Реферат: Схема Бернуллі

Міністерствоосвіти і науки України

Приватнийвищий навчальний заклад

Європейськийуніверситет

Запорізькафілія

Контрольнаробота

здисципліни: Теорія ймовірності і математична статистика

Варіант№ 5 — Схема Бернуллі

Виконав

Перевірив:

Запоріжжя,

2007р.

СХЕМАБЕРНУЛЛІ

У багатьохзадачах теорії ймовірностей, статистики та повсякденної практики требадосліджувати послідовність (серію) п випробувань. Наприклад,випробування «кинуто 1000 однакових монет» можна розглядати якпослідовність 1000 більш простих випробувань — «кинута одна монета».При киданні 1000 монет імовірність появи герба або надпису на одній монеті незалежить від того, що з'явиться на інших монетах. Тому можна казати, що у цьомувипадку випробування повторюються 1000 разів незалежним чином.

Означення 1.Якщоусі п випробувань проводити в однакових умовах і імовірність появи події А вусіх випробуваннях однакова та не залежить від появи або непояви А в іншихвипробуваннях, то таку послідовність незалежних випробувань називають схемоюБернуллі.

Нехай випадковаподія А може з'явитись у кожному випробуванні з імовірністю Р(А) =р або не з'явитись з імовірністю q= Р{А) = 1 — р.

Поставимо задачу:знайти імовірність того, що при п випробуваннях подія А з'явитьсят разів і не з'явиться п — т разів. Шукану імовірність позначимо Рп(т).

Спочаткурозглянемо появу події А три рази в чотирьох випробуваннях. Можливі такіподії

/>

тобто їх/>

Якщо подія А з'явилася2 рази в 4 випробуваннях, то можливі такі події

/>

/>

У загальномувипадку, коли подія А з'являється т разів у п випробуваннях,таких складних подій буде

/>

Обчислимо імовірністьоднієї складної події, наприклад,

/>

Імовірністьсумісної появи п незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цихподій згідно з теоремою множення ймовірностей, тобто

/>

Кількість таких складних подій/>і вони несумісні. Тому, згідноз теоремою додавання ймовірностей несумісних подій, маємо

/>

Формулу (1)називають формулою Бернуллі. Вона дозволяє знаходити імовірність появиподії А т разів при п випробуваннях, які утворюють схему Бернуллі.

Зауваження 1. Імовірністьпояви події Арп випробуваннях схеми Бернуллі менш т разів знаходять заформулою

/>

Імовірність появиподії А не менше т разів можна знайти за формулою

/>

або за формулою

/>

Імовірність появиподії А хоча б один раз у п випробуваннях доцільно знаходити за формулою

/>

Зауваження 2. Убагатьох випадках треба знаходити найбільш імовірне значення точисла т появ події А. Це значення т визначається співвідношеннями

/>

Число топовинно бути цілим. Якщо (п + 1)р — ціле число, тоді найбільше значення імовірність має придвох числах

/>

Зауваження 3.Якщо імовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює р, токількість п випробувань, які необхідно здійснити, щоб з імовірністю Рможна було стверджувати, що подія А з'явиться хоча б один раз, знаходять заформулою,

/>

Приклад 1. Прилад складено з 10 блоків,надійність кожного з них 0.8. Блоки можуть виходити з ладу незалежно один відодного. Знайти імовірність того, що

а)   відмовлятьдва блоки;

б)   відмовитьхоча б один блок;

в)   відмовлятьне менше двох блоків.

Розв'язання. Позначимо за подію А відмовублока. Тоді імовірність події А за умовою прикладу буде

Р(А) =р = 1-0.8 = 0.2, тому д = 1-р =1-0.2=0.8.

Згідно з умовоюзадачі п = 10. Використовуючи формулу Бернуллі та Зауваження 1, одержимо

/>

Приклад 2. За одну годину автоматвиготовляє 20 деталей. За скільки годин імовірність виготовлення хоча б однієїбракованої деталі буде не менше 0.952, якщо імовірність браку будь-якої деталідорівнює 0.01?

Розв'язання. Застосовуючи формулу (2),знайдемо спочатку таку кількість виготовлених деталей, щоб з імовірністю р =0.952 можна було стверджувати про наявність хоча б однієї бракованої деталі,якщо імовірність браку за умовою р = 0.01

/>

/>

Отже, зачас(годин) автомат з імовірністю 0.952 виготовить хоча б одну браковану деталь.

Приклад 3. При новому технологічномупроцесі 80 % усієї виготовленої продукції має найвищу якість. Знайти найбільшімовірне число виготовлених виробів найвищої якості серед 250 виготовленихвиробів.

Розв'язання. Позначимо шукане число то-ЗгідноЗауваження

За умовоюприкладу п = 250, р = 0.8, q— 0.2, тому

/>

/>

Але то повиннобути цілим числом, тому то = 200.

СПИСОКВИКОРИСТАНОІЛІТЕРАТУРИ

1.    Барковський В.В.,Барковська Н.В., Лопатін О.К. теорія ймовірностей та математична статистика. –К.: ЦУЛ, 2002. – 448с.

2.    Гмурман В.Е.Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1980.

3.    Гмурман В.Е.Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.– М.: Высшая школа, 1975.

4.    Гнеденко Б.В.Курс теории вероятностей. – М.: наука, 1988.

5.    Леоненко М.М.,Мішура Ю.С. та ін. Теоретико-ймовірностні та статистичні методи в економетриціта фінансовій математиці. – К.: Інформтехніка, 1995.