Реферат: Метод скінчених різниць в обчислювальній математиці

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

кафедра інформатики

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

ПО КУРСУ: Чисельні методи

на тему: «Метод скінчених різниць в обчислювальній математиці»

Зміст

Постановка задачі

Вступ

1 Теоретична частина

2 Програмнареалізація

Список використаної літератури

Постановка задачі

Використовуючи методкінцевих різниць, розв’язати крайову задачу для звичайного диференціального рівняння

Вступ

Нехай потрібно чисельно розв’язати задачу Коші для звича-йного диференціального рівняння першого порядку, тобто знайти наближений розв’язокдиференціального рівняння y/>=F(x,y), що задовольняє початковій умові y(x/>)=y/>.Чисельне розв’язаннязадачі полягає в побудові таблиці наближених значень y/>,y/>,y/>,...,y/>-розв’язкурівняння y=/>(x ) у точках x/>,x/>,x/>,...,x/>— вузлах сітки .

yn *

y3 *

y2 *

y1 *

y0 *

O xx1x2x3xnx

На рисунку * позначені точки, що відповідають наближено-му розв’язку задачі Коші. Треба зазначити, що частіше використо-вують систему рівновіддалених вузлів x/>=x/>+ ih (i=1,2,..,n), де h — крок сітки

( h > 0 ) .

1 Теоретична частина

Методи Рунге-Кутта

Різні представники цієї категорії методів потребують більшого чи меншого об’єму обчислень і відповідно забезпечують більшу чи меншу точність.При розв’язанні конкретної задачі виникають питання, якою із формул Рунге-Кутта доцільно скористатися і як вибрати крок сітки.

Якщо />неперервна й обмежена разом із своїми четвертими похідними, то гарні результати дає метод четвертого порядку. Він описується системою наступних п'яти співвідношень:

/>(/>);

Якщо функція не має зазначених похідних, порядок точності вищенаведеного методу не може бути реалізований. Тоді необхідно користуватися методами меншого порядку точності, що відповідає порядку наявних похідних.

Одним з найбільш простих і досить ефективних методів

оцінки похибки й уточнення отриманих результатів є правило Рунге. Для оцінки похибки за правилом Рунге порівнюють наближені розв’язки, отримані при різних кроках сітки. При цьому використовується наступне припущення: глобальна похибка методу порядку p у точці хi подається у вигляді

/>/>.

За формулою Рунге

Таким чином, із точністю до />(величина більш високого порядку малості) при h→0 похибка методу має вигляд:

де yi – наближене значення, отримане в точці />з кроком h; y2i – із кроком h/2; p — порядок методу; y(x2i) — точний розв’язокзадачі.

Метод прогнозу і корекції

Підправивши схему Эйлера, одержимо схему прогнозу

/>,

де />наближене значення />. Цю формулу використовувати не можна, оскількисхема прогнозу нестійка. Тому використовує-мо схему корекції

--PAGE_BREAK--

Оцінюючи похибки прогнозу і корекції, одержимо

/>— похибка корекції,

/>— похибка прогнозу .

Істинне значення лежить між прогнозом і корекцією.На будь-якому кроці можна оцінити точність рішення. При заданому />=0,0000001, наприклад,/>.

Віднімаючиз />співвідношення />, маємо

/>.

Уточнюємо розв’язання, виходячи з формули />:

Ця формула завершає схеми прогнозу і корекції .

Метод кінцевих різниць для розв’язання лінійних крайових задач

Маємо відрізок [a,b]. Потрібно знайти розв’язоклінійного диференціального рівняння другого порядку

/>,

що задовольняє такі крайові умови:

/>/>

Виберемо рівномірну сітку: x = a + ih, i = 0,1,2,…,n… Нехай/>Апроксимуємо />і />у кожному внутрішньому вузлі (i = 1, 2, …, n-1) центральними різницями />, />і на кінцях відрізка – односторонніми скінченнорізницевими апроксимаціями/>, />.

Використовуючи ці формули, одержуємо різницеву апроксимацію вихідного крайового завдання:

Коефіцієнти різницевих рівнянь залежать від кроку сітки.

Введемо позначення:

/>/>

Перепишемо систему з урахуванням введених позначень:

/>/>

Маємо різницеву схему крайового завдання. Запишемо систему рівнянь у розгорнутій матричній формі:

Таким чином, завдання зводиться до розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, що можна записати у вигляді Ay=d.

2 Програмна реалізація

Реалізація пакетом Maple

> ss:=diff(diff(y(x),x),x)+diff(y(x),x)/x+2*y(x)-x;

dsolve[interactive]( ss );