Реферат: Пространства Соболева
Введение
Пространства Соболева /> и тесно связанное с ним понятие обобщённой производной в смысле Соболева были введены в математическую практику академиком С.Л. Соболевым и играют важнейшую роль в теоретических и прикладных вопросах математической физики и функционального анализа. Пополнение пространства гладких функций /> некоторыми идеальными элементами, которые можно с любой степенью точности вычислить с помощью элементов из /> приводит, с одной стороны, вследствие полноты /> к точности и завершённости многих математических утверждений, а с другой стороны, сохраняет все вычислительные возможности.
1. Пространства Соболева
1.1 Общее определение
Пусть в /> задана замкнутая ограниченная область /> Рассмотрим линейное пространство вещественных функций />/> раз непрерывно дифференцируемых на /> Дифференцируемость на замкнутой области /> можно понимать в различных смыслах. Мы будем предполагать, что в /> функции />/> раз непрерывно дифференцируемы, причём каждая частная производная функции /> имеет предел при стремлении /> к любой граничной точке области /> так что в результате её продолжения на /> она становится непрерывной в /> Граница /> области /> предполагается достаточно гладкой. Кроме того, обычно мы будем считать область /> односвязной и удовлетворяющей таким дополнительным ограничениям, которые могут понадобиться в тех или иных рассуждениях.
Воспользуемся для краткости следующими обозначениями. Набор индексов /> называется мультииндексом. Число /> называется длиной мультииндекса. Для обозначения частных производных примем
/>
Введём в рассмотренном выше линейном пространстве норму />
/>(1.1)
Полученное нормированное пространство обозначается /> Его пополнение в норме (1.1) обозначается /> и называется пространством Соболева.
В прикладных задачах довольно часто встречается случай /> Общепринято следующее обозначение: /> Пространство Соболева /> является гильбертовым пространством – пополнением пространства /> в норме, порождённой скалярным произведением
/>
Ниже мы подробнее остановимся на частных случаях /> и /> то есть рассмотрим пространства Соболева на вещественной оси и в трёхмерном пространстве.
1.2 Пространство />
Рассмотрим на отрезке /> пространство /> состоящее из всевозможных функций /> непрерывно дифференцируемых на /> со скалярным произведением
/>(1.2)
и соответствующей этому скалярному произведению нормой
/>(1.3)
/>является пополнением /> в этой норме. Элементами /> согласно теореме о пополнении, являются классы, состоящие из последовательностей /> фундаментальных в /> в среднем, точнее, таких, что
/>при />
Две такие последовательности /> и /> принадлежат одному классу, если /> является бесконечно малой по норме /> то есть, если
/>при />
Из условия фундаментальности в среднем /> в /> следует, что отдельно при />
/>
Аналогично, из условия эквивалентности /> и /> по норме /> следует, что при />
/>
Согласно определению пространства /> существуют функции /> и /> такие, что при />/> а /> в среднем.
Мы приходим к следующему важнейшему определению. Пусть /> Тогда в /> определены элемент /> с представителем /> и элемент /> с представителем />/> называется обобщённой производной (в смысле Соболева) от /> При этом пишут: />
Из определения обобщённой производной /> видно, что она определяется не локально, в отдельных точках, а глобально – сразу на всём отрезке /> Пусть /> так что />/> Перейдём к пределу при /> в равенствах
/>(1.4)
/>(1.5)
--PAGE_BREAK--и, согласно теореме о пополнении и определению интеграла Лебега, придём к формулам (1.2) и (1.3), где теперь производные понимаются в обобщённом смысле, а интеграл – в смысле Лебега. Для конкретных вычислений, разумеется, можно и нужно пользоваться формулами (1.4) и (1.5), взяв достаточно большое /> то есть вместо идеальных элементов />/>/>/> воспользоваться их гладкими приближениями />/>/>/>
1.3 Другое определение обобщённой производной
Пусть /> – множество всех непрерывно дифференцируемых на отрезке /> финитных функций /> Если теперь /> непрерывно дифференцируема на отрезке /> то для произвольной функции /> справедливо следующее интегральное тождество:
/>(1.6)
проверяемое интегрированием по частям. Этим тождеством /> полностью определяется.
Допустим, что, кроме того, для любых /> и некоторой непрерывной на отрезке /> функции />
/>(1.7)
Вычитая эти тождества, получим, что для любых />
/>
Отсюда, вследствие плотности /> в />/> на отрезке /> Оказывается, интегральное тождество (1.7) можно принять за определение обобщённой производной. Прежде всего, справедлива следующая лемма.
Лемма 1.Если />то для любых />справедливо тождество (1.6).
Доказательство. Пусть /> тогда для всех /> имеем (1.6):
/>
Вследствие свойства непрерывности скалярного произведения в последнем равенстве можно перейти к пределу при /> В результате мы получим тождество (1.6) для любой функции /> Лемма доказана.
Лемма 2.Пусть даны />/>такие, что для всех />справедливо тождество (1.7). Тогда />(обобщённая производная).
Доказательство. Пусть /> а /> Тогда
/>при />
для любого />
Пусть /> – класс, представителем которого является />
Тогда/>для любых />Отсюда />Лемма доказана.
1.4 Простейшая теорема вложения
Теорема 1./>вложено в />
Доказательство. Пусть /> непрерывно дифференцируема на отрезке /> Согласно теореме о среднем, вследствие непрерывности /> найдётся точка /> такая, что /> Поэтому на отрезке /> справедливо следующее тождество:
/>
С помощью неравенства Коши-Буняковского имеем
/>
где /> Следовательно, для любой непрерывно дифференцируемой на отрезке /> функции /> справедливо неравенство
/>(1.8)
Пусть теперь последовательность /> – фундаментальная по норме /> Тогда
/>
при /> Следовательно, /> фундаментальна в смысле равномерной сходимости и, по критерию Коши равномерной сходимости, сходится к /> Тем более /> в среднем. Таким образом, в классе из /> содержащим /> в качестве представителя, содержится непрерывная функция /> и, значит, этот класс можно отождествить с /> Отождествим элементы /> с непрерывными функциями. Пусть /> Переходя в неравенстве /> к пределу при /> придём к неравенству (1.8).
Итак, вложение /> в /> доказано. Доказательство теоремы закончено.
1.5 Пространства Соболева /> и />
Пусть /> – односвязная область с достаточно гладкой границей /> В замкнутой области /> рассмотрим линейное пространство всевозможных непрерывно дифференцируемых функций /> со скалярным произведением
/>
продолжение--PAGE_BREAK--
При этом
/>(1.9)
Полученное пространство со скалярным произведением обозначается /> а его пополнение – это, по определению, пространство Соболева />
Пусть /> – фундаментальная последовательность в /> то есть /> при /> Отсюда следует, что в /> будут фундаментальными последовательности
/>
Вследствие полноты /> в /> имеются элементы, которые мы обозначим
/>
так что при /> в среднем
/>
Элементы /> называются обобщёнными частными производными элемента />
Скалярное произведение и норма задаются в /> теми же формулами, что и в /> в которых теперь производные обобщённые, а интегрирование понимается в смысле Лебега. Введем в рассмотрение пространство /> Это пространство является пополнением в норме
/>(1.10)
линейного пространства функций, непрерывно дифференцируемых на /> и таких, что />/> является гильбертовым пространством со скалярным произведением
/>
Лемма 3.Если />а />то
/>
/>
/>
Доказательство. Достаточно доказать первую из этих формул. Она справедлива, если /> а /> Пусть /> – фундаментальная в /> последовательность, предел которой – элемент /> Переходя в тождестве /> к пределу при /> получим для любой /> Действительно, из сходимости в /> следует, что
/>то есть непрерывность скалярного произведения.
Пусть теперь /> – фундаментальная последовательность в /> Перейдём к пределу в тождестве /> и получим исходное тождество.
Следствие./>содержится строго внутри />
Действительно, функция /> Но /> иначе мы имели бы /> то есть/>для любой />Возьмём />и получим противоречие.
Теорема 2 (Фридрихс).Существует постоянная />такая, что для любых />/>
Доказательство. По самому определению /> всякий элемент из /> принадлежит /> Пусть /> и сходится в /> к />
Построим куб /> содержащий область /> Функции /> доопределим нулём в /> Частная производная /> существует всюду в /> за исключением, быть может, тех точек, в которых прямая, параллельная оси абсцисс, пересекает границу /> области /> Для любой точки /> имеем
/>
По неравенству Коши-Буняковского
/>
Интегрируя полученное неравенство по /> находим
/>
Так как /> вне /> то
/>
Переходя к пределу при /> приходим к доказываемому неравенству Фридрихса.
Следствие 1.Пространство />вложено в />
Это предложение непосредственно вытекает из определения вложения банаховых пространств и неравенства Фридрихса.
Следствие 2.В />нормы (1.9) и (1.10) эквивалентны.
Действительно, используя неравенство Фридрихса, имеем
/>
2. Применение пространств Соболева в математической физике
2.1 Доказательство существования и единственности обобщённого решения уравнения Лапласа
продолжение--PAGE_BREAK--
Теорема 3 (Рисс).Пусть />– гильбертово пространство. Для любого линейного ограниченного функционала />заданного всюду на />существует единственный элемент />такой, что для всех />/>
При этом />
Доказательство приведено в [1, стр. 171].
Теорема Рисса эффективно применяется в теории разрешимости граничных задач для уравнений с частными производными. Будем говорить, что гильбертово пространство /> вложено в гильбертово пространство /> если из /> следует, что /> причём существует постоянная /> такая, что для всех />
/>(2.1)
Имеет место следующее следствие из теоремы Рисса.
Теорема 4.Если гильбертово пространство />вложено в гильбертово пространство />то для каждого элемента />найдётся единственный элемент />такой, что для всех />имеет место тождество/>
Тождество это определяет оператор /> такой, что /> при этом />
Доказательство. При каждом фиксированном /> выражение /> при всевозможных /> определяет линейный ограниченный функционал на /> Линейность функционала очевидна. Его ограниченность вытекает из оценки
/>
По теореме Рисса существует единственный элемент /> такой, что /> Тем самым всюду на /> задан линейный оператор /> Далее, из доказанного выше неравенства следует, что
/>
Полагая здесь /> получим /> то есть /> и, значит, /> ограничен. Теорема доказана.
В качестве приложения доказанной теоремы и пространств Соболева докажем существование и единственность обобщённого решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. В замкнутой ограниченной односвязной области /> с достаточно гладкой границей /> рассмотрим следующую граничную задачу:
/>(2.2)
/>(2.3)
Предположим, что правая часть /> непрерывна в /> по совокупности переменных. Функция /> называется классическим решением задачи (2.2) – (2.3), если /> непрерывна как функция трёх переменных в /> имеет в /> непрерывные производные, входящие в левую часть (2.2), удовлетворяет в /> уравнению (2.2) и равна нулю на /> то есть удовлетворяет граничному условию (2.3).
Пусть /> – классическое решение задачи (2.2) – (2.3), а /> непрерывна в /> равна нулю на /> и непрерывно дифференцируема в /> тогда для любой такой /> справедливо следующее интегральное тождество:
/>(2.4)
Для доказательства этого тождества воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского:
/>
Примем />/>/> и получим
/>
Поскольку
/>
а /> то получаем (2.4).
Пусть теперь />/> а интегралы (2.4) понимаются в смысле Лебега. Функция /> называется обобщённым решением краевой задачи (2.2) – (2.3), если для любой функции /> выполняется интегральное тождество (2.4).
Докажем, что для любой правой части /> обобщённое решение краевой задачи (2.2) – (2.3) существует и единственно.
Для этого заметим, что гильбертово пространство /> вложено в гильбертово пространство /> так как, по определению /> всякая функция /> принадлежит также и /> и справедлива оценка для любой /> (см. п. 1.5):
/>
Следовательно, по теореме 4 для всякой функции /> существует единственная функция /> такая, что для всех />
/>
а это и есть интегральное тождество (2.4).
Заключение
Таким образом, мы рассмотрели пространства Соболева, их основные свойства и применение в математической физике.
Список литературы
Треногин В.А.Функциональный анализ: Учебник. – 3-е изд., исп. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 488 с.
Соболев С.Л.Некоторые применения функционального анализа в математической физике. – 3-е изд., перераб. и доп. / Под ред. О.А. Олейник. – М.: Наука. Гл. Ред. физ.-мат. лит., 1988. – 336 с.