Реферат: Справочник по геометрии 7-9 класс

--PAGE_BREAK--Теорема:
Если угол 1го 3-угольника


равны, то их
S
относятся                равен углу другого 3-угольника, то S

как основания.                                    этих 3-угольников относятся как про-

                                                            изведения сторон, заключающих равные

Теорема:

S
трапеции = про-      углы.

изведению полусуммы её осно-

ванийна высоту.                         
Теорема:
В прямоугольном 3-угольни-

                                                            ке квадрат гипотенузы = сумме квадра-

Теорема:

 Если квадрат 1ой     тов катетов.

стороны 3-угольника = сумме

квадратов 2 других сторон, то

3-угольник прямоугольный.
ГлаваVII
.

Подобные треугольники.
Определение:
2 3-угольника       
Теорема:
Отношение
S
2ух подоб-

называются подобными, если их       ных 3-угольников = квадрату коэф-

углы соответственно равны и           фициента подобия.

стороны 1го 3-угольника про-

порциональносходственны               
Теорема:
Если 2 угла 1го 3-уголь-

сторонам другого.                                 ника соответственно = 2ум углам

                                                                 другого, то такие 3-угольники по-

Теорема:
Если 2 стороны 1го

      добны.

3-угольника пропорциональны 2ум

сторонам другого 3-угольника и углы, заключённые между этими сторо-

нами, равны, то такие 3-угольники подобны.

 

Теорема:
Если 3 стороны 1го     
Теорема:
Средняя линия параллель-

3-угольника пропорциональны          на 1ой из его сторон и равна ½ этой

3ём сторонам другого, то такие     стороны.

3-угольники подобны.

                                                        

sin
острого угла прямоугольного      cosострого угла прямоугольного 3-уголь-

3-угольника – отношение                  ника – отношение прилежащего катета 

противолежащего катета к            к гипотенузе.

гипотенузе. 

                                                                   tgугла = отношению
sin
к cos 

tgострого угла прямоугольного            этого угла: tg=
sin
/ cos.

3-угольника – отношение противо-

лежащего катета к прилежащему.          Основное тригонометрическое

                                                                                       тождество:

Если острый угол 1го прямоугольного                   
sin
2
α+ cos2
α=1. 

3-угольника = острому углу другого прямо-

угольного 3-угольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны.

x


°

30
°


45
°


60
°


90
°


180
°


270
°


360
°


sinx




1/2

2/2


3/2

1



-1



cosx


1

3/2

2/2

1/2



-1



1

tgx




1/ 3

1

3

—



—



ctgx


—

3

1

1/ 3



—



—




П
/6

П/4

П/3

П/2

П

3П/2

2П

Глава
VIII
.

Окружность.
Если расстояние от центра окруж-     Если расстояние от центра окруж-

ностидо прямой <  радиуса, то пря-    ности до прямой = радиуса, то пря-

мая и окружность имеют 2 общие       мая и окружность имеют 2 общие

точки. Прямая является секущей.         точки. Прямая является касательной.


Если расстояние от центра окруж-      Теорема:
Касательная к окруж-


ностидо прямой > радиуса, то пря-      ностиперпендикулярна к r
, прове-

мая и окружность не имеют общих      дённому в точку касания.

точек.

                                                                     Теорема:
Если прямая проходит


Отрезки касательных к окружнос —        через конец r
, лежащий на окруж —

ти, проведённые из 1ой точки, рав-        ности, и перпендикулярна к этому

ныи составляют равные углы с              r
, то она является касательной.

прямой, проходящей через эту точ-

куи центр окружности.                          Дуга является полуокружностью.

Угол с вершиной в центре окруж-         Если дуга АВ окружности с центром

ности— её центральный угол.              О < полуокружности или является

                                                                   полуокружностью, то её градусная

Сумма градусных мер 2ух дуг ок-          мера считается равной градусной

ружностис общими концами =            мере центрального угла АОВ. Если же

= 360°.                                                      дуга АВ > полуокружности, то её

                                                                  градусная мера считается =

Угол, вершина кот-го лежит на          = 360°–<АОВ.

окружности, а стороны пересе-

кают окружность, называется           Теорема:
Вписанный угол измеряя-


вписанным углом.                                   ется ½ дуги, на кот-ую он опирается.



Луч ВО совпадает с 1ой из сто-          Луч ВО делит угол АВС на 2 угла, если

ронугла АВС.                                         луч ВО пересекает дугу АС.


Луч ВО не делит угол АВС на 2          Вписанные углы, опирающиеся на 1 и ту

угла и не совпадает со сторона-        же дугу, равны.

ми этого угла, если луч ВО не

пересекает дугу АС.                             Вписанный угол, опирающийся на полу-

                                                                окружность, — прямой.











Теорема:
Если 2 хорды ок-           
Теорема:
Каждая точка бисс-сы

ружностипересекаются, то            неразвёрнутого угла равноудалена

произведение отрезков 1ой                от его сторон. Каждая точка, ле-

хорды = произведению отрез-           жащая внутри угла и равноудалённая

ков другой хорды.                                 от сторон угла, лежит на его бисс-се.



Бисс-сы3-угольника пересека-           Серединным перпендикуляром к отрезку

ютсяв 1ой точке.                                называется прямая, проходящая через

                                                               середину отрезка и перпендикулярная

Теорема:
Каждая точка се-        к нему.

рединногоперпендикуляра к

отрезку равноудалена от концов     Серединные перпендикуляры к сторо-

этого отрезка. Каждая точка,        нам 3-угольника пересекаются в 1ой

равноудалённая отконцов отрез-    точке.

ка, лежит на серединном перпен-

дикуляре.                                               Теорема:
в любой 3-угольник мож-


                                                                но вписать окружность.

Теорема:
Высоты 3-угольника

(или их продолжения) пересека-      В 3-угольник можно вписать только 1у

ютсяв 1ой точке.                               окружность.




Теорема:
Около любого треу-      В любом вписанном 4-угольнике сумма

гольникаможно онисать окруж-    противоположных углов = 180°.

ность.


Если сумма противоположных  углов 4-угольника = 180°, то около него можно описать окружность.


Глава
IX
.

Векторы.
Физические величины, характери-      Определение:
Отрезок, для кот-


зуещиесянаправлением в прост-         го указано, какой из его концов счи-

ранстве– векторные.                           тается началом, а какой – концом,

                                                                 называется вектором.

Длина (модуль) – длина АВ.

                                                                 Длина нулевого вектора = 0.

Нулевые векторы называются

 коллинеарными, если они лежат        Если 2 вектора направлены одинаково,

либо на одной прямой, либо на             то эти векторы – сонаправлены.

параллельных прямых; нулевой

вектор считается коллинеар-             Если 2 вектора направлены противопо-

нымлюбому вектору.                           ложно, то они противоположно напра —

                                                                влены.

Определение:
Векторы,

называются равными, если               От любой точки М можно отложить 

они сонаправлены и их дли-              вектор, равный данному вектору ã, и 

ныравны.                                             притом только один.


Теорема:
для любых векторов ă, č и ĕ справедливы равенства:

1.     ă+ č = č + ă (переместительный закон);

2.    
( ă + č )+ ĕ = ă +( č + ĕ ).



Теорема:
Для любых векто-          Произведение любого вектора на число

ров ă и č справедливо равенство:       0 есть нулевой вектор.

ă– č = ă + ( — č ).  



Для любого числа
k
и любого векто-    ( kl)ă=
k
(
lă) (сочетательный закон);

раă векторы ă и
kăколлинеарны.       (
k
+
l
)ă=
kă+lă(1ый рспред-ный закон);

                                                               
k
(ă+č )=
kă+kč.


Теорема:
Средняя линия тра-

пециипараллельна основаниям

и = их полусумме.
9 класс.
Глава
X
.

Метод координат.
Лемма:
Если векторы ă иč           Теорема:
Любой вектор можно раз-

коллинеарныи ă=0, то сущес-          ложить по 2ум данным неколлинеар-

твуеттакое число
k
, что č=
kă.       ным векторам, причём коэффициен-

                                                                ты разложения определяются един-

Каждая координата суммы 2ух      продолжение
--PAGE_BREAK--