Реферат: Критерии устойчивости линейных систем
<span Courier New";mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Курсовая работа
<span Courier New";mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">по
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">основам радиоэлектроники
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">по теме: Критерииустойчивости линейных систем.
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Выполнил :
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Зазимко С.А.<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Принял :
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Кoтoусов А.С.<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Москва 1995 год
Т Е М А : Критерии устойчивости линейных систем.
Устойчивостьлинейных систем.
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">В реальной цепи, охваченной обратнойсвязью, всегда имеются реактивные элементы, накапливающие энергию. Даже вусилителе на резисторах имеются такие элементы в виде паразитных емкостей схемыи электронных приборов, переходные конденсаторы, индуктивности проводов и такдалее. Эти реактивные элементы создают дополнительные фазовые сдвиги и если накакой-либо частоте они в сумме дают дополнительный угол в 180, то обратнаясвязь превращается из отрицательной в положительную и создаются условия дляпаразитной генерации.
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Это обстоятельство во многих случаяхсущественно ограничивает эффективность применения обратной связи, так как прибольших значениях
<span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">½<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">K<span Kino MT"; mso-ascii-font-family:«Courier New»;mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:«Kino MT»"><span Kino MT"">y<span Courier New";mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> <span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">K<span Kino MT"; mso-ascii-font-family:«Courier New»;mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:«Kino MT»"><span Kino MT"">o<span Kino MT";mso-ascii-font-family: «Courier New»;mso-hansi-font-family:«Courier New»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:«Kino MT»"><span Kino MT"">c<span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">½<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> для устранения паразитной генерации требуются специальные устройства(фазокомпенсаторы и др.), уменьшающие крутизну ФЧХ в кольце обратнойсвязи. Однако оказывается, что введениев схему новых элементов приводит лишь к сдвигу частоты паразитной генерации вобласть очень низких или очень высоких частот.<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Итак, из выше сказанного следует, чтоприменение обратной связи тесно связано с проблемой обеспечения устойчивости цепи.
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Для правильного построения цепи ивыбора ее параметров большое значение приобретают методы определенияустойчивости цепи. Рассмотрим некоторые из них.
<span Courier New"; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA"><span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Алгебраические критерииустойчивости.
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> В настоящее время известно несколькокритериев, различающихся больше по форме, чем по содержанию. В основебольшинства из этих критериев лежит критерий устойчивости решенийдифференциального уравнения, описывающего исследуемую цепь.
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Пусть линейное однородное уравнение дляцепи с постоянными параметрами задано в форме :
<img src="/cache/referats/2153/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">где
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">x<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">- ток, напряжение и так далее., апостоянные коэффициенты <img src="/cache/referats/2153/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026"> — действительныечисла, зависящие от параметров цепи.<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Решение этого уравнения имеет вид:
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <img src="/cache/referats/2153/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">где
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">A<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">i <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">- постоянные, а <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">p<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">i <span Courier New";mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">- корни характеристического уравнения<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <img src="/cache/referats/2153/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">(1)<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Условие устойчивости состояния покоя цепизаключается в том, что после прекращения действия внешних возмущений цепьвозвращается в исходное состояние. Для этого необходимо, чтобы возникающие вцепи при нарушении состояния покоя свободные токи и напряжения былизатухающими. А это означает, чтокорни уравнения (1) должны быть либоотрицательными действительными величинами, либо комплексными величинами сотрицательными действительными частями. Из этих представлений вытекает следующийфундаментальный критерий устойчивости любых линейных систем :
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">“Cистемаустойчива, если действительные части всех корней характеристического уравненияотрицательны.”
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Это фундаментальное положение было основаноА.М.Ляпуновым, который в 90-х годах прошлого века заложил основы теорииустойчивости. В связи с этим приведенный выше критерий называют
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">критериемЛяпунова<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">.<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Заметим, что левая частьхарактеристического уравнения (1) представляет собой не что иное, как знаменатель передаточной функциицепи записанной в форме
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <img src="/cache/referats/2153/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Таким образом, корни характеристического уравнения цепи являются полюсами передаточнойфункции
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">К(р) <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> этой цепи.<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Отсюда следует, что сформулированные вышеусловия отрицательности действительных корней равносильны следующемуутверждению:
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">дляустойчивости цепи необ-ходимо, чтобы передаточная функция <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">К(р) неимела полю-сов в правой полуплоскости комплексной переменной р.<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> В тех случаях, когда цепь описываетсядифференциальным уравнением высокого порядка, исследование корнейхарактеристического уравнения, необходимое для решения вопроса об устойчивостисистемы, является сложной задачей.
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Однако ее можно решить, анализируясоотношения между коэффициентами уравнения без определения самих коэффициентов.Это можно сделать с помощью теоремы Гурвица, которая утверждает, что для того,чтобы действительные части всех корней уравнения
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <img src="/cache/referats/2153/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">cдействительными коэффициентами и
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">b<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">0<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">>0<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> были отрицательными, необходимо идостаточно, чтобы были положительными все определители <span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">D<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">1, <span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">D<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">2, ..., <span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">D<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">m<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">, составленные из коэффициентовуравнения по следующей схеме :<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/2153/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">и т. д.<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Сформулированный алгебраический критерийустойчивости называют
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">критерием Рауса — Гурвица<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">.<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">При составлении определителей поуказанной схеме коэффициенты с индексом, превышающим степеньхарактеристического уравнения заменяют нулями.
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">ПРИМЕР:
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Для уравнения четвертой степениполучаются следующие определители :
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/2153/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">В результате несложно видеть, чтовыполняется равенство
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <img src="/cache/referats/2153/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Отсюда по теореме Гурвица следуютусловия устойчивости (в виде следующих неравенств):
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <img src="/cache/referats/2153/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1034">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Так, для характеристического уравнениявторой степени
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <img src="/cache/referats/2153/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1035">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Критерий Рауса — Гурвица особенно
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">удобен<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> для проверки устойчивости цепи сзаданными параметрами: вычисления относительно просты. <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Недостатком<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> этого критерия является ограниченностьприменения: область применения критерия ограничена цепями с сосредоточеннымипараметрами, поскольку только для них передаточная функция выражается черезмногочлены. Кроме того этот критерий не дает ясных указаний на то как изнеустойчивой цепи сделать устойчивую.<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Геометрические критерии устойчивости.
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Требование,чтобы передаточная функция<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <img src="/cache/referats/2153/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1036">
<img src="/cache/referats/2153/image026.jpg" v:shapes="_x0000_i1037">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">неимела полюсов в правой полуплоскости
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">р = <span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">s<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol"> <span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">+<span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol"><span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">i<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">w<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">, т.е. в области, ограниченной полуплоскостью бесконечно большого радиуса <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">R<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> и осью <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">i<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">w<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New";mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">(см. рисунок), равносильно условию, что знаменательвыражения (2) не должен иметь нулей в указанной области или, что то же, функция<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <img src="/cache/referats/2153/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1038">
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">(*)<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">недолжна обращаться в единицу ни в одной из точек правой полуплоскости р.
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<img src="/cache/referats/2153/image030.jpg" v:shapes="_x0000_i1039">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Но
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Н(р)<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> представляет собой передаточнуюфункцию разомкнутого кольца обратной связи, то есть отношение напряжения назажимах 2-2 к напряжению на зажимах 1-1 при разомкнутой системе, как этопоказано на рисунке 2.<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Для дальнейшего анализа перейдем откомплексной плоскости
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">р <span Courier New";mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">на другую комплексную плоскость <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Н(р)=u+i <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">(см.рисунок 3).<img src="/cache/referats/2153/image032.jpg" v:shapes="_x0000_i1040">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">При этом каждой точке
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">р<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> плоскости <span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">s<span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">,<span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">i<span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">w<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> соответствует определенное значение <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Н<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> на плоскости <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">u,iv<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">. И любой замкнутый контур на плоскостиперейдет в некий, также замкнутый контур на плоскости <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Н<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">.<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Если исходный контур на плоскости
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">р<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> задан в виде контура как на рисунке 1,то соответствующий ему контур на плоскости <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Н<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> называется <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">годографом<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">функции <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Н(p).<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Показанный на рисунке 1 контур можноразбить на два участка: прямую
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">iw<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">от <span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">до<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">-<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> и полуокружность бесконечно большогорадиуса <span Courier New";mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">R.<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Напервом участке, где <span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">s<span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">=<span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">0<span Courier New"; mso-hansi-font-family:«Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">,<span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol"><span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> р=<span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">i<span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">w<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">,<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> функция <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">H(p)<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> обращается в функцию <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">H(<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">i<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">w<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">). <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">В соответствии с выражением <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">(*)<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">этот участок преобра-зуется на плоскости <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">H<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> в линию, определяемую следующимcоотношением<img src="/cache/referats/2153/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1041"><span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">откуда
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <img src="/cache/referats/2153/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1042">
<img src="/cache/referats/2153/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1043">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">В этих выражениях аргументы переда-
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">точных функций соответственно четырехполюсников
<img src="/cache/referats/2153/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1044">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">.
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> На втором рисунке контура (см. рисунок 1)при
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">R<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">®<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol"> <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">функция <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">H(p)<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">®<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">0.<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Это вытекает из общего выражения<img src="/cache/referats/2153/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1045">
<img src="/cache/referats/2153/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1046">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">котороепри
<span Courier New"; mso-hansi-font-family:«Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">½<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">p<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">½<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">®<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">можно представить в виде (под Вподразумевается постоянный коэффициент, а <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">p0i<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">и<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">pпi<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">- соответственно нули и полюсы функции К(р)).<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Совершенно аналогично и функцию
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Н(р)<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> при <span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">½<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">p<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">½<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">®<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">можно представить в форме <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">H(p) = Apn-m<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> где <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">n<span Courier New";mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> и <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">m <span Courier New";mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> — числасоответственно нулей и полюсов функции <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Н(р).<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> При
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">n < m<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> и <span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">½<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">p<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">½<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">®<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">модуль функции <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">H(p)<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> на полуокружности <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">R <span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">®<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">равен нулю. Таким образом,полуокружность бесконечно большого радиуса <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">R<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> на плоскости <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">р <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">преобразуется в точку, лежащую в началекоординат на плоскости <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Н<span Courier New";mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">, и для построения годографа <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Н<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> в виде замкнутого контура достаточнознать поведение <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Н(р)<span Courier New";mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> на оси <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">iw<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">, то есть знать АЧХ и ФЧХ цепи<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Ky(iw),Koc(iw).<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Обходу контура на рисунке 1 в положительномнаправлении (против часовой стрелки) соответствует обход годографа
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Н<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> при изменении частоты от <span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> до<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> -<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">, т.е. также против часовой стрелки(см. рисунок 3).<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Следовательно,
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">еслигодограф передаточной функции разорванного кольца не охватывает точку 1,i0, топри замкнутой цепи обратной связи система устойчива, в противном случае системанеустойчива.<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Это условие называют
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">критериемустойчивости Найквиста<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">, агодограф H(iw) — диаграммой Найквиста.<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Показанная на рисунке 3 диаграммасоответствует устойчивой системе. Это видно из того, что годограф
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Н<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> не охватывает точку 1,i0. Сплошной линией показана частьконтура, соответствующая положительным частотам <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">0<w<<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">,<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> а штриховой — часть контура,соответствующая отрицательным частотам. Так как функция <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">u(w)<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> четная, а <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">v(w)<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> нечетная относительно w, то оба годографасимметричны относительно действительной оси.<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Рисунок 3 был построен для случая, когдапри
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">w= 0<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> передаточнаяфункция <span Courier New";mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Н(iw)<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">отлична от нуля ( эта возможно, например, для усилителей постоянного тока, вкоторых отсутствуют разделительные конденсаторы).<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<img src="/cache/referats/2153/image046.jpg" v:shapes="_x0000_i1047">
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Пример диаграммы Найквиста длянеустойчивой системы приведена на рисунке 4.
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Рисунок4<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Основное
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">преимущество<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> данного метода: удобство оперированияс АЧХ и ФЧХ разомкнутой цепи.<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Следует отметить, что при сложной схемеустройства форма диаграммы бывает настолько усложнена, что по ней сложно судитьо попадании точки 1,i0 в замкнутый контур годографа. В подобных случаяхоказывается полезным
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">критерий, вытекающий из критерияНайквиста<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">, основанныйна подсчете числа пересечений годографом оси <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">U<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">н<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">(w) <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">на участке <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">1,<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">.<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Для устойчивости системы тогданеобходимо, чтобы годограф либо вообще не пересекал этот отрезок (так, какпоказано на рисунке 4), либо пересекал его в положительном и отрицательномнаправлениях одинаковое число раз
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New"; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA"><span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">* * *
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Справедливостиради необходимо заметить, что известны и другие геометрические методыисследования устойчивости линейных систем с обратной связью, например критерийМихайлова и критерий пересечений. Они широко применяются при анализе системавтоматического регулирования. Но мы не будем рассматривать их в данной работе, а при необходимости, с ними можнопознакомиться в книге:
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">КотельниковВ.А., Николаев А.М. “Основы радиоэлектроники”<span Courier New";mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA"><span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Ли т е р а т у р а
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> .<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">1.
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> С.И. Баскаков “Радиотехнические цепи исигналы”, 1983. М.:Высшая школа.<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">2.
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> И.С. Гоноровский “Радиотехнические цепии сигналы”, 1986<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> М.: Радио и связь.