Реферат: А. В. Титов Семантический подход к анализу и синтезу логических исчислений

А.В.Титов

Семантический подход к анализу и синтезу логических исчислений.


1.Постановка проблемы


Исследуется возможность на основе рассмотрения оценок на разных типах алгебраических структур представить динамику развития вариантов логических исчислений в их взаимосвязи. И далее, введением отношения эквивалентности на значениях оценки, синтезировать полученные варианты логики в классическую логику с расширением класса моделей, описываемых на языке этой логики.

Приведенная ниже система рассуждений в некоторой мере отражает, по мнению автора, взаимодействие различных сторон логики, описанное Гегелем: «Логическое по своей форме имеет три стороны: а) абстрактную, или рассудочную, б) диалектическую, или отрицательно-разумную, в) спекулятивную, или положительно-разумную. Эти три стороны не составляют трех частей логики, а суть моменты всякого логически реального, т.е. всякого понятия или всего истинного вообще» [1].

Абстрактная, рассудочная сторона логического лежит в основе формальной логики с законами противоречия и исключенного третьего, диалектическая сторона приводит к ее отрицанию в форме вариантов неклассических логических исчислений, наконец, разумно- положительная сторона приводит к синтезу рядоположенных вариантов логических исчислений в целостную систему.

Критика формальной логики предпринималась рядом авторов, А.Ф. Лосев замечает: «Что диалектика не есть формальная логика, это известно всем». И далее:«Если диалектика, действительно, не есть формальная логика, тогда она обязана быть вне законов тождества и противоречия, т.е. она обязана быть логикой противоречия».[2].

В рамках формальной логики, критика классической логике концентрируется на законах исключенного третьего и противоречия. Результатом стало появление вариантов формальной логики свободной от этих законов, частности, интуиционистской логики и различных вариантов паранепротиворечивой логики.

В частности, Н.А. Васильевым было предложено следующее деление суждений: утвердительное - «А есть В», отрицательное - «А не есть В», индифферентное - «А есть и не есть В». На основе этой системы суждений им была разработана «воображаемая логика» без законов исключенного третьего и противоречия [3].

^ 2. Классическая логика как представление.

Развитие формальных логических систем на основе принятия различных вариантов системы суждений или на основе принятия новой аксиоматики можно рассматривать как процесс, состоящий в «снятии такими конечными определениями самих себя и переход их в свою противоположность» [1]. В этом случае варианты логики предстают как рядоположенные.

Но разделение можно проводить и на основе разделения структур, на которых принимают значения оценки «суждений».

В классической логике приняты два значения истинности: «истина» и «ложь», со структурой булевой алгебры. Естественность этой структуры для классической логики связана с принятой классификацией суждений по Аристотелю и интерпретацией объема понятия как множества или класса.

^ 3. Гомоморфизм из множество формул в множество оценок

Множество всех формул языка нулевого или первого порядка в классической логике является универсальной алгеброй Fm, ,, ,─,  с тремя бинарными и одной унарной операцией или обобщенной алгеброй Fm, ,, ,,─,  с обобщенными операциями , , соответствующими кванторным приставкам.

Алгебра Fm, ,, ,─,  формул языка нулевого порядка L0 является свободной в классе R универсальных алгебр A,o1 ,o2 , o3,o4, с тремя бинарными операциями o1 ,o2 , o3, и одной унарной операцией o4. Множество V0 всех пропозициональных переменных языка L0 является системой свободных образующих в Fm.

Общепринятое определение оценки заключается в том, что под оценкой языка L0 понимается отображение υ:V0 A, где A алгебра подобная алгебре Fm, ,, ,─, , что следует, например из того, что оценка может рассматриваться как подстановка. Из этого следует, что отображение υ есть гомоморфизм множества формул в алгебру, элементы, которой служат значениями оценки [4].

Таким образом, в традиционном исчислении высказываний отображение  множества формул в семейство истинностных значений :Fm  B, есть гомоморфизм со значением в двухэлементной булевой алгебре.

В общем случае алгебра Fm, o1,o2,o3,…,on формул языка нулевого порядка L0 является свободной в классе R универсальных алгебр A,o1,o2,o3,…,on,, в которых операции с одинаковыми индексами имеют одинаковую размерность. Множество V0 всех пропозициональных переменных языка L0 является системой свободных образующих в Fm.

Оценка языка L0 есть отображение υ:V0 A, где A алгебра подобная алгебре Fm, o1,o2,o3,…,on, следовательно, как и в предыдущем случае, отображение υ есть гомоморфизм множества формул в алгебру, элементы, которой служат значениями оценки.

Но наличие такого гомоморфизма означает, что если известна структура алгебры A, на которой принимают значения оценки формул языка L0, то эта структура сохраняется и на алгебре формул языка L0 Fm, o1,o2,o3,…,on.

В частности, если значения оценки лежат в булевой алгебре B, то и Fm, o1,o2,o3,…,on - булева алгебра, т.е. Fm, o1,o2,o3,…,on=Fm, ,, ,─, .


4^ .Отрицание оценки в ее классической интерпретации переходом к оценкам на алгебраических структура