Реферат: Методика изучения темы: «Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей в школьном курсе математики 7- 9 классов» Из опыта работы учителя математики моу сош №5

1 Методика изучения темы: « Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей в школьном курсе математики 7- 9 классов»

Из опыта работы учителя математики МОУ – СОШ №5

Сливко Натальи Анатольевны


О необходимости изучения в школе элементов теории вероятностей и статистики речь идет очень давно. Приведу, например, цитату более чем столетней давности:

« Приходилось слышать, что теория сочетаний и бином Ньютона предлагаются иногда, как отделы, которые можно было сократить. Соглашусь на другие сокращения, выскажусь решительно против сокращения теории сочетаний. Теория эта по – особенному значению своему принадлежит к таким отделам, преподавание которых в гимназии следует непременно сохранить и поставить в лучшие условия. Теория сочетаний представляет средство для одной из важнейших способностей ума – способности представлять явления в разных комбинациях. Эта способность нужна в жизни всякому…». Так в 1899 году попечитель Московского учебного округа профессор П.А. Некрасов на совещании по вопросам средней школы описывал значение и место в школьном образовании того, что принято называть стохастической линией в преподавании математики.

По вопросам реформирования и модернизации нынешнего школьного математического образования существует множество весьма различных мнений. При этом среди вопросов о содержании школьной математики никто не подвергает сомнению необходимость включения стохастической линии в школьный курс, поскольку именно изучение и осмысление теории вероятностей и стохастических проблем развивает комбинаторное мышление, так нужное в нашем перенасыщенном информацией мире

Все мы довольно часто говорим «это невероятно», «более вероятно, что ..», « это мало вероятно», « можно утверждать со стопроцентной вероятностью, что …», когда пытаемся спрогнозировать наступление того или иного события. При этом мы опираемся на интуицию, жизненный опыт, здравый смысл и т. п. Но очень часто такие приблизительные оценки оказываются недостаточными: бывает важно знать, на сколько или во сколько раз совершение одного случайного события вероятнее другого. Иными словами, нужны точные количественные оценки, надо уметь численно характеризовать возможность наступления того или иного события. Раздел математики, посвященный исследованию количественных оценок случайных событий называется теорией вероятностей.

Её основателями считают Пьера Ферма и Блеза Паскаля. Эти французские ученые

17 века первыми нашли ключ к составлению количественной оценки вероятности события. Они использовали метод, который позже был назван комбинаторным анализом, или, проще, комбинаторикой.

Приведу пример, который иллюстрирует все вышесказанные слова.

Начальник написал 10 различных писем и поручил своему помощнику подписать 10 конвертов с нужными адресами. Тот так и сделал, но дальнейшее перепоручил секретарше. Она выполнила это ответственное задание формально, то есть разложила письма по конвертам, не обращая внимания на адреса. Какова вероятность

2

того, что ни одно письмо не попало в нужный конверт? Ответ оказывается на удивление большим: вероятность такой масштабной ошибки превышает 36%!

Раздел математики : «Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в школьный курс введен совсем недавно. Введение этих вопросов – веление времени. Для учителей этот раздел новый, все когда – то изучали эти вопросы в институте, но это было давно и учили нас, а теперь нам надо вспомнить

( можно сказать: выучить заново) и научить своих учеников.


Стохастическая линия в преподавании математики вводилась постепенно.

В 2002 - 2003 учебном году в курс алгебры 7 класса ввели тему «Элементы статистики», которая была рассчитана на 4 часа, и предлагалось ее изучать в конце учебного года за счет уроков повторения. В дальнейшем в 2003 – 2004 учебном году уже в 7 – 8 классах, а с 2004 – 2005 учебного года в 7 – 9 классах изучается тема

« Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей». Рассмотрение этих вопросов также планировалось в конце учебного года, что было не очень удачным. Каждый учитель знает как трудно воспринимают дети новые темы в мае месяце.

В декабре 2007 года впервые в краевые диагностические работы были включены задачи по комбинаторике.( у меня не было тогда 9 класса).

В 2010 в апрельскую краевую диагностическую работу также включили задачи по комбинаторике ( 38% учащихся 9 «А» класса справились с решением этих задач). При проведении ГИА по алгебре в 9классах в 2010 году были включены задания по статистике и теории вероятностей. ( 84% учащихся 9 «А» верно выполнили эти задания)

В демоверсию ГИА по математике 9 класса 2011 года также входят такие задачи.

В 2010 – 2011 учебном году вопросы стохастической линии распределены следующим образом:


Касс

Количество

часов

Сроки

проведения

7

4

октябрь

8

5

апрель

9

10

март



Из таблицы видно, что сроки проведения уроков боле подходящие, чем прежде.

Когда только вводили стохастическую линию в школьный курс то в учебниках материала по этим темам не было, потом появились отдельные брощюры . как дополнение к учебникам алгебры: А.Г. Мордкович, П.В. Семенов « События. Вероятности. Статистическая обработка данных. 7 – 9 классы » издательство Мнемозина 2005г;


3

Ю.Н. Макарычев , Н.Г. Миндюк « Элементы статистики и теории вероятностей. Алгебра 7 – 9 классы» издательство Просвещение 2008 г.

Позже эту информацию поместили в новые учебники В учебниках Мордковича - в 2008 году, а в учебниках Макарычева в 2010 году.

Я предлагаю учителям района свой опыт преподавания этих вопросов. Мною разработано 13 уроков, где подробно расписана методика изучения, закрепления нового материала, а также предложены самостоятельные работы в тестовой форме для проверки полученных знаний. Представлены решения всех задач, которые даются учащимся на уроке и дома, даны ответы ко всем тестовым самостоятельным работам. Также предлагаю презентации, которые удалось отыскать в Интернете, это опыт других учителей, я его использовала при проведении своих уроков. Этот материал я собрала в одну папку, систематизировала. Каждый учитель может творчески переработать предложенные версии и применять на своих уроках

Надеюсь, что моя работа поможет учителям при подготовке и проведении уроков

стохастической линии.


^ Начну с 7 класса, там по плану на тему « Статистические характеристики» отводится 4 часа


1 урок. Тема « Среднее арифметическое, размах и мода»

Цель: Познакомить с этими понятиями, научить их находить

В начале урока сообщаю детям что такое статистика

Статистика – наука, которая занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, про исходящих в природе и обществе.

( Этот термин можно дословно понимать так : статистика- состояние, положение вещей)

Сегодня мы познакомимся с некоторыми статистическими характеристиками:

1 ^ Среднее арифметическое ряда чисел – это частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.


Можно в тетрадях сделать такую запись:

Среднее арифметическое = (сумма чисел : количество чисел)

Среднее арифметическое ряда чисел - результат после деления суммы чисел на их количество

Пример1. Выделили группу из семиклассников и попросили отметить в определнный день время (мин), затраченное на выполнение домашнего задания по алгебре. Получили такие данные: 23, 18, 25, 20, 25,25, 32, 37, 34 , 26, 34, 25.


4

Найдем сколько минут в среднем учащиеся затратили на выполнение домашнего задания по алгебре ( 23 + 18 + 25 + 20 + 25 + 25 + 32 + 37 + 34 + 26 + 34 + 25 ): 12 = =324 : 12 = 27 мин.

27 – среднее арифметическое рассматриваемого ряда


Где применяют среднее арифметическое: В сельском хозяйстве на фермах, если все количество молока (в литрах) , полученное за сутки делят на количество коров , то узнают среднесуточный удой от одной коровы. Среднюю урожайность пшеницы с 1га находят так: весь полученный урожай пшеницы (в центнерах) делят на площадь полей, засеянных этой культурой (в га). Средняя выработка рабочего бригады за смену = ( работа всей бригады) : (количество рабочих)

Но иногда вычисление среднего арифметического не дает полезной информации. Например: Нецелесообразно использовать такие данные как: средняя температура больных в терапевтическом отделении, средний размер обуви, который носят учащиеся школы, средняя урожайность зерновых и бахчевых культур в фермерском хозяйстве

Далее ввожу очень важное понятие

^ Упорядоченный ряд чисел – такой ряд, в котором каждое последующее число не меньше (или не больше) предыдущего ( другими словами расположить числа в порядке возрастания )

Если ряд упорядочен, то легко находить следующие характеристики: размах и моду


Опр. Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.


Пример2 В течение суток отмечали каждый час температуру воздуха в ст Старовеличковской в ноябре 2010 года

7, 7, 6, 6, 5. 5, 6, 7, 9, 11, 13, 16, 18, 20, 22, 21, 18, 15, 13, 10, 9, 9, 8, 8.

Найдите среднее арифметическое и размах этого ряда


Решение .

1) Упорядочим данный ряд, получим

5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 11, 13, 13, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 22.


2). Найдем среднее арифметическое

(2 ∙ 5 + 6 ∙3 + 7 ∙ 3 +8 ∙2 + 9 ∙ 3 + 10 +11+ 13 ∙ 2 + 15 + 18 + 20 + 12 + 22 ∙ 2) : 24 =

=248 : 24 = 10,3

3) Размах ряда чисел равен 22 – 5 = 17

Среднее арифметическое показывает какова среднесуточная температура воздуха, а размах характеризует колебание температуры в течение этих суток.

Опр. Модой ряда называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.

Ряд чисел может иметь более одной моды, а может не иметь моды совсем.


Пример3. Найти моду и размах следующих числовых рядов:

5

а) 12, 14, 13, 15, 16, 17, 19.

б) 47, 46, 50, 52, 47, 52, 49, 45.

в) 69, 68, 66, 70, 74, 63, 74, 72.


Решение


Каждый из этих рядов сначала упорядочим, а затем найдем моду и размах

а) 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19.

моды у этого ряда нет, размах равен 19 – 12= 7

стр. 3

б) 45, 46, 47, 47, 49, 50, 52, 52.

у этого ряда две моды : 47 и 52.

52 – 45 = 7 – размах ряда

в) 63, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 74.

число 74 – мода ряда,

74 – 63 = 11 размах ряда

Примеры 1-3 разбираем вместе с учащимся, они помогают упорядочить ряд, найти среднее арифметическое , моду и размах . Все примеры записываются в тетрадь.


В оставшееся на уроке время решаем подобные задания, с целью закрепления полученных знаний

Теперь уже кто- то из уч-ся решает предложенные упражнения у доски, а остальные в тетрадях. Решаем с комментариями, ссылаясь на определения новых понятий


№ 168 . Найдите среднее арифметическое, размах и моду ряда чисел:

а) 32, 26, 18, 26, 15, 21, 26; б) 21,18,5,25,3,18,5,17,9;

в) 67,1, 68,2, 67,1, 70,4, 68,2; г) 0,6, 0,8, 0,5, 0,9, 1,1.

Домашнее задание : Выучить определения, решить №169, №177 по учебнику Ю. Н. Макарычева


2 урок. Тема « Среднее арифметическое, размах и мода»

Цель: Закрепление знаний учащихся, проверка умений и навыков находить среднее арифметическое, размах и моду ряда.


В начале урока обязательно проверяем домашнее задание. Решение упражнений проверяем устно. Добиваюсь, чтобы каждый ученик ответил на вопросы:

1) Что такое статистика?

2) Что такое среднее арифметическое ряда чисел?

3) Что такое упорядоченный ряд?

4) Размах ряда?

5) Мода ряда?

6

Для этого применяю групповую форму работы: класс делится на 4-5 групп, в каждой группе есть эксперт, он отвечает учителю, а затем слушает своих товарищей в группе и дает оценку их ответу, таким образом, за 7 - 10 мин все отвечают

Затем решаем вместе упражнение :

1. На соревнованиях по фигурному катанию судьи поставили спортсмену

следующие оценки:

5,2, 5,4, 5,5, 5,4, 5,1, 5,1, 5,4, 5,5, 5,3.

Для полученного ряда чисел найдите среднее арифметиче­ское, размах и моду. Что характеризует каждый из этих по­казателей?

Далее предлагаю самостоятельную работу


Самостоятельная работа


ВАРИАНТ1

1. В аттестате о среднем образовании у вы­пускника школы - оказались следующие оценки: 4, 4, 5, 5, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 4, 4, 5, 4, 4;

С каким средним баллом окончил школу этот выпускник? Укажите наиболее типичную для него оценку в аттестате. Какие статистические характерис­тики вы использовали при ответе?


2. Найти среднее арифметическое, размах, моду ряда чисел 321, 323, 321, 324, 319.


ВАРИАНТ2

1. В аттестате о среднем образовании у вы­пускника школы - оказались следующие оценки :3, 4, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 4;

С каким средним баллом окончил школу этот выпускник? Укажите наиболее типичную для него оценку в аттестате. Какие статистические характерис­тики вы использовали при ответе?


2. Найти среднее арифметическое, размах, моду ряда чисел 253, 257, 254, 255, 254.


Ответы Вариант №1

Задание1

Упорядочим ряд 4,4, 4, 4 ,4, 4,4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5.

( 4∙9 + 5∙ 6 ) : 15 = 66: 15 = 4,4 – средний балл аттестата

4- типичная оценка

При ответе использовали : среднее арифметическое и моду ряда

Задание2

Упорядочим ряд 319, 321, 321,323, 324.

( 319 + 321 + 321 + 323 + 324 ) : 5 = 321,4 – среднее арифметическое

321 – мода ряда

324 – 319 = 5 – размах ряда

Вариант №2

7

Упорядочим ряд 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5

( 3 ∙ 9 + 4 ∙5 + 5 ) : 15 = ( 27 + 25 ) : 15 = 52 : 15 = 3,46

3 – типичная оценка

При ответе использовали : среднее арифметическое и моду ряда

Задание2

Упорядочим ряд 253, 254, 254, 255, 257.

( 253 + 254 + 254 + 255 +257 ) : 5 = 254,6 - среднее арифметическое

254 – мода ряда

257 – 253 = 4 - размах ряда


Проверку самостоятельной работы можно провести сразу или собрать тетради для проверки . Все будет зависеть от темпа работы класса и отдельных учащихся.

Обычно кто быстро решает, тот получает оценку сразу, кто медленнее, те узнают оценку на следующий урок.


Домашнее задание №171, 172,180


3 урок. Тема: « Медиана как статистическая характеристика»

Цель: Познакомить уч-ся с медианой как статистической характеристикой, научить находить медиану


1.После проверки домашнего задания и выставления оценок за самостоятельную работу ( 10- 12 мин), приступаю к объяснению нового материала


Опр. Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине

Опр. Медианой упорядоченного ряда с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Опр. Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.


Пример 1. В таблице показан расход электроэнергии в январе жильцами 9 квартир:


Номер квартиры

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Расход электроэнергии, кВт ∙ ч

85

64

78

93

72

91

72

75

82

Найдите медиану указанного ряда чисел.


Решение. Составим из данных, приведенных в таблице, упорядоченный ряд:

8

64, 72, 72, 78,82, 85, 91,93.

В полученном упорядоченном ряду девять чисел – нечетное число членов. Посередине находится пятый член ряда – это 78. Значит, медиана данного ряда равна 78.

Ответ: 78.


Пример 2. В таблице показан расход электроэнергии в январе жильцами 10 квартир:


Номер квартиры

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Расход электроэнергии, кВт ∙ ч

85

64

78

93

72

91

72

75

82

88



Найдите медиану указанного ряда чисел.

Решение. Составим из данных, приведенных в таблице, упорядоченный ряд:

64, 72, 72, 78,82, 85, 88, 91,93.

В этом числовом ряду четное число членов и имеются два числа, расположенные в середине ряда: 78 и 82. Найдем среднее арифметическое этих чисел: . Число 80, не являясь членом ряда, разбивает этот ряд на две одинаковые по численности группы, поэтому говорят, что число 80 медиана данного упорядоченного ряда, а также исходного ряда данных, записанных в таблице.

Ответ: 80.

Для закрепления нового материала решаем подобные задания из учебника


186. Найдите медиану ряда чисел:


а) 30, 32, 37, 40, 41, 52, 45, 49, 52; б) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417;


187. Найдите среднее арифметическое и медиану ряда чисел:


а) 27, 29, 23, 31, 21, 34;


Домашнее задание №186 (в,г) №187 (б ) №189


4 урок. Тема: « Медиана как статистическая характеристика»

Цель: Закрепление знаний учащихся, проверка умений и навыков находить среднее арифметическое, размах , моду, медиану ряда.


9

После проверки домашнего задания решаем упражнения


1. В таблице показано число посетителей выставки в разные дни недели:


День недели

Пн

Вт

Ср

Чт

Пт

Сб

Вс

Число посетителей

604

638

615

636

625

710

724


Найдите медиану указанного ряда данных. В какие дни недели число посетителей выставки было больше медианы?


2. Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся: 158, 166, 134, 130, 132. На

сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

Чтобы активизировать работу учащихся можно организовать работу у доски таким образом: первый уч-ся упорядочивает ряд чисел, второй находит среднее арифметическое, третий находит медиану, четвертый отвечает на вопрос , поставленный в задаче


3. Найдите медиану, размах, моду ряда 2,4; 2,1; 2,7; 2,4; 2,5; 2,3


Затем предлагается самостоятельная работа

Самостоятельная работа

Вариант1

№1.Найдите моду числового ряда 16,8; 13,2; 35; 13,2; 13,5; 37,8; 13,2; 25,6; 27; 45

А. 27 Б. 31,5 В. 31,5 Г. 13,2


№2. Найдите медиану выборки 14,9; 13,1; 2,6; 13,1; 13,4; 28,3; 13,1; 31,5; 25; 34

А.34; Б.13,4; В.14,15; Г. 28,3


№3 Каждые полчаса гидролог замеряет температуру воды в водоёме и получает следующий ряд значений: 13,9; 14,2; 13,8; 14,3; 13,8; 14,4; 13,7; 13,9; 13,8; 14; 13,8

Найдите размах этого ряда


А. 13,9; Б.0,7; В. 14,4; Г.13,7

№4 Записана высота (в см) пяти саженцев-трехлеток яблони сорта «Антоновка»: 147, 140, 136, 153, 134. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

Вариант2


№1. Найдите медиану выборки 12,5; 12,9; 12,1; 13; 14,3; 13,6; 13,2; 14,5 !2,3; 14.

10


А.13; Б. 13,1 В.13,2; Г.1,5


№2 Найдите моду числового ряда 15,4; 16,7; 14,3 ; 15,8; 16,7; 14,3; 14; 16,7; 16; 15.


А.14,3; Б.2,4; В. 16,7; Г. 16,6

№3 Каждые полчаса метеоролог замеряет температуру воздуха и получает следующий ряд значений: 10,5; 11,2; 13,1; 13,3; 13; 12,4; 12,7; 13,3; 13,8; 13,5; 13,1

Найдите размах этого ряда

А.3,3 Б. 13,1 В. 10,5 Г. 13,05

№4 В течение четверти Дима получил следующие отметки по физике: 2, 3, 3, 4, 2, 5, 4, 4, 3, 4, 5, 3, 3, 5, 4. Найдите среднее арифметическое отметок и медиану оценок. В ответе запишите разность медианы и среднего арифметического.

^ Ответы для самостоятельной работы





№1

№2

№3

№4

1 вариант

Г

В

Б

2

2 вариант

Б

В

А

-0,1



Задания для самостоятельной распечатываю для каждого ученика и на дом задаю соседний вариант, таким образом, в результате у ребят формируются прочные знания по этим вопросам. По текстам этой самостоятельной работы в 9 классе после повторения теоретических вопросов можно еще раз провести самостоятельную работу


В 8 классе по учебнику Макарычева отводится 4 часа на изучение элементов статистики, где изучают наглядное представление статистической информации, а именно : Чтение и построение столбчатых и круговых диаграмм, полигона и гистограмм. Материал не сложный. В 9 классе на изучение элементов комбинаторики и теории вероятностей отводится 13 часов. Остановлюсь на этих уроках


1 урок Тема: «Примеры комбинаторных задач. Правило умножения »


Цель: Познакомить с понятием комбинаторика, рассмотреть на примерах решение простейших комбинаторных задач

11


Познакомившись с различными учебными пособиями, которые предлагаются для учащихся и учителей пришла к выводу, что наиболее доступно проводится объяснение в учебнике Макарычева, поэтому объяснение нового материала провожу по примерам, предложенным в этом учебнике


Задачи, в которых составляют различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывают число таких комбинаций называются комбинаторными.

Комбинаторика – раздел математики, где решают такие задачи

Пример 1. Перебор возможных вариантов

Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека- Антонов, Григорьев, Сергеев, и Федоров, тренер выделяет двоих для участия в соревнованиях пар. Сколько существует вариантов выбора такой пары?

В рассуждениях для краткости будем писать первые буквы фамилий

А, Г, С, Ф

АГ, АС, АФ – это пары , в которые входит Антонов

ГС, ГФ – это пары , в которые входит Григорьев но не входит Антонов

СФ это пары , в которые входит Сергеев , но не входят Антонов и Грирорьев

У нас получилось 6 пар


Пример 2 Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза

проведем перебор вариантов по схеме, которую называют деревом возможных вариантов


Первая цифра 1 3 5 7


Вторая цифра 3 5 7 1 5 7 1 3 7 1 3 5


Третья цифра 5 7 3 7 3 5 5 7 1 7 1 5 3 7 1 7 1 3 3 5 1 5 1 3


Всего получается 24 числа

Ответ на этот вопрос можно получить, не выписывая сами числа. Рассуждаем так:

Первую цифру можно выбрать четырьмя способами , т.к. после выбора первой цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать уже тремя способами. Наконец, третью цифру можно выбрать ( из оставшихся двух) двумя способами

Следовательно общее число искомых трехзначных чисел равно произведению

4 ∙ 3 ∙ 2 = 24

Ответ на этот вопрос мы нашли используя комбинаторное правило умножения

В общем виде это правило формулируется так:

12

Пусть имеется п элементов и требуется выбрать из них один за другим к элементов.

Если первый элемент можно выбрать п1 способами, после чего второй элемент можно выбрать п2 способами из оставшихся , затем третий элемент можно выбрать п3 способами из оставшихся и т. д. , то число способов , которыми могут быть выбраны все к элементов, равно произведению п1 ∙ п2 ∙ п3 ∙ … ∙ пк.


Пример 3


Из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С – три дороги , из города С до пристани - две дроги. Туристы хотят проехать их города А через города В иС к Пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?


А В С Пристань

Решение

Путь из А в В туристы могут выбрать двумя способами. Далее в каждом случае они могут проехать из В в С тремя способами. Значит, имеются 2 ∙ 3 вариантов маршрута из А в С. Так как из города С на пристань можно попасть двумя способами, то всего существует 2 ∙ 3 ∙ 2, т. е. 12 способов выбора туристами маршрута из города А к пристани


После решения этих примеров решаем подобные задачи, для того чтобы закрепить полученные знания


№1 Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

Эту задачу можно решить тремя способами

1 способ ^ Перебор возможных вариантов

В, Р, Ф.

ВРФ, ВФР, РВФ, РФВ, ФВР, ФРВ


2 способ Построить дерево возможных вариантов


В Р Ф

Р Ф В Ф В Р

Ф Р Ф В Р В


^ 3способ Применить комбинаторное правило умножения

3∙ 2 =6


№2 В магазине продаются рубашки 4 цветов и галстуки 8 цветов. Сколько существует способов выбрать рубашку с галстуком


13

Применим правило умножения 4∙ 8 = 32


№3 Из цифр 4,6,7составьте различные трехзначные числа без повторяющихся цифр. Сколько всего чисел можно составить. Найдите наибольшее число

Построим дерево возможных вариантов

4 6 7

6 7 4 7 4 6

7 6 7 4 6 4


Ответ: 6 чисел , наибольшее 764


№4 Используя цифры 5,4,9,0 составьте всевозможные трехзначные числа, взаписи которых цифры не повторяются


Построим дерево возможных вариантов, учитывая то , что 0 не может стоять на первом месте

5 4 9

4 9 0 5 9 0 5 4 0

9 0 4 0 4 9 9 0 5 0 5 9 4 0 5 0 5 4

По правилу умножения 3∙3 ∙2 = 18

Ответ : 18 чисел


Домашнее задание №714, №715 №726


2урок Тема: «Примеры комбинаторных задач. Правило умножения »


Цель: Закрепление знаний учащихся. Формирование прочных навыков решения простейших комбинаторных задач


1.Проверка домашнего задания

№714

В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник – и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из первого и второго блюд,

14

которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов

Решение

Введем обозначения: борщ – Б, рассольник – Р, гуляш –Г , котлеты – К, сосиски –С, пельмени – П

Б Р

Г К С П Г К С П

Ответ: Посетитель может заказать 8 вариантов обедов


№715 У Ирины 5 подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов ?

Решение

И, В, З. М, П, С,

ИВЗ, ИВМ, ИВП, ИВС

ИЗМ, ИЗП, ИЗС

ИМП, ИМС

ИПС

Ответ: 10 вариантов


№726 Из села Дятлово в село Матвеевское ведут три дороги, а из села Матвеевское в село Першино – четыре дороги. Сколькими способами можно попастьиз Дятлово В Першино через Матвеевское


Дятлово ( 3 дороги) Матвеевское ( 4 дороги) Першино

Применим правило умножения 3∙4 = 12


ответ : 12 способами


^ Рассмотрим решения наиболее часто встречающихся задач

№1

В чемпионате участвовало 7 команд. Каждая команда играла матч скаждой. Сколько всего было встреч?

Решение

Рассмотрим таблицу результатов встреч размером 7х7


14



1и1

1и2

1и3

1и4

1и5

1и6

1и7

2и1

2и2

2и3

2и4

2и5

2и6

2и7

3и1

3и2

3и3

3и4

3и5

3и6

3и7

4и1

4и2

4и3

4и4

4и5

4и6

4и7

5и1

5и2

5и3

5и4

5и5

5и6

5и7

6и1

6и2

6и3

6и4

6и5

6и6

6и7

7и1

7и2

7и3

7и4

7и5

7и6

7и7



1 команда


2 команда

3 команда

4 команда

5 команда

6 команда

7 команда


Т.к. никакая команда не играет сама с собой, то клетки по диагонали надо закрасить, тогда в подсчете числа встреч будет участвовать ровно 72 – 7 = 7( 7 – 1 )= 42 клетки. В результате закрашивания таблица разделилась на две половинки, в них результаты встреч дублируются. Поэтому если мы разделим оставшиеся 42 клетки на две равные половины, то получим число всех проведенных игр. Коротко решение задачи выглядит так: = 21

Пример №2

Встретились 6 друзей и каждый пожал руку каждому своему другу. Сколько было рукопожатий?

Решение

1 способ

Можно рассуждать как в первом примере, составить таблицу рукопожатий 6 друзей. Затем , рассуждая аналогично, получим, что общее число рукопожатий равно =15

2 способ

Условно перенумеруем друзей. Первый поздоровался со вторым, третьим, …, шестым. Всего 5 рукопожатий. Для второго неучтенными остались рукопожатия с третьим, четвертым, пятым, шестым. Всего сделал 4 рукопожатия, третий сделал -3,

четвертый – 2 , пятый – 1 неучтённое рукопожатие. Получаем, что всего рукопожатий было 5+4+3+2+1= 15

В дальнейшем познакомимся еще с одним способом

Пример№3 ( из учебника №721)

В шахматном турнире участвуют 9 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

16

Ответ: 9( 9-1 ):2 = 72 : 2 = 36


Пример№4 ( из учебника №722) самостоятельно

В соревнованиях по футболу участвовало12 команд. Каждая команда провела с каждой из остальных по одной игре на своём поле и по одной игре на поле соперника. Сколько всего игр было сыграно?

Ответ: 12 ( 12 – 1 ) = 12 ∙ 11 = 132


Пример№5 Сколько диагоналей можно провести в правильном восьмиугольнике

Решение

Начало диагонали можно выбрать восьмью способами, а конец пятью: ведь при выбранном начале нельзя провести диагональ ни в эту вершину, ни в две соседние вершины. По правилу умножения получается 8∙5 = 40 диагоналей. Но при таком подсчете каждую диагональ мы посчитали дважды. Значит всего проведено 40:2=20 диагоналей




Пример№6. Сколько диагоналей можно провести в правильном шестиугольнике, девятиугольнике

Рассуждаем аналогично, с опорой на чертеж. Получаем

а) у шестиугольника из каждой вершины можно провести 3 диагонали, значит можно провести 6∙3 : 2 = 9 диагоналей. ( проговорить решение вместе )

б) для девятиугольника получим 9∙6 :2 = 27 ( получить ответ самостоятельно)


Домашнее задание №723, №724, №725.


3урок Тема: « Решение комбинаторных задач. Понятие факториала»


Цель : Проверить умения уч-ся решать простейшие комбинаторные задачи.Познакомить с понятием факториала


1. Проверка домашнего задания (7 – 10 мин.)

№723

17

При встрече 8 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было рукопожатий?

Ответ: 8 ( 8-1) :2 = 56 :2 = 28

№724

Учащиеся 9 класса решили обменяться фотографиями. Сколько для этого понадобиться фотографий, если в классе 24 учащихся?

Решение 24( 24-1) = 24 ∙ 23 = 552


№725

На входной двери дома установлен домофон, на котором нанесены цифры 0, 1, 2, 3, 4, …, 8, 9. Каждая квартира получает код из двух цифр типа 0 - 2, 3 – 7 , 7 – 3, 8 – 8 и т. п., позволяющий открывать входную дверь. Хватит ли кодов для всех квартир дома, если в доме 96 квартир?

Решение : Т.к. одинаковые цифры тоже могут быть кодами, то таких кодов будет

10∙ 10 = 100 ( если построить таблицу учета возможных вариантов). Значит кодов хватит на все 96 квартир.

2. Самостоятельная работа ( 12 - 15мин)


Самостоятельная работа

Вариант1

1. На завтрак Вова может выбирать плюшку, бутерброт, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром

1) 6 2) 12 3)9 4) 7


2. В магазине продают красные, розовые и белые гвоздики. Сколько разных букетов по два цветка в каждом можно составить из этих цветков?

1)

3

2)

9

3)

12

4)

6

3. При встрече 4 приятеля обменялись рукопожатиями. Сколько всего было рукопожатий?


Самостоятельная работа

Вариант2


1. В ресторане предлагают три первых блюда: борщ, суп, рассольник,   два вторых блюда: гуляш, пельмени,   и два блюда на десерт: мороженое и торт. Укажите количество всех обедов из двух блюд и десерта, которые может заказать посетитель.

1)

24

2)

7

3)

210

4)

12


2. В школе учатся 4 мальчика, которые хорошо играют в волейбол. Сколькими способами можно выбрать из них двух человек для участия в соревнованиях

1) 6 2) 8 3) 4 4) 12


18

3. Сколько диагоналей можно провести в правильном пятиугольнике


Ответы для самостоятельной работы




№1

№2

№3

1 вариант

2

1

6

2 вариант

4

1

5



3. Объяснение нового материала ( 7 - 10мин)

Произведение первых подряд идущих п натуральных чисел обозначают п!

п! = 1 ∙2 ∙3 ∙… ∙ п -2 ∙ п – 1 ∙ п

1! = 1

2! = 1∙2 = 2

3! = 1 ∙2 ∙ 3 = 6

4! =1∙2 ∙ 3 ∙ 4 = 24

5! = 1 ∙2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120

6! = 5! ∙ 6 = 120 ∙ 6 = 720

7! = 6! ∙ 7 = 720 ∙7 = 5040

4. Закрепление нового материала

Вычислить вместе 1) 6! – 5! = ; 2) = ; 3) = ; 4) =; 5) =; 6) =

Домашнее задание №748, №749


4урок Тема: « Перестановки»

Цель: Дать понятие о перестановках, как простейших комбинациях из элементов конечного множества. Научить находить количество перестановок элементов конечного множества.


1 Проверка домашнего задания №748, №749 (7- 10 мин.)

Некоторые упражнения можно проверить устно, если возникли затруднения, то представить письменное решение


2. Объяснение нового материала

Пример1.

Сколькими способами можно расставить 3 книги на полке.

Обозначим книги буквами а, в, с

1.Посавим на первое место книгу а , то получим такие расположения авс, асв

2. Поставим на первое место книгу в. получим такие расположения вас, вса

3.Поставим на первое место книгу с. получим такие расположения сав, сва

каждое из этих расположений называют перестановкой из трех элементов

Всего получили 6 способов


19

Опр. Перестановкой из п элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке

Пусть мы имеем п элементов. На первое место можно поставить любой их них. Для каждого выбора первого элемента на второе место можно поставить один из оставшихся п – 1 элементов. для каждого выбора первых двух элементов на третье место можно поставить один из оставшихся п – 2 элементов и т. д. В результате получим Рп=п (п -1) (п – 2 ) ∙ …∙3 ∙2 ∙1


Рп=п! – формула, по которой можно посчитать число всевозможных перестановок из п элементов


Пример2 Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на 8 беговых дорожках7

Р8 = 8! = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 = 5040 ∙ 8 = 40 320

Ответ: 40 320

Пример3. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0,5,4,8 ?


Решение

Из цифр 0, 5, 4, 8 можно получить Р4 перестановок. Из них исключим те перестановки. которые начинаются с 0, т.к. натуральное число не может начинаться с цифры 0. Число таких перестановок Р3 Значит искомое число четырехзначных чисел равно Р4 - Р3 = 4! – 3! = 24 – 6 = 18


3 Закрепление полученных знаний в процессе решения задач


№732

Сколькими способами 4 человека могут разместиться на четырехместной скамейке?

Р4 = 4! = 24


№736 Ольга помнит , что телефон подруги оканчивается цифрами 5,7,8, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге?

Решение Т.к. множество состоит из 3 элементов, то число перестановок равно

Р3= 3! = 6


№737 Сколько шестизначных чисел, в записи которых каждая цифра используется только один раз, можно составить из цифр: а) 1, 2, 5, 6, 7, 8. б) 0, 2, 5, 6, 7, 8.

Решение

а) Множество содержит 6 элементов, значит число перестановок будет Р6 = 6! = 720

б) Т.к шестизначное число не может начинаться с 0, то искомое число шестизначных чисел равно Р6! – Р5! = 720 – 120 = 600


Домашнее задание №733, №734, №735


20

5урок Тема: « Размещения »

Цель: Дать понятие о размещениях , познакомить с формулой для вычисления размещений, научить применять эту формулу для подсчета числа размещений


1 Проверка домашнего задания


№733 Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?


Решение : количество маршрутов равно 7! = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 = 5040


№734. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?

Решение : 9! = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 = 362 880


№735 Сколько существует выражений, тождественно равных произведению abcde

Решение: По условию нам дано множество, состоящее из 5 элементов. Посчитаем число перестановок в этом множестве 5! = 120 сюда входит множество в заданном порядке, значит , тождественно равных ему будет 120 – 1 = 119

Для проверки знаний и закрепления полученных знаний можно предложить уч – ся следующие задачи для устного решения


^ 1. Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг разных авторов?


2. Во вторник по расписанию в 9 «А» классе должно быть 6 уроков: химия, физика, алгебра, биология, история и ОБЖ. Сколькими способами можно составить расписание на этот день?


3. В финал конкурса красоты вышли 4 участницы. Сколькими способами

можно устано