Реферат: Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»
Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии
Допущена к защите
Зав. кафедрой Шеметков Л.А.
" " 2005г.
Дипломная работа
Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр
Исполнитель
студентка группы М-51
Шутова И.Н.
Руководитель
Д., ф-м н., профессор Монахов В.С.
Гомель 2005
Содержание
Введение
1. Основные определения и используемые результаты
2. Свойство централизаторов универсальных алгебр
3. Мультикольцо
Заключение
Список использованных источников
Введение
В теории формаций конечных групп, мультиколец и многих других алгебраических систем исключительно важную роль играют такие понятия, как локальные экраны, локальные формации, основанные на определении центральных рядов. Впервые понятие централизуемости конгруэнций было введено Смитом в работе [5]. Возникает задача согласованности определения централизуемости Смита с определением в группах и мультикольцах.Такая задача была решена в указанной работе Смита [5], где было показано: нормальная подгруппа />группы />централизует подгруппу />тогда и только тогда, когда конгруэнции, индуцированные этими нормальными подгруппами, централизуют друг друга в смысле Смита.
Возникает следующий вопрос: справедливо ли аналогичное утверждение для мультиколец, т.е. будут ли выполнятся свойства централизуемости, изложенные в работе [3], для универсальных алгебр.
В настоящей дипломной работе решается задача взаимосвязи структуры мультиколец и универсальных алгебр, получен новый результат: идеал />тогда и только тогда централизуется идеалом />, когда соответствующие этим идеалам конгруэнции централизуют друг друга в смысле Смита.
Дипломная работа включает в себя введение, три параграфа и список литературы из 10 наименований.
Перейдем к краткому изложению содержания дипломной работы.
Раздел 1 является вспомогательным и включает в себя все необходимые определения и используемые результаты.
Раздел 2 носит реферативный характер. Здесь приводятся свойства централизаторов конгруэнций, доказательства которых изложены в работах [5, 6, 7].
Раздел 3 является основным. Здесь вводится определение мультикольца, определение идеала мультикольца, определение централизатора идеала и с использованием данных определений доказывается основной результат работы (теоремы 3.4. и 3.5).
1. Основные определения и используемые результаты
Определение 1.1. [1] Универсальной алгеброй, или, короче, алгеброй называется пара />, где /> — непустое множество, /> — (возможно пустое) множество операций на />.
Определение 1.2. [1] Конгруэнцией на универсальной алгебре />называется всякое отношение эквивалентности на />, являющееся подалгеброй алгебры />.
Определение 1.3. [1] Если />и /> — алгебры сигнатуры />, то отображение />называется гомоморфизмом, если для любой />-арной операции />и любых элементов />выполняется равенство:
/>
Взаимно однозначный гомоморфизм называется изоморфизмом.
Теорема 1.1. [1] Пусть /> — гомоморфизм универсальных алгебр, тогда множество
/>
является конгруэнцией на алгебре />и называется ядром гомоморфизма />
Теорема 1.2. [1] Пусть /> — гомоморфное наложение, тогда />.
Теорема 1.3. [1] Пусть /> — конгруэнции на алгебре />и />, тогда />.
Определение 1.4. [2] Непустой абстрактный класс алгебр />сигнатуры />называется многообразием, если />замкнут относительно подалгебр и прямых произведений.
Многообразие />называется мальцевским, если конгруэнции любой алгебры из />попарно перестановочны.
Теорема 1.4. [2] Конгруэнции любой алгебры многообразия />попарно перестановочны тогда и только тогда, когда существует термальная операция />, что во всех алгебрах из />справедливы тождества
/>
Определение 1.5. [3] Пусть />и /> — факторы алгебры />. Тогда они называются:
1) перспективными, если либо />и />, либо />и />;
2) проективными, если в />найдутся такие факторы />, что для любого />факторы />и />перспективны.
--PAGE_BREAK--Теорема 1.5. [4] Между факторами произвольных двух главных рядов алгебры />, принадлежащей мальцевскому многообразию, можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором соответствующие факторы проективны и централизаторы в />равны.
Теорема 1.6. [2] (Лемма Цорна). Если верхний конус любой цепи частично упорядоченного множества />не пуст, то />содержит максимальные элементы.
2. Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр
Под термином ``алгебра'' в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие />. Используются определения и обозначения из работы [1]. Дополнительно отметим, что конгруэнции произвольной алгебры обозначаются греческими буквами. Если /> — конгруэнция на алгебре />, то /> — класс эквивалентности алгебры />по конгруэнции />, /> — факторалгебра алгебры />по конгруэнции />. Если />и /> — конгруэнции на алгебре />, />, то конгруэнцию />на алгебре />назовем фактором на />. Очевидно, что />тогда и только тогда, когда />. />или />и />или /> — соответственно наименьший и наибольший элементы решетки конгруэнций алгебры />.
Будем пользоваться следующим определением централизуемости конгруэнций, эквивалентность которого определению Смита [5] доказана в работе [6].
Определение 2.1. Пусть />и /> — конгруэнции на алгебре />. Тогда />централизует />(записывается: />), если на />существует такая конгруэнция />, что:
1) из />всегда следует />;
2) для любого элемента />всегда выполняется
/>
3) если />, то />.
Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом [5], сформулируем в виде леммы.
Лемма 2.1. Пусть />. Тогда:
/>существует единственная конгруэнция />, удовлетворяющая определению 2.1;
/>/>;
/>если />, то />.
Из леммы 2.1 и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции />на алгебре />существует такая единственная наибольшая конгруэнция />, что />. Эту конгруэнцию />будем называть централизатором конгруэнции />в />и обозначать />.
Лемма 2.2. Пусть /> — конгруэнции на алгебре />, />, />, />. Тогда справедливы следующие утверждения:
/>/>;
/>/>, где />;
/>если, />, либо
/>, либо
/>, то всегда />;
/>из />всегда следует />.
Доказательство. 1). Очевидно, что /> — конгруэнция на />, удовлетворяющая определению 1. Значит, в силу п.1) леммы 2.1 />.
2). /> — конгруэнция на />, удовлетворяющая определению 2.1. Значит, />.
3). Пусть />. Тогда
/>
/>
Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор />такой, что />, для любых элементов />. Тогда получим
/>
Аналогичным образом доказываются остальные случаи п.3).
4). Пусть />. Тогда справедливы следующие соотношения:
/>
/>
/>
Следовательно, />, где /> — мальцевский оператор. Тогда />, т.е. />. Так как />и />, то />. Таким образом />. Лемма доказана.
продолжение--PAGE_BREAK--
В дальнейшем мы будем часто ссылаться на следующий хорошо известный факт (доказательство см., например [6]).
Лемма 2.3. Любая подалгебра алгебры />, содержащая конгруэнцию />, является конгруэнцией на />.
Доказательство следующего результата работы [5] содержит пробел (следствие 224 [5] неверно, см. [7]), поэтому докажем его.
Лемма 2.4. Пусть />. Тогда для любой конгруэнции />на />
/>
Доказательство. Обозначим />и определим на алгебре />бинарное отношение />следующим образом:
/>
тогда и только тогда, когда />, где />, />. Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что /> — конгруэнция на алгебре />, причем />.
Пусть />, т.е. />, />. Тогда />и, значит, />.
Пусть, наконец, имеет место />и />. Тогда справедливы следующие соотношения:
/>
/>
/>
Применяя мальцевский оператор />к этим трем соотношениям, получаем: />. Из леммы 2.2 следует, что />. Так как />и />, то />. Значит, />. Но />, следовательно, />. Итак, />и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.
Лемма 2.5. Пусть />и /> — конгруэнции на алгебре />, />и /> — изоморфизм, определенный на />. Тогда для любого элемента />отображение />определяет изоморфизм алгебры />на алгебру />, при котором />. В частности, />.
Доказательство. Очевидно, что /> — изоморфизм алгебры />на алгебру />, при котором конгруэнции />, />изоморфны соответственно конгруэнциям />и />. Так как />, то определена конгруэнция />, удовлетворяющая определению 2.1. Изоморфизм />алгебры />на алгебру />индуцирует в свою очередь изоморфизм />алгебры />на алгебру />такой, что />для любых элементов />и />, принадлежащих />. Но тогда легко проверить, что /> — конгруэнция на алгебре />изоморфная конгруэнции />. Это и означает, что />. Лемма доказана.
Если />и /> — факторы на алгебре />такие, что />, то конгруэнцию />обозначим через />и назовем централизатором фактора />в />.
Напомним, что факторы />и />на алгебре />называются перспективными, если либо />и />, либо />и />.
Докажем основные свойства централизаторов конгруэнций.
Теорема 2.1. Пусть /> — конгруэнции на алгебре />. Тогда:
/>если />, то />;
/>если />, то />;
/>;
/>если />, />и факторы />, />перспективны, то
/>
/>если /> — конгруэнции на />и />, то
/>
Доказательство. 1). Так как конгруэнция />централизует любую конгруэнцию и />, то />.
2). Из п.1) леммы 2.2 следует, что />, а в силу леммы 2.4 получаем, что />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Пусть /> — изоморфизм />. Обозначим
/>
По лемме 2.5 />, а по определению
/>
Следовательно, />.
3). Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнций />и />на алгебре />имеет место равенство:
/>
Покажем вначале, что
/>
Обозначим />. Тогда, согласно определения 2.1, на алгебре />существует такая конгруэнция />, что выполняются следующие свойства:
а) если />, то />;
б) для любого элемента />, />;
в) если />и />, то />.
Построим бинарное отношение />на алгебре />следующим образом:
/>
тогда и только тогда, когда />и />, />. Покажем, что /> — конгруэнция на />. Пусть />, />. Тогда />и />, />. Так как /> — конгруэнция, то для любой />-арной операции />имеем:
/>
Очевидно, что (/>, />и />, />. Следовательно, />. Очевидно, что для любой пары />. Значит, />. Итак, по лемме 2.3, /> — конгруэнция на />. Покажем теперь, что />удовлетворяет определению 2.1, т.е. />централизует />.
Пусть
/>
Тогда />и />. Так как />, />и />, то />. Следовательно, />удовлетворяет определению 2.1.
Если />, то />, значит,
/>
Пусть, наконец, имеет место (1) и
/>
Тогда />. Так как />и />, то />, следовательно, />. Из (2) следует, что />, а по условию />. Значит, />и поэтому />. Тем самым показано, что конгруэнция />удовлетворяет определению 2.1, т.е. />централизует />. Докажем обратное включение. Пусть />. Тогда на алгебре />определена конгруэнция />, удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение />на алгебре />следующим образом:
/>
тогда и только тогда, когда
/>
и />, />. Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что /> — конгруэнция на алгебре />. Заметим, что из доказанного включения />следует, что />. Покажем поэтому, что />централизует />. Так как />, />и />, то />, т.е. />удовлетворяет условию 1) определения 2.1.
Если />, то />, следовательно, />.
Пусть имеет место (3) и />. Так как />, />, то />и />. Из (4) следует, что />, следовательно, />, т.е. />. На основании леммы 2.2 заключаем, что />. Следовательно, />. Но так как />, то />, т.е. />.
продолжение--PAGE_BREAK--
4) Обозначим />. Пусть />и удовлетворяет определению 2.1. Определим бинарное отношение />на />следующим образом />тогда и только тогда, когда />. Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что /> — конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1. Это и означает, что />. Теорема доказана.
Как следствие, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.
3 Мультикольцо
Согласно [2] алгебра />сигнатуры />называется мультикольцом, если алгебра />-группа(не обязательно абелева).Все операции из />имеют ненулевые арности и для любой />-арной операции />и любых элементов />имеет место />=/>, для любого />. Заметим, что мультикольцо является дистрибутивной />-группой в смысле определения Хиггинса [10] или мультиоператорной группой согласно А.Г.Куроша [9]. Для мультиколец справедливы следующие равенства:
/>
/>
/>
где />, как обычно, обозначается элемент, противоположный к элементу />.
Докажем, например, первое равенство.
/>
Прибавляя к обеим частям равенства элемент, противоположный к элементу
/>
получаем требуемое равенство.
Определение. Подалгебра />мультикольца />называется идеалом [9], если />-нормальная подгруппа группы />и для любой />-арной операции />, произвольного />и любых />,/>имеет место
/>
В частности, если />-нульарная или унарная операция, то это означает, что
/>
Как следует из примера [8] конгруэнции на мультикольце перестановочны. Следующая теорема устанавливает соответствие между идеалами и конгруэнциями мультикольца.
Теорема 3.1 [2] Пусть />-идеал мультикольца />и
/>
Тогда />-конгуэнция на />и любая конгруэнция на />имеет такой вид для подходящего идеала />.
Доказательство.
Так как
/>
то />. Покажем, что />-подалгебра алгебры />.Проверим вначале замкнутость />относительно групповых операций. Пусть />, т.е. />. Тогда в силу того, что />, получаем
/>
т.е./>
/>
т.е./>. Пусть теперь />-n-арная операция и />,/>Так как />-идеал, то получаем
/>
/>
/>
т.е. />. Теперь из леммы [8] следует, что />-конгруэнция на />. Обратно, пусть />-конгруэнция на />. Положим
/>
Из [8] следует, что />-нормальная подгруппа группы />. Аналогичным образом, как и в [8], показывается, что />-идеал мультикольца />. Теорема доказана.
Следствие 3.2. Решетка идеалов мультикольца />изоморфна решетке его конгруэнций.
Определение 3.3 [3].Пусть />-идеал мультикольца />.Тогда централизатором />в />называется наибольший идеал />в />такой, что для любого />и любого />выполняются следующие условия:
1) />;
2) для любой />-арной операции />/>, любых различных />, произвольных />справедливо
/>
продолжение--PAGE_BREAK--
/>
Теорема 3.4. Пусть />и />-идеалы мультикольца />и />. Тогда />и />индуцируют на />соответственно конгруэнции />и />, где
/>
тогда
/>
Доказательство :
Определим бинарное отношение />на />следующим образом />тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы />и />, что справедливы равенства
/>
Очевидно, что />-отношенме эквивалентности на />, удовлетворяющее условиям 1)-3) определения 2.1., замкнутость которого относительно групповых операций доказана в примере [8]
Пусть теперь />-/>-арная операция и />Тогда
/>и />
для любых />Следовательно,
/>
/>/>
/>
Подставляя в правую часть последнего равенства значения />и учитывая, что после раскрытия скобок члены, одновременно содержащие элементы />и />, равны нулю />, получаем в правой части равенства выражение
/>/>/>
Так как />-идеал, то
/>
/>
/>
Итак,
/>
тогда />.
Теорема 3.5 Пусть />и />-идеалы мультикольца />, />, />-конгруэнции, определенные в теореме 3.4. и />.Тогда />.
Доказательство : Пусть />-конгруэнции мультикольца />и />. Обозначим смежные классы по />и />, являющиеся идеалами мультикольца, соответственно />и />. Возьмем произвольные элементы />, />, />. Тогда
/>
/>
/>
Следовательно, для любой />-арной операции />, любых различных />получаем
/>
Из определения 2.1. следует, что
/>
Очевидно, что справедливо и другое аналогичное равенство определения [8] Т.к. из примера [8] следует, что />, то это означает, что />.
Очевидно, что из теорем 3.4. и 3.5. и результатов раздела 2 следуют все известные свойства централизаторов подгрупп, а так же свойства централизаторов идеалов мультиколец работы [3](Лемма 2.8).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей дипломной работе решается задача взаимосвязи структуры мультиколец и универсальных алгебр, получен новый результат: идеал />тогда и только тогда централизуется идеалом />, когда соответствующие этим идеалам конгруэнции централизуют друг друга в смысле Смита.
Результаты данной дипломной работы могут быть использованы при чтении спецкурса для студентов математического факультета, а так же аспирантами и научными сотрудниками, занимающимися проблемами современной алгебры.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Кон П.М. Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1968. — 351 с.
2. Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. — М.Наука, 1983. — 272 с.
3. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. — М.: Наука, 1989. — 256 с.
4. Ходалевич А.Д. Универсальные алгебры с />-централизаторными рядами конгруэнций // Весцi Акадэмii навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. — 1994. — № 1. — с. 30--34.
5. Smith D.H. Mal'cev varieties // Lect. Notes Math. — 1976. — V. 554. — 158 p.
6. Ходалевич А.Д. Формационные свойства нильпотентных алгебр // Вопросы алгебры. — Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1992. — Вып. 7. — с.76--85.
7. Ходалевич А.Д. Класс нильпотентных универсальных алгебр / Ред. ж. Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат.н. — Минск, 1991. — 19 с. — Деп. в ВИНИТИ 10.02.91: 4555 — В91.
8. Ходалевич А.Д. Прикладная алгебра //Спецкурс.-Гомель: Изд-во Гомельского ун-та,2002.-с.30
продолжение--PAGE_BREAK--
9. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре.- М.: Наука,1973.-339с.
10. Higgins P.J. Groups with multiple operators //Proc. London math.Soc.-1956.-V.6,--№3.-p. 366--416.
Отзыв
на дипломную работу
``Свойства централизаторов конгруэнций универсальных алгебр''
студентки 5 курса математического
факультета Шутовой И.Н.
Дипломная работа Шутовой И.Н. посвящена решению задачи изучения формационных свойств подалгебр универсальных алгебр.В отличии от теории многообразий, где основным методом изучения является понятие тождеств, в теории формаций одним из основных является понятие централизуемости. Это связано с определением локальных формаций.
В дипломной работе ''Свойства централизаторов конгруэнций универсальных алгебр'' решена задача взаимосвязи структуры мультиколец и универсальных алгебр, получен новый результат: идеал />тогда и только тогда централизуется с идеалом />, когда соответствующие этим идеалам конгруэнции централизуют друг друга в смысле Смита.
В процессе работы над дипломной работой студентка Шутова И.Н. проявила способность к самостоятельным исследованиям, умение работать с научной литературой.
Считаю, что дипломная работа студентки Шутовой И.Н. удовлетворяет необходимым требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и заслуживает оценки «отлично», а студентка Шутова И.Н. заслуживает присвоения ей квалификации «Математик. Преподаватель математики.»
Научный руководитель,
к.ф.-м.н., доцент А.Д.Ходалевич
Рецензия
на дипломную работу
``Свойства централизаторов конгруэнций универсальных алгебр''
студентки 5 курса математического
факультета Шутовой И.Н.
Теория универсальных алгебр вплоть до 70-х годов развивалась исключительно в рамках теории многообразий. Появление в свет книги Л.А.Шеметкова и А.Н.Скибы ''Формации алгебраических систем'' указало на новые возможности в исследовании универсальных алгебр. Особую значимость в указанной теории играет понятие локальных формаций, в основе которых лежит понятие централизуемости.
В рецензируемой дипломной работе решается проблема адаптирования понятия ''централизуемость идеалов мультиколец'' работы [3] с работой Смита [5] и получен новый результат: идеал />тогда и только тогда централизуется с идеалом />, когда соответствующие этим идеалам конгруэнции централизуют друг друга в смысле Смита.
Дипломная работа аккуратно оформлена. Полученные здесь результаты являются новыми и представляют научный интерес.
Считаю, что дипломная работа студентки Шутовой И.Н. удовлетворяет необходимым требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и заслуживает оценки ``отлично''.
Рецензент
к.ф.-м.н., доцент Харламова В.И.