Реферат: §iv інтерполювання функцій

§IV Інтерполювання функцій

Приклад 1. За допомогою формули Лагранжа побудувати інтерполяційний многочлен для функції, що задана наступною таблицею


Таб.

xi

–2

–1

0

1

2

fi

3

–1

–1

3

–13


^ Обчислити значення в точці x=0,5.

Розв’язання. За формулою Лагранжа



Далі




Приклад 2. Побудувати інтерполяційний многочлен за формулою Ньютона для функції, що задана таблицею (х), та обчислити значення в точці x=0,5.

Розв’язання. Таблиця розділених різниць для цих даних має вигляд


xi

fi













–2

3



















–4










–1

–1




2













0




0




0

–1




2




–1







4




–4




1

3




–10













–16










2

–13














Тоді за формулою Ньютона

.

Далі

.


Приклад 3. За допомогою інтерполяції обчислити e0,15, якщо


xi

0.

0.1

0.2



1

1,10517

1,22140


Оцінити похибку.

Розв’язання. Позначимо . Тоді таблиця розділених різниць для даних в таблиці має вигляд


xi

fi







0

1,0













1,0517




0,1

1,105187




0,553







1,1623




0,2

1,22140








Тому



та

.

Оцінка для похибки буде мати вигляд

,

де . Тому

.


Приклад 4. За значеннями в точках знайти . Оцінити похибку.

Розв’язання. Таблиця розділених рівнянь має вигляд


xi

fi







0

1,0








































0








Приклад 5. а) Побудувати на проміжку [–1,1] многочлени Чебишева четвертого та п’ятого степеня з коефіцієнтом 1 при старшому степені. Обчислити їх відхилення від 0. Побудувати графіки.

Розв’язання. За рекурентною формулою



знаходимо



Шукані многочлени Чебишева мають вигляд

.

За формулою відхилення від нуля такі

.

б) ^ Побудувати на проміжку [0,1] многочлен Чебишева четвертого степеня з коефіцієнтом 1 при старшому степені. Обчислити її відхилення від 0.

Розв’язання. У многочлені Чебишева



(див. попередню задачу) зробимо заміну змінної

.

При a=0, b=1 маємо -2x-1. Тоді многочлен Чебишева для проміжку [0,1] має вигляд

.

Шуканий многочлен такий

.

Його відхилення від 0 дорівнює

.


Приклад 6. Оцінити похибку інтерполяції функції ex на[0,1] многочленом четвертого степеня побудованим за вузлами.

Розв’язання. З оцінки залишкового члена інтерполяційної формули маємо


.


Приклад 7. Скільки чебишевських вузлів інтерполяції необхідно вибрати, щоб похибка інтерполяції для функції не перевищувала =10–4.

Розв’язування. З оцінки залишкового члена інтерполяційної формули маємо

.

Далі

.

Тому n шукаємо з умови

.

Підстановкою знаходимо, що

.

Таким чином треба вибрати 6 чебишевських вузлів.