Реферат: 29. Продовження

Тема 29. Продовження.

3. Інтегрування елементарних дробів.

1.

2.



3. Розглядаючи інтеграл від дробу типу ІІІ, виділимо із тричлена у знаменнику повний квадрат:



Далі за допомогою підстановки х + р/2 = t зведемо інтеграл до суми двох табличних:







Остаточно маємо:

(8)

Приклад. Знайти .

Скористуємось формулою (8), підставивши в неї значення , , , . Дістанемо:



4. Знайдемо інтеграл від дробу типу IV:

(9)

Підстановка . Отримаємо два інтеграла:

.

Перший з цих інтегралів обчислюється безпосередньо, а другий – за рекурентною формулою:


;



Приклад. Знайти .




4. Інтегрування ірраціональних виразів

Ірраціональні функції (ті, що містять змінну у дробових степенях) інтегруються за допомогою підстановок. За допомогою цих підстановок вони зводяться до інтегралів від раціональних функцій.

1) .

Нехай - спільний знаменник дробів .

Застосовується підстановка .

2) .

Підстановка або .

3) .

Підстановка або .

4) .

Підстановка або .

Приклад.




Приклад.



Приклад.



Приклад.




5. Диференціальні біноми.

Вираз виду

(10)

де і — сталі показники, — раціональні числа, називається диференціальним біномом.

Теорема Чебишева.

Інтеграл від диференціального бінома виражається через інтеграл від раціональної функції відносно нової змінної, якщо:

І. — ціле число (додатне, від’ємне чи 0) і виконано підстановку - найменший спільний знаменник дробів .

ІІ. - ціле число. Тоді заміною , де - знаменник дробу , (10) перетворюється на раціональну функцію.

ІІІ. Робимо заміну , де - знаменник дробу .

Приклад.