на проверку, только одно будет удовлетворятьстандарту, воспользуемся формулой Бернулли. />.

Ответ: а) />;

б) />;

в) Р(С)=0,1532794;

г) />;

д) />

Задание 3

Вероятность появлениясобытия в каждом из n=112 независимых испытаний постоянна и равна р=0,1. Найти вероятностьтого, что событие наступит не мене 10 и не более 14 раз.

Решение:

Вероятность того, что из n=112 испытаний, событие А — появитсяот m1=10 до m2=14, вычислим по формуле:

Где

По условию вероятность появлениясобытия, равна р=0,1.

Значит q=1-0,1=0,9

Согласно условию,

Значит,/>

Таким образом,вероятность наступления событии от 10 до 14 раз, равна />

Ответ: вероятностьнаступления событии от 10 до 14 раз, равна />
Задание4

СВ Х задана функциейраспределение F(х). Найти:

а) плотностьраспределения вероятностей;

б) математическоеожидание и дисперсию СВ Х;