Реферат: Р. М. Літнарович Дослідження точності апроксимації

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

МІЖНАРОДНИЙ ЕКОНОМІКО-ГУМАНІТАРНИЙ

УНІВЕРСИТЕТ ім. акад. С. ДЕМ’ЯНЧУКА


Р. М. Літнарович


Дослідження точності апроксимації

залежності магнітного моменту

Землі від широти методом

статистичних випробувань

МОНТЕ КАРЛО


Частина 1





м. Рівне, 2006



Савельев И.В. Курс физики. Т.2. – М.: наука, 1989, -464с.

Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: наука, 1982, -304с.

Ситніков О.П. Основи електродинаміки. Лабораторний практикум. Чернігів: ЧДІЕіУ, 2003, -48с.

Суботін С.І. Кора і мантія Землі. –К.: Знання, 1966, -39с.

Топографо-геодезические термины: Справочник / Б.С.Кузьмин, Ф.Я. Герасимов, В.М. Молоканов и др.. – М.: Недра, 1989, -261с.

Федоров Є.П. Обертання Землі. –К.: Знання, 1966, -52с.

19.Фізика з використанням обчислювальної техніки. Практичний курс. / В.М.Казанський, В.І. Клапченко, І.Д.Кошелєва та інші. – К.: Либідь, 1993, -224с.


-44-

УДК 629.123.053.12

Літнарович Р.М. Дослідження точності апроксимації залежності магнітного моменту Землі від широти методом статистичних випробувань МОНТЕ КАРЛО. Частина 1. МЕГУ, Рівне, 2006, - 44 с.

Рецензенти: В.Г. Бурачек, доктор технічних наук, професор

Є.С. Парняков, доктор технічних наук, професор

В.О. Боровий, доктор технічних наук, професор


Відповідальний за випуск: Й.В. Дунь, доктор фізико-математичних наук, професор


Розроблена методика дослідження точності апроксимації залежності магнітного моменту земної кулі від геомагнітної широти методом статистичних випробувань МОНТЕ КАРЛО.

Дослідження проводяться методом найменших квадратів побудовою поліному третьої степені з встановленням ваг і знаходженням середньої квадратичної похибки виведених коефіцієнтів.

Формулюється ряд теорем, які полегшують проведення досліджень.

Для студентів і аспірантів педагогічних факультетів.

Р.М.Літнарович

The method of research of exactness of approximation of dependence of magnetic moment of earth is developed from a geomagnetical breadth by the method of statistical tests of MONTE KARLO.

Researches are conducted a least-squares method by a construction to the polynomial of the third degrees with establishment of vag and finding of middle quadratic error of the shown out coefficients.

The row of theorems which facilitate the leadthrough of researches is formulated.

For students and graduate students of pedagogical faculties.

R.M.Litnarovich

©Літнарович Р.М., 2006

-1-

ЗМІСТ

Передмова …………………………………………… 3

Представлення геомагнітного моменту поля Землі . 4

Генерування істинних похибок для дослідження математичної моделі методом статистичних випробувань МОНТЕ КАРЛО …………………….. 11

Побудова спотвореної моделі …………………….. 13

Представлення системи нормальних рівнянь .…… 17

Визначення коефіцієнтів нормальних рівнянь …... 21

Рішення нормальних рівнянь ……………………... 26

Встановлення ключа переходу для зрівноважених коефіцієнтів математичної моделі і їх ваг при зменшених значеннях Х і Y …………………….…. 31

Постановка проблеми дослідження …….….. 31

Формулювання теорем переходу …………... 31

Розрахунок коефіцієнтів нормальних рівнянь .33

Рішення нормальних рівнянь (перша схема Гаусса) ………………………………………. 33

Рішення нормальних рівнянь по другій схемі Гаусса ..………………………………………. 34

Встановлення ключа переходу. Порівняльний аналіз ……………………………………….. 36

Оцінка точності результатів …..…………... 39

Висновки ………………………………..………….. 41

Література ……………………..…………………… 43


-2-

Література

Кронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗОВ. – М.: Наука, 1980, - 975с.

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. – М.: Наука, 1973, 831с.

Кошкин Н.И., Ширкевич М.Г. Справочник по елементарной физике. М.: Наука, 1972, -255с.

Кучерук І.М., Горбачук І.Т., Луцик П.П. Загальний курс фізики. Т.1. - К.: техніка, 1999, -536с.

Кучерук І.М., Горбачук І.Т., Луцик П.П. Загальний курс фізики Т.2. - К.: техніка, 2001, -452с.

Кучерук І.М., Горбачук І.Т. Загальний курс фізики Т.3. - К.: техніка, 1999, -520с.

Літнарович Р.М. Основи математики. Дослідження результатів психолого-педагогічного експерименту поліноміальною функцією. Навчальний посібник. Частина 7. МЕГУ, Рівне, 2006, -20с.

Мудров В.И., Кушко В.Л. Методы обработки измерений. М.: Сов.радио, 1976, - 192с.

Пастушенко С.М. Формули і закони загальної фізики: Навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів. 2е вид.: Діал., 2005, -268с.

Рего К.Г.Метрологическая обработка результатов технических измерений. Справочное пособие. –К.: техніка, 1987, -126с.

Розв’язування задач з курсу загальної фізики. Практикум/Остроухова, Стрижевський В.Л., Цвілих М.Г. та інші. К.: Радянська школа, 1966, -503с.

Савельев И.В. Курс физики. Т.1. – М.: наука, 1989, -352с.



-43 -

результати вихідних параметрів х і у.

В результаті досліджень встановлено, що при цьому отриманий коефіцієнт а із рішення нормальних рівнянь необхідно зменшити у К² разів, коефіцієнт b слід зменшити у К разів, коефіцієнт с і d слід залишити без зміни.

Доведено, що при коефіцієнті масштабування вихідних параметрів К вагу коефіцієнта а необхідно збільшити у (К²)³, а вагу коефіцієнта d слід збільшити у К² раз.

Коефіцієнти [хх∙2] і [х°х°∙2] для визначення ваги Рb необхідно збільшити у к² раз.

Коефіцієнт [х²х²∙2] необхідно збільшити у (к²)² раз а коефіцієнт [х³х³∙2] слід збільшити у (к²)³ раз для визначення ваги Рс коефіцієнта с.

Проведені дослідження дають можливість організувати широкомасштабні дослідження точності визначення магнітного моменту Землі методом статистичних випробувань Монте Карло.

Розроблені програми для організації обчислень на мікроЕОМ.

Розроблені генератори випадкових чисел і побудовані перші спотворені моделі.



-42-

Передмова

Безумовний науковий і практичний інтерес представляє дослідження геомагнітного поля Землі.

Вивченню природи геомагнітного поля і в наш час приділяється велика увага. Вчені намагаються отримати відповіді на питання: коли і як зародилось магнітне поле земної кулі? Чому воно існує міліарди років? Як це поле буде змінюватися в майбутньому?

В даній роботі ми зробимо спробу виразити один із основних компонентів геомагнітного поля Землі – магнітний момент планети графічно і встановить функціональну залежність магнітного моменту від широти.

Нами підбирається емпірична формула у вигляді поліному третього порядку.

Математична модель будується на основі способу найменших квадратів. Побудована ймовірніша модель приймається за істинну модель, на основі якої проводяться дослідження точності методом статистичних випробувань Монте Карло. Генеруються псевдо випадкові числа, які приймаються як істинні похибки, якими спотворюється істинна модель і будується спотворена модель.

В подальшому методом найменших квадратів зрівноважується спотворена модель і робиться оцінка точності зрівноважених елементів. Знання істинних похибок дає можливість зробити порівняльний аналіз. Набирається велика статистика шляхом побудови і дослідження великої кількості моделей.

Розроблена методика дозволить робити попередній розрахунок точності при проектуванні майбутніх геомагнітних досліджень в будь-якій точці Планети Земля.


-3-

^ Представлення геомагнітного моменту поля Землі

Магнітний момент – це векторна величина, яка характеризує земну кулю як джерело магнітного поля. Макроскопічні магнітні моменти створюють замкнуті електричні струми і впорядковано орієнтовані магнітні моменти атомних частинок.

Розрахуємо магнітний момент М Землі на екваторі при φмаг.екв. = 0. При цьому спочатку розглянемо елементи земного магнетизму.

Проекції Вz і Вн індукції дипольного поля, або поля однорідного намагнічування Землі, можна знайти за допомогою формул.

Вертикальна складова геомагнітного поля Землі.

М

Вz=μ0 2πR³ sin φм,

(1.1)
Рис. 1. Елементи земного магнетизму.

Горизонтальна складова

М

Вн= μ0 4πR³ cos φм, (1.2)

де μ0 – магнітна стала;

М – магнітний момент земної кулі;

R – радіус Землі;

φм – геомагнітна широта, яка відраховується від геомагнітного екватора.


-4-

Висновки

На основі проведених досліджень в даній роботі:

Побудована ймовірніша математична модель залежності магнітного моменту Землі від геомагнітної широти:

М=1,2190∙10‾φ³м - 1,4404∙10‾³ φ²м +2,8370∙10‾² φм +8,8028,

де а=1,2190∙10‾; b=- 1,4404∙10‾³;

с=2,8370∙10‾²; d=8,8028.

Математична модель апроксимована по способу найменших квадратів кубічним поліномом.

Встановлено, що середня квадратична похибка одиниці ваги при розрахунку за виведеного формулою становить 0,11 значень геомагнітного моменту, визначаємого за виведеною формулою, а відносна похибка становить 1,3%

Середня квадратична похибка визначення коефіцієнта а ma=2.05∙10‾

Середня квадратична похибка визначення коефіцієнта b mb=2.81∙10‾

Середня квадратична похибка визначення коефіцієнта c mc=1.04∙10‾²

Середня квадратична похибка визначення коефіцієнта d md=0.11

Побудована математична модель приймається за істинну модель, на основі якої генеруються істинні похибки і будуються спотворені моделі для подальших досліджень методом статистичних випробувань Монте Карло.

З метою раціоналізації проведення математичної обробки спотворених моделей для дослідження точності визначення геомагнітного моменту Землі проведені дослідження при введенні коефіцієнта К в


-41-

Відносна похибка у відсотках ∆відн.%=∆відн.∙100%=1,3%.

Середня квадратична похибка визначення коефіцієнта а



Середня квадратична похибка визначення коефіцієнта d



Середня квадратична похибка визначення коефіцієнта с



9-3.7578328-2.6470602=2.595107 (див. строчки 12,13,14 ІІ схеми Гаусса.)



1,164∙246,56

де Рс = 2,595 = 110,658.

Середня квадратична похибка визначення коефіцієнта b






-40-

Із приведених формул легко знайти модуль вектора індукції поля однорідного намагнічування земної кулі


Вт = √ Вz²+Вн² (1.3)

Підставляючи (1.1), (1.2) в (1.3), будемо мати





Приймаючи до уваги, що sin²φ + cos²φ =1, а 4sin²φ + cos²φ= 3sin²φ + sin²φ + cos²φ, отримаємо

М

Вт =μ0 4πR³ √ 3sin²φм+1, (1.4)

Знайдемо магнітний момент М із формули (1.4)

Вт 4πR³

М= μ0√ 3sin²φм+1 (1.5)

Напруженість магнітного поля на магнітному екваторі Некв. =0,34 ерстеда [3, -с.163].

Для переходу із системи СГСМ у систему СІ складемо слідуючу пропорцію



Звідки



-5-


В загальному випадку напруженість магнітного поля Землі можна розрахувати за формулою

Вт М

Н= μ0 = 4πR³ √ 3sin²φм+1 (1.6)

Тоді загальна формула розрахунку магнітного моменту Землі буде

4πR³ Н

М = √1+3sin²φм . (1.7)

Для полюса Нпол.=0,66 ерстед. Тоді, при переході до системи СІ

а

1 м -------- 4π10 ³е,

Нпол. -------- 0,66 е,

звідки

а

1 м 0,66 е

Нпол.= 4π10 ³е =52,52113122 а/м.

Магнітний момент Землі біля полюсів

Нпол. 4πR³

Мпол.= √ 1+3sin²90° .

Взявши радіус земної кулі R= 6371000м, а 4πR³ = 3,249620751∙10²¹[м]³∙, магнітний момент земної кулі на екваторі буде

3,249620751∙10²¹[м]³∙27,05634033[а/м]

Мекв.= 1

-6-


де х – геомагнітна широта пункту спостереження, виражена в градусах.

7.7. Оцінка точності результатів

Вичислимо за формулою (7.11) значення М' і розрахуємо поправки

Vі = Мі- М'і (7.12)

Для розрахунку М'і скористаємося програмою заключного контролю 5.

Таблиця 20. Порівняльний аналіз результатів строгого зрівноваження


№п/п

Х(град)

у=м∙10²²

у'=м'∙10²²

v=м-м'

v²

1

0,00

8,79

8,803

-0,013

0,000169

2

11,25

8,90

8,957

-0,057

0,003249

3

22,50

9,05

8,851

+0,199

0,039601

4

33,75

8,50

8,598

-0,088

0,007744

5

45,00

8,18

8,274

-0,094

0,008836

6

56,25

8,00

8,011

-0,011

0,000121

7

67,50

7,95

7,904

+0,046

0,002116

8

78,75

8,12

8,057

+0,063

0,003969

9

90,00

8,53

8,575

-0,045

0,002025

n=9




Σ

76,02∙²10²

Σ0

0,06783
Середню квадратичну похибку одиниці ваги розрахуємо за формулою


(7.13)

де n – число вихідних параметрів х і у, к – степінь поліному.

В нашому випадку



Гранична похибка

∆гр.= 2,5μ= 0,26∙10²²ам

Відносна похибка



-39-

При даних умовах коефіцієнт [х°х°∙2] для визначення ваги Рb необхідно збільшити у к² разів.

[х°х°∙2]1=[х°х°∙2] к∙к²=2,595∙10‾∙(100)²=2,595

Теорема доказана

При даних умовах коефіцієнт [х²х²∙2] для визначення ваги Рс необхідно збільшити у (к²)² раз.

[х²х²∙2]1=[х²х²∙2] к∙(к²)²=4,933∙10‾²∙(100²)²= 4,933 ∙10‾² ∙10=4,933∙10

Теорема доказана

При даних умовах коефіцієнт [х³х³∙2] для визначення ваги Рс необхідно збільшити у (к²)³ раз

[х³х³∙2]1 = [х³х³∙2]к ∙ (к²)³= 9,2804 ∙ 10‾² ∙ (100²)³ = 9,280 ∙10

Теорема доказана

В заключення відмітимо, що аналогічні дослідження були проведені при коефіцієнті масштабування, рівному 10, що абсолютно підтвердило дані твердження.

Крім рішення нормальних рівнянь по схемі Гаусса проводилось рішення на мікроЕОМ по розробленій автором програмі. Зведемо всі результати в таблицю 19.

Таблиця 19. Зведена таблиця результатів побудови математичної моделі.

№п/п

а∙10‾

b∙10‾³

с∙10‾²

d

Нк

1

1,2189811

-1,4403967

2,8370474

8,8028413

1:1

2

1,2190193

-1,4404495

2,8372336

8,8028306

1:1

3

1,2190462

-1,4404918

2,837416

8,8028145

1:1

4

1,2187907

-1,440119

2,83589

8,802912

1:1

5

1,2189736

-1,4403861

2,8370087

8,802838

1:100

6

1,2185367

-1,4397769

2,834832

8,802971

1:100

7

1,2190277

-1,4404609

2,8372721

8,8028286

1:100

8

1,2190915

-1,440566

2,837784

8,802769

1:100

модель

1,2190∙10‾

-1,4404∙10‾³

2,8370∙10‾²

8,8028




На основі проведених досліджень отримана формула залежності магнітного моменту Землі від широти

Y=М=1,2190∙10‾х³-1,4404∙10‾³х²+2,8370∙10‾²х +8,8028. (7.11)

-38-

= 8,792284498·10²²а·м².

Розрахуємо магнітний момент земної кулі на полюсі

3,249620751 52,52113122

Мпол.= 2 =8,533687894·10²²а·м²

Розрахуємо магнітний момент Землі на широті 45°, прийнявши середнє значення напруженості

Н0°+Н90° 0,34е+0,66е

Н45°= 2 = 2 = 0,50е.

Тоді

а

1 м -------- 4π10 ³е,

Н45° -------- 0,5е,

Звідки

а

1 м · 0,5е а

Н45°= 4π10 ³е = 39, 78873577 м .

Таким чином, магнітний момент Н45° буде

а

3,249620751 ∙10²¹[м]³∙ 39,78873577 м

Н45°= √ 1+3sin²45° = =8,177542602·10²²а·м²

Знайдемо середню напруженість магнітного поля Землі для широти 22,5°

-7-


0,34е+0,50е

Н22,5°= 2 = 0,42е,

для φмаг.= 67,5°

0,50е+0,60е

Н67,5°= 2 = 0,58е.

І для φмаг.=22,5°

а

1 м -------- 4π10 ³е,

Н22,5° -------- 0,42е.

Звідки

а

1 м · 0,42е а

Н22,5°= 4π10 ³е = 33,422538 м ,

і по аналогії

а

1 м · 0,58е а

Н67,5°= 4π10 ³е = 46,1549335 м .

Магнітні моменти будуть відповідно

а

3,249620751··33,422538 м

М22,5°= √ 1+3sin²22,5°

=9, 052956514·10²²а/м

а

3,249620751··46,1549335 м М67,5°= √ 1+3sin²67,5°

-8-

тому що

-1,4404∙10‾¹

b1= 100 = -1,4404∙10‾³

Теорема 2 доказана.

3. При даних умовах отриманий коефіцієнт с при х залишається без змін

с1=с100=2,840∙10‾³

Теорема 3 доказана.

4.При даних умовах коефіцієнт d залишається без змін

d1=d100=+8,80284

Теорема 4 доказана

5.При даних умовах вагу останнього невідомого Ра необхідно збільшити у (к²)³ разів.

Дійсно

Ра1=Рак ∙ (к²)³=Ра100 ∙ (100²)³ = 2,890∙10‾³∙ (100²)³ = 2,890∙10

Теорема 5 доказана.

6.При даних умовах вагу Рd коефіцієнта d необхідно збільшити у к² разів

Рd1= Рdк ∙ к²= Рd100 ∙ 100² = 1,164∙10‾∙ 100² = 1,164

Теорема 6 доказана

7.При даних умовах коефіцієнт [хх∙2] для визначення ваги Рb необхідно збільшити у (к²) разів.

Дійсно

[хх∙2]1=[хх∙2]к∙(к²)=2,465∙10‾²∙(100²)=2,465∙10‾² ∙10= 2,465∙10² = 246,5

Теорема доказана


-37-

Таким чином із вищесказаного видно, що коефіцієнти необхідно зменшувати в К раз. Тоді будуть виконуватися і проміжні контролі і зручно оперувати з такими числами.

Але при цьому необхідно знати лише ключ переходу від зрівноважених параметрів з коефіцієнтом К.

7.6. Встановлення ключа переходу. Порівняльний аналіз.

Таблиця 18. Зведена таблиця результатів зрівноваження при К=1 і К=100

№п/п

1: к

а

B

c

d

Pa

Pd

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1:1

1,2190∙10‾

-1,4404∙10‾³

2,8370∙10‾³

+8,80284

2,890∙10

1,164

2

1:100

1,2190∙10‾¹

-14404∙10‾¹

2,840∙10‾³

+8,80284

2,890∙10‾³

1,164∙10‾

3

1:1

а100/к²

b100/к²

b1=b100

d1=d100

Ра1=Ра100∙(к²)³

Рd1=Рd100∙к²

Продовження таблиці 18

№п/п

1: к

[хх∙2]

[х°х°∙2]

[х²х²∙2]

[х³х³∙2]

1

2

9

10

11

12

1

1:1

246,5651

2,59511

4933573

9,28044∙10

2

1:100

2,465∙10‾²

2,59511∙10‾

4,933∙10‾²

9,28043∙10‾²

3

1:1

[хх∙2] 100∙к²

[х°х°:2]100∙к²

[х²х²∙2] 100∙(к²)²

[х³х³∙2]100∙(к²)³

Із результатів зрівноваження, проведених в табл..18 випливає

Якщо в початкових умовах рівняннях зменшити значення вихідних параметрів х і у в к разів, то отриманий коефіцієнт а при х³ із рішення нормальних рівнянь необхідно зменшити у к² разів, тобто



Дійсно, в нашому випадку

а100 1,2190∙10‾¹

а1= 100² = 100² = 1,2190∙10‾

Теорема 1 доказана.

При даних умовах отриманий коефіцієнт b при х² необхідно зменшити в к разів



-36-

=7, 948506716·10²²а·м²

Результати залежності геомагнітного моменту Землі від широти точки спостереження зведемо в табл.1.

Таблиця 1. залежність геомагнітного моменту Землі від широти точки спостереження


№

п/п

φмаг.= х

(градуси)

Y=M=

=f(х) (а/м)

∆

1

0,00

8,79·10²²

+0,11


+0,15


-0,45


-0,32


-0,18


-0,05


+0,17


+0,41

2

11,25

8,90·10²²

3

22,50

9,05·10²²

4

33,75

8,50·10²²

5

45,00

8,18·10²²

6

56,25

8,00·10²²

7

67,50

7,59·10²²

8

78,75

8,12·10²²

9

90,00

8,53·10²²

n=9




∑ 76,02·10²²



Згідно формули (1.7) магнітний момент залежить від напруженості магнітного поля і широти точки спостереження, тобто є функцією двох незалежних змінних, хоча в свою чергу напруженість геомагнітного поля, також залежить від широти.

На жаль, у нас немає формули залежності напруженості магнітного поля від широти, що не потребувало б знання магнітного моменту і навпаки.

Тому, безперечний інтерес представляє встановлення функціональної залежності магнітного моменту як головного компонента для визначення складових геомагнітного поля Землі від геомагнітної широти.

Маючи вузлові точки значень геомагнітного моменту Землі в магнітних широтах 0°, 22,5°, 45°, 67,5° і 90°, побудуємо точкову діаграму і графік, представлений на рис. 1. Як видно із графіка, кращою функцією для апроксимації буде

-9-

кубічний поліном, тобто



Рис.1 Графік залежності магнітного моменту

земної кулі від геомагнітної широти

будемо шукати функціональну залежність у вигляді функції вид y

у = ах³ + вх² + сх + d. (1.8)

Невідомі коефіцієнти а, в, с, d визначимо по способу найменших квадратів.

Проміжні точки в 11,5°; 33,75°; 56,25° і 78,75° визначимо безпосередньо із графіка. Цього нам буде цілком достатньо для побудови ймовірнішої моделі.
побудовану таким чином ймовірнішу модель залежності кулі від широти в подальшому приймемо за істинну модель, і генеруючи істинні похибки будемо створювати спотворені моделі, на яких можна дослідити точність

визначення магнітного моменту в залежності від похибки визначення широти.

-10-

У зв’язку з переходом від дванадцятизначних цілих чисел до дробових замітна втрата точності при діленні їх і подальшому оперуванні з дробовими числами. Тому для виконання контролю в 5 стрічці необхідно число 119032,5 множити не на фактичне число -1,0123344 із шостої стрічки стовпчика сум, яке втратило точність, а на контрольну суму -1,0257643.

Тоді, 119032,5∙(-1,0257643)=-122099,28 і його записуємо у дев’яту стрічку стовпчика сум. Якщо цього (втрати точності) не враховувати, то замість правильного числа 122099,28 отримаємо неправильне число 120500,69, різниця яких буде 1598,59 і про подальші контролі, які базуються на попередніх вже не може бути і мови.

Але навіть і в цьому випадку контрольне число десятої стрічки стовпчика сум +110,72 не дорівнює контрольному 93,03154. Знайдемо яке ж має бути число замість взятого нами контрольного -1,0257643,

Тоді,

((110,72-93,03154)+122099,28)/22116,97 =1,0259128.

Тобто, замість числа 1,0257643 необхідно взяти число 1,0259128. Різниця ж цих чисел 0,0001485 лежить за межами точності даного конкретного випадку.

Фактично можемо вважати, що розрахунки за схемою Гаусса в нашому конкретному випадку забезпечують точність до чотирьох значущих цифр після коми.

Але контролі нам потрібні не для виконання процедури контролів, а для контролю рішення системи нормальних рівнянь. Заключний же контроль вирішує проблему всіх проміжних контролів в цілому. А заключні контролі і по першій і по другій схемах Гаусса виконуються добре.


-35-

Таблиця 15. Рішення нормальних рівнянь (друга схема Гаусса)

№п/п




x°]d

x]с

x²]b

x³]а

y]

s]

контроль

1

[х°

9

405

25818,751

1845281,3

-76,02

1871437,6




2




-1

-45

-2868,7501

-205031,25

+8,4466666

-207937,51

-207937,55

3

[x




25818,751

1845281,3

1,4051048∙10

-3352,5

1,4237862∙10




4







-18225

-1161843,8

-83037656

+3420,9

-84214691




5







+7593,751

+683437,5

+57472820

+68,4

+58163930

+58163920

6







-1

-89,999988

-7568,4362

-9,0074062∙10‾³

-7659,4465

-7659,4452

7

[x²







1,4051048∙10

1,1132236∙10

-212938,88

1,1274353∙10




8










-74067544

-5,2936507∙10

+218082,38

-5,3686867∙10




9










-61509367

-5,1925531∙10

-6155,9992

-5,234753∙10




10







[x² x²∙2]=

+4933573

+6,660319∙10

-1012,5

+6,70913∙10

6,7096∙10

11










-1

-134,9999

+2,0522651

-135,98927

135,999

12

[x³










9,0612411∙10¹¹

-15240713

9,1737977∙10¹¹




13










[x³ x³∙2]=

-3,7834033∙10¹¹

+15586476

-3,8370319∙10¹¹




14













-4,3497937∙10¹¹

-517681,04

-4,4020999∙10¹¹




15







[x³ x³∙2]




-8,9914239∙10

+136687,4

-9,0573191∙10




16







Ра=

[x³ x³∙3]=

+2,890171∙10

-35230,64

+2,8934∙10

+2,890∙10

17













-1

+1,2189811∙10‾

-1,0011172

0,9999878

18




+8,446666

-9,0074062∙10‾³

+2,0522651∙10‾

+1,2189811∙10‾










19




-205031,250

-7568,4362∙а

-134,9999а

a










20




-2868,7501 b

-89,999988∙b

-1,4403667∙10‾³













21




-45с

+2,8370474∙10‾²

b













22




+8,8028413

c
















23




d



















^ 7.5. Рішення нормальних рівнянь по другій системі Гаусса

Як і раніше, з метою визначення ваг коефіцієнтів d і с переставимо строчки системи нормальних рівнянь і члени в строчках так, щоб коефіцієнт d був на останньому місці, а коефіцієнт с в передостанньому стовпчику перед стовпчиком вільних членів.

Таблиця 16. Коефіцієнти нормальних рівнянь для другої схеми Гаусса




x³]

x²]

x]

x°]

y]

s]

контроль

[x³

9,0612411∙10¹¹

1,1132236∙10

1,4051048∙10

1845281,3

-15240713

9,1738346∙10¹¹




[x²




1,4051048∙10

1845281,3

25818,751

-212938,88

1,1274353∙10




[х







25818,751

405

-3352,5

1,4237864∙10




[х°










9

-76,02

1871437,6




Таблиця 17. Рішення нормальних рівнянь (друга система Гаусса)

№п/п




x³]а

x²]b

x]с

x°]d

y

s

контроль

1

[х³

9,0612411∙10¹¹

1,1132236∙10

1,4051048∙10

1,845281,3

-15240713

9,1738346∙10¹¹




2




-1

-1,2285553∙10‾²

-1,5506758∙10‾

-2,0364553∙10‾

+1,6819674∙10‾

-1,0124558

-1,0124558

3

[x²




1,4051048∙10

1845281,3

25818,751

-212938,88

1,1274353∙10




4







-1,3676567∙10

-1726248,8

-22670,301

+187240,58

-1,1270562∙10




5

Σ

[x²x²∙1][bb1]

3744810

119032,5

+3148,45

-25698,3

3791000

3841292,7

6







-1

-3,1785991∙10‾²

-8,4075026∙10‾

+6,8623776∙10‾³

-1,0123344

-1,0257643

7

[x







25818,751

405

-3352,5

1,4237864∙10




8










-2,1788,62

-286,14331

+2363,3404

-1,4225643∙10




9










-3783,56598

-100,07661

+816,84596

-122099,28




10

Σ




[xx∙2]=

+246,5651

+18,78008

-172,31364

+110,72

93,03154

11










-1

-7,6166821∙10‾²

+6,9885656∙10‾¹




-0,3773102

12

[x°










9

-76,02

1871437,6




13










[x°x°∙2]=

-3,7578328

+31,037029

-1868210,3




14













-2,6470602

+21,605853

-3230,0351




15







[x°x°∙2]=




-1,4304186

+13,124582

-7,0859157




16

Σ







Рd=[x°x°∙3]=

+1,1646884

+10,252536

-9,8210157

-9,087848

17













-1

+8,8028145

+8,4323

+7,8028145

18




+1,6819674∙10‾

+6,8623776∙10‾³

+6,9885656∙10‾¹

+8,8028145










19




-2,0364553∙10‾d

-8.4075026∙10‾d

-7,6166821∙10‾² d

d










20




-1.5506758∙10‾c

-3.1785991∙10‾²c

+2,837416∙10‾²













21




-1.2285553∙10‾²b

-1.4404918∙10‾³

c













22




+1.2190462∙10‾

B
















23




a



















-34-

^ Генерування істинних похибок для дослідження математичної моделі методом статистичних випробувань МОНТЕ КАРЛО

Приведемо програму генерування випадкових чисел на мові ВАSІС

Програма №1. Генерування випадкових чисел на ВАSІС

10 PRINT «Генератор випадкових чисел в діапазоні від –М до +М»

20 INPUT «Введіть середню квадратичну похибку вимірів і їх число», М; N

30 DIM Z (N)

^ 40 X = -M; Y = +M; PRINT “M =”; M : PRINT “N =”; N

50 FOR I = 1 тo N

60 Z (I) = ((Y-X)*RND (I) +X)

70 PRINT USING “Z” (# # .) = # # # . # # ; I; Z(I)

80 NEXT I

90 END

Таблиця 2. Істинні похибки при М=1




01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

00

+0,43

+0,37

-0,04

+1,00

+0,29

-0,74

-0,26

+0,17

-0,73

+0,87

10

-0,56

-0,38

-0,53

+0,79

+0,17

-0,08

-0,99

+0,65

-0,95

-0,25

20

+0,01

+0,10

+0,77

-0,28

+0,64

+0,75

-0,17

+0,42

-1,00

+0,20

30

-0,04

+0,53

-0,81

+0,09

+0,76

+0,65

-0,64

+0,06

-0,65

-0,60

Для знаходження середніх квадратичних похибок з точністю 0,1 необхідно дані табл..2 помножити на 0,1, тобто перенести кому на один знак вліво. При генеруванні похибок з точністю 0,05 необхідно дані табл..1 помножити на 0.05.

Заслуговує уваги генерування псевдо випадкових чисел, роз приділених за нормальним законом

(2.1)

-11-

Значення ∆2і-1, ∆2і генеруються із ζі (і=1,2,3…) за формулами

∆2і-1=(-2lnζі) соs (еζі), (2.2)

∆2і=(-2lnζі) sіn (еζі). (2.3)

Значення ζі виробляються за допомогою лінійного методу

ζі +1=F (11 ζі +π), (2.4)

де F(z) дробна частина від z.

Проведемо програму генерування псевдо випадкових чисел по даній методиці на програмованому мікрокалькуляторі «Електроніка МК61».

Програма №2. генератор випадкових чисел.

Fпрг

00

01

02

03

04

05

06

07

08

09

00

кпх4

Fπ

пхd

пх4

:

+

к{x}

xпd

9

Fe

10

x

хпс

Fcos

пхd

Fx²

FlnX

/-/

F√

xпb

x

20

с/п

пхс

Fsin

пхв

х

с/п

БП

оо

F

АВТ

В регістрах 4 і d зберігаються проміжні результати слідуючих значень ∆і, тому ці регістри не можна використовувати для других цілей. Перемикач Р/Г встановлюється в положення Р. Розрахунки проводяться в слідуючому порядку:

0,011 хп4 0,3 хпd В/О с/п - 0,5816с/п 1.1933…

Таблиця №3. Псевдо випадкові числа для дослідження спотвореної моделі




01

02

03

04

05

06

07

08

09

00

-0,58

+1,19

-0,16

+0,23

+0,20

+1,19

+0,89

+0,64

-0,75

10

-1,09

-1,59

+0,11

+0,09

-0,91

-1,61

-1,67

+0,30

-0,69

20

+0,35

+0,30

-1,53

+0,93

-0,23

+0,19

-0,12

-0,54

-0,19

Дані значення пропорційно зменшуються або збільшуються в залежності від точності, яку ми беремо за основу при побудові даної конкретної математичної моделі, попередньо визначивши середню квадратичну похибку для

-12-

[х³х³∙2] 1:1=[х³х³∙2] 1:к ∙ (к²)³ (7.10)


^ 7.3. Розрахунок коефіцієнтів нормальних рівнянь

Для доказу сформульованих теорем знайдемо коефіцієнти нормальних рівнянь при к=1, тобто значення параметрів х:у не масштабували.


Таблиця 13. Знаходження коефіцієнтів нормальних рівнянь.

№п/п

X=φ°

Y=M∙10²²

x°

x²

x³

s

x³x³

x³x²

x³x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

0,00

8,79

1

0

0

-7,79

0

0

0

2

11,25

8,90

1

126,5625

1423,8281

1553,7406

2027286,4

180203,24

16018,066

3

22,50

9,05

1

506,25

11390,625

11910,875

1,2974633∙10

5766503,9

256289,06

4

33,75

8,50

1

1139,0625

38443,359

39608,672

1,4778919∙10

43789388

1297463,3

5

45,00

8,18

1

2025,00

91125

93187,82

8,3037656∙10

1,8452813∙10

4100625

6

56,25

8,00

1

3164,0625

177978,52

181191,83

3,1676353∙10

5,6313516∙10

10011292

7

67,50

7,95

1

4556,25

307546,88

312163,68

9,4585083∙10

1,4012605∙10

20759414

8

78,75

8,12

1

6201,5625

488373,05

496646,24

2,3850824∙10

3,028676∙10

38459377

9

90,00

8,53

1

8100

729000

737182,47

5,31441∙10¹¹

5,9049∙10

65610000

n=9

405

76,02

9

25818,751

1845281,3

1871437,6

9,0612411∙10¹¹

1,1132236∙10

1,4051048∙10


Продовження таблиці 13

№п/п

X=φ°

Y=M∙10²²

x³y

x³s

x²y

x²s

xy

xs

1

2

3

11

12

13

14

15

16

1

0,00

8,79

0

0

0

0

0

0

2

11,25

8,90

12672,07

2212259,5

1126,4063

196392,16

100,125

17479,581

3

22,50

9,05

103085,16

1,3567231∙10

4581,5625

6029095,7

203,625

267994,68

4

33,75

8,50

326768,55

1,5226904∙10

9682,0312

45114474,8

286,875

1336792,7

5

45,00

8,18

745402,5

8,4917401∙10

16564,5

1,8870129∙10

368,1

4193451,9

6

56,25

8,00

1423828,2

3,22478253∙10

25312,5

5,7329594∙10

450

10192040

7

67,50

7,95

2444997,7

9,6004965∙10

36222,188

1,4222867∙10

536,625

21071048

8

78,75

8,12

3965589,2

2,4157189∙10¹¹

50356,688

3,0675672∙10

639,45

38953391

9

90,00

8,53

6218370

5,3740602∙10¹¹

69093

5,9711618∙10

767,7

66346422

n=9

405

76,02

15240713

9,1738344∙10¹¹

212938,88

1,1274353∙10

3352,5

1,4237862∙10


^ 7.4. Рішення нормальних рівнянь (перша схема Гаусса)

Зведемо обчислені в табл..13 коефіцієнти у трикутну матрицю для рішення нормальних рівнянь


Таблиця 14. Коефіцієнти нормальних рівнянь для першої схеми Гаусса




x°]

x]

x²]

x³]

y]

s]

контроль

[x°

9

405

25818,751

1845281,3

-76,02

1871437,6

1871438,1

[x




25818,751

1845281,3

1,4051048∙10

-3352,5

1,4237862∙10

1,4237864∙10

[x²







1,4051048∙10

1,1132236∙10

-212938,88

1,1274353∙10

1,1274405∙10

[x³










9,0612411∙10¹¹

-15240713

9,1737977∙10¹¹

9,1738346∙10¹¹



-33-

, (7.1)

Теорема 2. При даних умовах отриманий коефіцієнт b при х² необхідно зменшити в К разів (у нашому випадку в 100 разів)

. (7.2)

Теорема 3. При даних умовах, отриманий коефіцієнт с при х залишається без змін, тобто

С1:1=С1:к (7.3)

Теорема 4. При даних умовах, отриманий коефіцієнт d залишається без змін, тобто

d1:1=d1:к (7.4)

Теорема 5. При даних умовах вагу Ра необхідно збільшити у (к²)³ разів, тобто

Ра1:1=Ра1:к (к²)³ (7.5)

Теорема 6. При даних умовах вагу Рd коефіцієнта d необхідно збільшити у к² разів, тобто

Рd1:1=Рd1:к∙к² (7.6)

Теорема 7. При даних умовах коефіцієнт [хх∙2] для визначення ваги Рb необхідно збільшити у (к²) разів, тобто

[хх∙2] 1:1= [хх∙2] 1:к(к²) (7.7)

Теорема 8. При даних умовах коефіцієнт [х°х°∙2] для визначення ваги Рb слід збільшити у к² разів, тобто

[х°х°∙2] 1:1=[х°х°∙2] 1:к ∙к² (7.8)

Теорема 9. При даних умовах коефіцієнт [х²х²∙2] для визначення ваги Рс необхідно збільшити у (к²)² раз, тобто

[х²х²∙2] 1:1=[х²х²∙2] 1:к ∙(к²)² (7.9)

Теорема 10. При дани