Реферат: Вопросы к дифференцированному зачету по математике за IV семестр

ВОПРОСЫ

к дифференцированному зачету

по математике за IV семестр



Понятие группы, примеры. Действие группы на множестве.

Псевдоплоскости, плоскости и проективные плоскости, примеры.

Группы сторон и группы углов. Тригонометрии и полигонометрии, примеры. Конечные и бесконечные полигонометрии, критерий конечности.

Полигонометрические множества, задание полигонометрий полигонометрическими множествами. Изоморфизм полигонометрий, критерий изоморфизма.

Сферическая геометрия и тригонометрия. Сферические двуугольники и треугольники. Теоремы синусов и косинусов для сферических треугольников. Решение сферических треугольников.

Площадь сферического треугольника. Сферические координаты. Задачи картографии.

Геометрические преобразования, примеры. Группа преобразований.

Ортогональные отображения и ортогональные преобразования. Механическое и геометрическое движение. Общие свойства ортогональных отображений.

Ориентация.

Ортогональные преобразования первого и второго рода, движения.

Параллельный перенос: определение и основные свойства. Центральная симметрия. Симметрия относительно прямой. Симметрия относительно плоскости.

Поворот вокруг прямой: определение и основные свойства. Фигуры вращения. Осевая симметрия в пространстве.

Представление ортогональных преобразований в виде произведения основных ортогональных преобразований: переноса, симметрии и поворота.

Ортогональные преобразования плоскости и пространства в координатах.

Классификация движений. Движения первого рода как винтовые движения. Движение второго рода, имеющее неподвижную точку, как зеркальный поворот. Движения второго рода, не имеющие неподвижных точек, как скользящие отражения. Композиция отражений в плоскости.

Ортогональные преобразования пространства в координатах.

Симметрия. Группа симметрий. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера для выпуклых многогранников. Правильные многогранники. Симметрия правильных многогранников.

Подобные преобразования. Отображение подобия. Свойства подобных преобразований.

Гомотетия. Представление подобного преобразования в виде произведения гомотетии на ортогональное преобразование.

Подобные преобразования плоскости и пространства в координатах.

Функции многих переменных. Функциональная зависимость между переменными, примеры. Область определения функции двух переменных. Арифметическое n-мерное пространство. Общее определение открытой и замкнутой областей. Функции n переменных.

Предел функции нескольких переменных. Непрерывность и разрывы функций нескольких переменных. Операции над непрерывными функциями.

Теорема об обращении функции в нуль. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Теорема об ограниченности функции. Равномерная непрерывность.

Дифференцирование функций нескольких переменных. Частные производные. Полное приращение функции. Производные от сложных функций. Полный дифференциал.

Производные высших порядков. Теоремы о смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

Экстремумы функции нескольких переменных, необходимые условия. Исследование стационарных точек. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Касательная к плоской кривой на плоскости и в пространстве. Касательная плоскость к поверхности и нормальная прямая.

Кривизна плоской кривой. Круг кривизны и радиус кривизны.