Реферат: Балансовый метод планирования

--PAGE_BREAK--4. Модель равновесных цен
Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева – так называемую модель равновесных цен. Пусть, как и прежде, А – матрица прямых затрат, х = (х1, х2, …, хn)Т – вектор валового выпуска. Обозначим через р = (р1, р2, …, рn)Т вектор цен, i координата которого равна цене единицы продукции i-й отрасли; тогда, например, первая отрасль получит доход, равный р1 х1. Часть своего дохода эта отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для выпуска единицы продукции, ей необходима продукция первой отрасли в объеме а11, второй отрасли в объеме а21, и т.д., n-й отрасли в объеме аn1. На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная а11 р1 + а21 р2 + … + аn1 рn. Следовательно, для выпуска продукции в объеме х1 первой отрасли необходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму, равную х1(а11р1+а21р2+…+ аn1рn). Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, мы обозначим через V1 (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).

Таким образом, имеет место следующее равенство:
х1р1 = х1(а11р1+а21р2+…+ аn1рn) + V1.
Разделив это равенство на х1 получаем:
р1 = а11 р1 + а21 р2 + … + аn1 рn + v1,
где v1 = V1/х1 – норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицу выпускаемой продукции). Подобным же образом получаем для остальных отраслей
р2 = а12 р1 + а22 р2 + … + аn2 рn + v2,

рn = а1n р1 + а2n р2 + … + аnn рn + vn.
Найденные равенства могут быть записаны в матричной форме следующим образом:
р = АТр + v,
где v = (v1, v2, …, vn)Т – вектор норм добавленной стоимости. Как мы видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева, с той лишь разницей, что х заменен на р, у – на v, А – на АТ.




Вывод
Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на продукцию отраслей. Она также позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены одной из отраслей.

Балансовый метод – это метод взаимного сопоставления ресурсов (материальных, трудовых, финансовых) и потребностей в них. Среди множества разновидностей балансового метода наиболее распространен межотраслевой баланс, увязывающий источники и направления использования ресурсов. Как правило, при применении балансового метода производятся вариантные расчеты с помощью вычислительной техники

Межотраслевой баланс представляет собой экономико-математическую модель народного хозяйства, что позволяет проводить многовариантные расчеты структуры общественного производства по заданному объему и структуре конечного продукта. Это имеет важное значение на предварительной стадии составления плана для осуществления вариантов расчетов пропорций, темпов и отраслевой структуры экономики, а также на последующих стадиях планирования для повышения уровня сбалансированности отраслей и анализа межотраслевых связей. Таким образом, разработка межотраслевого баланса является одной из предпосылок развития методологии оптимального планирования.

Данные полученные по модели межотраслевого баланса, дают возможность судить о тенденциях развития технического прогресса, о насыщении экономики производственными фондами, капитальными вложениями, трудовыми ресурсами и т.д. Такой анализ возможен на основе сопоставления матриц прямой и полной фондо-, капитало-, трудоемкости и др.

Межотраслевой баланс, разработанный в трудовых единицах, дает информацию, необходимую для построения рациональной системы цен.

Итак, балансовый метод заключает в себе использование балансов для взаимного сопоставления ресурсов (материальных, трудовых, финансовых) и потребностей в них.




Задача 1
Компания производит продукцию двух видов А и В. Обе требуют работы двух цехов сборочного и отделочного. Сведения о производстве:



Цех

Продукция

Вместе необходимо рабочих часов

А

В

Сборочный

3

5

15

Отделочный

5

2

10

Валовая прибыль на единицу

5

32





Компания заинтересована в наибольшей прибыльности этих комбинаций продукции. Найти сколько надо производить продукции А и В, чтобы валовая прибыль была максимальная.

Решение

Введем переменные:

х1 – количество продукции вида А;

х2 – количество продукции вида В.

Строим математическую модель:

Fмах = 5х1 + 32х2 при условиях:
3х1 + 5х2 ≤ 15;

5х1 + 2х2 ≤ 10.
х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, т.к. продукция выпускаемая не может быть отрицательной.

Задачу можно решить графическим методом и можно решить или проверить симплекс-методом.

Для решения графическим методом запишем граничные прямые:
1) 3х1 + 5х2 = 15;

2) 5х1 + 2х2 = 10.
Строим граничные прямые на плоскости, но для этого найдем точки для построения прямых:
1)     х2 = 0; х1 = 5; х1 = 0; х2 = 3;

2)     х2 = 0; х1 = 2; х1 = 0; х2 = 5.
ОДЗ – многоугольник ОАВСD.

Для определения ОДЗ (области допустимых значений) необходимо найти направление полуплоскостей.

Для испытания берем точку О(0;0) и подставляем её координаты в неравенство (1) и (2), если неравенство удовлетворяется, то полуплоскость направлена к точке (0;0). При наложении полуплоскостей друг на друга получим ОДЗ.

Строим вектор целевой функции С, перпендикулярно к нему проводим линию уровня (пунктирная линия). Перемещаем линию уровня по ОДЗ в направлении вектора целевой функции С и самая дальняя точка от начала координат – это точка А(0;3) в ней хопт.

Подставим координаты (0;3) в целевую функцию и получим её максимальное значение

Fmах = 5*0 + 3*32 = 96 ед. стоимости в точке А(0;3).

Для получения прибыли равной 96 ед.ст. необходимо включить в план продукцию типа В.




Задача 2
Фирма дополнительно освоила выпуск продукции четырех видов В1, В2, В3, В4. Для выпуска это продукции необходимо сырьё четырех видов А1, А2, А3, А4, которое фирма может ежемесячно покупать в ограниченном количестве. Количество сырья каждого вида, которое необходимо для производства каждого вида ассортимента продукции, а также ежемесячное поступление каждого вида сырья приведены в таблице.



Виды сырья

Ежемесячное поступление сырья

Затраты сырья на единицу каждого изделия

В1

В2

В3

В4

А1

1290

2

4

6

8

А2

990

2

2



6

А3

620



1

1

2

А4

300

1



1



Прибыль от реализации единицы изделия

8

10

12

18



Построить математическую модель и определить, какой ассортимент продукции и в каком количестве должна производить фирма, чтобы прибыль от реализации была максимальной.

Решение

Введем переменные:

х1 – количество продукции типа В1;

х2 – количество продукции типа В2;

х3 – количество продукции типа В3;

х4 – количество продукции типа В4.

Строим математическую модель задачи:

Fmах = 8х1 + 10х2 + 12х3 + 18х4

при условиях:


2х1 + 4х2 +6х3 + 8х4 ≤ 2110;

2х1 + 2х2 + 0*х3 + 6х4 ≤ 1810;

0*х1 + х2 + х3 + 2х4 ≤ 1440;

х1 + 0*х2 + х3 + 0*х4 ≤ 1120.

хj ≥ 0; j = 1,4.
Приводим систему ограничений к каноническому виду:
2х1 + 4х2 +6х3 + 8х4 + х5 = 2110;

2х1 + 2х2 + 6х4 + х6 = 1810;

х2 + х3 + 2х4 + х7 = 1440;

х1 + х3 + х8 = 1120.

хj ≥ 0; j = 1,8.
Приводим систему ограничений к виду удобному для решения. Для этого проверим наличие единичного базиса в системах ограничений и так как он есть, то решаем задачу прямым симплекс-методом.



№ оп.пл.

Базис

С

bi

8

10

12

18









х1

х2

х3

х4

х5

х6

х7

х8


х5



2110

2

4

6

<8>

1







х6



1810

2

2



6



1





х7



1440



1

1

2





1



х8



1120

1



1









1

Fj — Сj



-8

-10

-12

-18











х4

18

263,75

0,25

0,5

0,75

1

0,125







х6



227,5

<0,5>

-1

-4,5



-0,75

1





х7



912,5

-0,5



-0,5



-0,25



1



х8



1120

1



1









1

Fj — Сj

4747,5

-3,5

-1

1,5



2,25









х4

18

150



1

<3>

1

0,5

-0,5





х1

8

455

1

-2

-9



-1,5

2





х7



1140



-1

-5



-1

1

1



х8



665



2

10



1,5

-2



1

Fj — Сj

6340



-8

-30



0,1667

7





 

х3

12

50



0,3333

1

0,3333

0,1667

0,1667





х1

8

905

1

1



3

0,5

0,5





х7



1390



0,6667



1,6667

0,1667

0,1667

1



х8



165



-1,333



-3,333

-0,333

-0,333



1

Fj — Сj

7840



2



10

2

2







Ответ: Fmах = 7840 ед. стоимости; хопт = (905; 0; 50; 0; 0; 0; 1390; 165).

Для получения прибыли равной 7840 ед. стоимости необходимо включить в план продукцию первого и третьего вида в количествах:
В1 = 905 ед.;

В3 = 50 ед.,
При этом остались недоиспользованные ресурсы в количествах:
А3 = 1390 ед.

А4 = 165 ед.




    продолжение
--PAGE_BREAK--Задача 3
Для откорма группы животных на ферме необходимо наличие в ежедневном рационе не менее как В1, единиц питательных веществ В2 и т.д. – не менее как Вm. Указанные питательные вещества содержатся в n разных кормовых продуктах, которые можно закупить.

Составить такой ежедневный кормовой рацион, при котором будет удовлетворена потребность в питательных и затраты на откорм будут минимальны.



Питательные вещества

Кормовые продукты

Суточная необходимость

Вi = В0 + n1

В1

В2

В3

В4

А1

1

2

2

1

64 + 9

А2



3

1

1

39 + 9

А3

2

1



3

35 + 9

Стоимость 1 кг кормов

2

1

3

4





Составить математическую модель и решить ЗЛП.

Решение

Введем переменные:

х1 – количество кормового продукта В1

х2 – количество кормового продукта В2

х3 – количество кормового продукта В3

х4 – количество кормового продукта В4

Строим математическую модель:
Fmах = 2х1 + х2 + 3х3 + 4х4
при условиях:


х1 + 2х2 + 2х3 + х4 ≥ 155;

3х2 + х3 + х4 ≥ 130;

2х1 + х2 + 3х4 ≥ 126;

хj ≥ 0; j = 1,4.
Приведем систему ограничений к каноническому виду:
х1 + 2х2 + 2х3 + х4 – х5 = 155;

3х2 + х3 + х4 – х6 = 130;

2х1 + х2 + 3х4 – х7 = 126;

хj ≥ 0; j = 1,7.
Приведем систему ограничений к виду удобному для решения:
х1 + 2х2 + 2х3 + х4 – х5 + х8 = 155;

 3х2 + х3 + х4 – х6 + х9 = 130;

2х1 + х2 + 3х4 – х7 + х10 = 126;

хj ≥ 0; j = 1,10.
Переменные х8, х9, х10 являются искусственными и они введены на знак «=», поэтому для корректировки задачи эти переменные вводят в целевую функцию с коэффициентом +М.
Fmin = 2х1 + х2 + 3х3 + 4х4 + Мх8 + Мх9 + Мх10.
Задача решается модифицированным симплекс-методом (метод искусственного базиса).




№

о/п

Ба-

зис

С

bi

С1=2

С2=1

С3=3

С4=4

С5=0

С6=0

С7=0

С8=М

С9=М

С10=М

Х1

Х2

Х3

Х4

Х5

Х6

Х7

Х8

Х9

Х10



х8

М

155

1

2

2

1

-1





1





х9

М

130



<3>

1

1



-1





1



х10

М

126

2

1



3





-1





1

Fj — Сj



-2

-1

-3

-4













М



411

3

6

3

5

-1

-1

-1









х8

М

<img border=«0» width=«31» height=«41» src=«ref-1_845086534-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">

1



4/3

1/3

-1

2/3



1





х2

1

<img border=«0» width=«31» height=«41» src=«ref-1_845086686-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">



1

1/3

1/3



-1/3









х10



<img border=«0» width=«31» height=«41» src=«ref-1_845086835-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">

<2>



-1/3

8/3



1/3

-1





1

Fj — Сj

<img border=«0» width=«31» height=«41» src=«ref-1_845086686-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">

-2



-8/3

-<img border=«0» width=«21» height=«41» src=«ref-1_845087135-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035">



-1/3









М



151

3



1

3

-1

1

-1









х8

М

27





<<img border=«0» width=«16» height=«41» src=«ref-1_845087258-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">>

-1

-1

1/2

1/2

1





х2

1

<img border=«0» width=«31» height=«41» src=«ref-1_845086686-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">



1

1/3

1/3



-1/3









х1

2

<img border=«0» width=«31» height=«41» src=«ref-1_845087516-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">

1



-1/6

4/3



1/6

-1/2







Fj — Сj

126





-3

-1





-1







М



27





3/2

-1

-1

1/2

1/2









х3

3

18





1

-2/3

-2/3

1/3<img border=«0» width=«12» height=«23» src=«ref-1_845086013-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039">

<1/3>







х2

1

<img border=«0» width=«31» height=«41» src=«ref-1_845087737-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040">



1



5/9

2/9

-4/9

-1/9







х1

2

<img border=«0» width=«29» height=«41» src=«ref-1_845087882-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041">

1





11/9

-1/9

2/9

-4/9







Fj — Сj

180







-3

-2

1











х6



54





3

-2

-2

1

1







х2

1

<img border=«0» width=«31» height=«41» src=«ref-1_845088029-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042">



1

4/3

-1/3

-2/3



1/3







х1

2

<img border=«0» width=«24» height=«41» src=«ref-1_845088179-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043">

1



-2/3

5/3

1/3



-2/3







Fj — Сj

126





-3

-1





-1









Каждый опорный план проверяем на оптимальность.

В 5-м опорном плане в индексной строке все разности Fj — Сj ≤ 0, следовательно этот план является оптимальным (F→min).

Можно записать ответ:
Fmin = 126 ед.стоимости,

Хопт = (97/3 = 32,33; 184/3 = 61,33; 0; 0; 0; 54).
Для получения минимальной себестоимости на изготовление кормовой продукции равной 126 ед. ст. необходимо включить в план кормовые продукты 1-го В1 = 32,33 ед. и второго вида В2 = 61,33 ед. и остались недоиспользованы ресурсы по А3 в количестве 54 ед.




    продолжение
--PAGE_BREAK--