Реферат: Дослідження двовимірної квадратичної стаціонарної системи із двома приватними інтегралами у вигл
--PAGE_BREAK--1. Побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем1.1 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системи із приватним інтегралом у вигляді параболиРозглянемо систему диференціальних рівнянь
<img border=«0» width=«247» height=«88» src=«ref-1_1735933785-948.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028"> (1.1)
Нехай система (1.1) має приватний інтеграл виду:
<img border=«0» width=«100» height=«45» src=«ref-1_1735935681-402.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029">, (1.2)
де Fk (x,y) — однорідні поліноми від x і y ступеня k.
Як приватний інтеграл (1.2) візьмемо параболу виду:
F (x,y) (y+ (1 x2 + (2 x+ (3 = 0 (1.3)
Будемо припускати, що (3 (0, тобто парабола не проходить через початок координат.
Згідно [10, с.1752-1760] для інтеграла (1.3) системи (1.1) має місце співвідношення:
<img border=«0» width=«12» height=«23» src=«ref-1_1735936083-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030"><img border=«0» width=«99» height=«46» src=«ref-1_1735936156-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031"><img border=«0» width=«37» height=«17» src=«ref-1_1735936468-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">, (1.4)
де L (x,y) = px+my+n, p, m, n — постійні.
Тоді випливаючи формулі (1.4) одержимо рівність:
(2 (1x+ (2) (ax+by+a1x2+2b1xy+c1y2) + (cx+dy+a2x2+2b2xy+c2y2) = (y+ (1x2+ (2x+ (3) (px+my+n).
Дорівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях xm yn ліворуч і праворуч, одержимо рівності:
(2a1-p) (1= 0 (1.51), (4b1-m) (1= 0 (1.52), 2 (1c1= 0 (1.53)
(2a-n) (1+ (a1-p) (2+a2= 0 (1.61)
2 (1b+ (2b1-m) (2+2b2+p= 0 (1.62)
(2c1+c2-m= 0 (1.63), (a-n) (2-p (3n+c= 0 (1.71)
(2b- (3m+d-n= 0 (1.72), (3n= 0 (1.73)
Нехай (1 (0, тоді з рівностей (1.51), (1.52), (1.53), (1.63) і (1.73) одержуємо, що
P=2a1, m=4b1, c1=0, c2=4b1, n=0 (1.8)
Зі співвідношень (1.61), (1.62) і (1.71) знайдемо вираження коефіцієнтів кривій (1.3) через коефіцієнти системи (1.1) у наступному виді:
a1<img border=«0» width=«137» height=«48» src=«ref-1_1735936583-394.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">, (1.9)
a2<img border=«0» width=«143» height=«47» src=«ref-1_1735936977-507.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">, (1.10)
a3. <img border=«0» width=«207» height=«41» src=«ref-1_1735937484-597.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035"> (1.11)
Рівність (1.72) з урахуванням отриманих виражень (1.9) — (1.11), дасть умову, що зв'язує коефіцієнти a, b, c, d, a1, a2, b1, b2:
<img border=«0» width=«575» height=«24» src=«ref-1_1735938081-1074.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036"> (1.12)
Отже, установлена наступна теорема:
Теорема 1.1 Система (1.1) має приватний інтеграл (1.3), коефіцієнти якого виражаються формулами (1.9) — (1.11), за умови, що коефіцієнти системи зв'язані співвідношенням (1.12) і c1= 0, c2= 4b1, a1 (0, 2b1a-a1b (0.
1.2 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системи із приватним інтегралом у вигляді окружності або гіперболи
Нехай тепер система (1.1) поряд з інтегралом (1.3) має інтеграл у вигляді:
y2+ (x2+ (x+ (y+ (=0 (1.13)
Будемо розглядати тепер систему:
<img border=«0» width=«199» height=«70» src=«ref-1_1735939155-814.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037"> (1.14)
Відповідно до формули (1.4), де L
(x,y) = m1x+n1y+p1,m1, n1, p1 — постійні для системи (1.1), маємо:
(2a1-m1) (2= 0 (1.151)
(4b1-n1) (+2a1= 0 (1.152)
m1= 4b2 (1.153)
n1=8b1 (1.154)
(2a-p1) (+ (a1-m1) (+a2 (=0 (1.161)
2b (+ (2b1-n1) (+ (2b2-m1) (+2c= 0 (1.162)
(4b1-n1) (+2d-p1= 0 (1.163)
(a-p1) (+c (+m1 (= 0 (1.171)
b (+ (d-p1) (-n1 (= 0 (1.172)
p1 (= 0 (1.173)
Припустимо, що крива не проходить через початок координат, тобто ( (0.Нехай ( (0, тоді з рівностей (1.151), (1.153), (1.154) і (1.173) одержуємо, що
m1=4b2, n1=8b1, a1=2b2, p1=0 (1.18)
А зі співвідношень (1.161), (1.163) і (1.171) знайдемо вираження коефіцієнтів кривій (1.13) через коефіцієнти системи (1.1) у наступному виді:
<img border=«0» width=«56» height=«47» src=«ref-1_1735939969-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038"> (1.19), <img border=«0» width=«53» height=«45» src=«ref-1_1735940161-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039"> (1.20)
<img border=«0» width=«104» height=«47» src=«ref-1_1735940352-434.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040"> (1.21), <img border=«0» width=«177» height=«48» src=«ref-1_1735940786-483.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041"> (1.22)
Підставляючи коефіцієнти (, (, (і (у рівності (1.162) і (1.172), одержимо дві умови, що зв'язують коефіцієнти a, b, c, d, a2, b1, b2:
<img border=«0» width=«301» height=«24» src=«ref-1_1735941269-658.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042"> (1.23)
<img border=«0» width=«408» height=«24» src=«ref-1_1735941927-666.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043"> (1.24)
Отже, установлена наступна теорема:
Теорема 1.2 Система (1.14) має приватний інтеграл (1.13), коефіцієнти якого виражаються формулами (1.19) — (1.22), за умови, що коефіцієнти системи зв'язані співвідношеннями (1.23), (1.24) і b1 (0, b2 (0, a1=2b2.
продолжение
--PAGE_BREAK--1.3 Необхідні й достатні умови існування в системи (1.1) двох часток інтегралів (1.3), (1.13)
У розділах 1.1-1.2 ми одержали, що система (1.1) буде мати дві частки інтеграла у вигляді кривих другого порядку за умови, що коефіцієнти системи зв'язані співвідношеннями:
<img border=«0» width=«301» height=«24» src=«ref-1_1735941269-658.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044">
<img border=«0» width=«408» height=«24» src=«ref-1_1735941927-666.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045"> (1.25)
<img border=«0» width=«504» height=«24» src=«ref-1_1735943917-959.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">
Причому b1 (0, b2 (0, a1 (0, b1a-b2b (0.
Виражаючи c з першого рівняння системи (1.25), одержимо
<img border=«0» width=«247» height=«48» src=«ref-1_1735944876-738.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047"> (1.26)
Підставимо (1.26) у друге й третє рівняння системи (1.25).
Одержимо два співвідношення, що зв'язують параметри a, b, d, a2, b1, b2:
<img border=«0» width=«376» height=«51» src=«ref-1_1735945614-1369.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">.
Нехай <img border=«0» width=«45» height=«23» src=«ref-1_1735946983-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049">і
<img border=«0» width=«300» height=«51» src=«ref-1_1735947121-868.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050"> (1.27)
З першого рівняння системи (1.27) одержимо
<img border=«0» width=«64» height=«41» src=«ref-1_1735947989-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051">
Підставляючи <img border=«0» width=«64» height=«41» src=«ref-1_1735947989-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">в друге рівняння системи (1.27), знайдемо
<img border=«0» width=«125» height=«48» src=«ref-1_1735948363-512.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">.
Зі співвідношень (1.25) при умовах (1.27) одержуємо, що коефіцієнти системи (1.1) визначаються наступними формулами:
<img border=«0» width=«64» height=«41» src=«ref-1_1735947989-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054"> (1.28)
<img border=«0» width=«125» height=«48» src=«ref-1_1735948363-512.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055"> (1.29)
<img border=«0» width=«75» height=«47» src=«ref-1_1735949574-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056"> (1.30)
<img border=«0» width=«41» height=«23» src=«ref-1_1735949813-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">, <img border=«0» width=«55» height=«23» src=«ref-1_1735949941-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">, <img border=«0» width=«56» height=«23» src=«ref-1_1735950090-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">, <img border=«0» width=«45» height=«23» src=«ref-1_1735946983-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">, <img border=«0» width=«44» height=«23» src=«ref-1_1735950380-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061"> (1.31)
Рівності (1.9) — (1.11), (1.19) — (1.22) за умови, що мають місце формули (1.28) — (1.31), дадуть наступні вираження для коефіцієнтів інтегралів (1.3) і (1.13):
a1<img border=«0» width=«113» height=«48» src=«ref-1_1735950518-493.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062"> (1.32)
a2<img border=«0» width=«132» height=«48» src=«ref-1_1735951011-507.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063"> (1.33)
a3<img border=«0» width=«139» height=«48» src=«ref-1_1735951518-539.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064"> (1.34)
s<img border=«0» width=«41» height=«47» src=«ref-1_1735952057-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065"> (1.35)
b<img border=«0» width=«67» height=«47» src=«ref-1_1735952225-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066"> (1.36)
g<img border=«0» width=«41» height=«45» src=«ref-1_1735952459-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067"> (1.37)
d<img border=«0» width=«64» height=«48» src=«ref-1_1735952623-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068"> (1.38)
Теорема 1.3 Система (1.1) має приватні інтеграли виду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, певними формулами (1.32) — (1.38), за умови, що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри по формулах (1.28) — (1.31).
Нехай
<img border=«0» width=«312» height=«51» src=«ref-1_1735952890-1009.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069"> (1.39)
З першого рівняння системи (1.39) знайдемо
<img border=«0» width=«92» height=«47» src=«ref-1_1735953899-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">, <img border=«0» width=«43» height=«23» src=«ref-1_1735954177-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">.
Підставляючи <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1735954312-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072"> в друге рівняння системи (1.39), одержимо рівність:
<img border=«0» width=«141» height=«24» src=«ref-1_1735954396-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073"> (1.40)
Оскільки <img border=«0» width=«44» height=«23» src=«ref-1_1735950380-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">, те розглянемо два випадки: <img border=«0» width=«36» height=«19» src=«ref-1_1735954955-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">, тоді <img border=«0» width=«53» height=«41» src=«ref-1_1735955071-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">.
Зі співвідношень (1.25) при умовах (1.39) і (1.40) одержуємо, що коефіцієнти системи (1.1) визначаються наступними формулами:
<img border=«0» width=«53» height=«41» src=«ref-1_1735955071-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">, <img border=«0» width=«36» height=«19» src=«ref-1_1735954955-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">, <img border=«0» width=«55» height=«47» src=«ref-1_1735955523-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079"> (1.41)
<img border=«0» width=«41» height=«23» src=«ref-1_1735949813-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">, <img border=«0» width=«55» height=«23» src=«ref-1_1735949941-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">, <img border=«0» width=«56» height=«23» src=«ref-1_1735950090-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">, <img border=«0» width=«45» height=«23» src=«ref-1_1735946983-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">, <img border=«0» width=«44» height=«23» src=«ref-1_1735950380-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084"> (1.42)
Рівності (1.9) — (1.11), (1.19) — (1.22) за умови, що мають місце формули (1.41) — (1.42), дадуть наступні вираження для коефіцієнтів інтегралів (1.3) і (1.13):
a1<img border=«0» width=«89» height=«48» src=«ref-1_1735956439-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085"> (1.43),a2<img border=«0» width=«47» height=«47» src=«ref-1_1735956728-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086"> (1.44)
a3<img border=«0» width=«41» height=«45» src=«ref-1_1735956898-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087"> (1.45), s<img border=«0» width=«41» height=«47» src=«ref-1_1735952057-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088"> (1.46)
(=0 (1.47)
g<img border=«0» width=«41» height=«45» src=«ref-1_1735952459-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089"> (1.48),
d<img border=«0» width=«51» height=«48» src=«ref-1_1735957397-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090"> (1.49)
Теорема 1.4 Система (1.1) має приватні інтеграли виду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, певними формулами (1.43) — (1.49), за умови, що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри по формулах (1.41) — (1.42).
б) <img border=«0» width=«97» height=«24» src=«ref-1_1735957603-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091"> (1.50),<img border=«0» width=«92» height=«47» src=«ref-1_1735953899-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092"> (1.51)
З (1.50) знайдемо <img border=«0» width=«19» height=«23» src=«ref-1_1735958103-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">:
<img border=«0» width=«76» height=«48» src=«ref-1_1735958200-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">
Зі співвідношень (1.25) при умовах (1.39) і (1.50) — (1.51) одержуємо, що коефіцієнти системи (1.1) визначаються наступними формулами:
<img border=«0» width=«92» height=«47» src=«ref-1_1735953899-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">, <img border=«0» width=«13» height=«19» src=«ref-1_1735958714-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096"> — будь-яке число, <img border=«0» width=«115» height=«48» src=«ref-1_1735958802-442.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097"> (1.52)
<img border=«0» width=«41» height=«23» src=«ref-1_1735949813-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">, <img border=«0» width=«55» height=«23» src=«ref-1_1735949941-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">, <img border=«0» width=«56» height=«23» src=«ref-1_1735950090-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">, <img border=«0» width=«12» height=«23» src=«ref-1_1735936083-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101"><img border=«0» width=«76» height=«48» src=«ref-1_1735958200-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">, <img border=«0» width=«43» height=«23» src=«ref-1_1735954177-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103"> (1.53)
Рівності (1.9) — (1.11) і (1.19) — (1.22) за умови, що мають місце формули (1.52) — (1.53), дадуть наступні вираження для коефіцієнтів інтегралів (1.3) і (1.13):
(1=0 (1.54), a2<img border=«0» width=«47» height=«47» src=«ref-1_1735956728-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104"> (1.55)
a<img border=«0» width=«91» height=«43» src=«ref-1_1735960287-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105"><img border=«0» width=«12» height=«23» src=«ref-1_1735936083-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106"> (1.56)
s<img border=«0» width=«48» height=«48» src=«ref-1_1735960609-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107"> (1.57)
b<img border=«0» width=«56» height=«48» src=«ref-1_1735960800-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108"> (1.58)
g<img border=«0» width=«41» height=«45» src=«ref-1_1735952459-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109"> (1.59)
d<img border=«0» width=«101» height=«48» src=«ref-1_1735961186-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110"> (1.60)
Теорема 1.5 Система (1.1) має приватні інтеграли виду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, певними формулами (1.54) — (1.60), за умови, що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри по формулах (1.52) — (1.53).
продолжение
--PAGE_BREAK--2. Якісне дослідження побудованих класів систем2.1 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.28) — (1.31)
Будемо проводити наше дослідження в припущенні, що <img border=«0» width=«39» height=«23» src=«ref-1_1735961508-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">, <img border=«0» width=«41» height=«23» src=«ref-1_1735961635-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">, <img border=«0» width=«43» height=«23» src=«ref-1_1735961764-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">.
Нехай ми маємо систему (1.1), коефіцієнти якої визначаються відповідно до формул (1.28) — (1.31), тоді система (1.1) запишеться у вигляді:
<img border=«0» width=«236» height=«88» src=«ref-1_1735961892-920.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114"> (2.1)
Інтегральні криві в цьому випадку мають вигляд:
<img border=«0» width=«175» height=«41» src=«ref-1_1735962812-401.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115"> (2.2)
<img border=«0» width=«229» height=«52» src=«ref-1_1735963213-634.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116"> (2.3)
Знайдемо стани рівноваги системи (2.1). Дорівнявши праві частини системи нулю й виключивши змінну y, одержимо наступне рівняння для визначення абсцис станів рівноваги:
<img border=«0» width=«241» height=«41» src=«ref-1_1735963847-505.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117"> (2.4)
З (2.4) одержуємо, що
<img border=«0» width=«44» height=«24» src=«ref-1_1735964352-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">, <img border=«0» width=«52» height=«41» src=«ref-1_1735964482-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">, <img border=«0» width=«56» height=«41» src=«ref-1_1735964662-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">, <img border=«0» width=«56» height=«41» src=«ref-1_1735964849-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">.
Ординати крапок спокою мають вигляд:
<img border=«0» width=«45» height=«24» src=«ref-1_1735965035-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">, <img border=«0» width=«60» height=«41» src=«ref-1_1735965170-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">, <img border=«0» width=«45» height=«23» src=«ref-1_1735965348-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">, <img border=«0» width=«68» height=«41» src=«ref-1_1735965483-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">.
Отже, маємо крапки
<img border=«0» width=«45» height=«23» src=«ref-1_1735965685-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">, <img border=«0» width=«77» height=«45» src=«ref-1_1735965929-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">, <img border=«0» width=«64» height=«45» src=«ref-1_1735966214-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">, <img border=«0» width=«89» height=«45» src=«ref-1_1735966473-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">.
Досліджуємо поводження траєкторій на околицях станів рівноваги <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1735966778-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">, <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1735966870-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">, <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1735966962-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">, <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1735967053-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">.
Досліджуємо крапку <img border=«0» width=«45» height=«23» src=«ref-1_1735965685-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">.
Складемо характеристичне рівняння в крапці <img border=«0» width=«45» height=«23» src=«ref-1_1735965685-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">.
<img border=«0» width=«267» height=«88» src=«ref-1_1735967632-968.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">
Звідси
<img border=«0» width=«173» height=«41» src=«ref-1_1735968600-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">, <img border=«0» width=«133» height=«41» src=«ref-1_1735968977-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138"> (2.5)
<img border=«0» width=«176» height=«41» src=«ref-1_1735969280-387.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">, <img border=«0» width=«153» height=«27» src=«ref-1_1735969667-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">
Отже, характеристичне рівняння прийме вид:
<img border=«0» width=«112» height=«53» src=«ref-1_1735969972-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">=<img border=«0» width=«117» height=«83» src=«ref-1_1735970340-477.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142"> =0.
<img border=«0» width=«145» height=«41» src=«ref-1_1735970817-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">,
Або
<img border=«0» width=«143» height=«21» src=«ref-1_1735971161-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">.
Характеристичними числами для крапки<img border=«0» width=«45» height=«23» src=«ref-1_1735965685-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145"> системи (2.1) будуть
<img border=«0» width=«225» height=«47» src=«ref-1_1735971669-639.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">.
Коріння <img border=«0» width=«40» height=«23» src=«ref-1_1735972308-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147"> — дійсні, різних знаків не залежно від параметра d. Отже, крапка <img border=«0» width=«45» height=«23» src=«ref-1_1735965685-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148"> — сідло.
Досліджуємо крапку
<img border=«0» width=«77» height=«45» src=«ref-1_1735965929-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">.
Складемо характеристичне рівняння в крапці
<img border=«0» width=«77» height=«45» src=«ref-1_1735965929-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">.
Згідно
рівностям (2.5) характеристичне рівняння прийме вид:
<img border=«0» width=«169» height=«83» src=«ref-1_1735973255-619.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">
<img border=«0» width=«148» height=«41» src=«ref-1_1735973874-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">,
Або
<img border=«0» width=«144» height=«21» src=«ref-1_1735974221-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">.
Характеристичними числами для крапки <img border=«0» width=«77» height=«45» src=«ref-1_1735965929-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154"> системи (2.1) будуть
<img border=«0» width=«213» height=«47» src=«ref-1_1735974772-460.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">,
тобто
<img border=«0» width=«55» height=«23» src=«ref-1_1735975232-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">, <img border=«0» width=«72» height=«41» src=«ref-1_1735975374-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">.
Коріння <img border=«0» width=«40» height=«23» src=«ref-1_1735972308-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158"> — дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d (0, то крапка <img border=«0» width=«77» height=«45» src=«ref-1_1735965929-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159"> — нестійкий вузол, якщо d (0, то крапка <img border=«0» width=«77» height=«45» src=«ref-1_1735965929-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160"> — стійкий вузол. Досліджуємо крапку <img border=«0» width=«64» height=«45» src=«ref-1_1735966214-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">.
Застосовуючи рівності (2.5), складемо характеристичне рівняння в крапці
<img border=«0» width=«64» height=«45» src=«ref-1_1735966214-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">:
<img border=«0» width=«140» height=«83» src=«ref-1_1735976794-542.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">
<img border=«0» width=«129» height=«21» src=«ref-1_1735977336-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">
Характеристичними числами для крапки
<img border=«0» width=«64» height=«45» src=«ref-1_1735966214-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">
системи (2.1) будуть <img border=«0» width=«88» height=«25» src=«ref-1_1735977835-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">, тобто <img border=«0» width=«53» height=«23» src=«ref-1_1735978032-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">, <img border=«0» width=«47» height=«23» src=«ref-1_1735978180-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">. Коріння <img border=«0» width=«40» height=«23» src=«ref-1_1735972308-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169"> — дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d<0, то крапка <img border=«0» width=«64» height=«45» src=«ref-1_1735966214-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170"> — стійкий вузол, якщо d>0, то крапка <img border=«0» width=«64» height=«45» src=«ref-1_1735966214-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171"> — нестійкий вузол.
Досліджуємо крапку
<img border=«0» width=«89» height=«45» src=«ref-1_1735966473-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">.
Складемо характеристичне рівняння в крапці
<img border=«0» width=«89» height=«45» src=«ref-1_1735966473-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">.
Застосовуючи рівності (2.5), одержимо:
<img border=«0» width=«152» height=«83» src=«ref-1_1735979578-566.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">
<img border=«0» width=«145» height=«41» src=«ref-1_1735980144-341.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">,
Або
<img border=«0» width=«144» height=«21» src=«ref-1_1735980485-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">
Характеристичними числами для крапки
<img border=«0» width=«89» height=«45» src=«ref-1_1735966473-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">
системи (2.1) будуть
<img border=«0» width=«211» height=«47» src=«ref-1_1735981047-495.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">,
тобто
<img border=«0» width=«56» height=«41» src=«ref-1_1735981542-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">, <img border=«0» width=«69» height=«41» src=«ref-1_1735981730-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">.
Коріння <img border=«0» width=«40» height=«23» src=«ref-1_1735972308-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181"> — дійсні й різні знаки не залежно від параметра d. Виходить, крапка <img border=«0» width=«89» height=«45» src=«ref-1_1735966473-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182"> — сідло.
Досліджуємо нескінченно — вилучену частину площини наприкінці осі oy. Перетворення
<img border=«0» width=«84» height=«41» src=«ref-1_1735982370-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183"> [7]
переводить систему (2.1) у систему:
<img border=«0» width=«256» height=«88» src=«ref-1_1735982583-1079.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184"> (2.6)
де <img border=«0» width=«59» height=«19» src=«ref-1_1735983662-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">.
Для дослідження станів рівноваги на кінцях осі y, нам необхідно досліджувати тільки крапку <img border=«0» width=«45» height=«23» src=«ref-1_1735965685-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">. Складемо характеристичне рівняння в крапці<img border=«0» width=«45» height=«23» src=«ref-1_1735965685-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">.
<img border=«0» width=«149» height=«48» src=«ref-1_1735984299-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">Одержимо, що
<img border=«0» width=«64» height=«23» src=«ref-1_1735984691-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189"> <img border=«0» width=«57» height=«23» src=«ref-1_1735984847-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">
Коріння <img border=«0» width=«40» height=«23» src=«ref-1_1735972308-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191"> — дійсні й одного знака. Отже, крапка <img border=«0» width=«45» height=«23» src=«ref-1_1735965685-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192"> — стійкий вузол.
Досліджуємо нескінченно — вилучену частину площини поза кінцями осі oy перетворенням [7] <img border=«0» width=«88» height=«41» src=«ref-1_1735985370-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193"> Це перетворення систему (2.1) переводить у систему:
<img border=«0» width=«249» height=«88» src=«ref-1_1735985592-1019.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194"> (2.7)
де <img border=«0» width=«59» height=«19» src=«ref-1_1735983662-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">.
Вивчимо нескінченно — вилучені крапки на осі U, тобто при z=0. Маємо:
<img border=«0» width=«59» height=«41» src=«ref-1_1735986760-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">
<img border=«0» width=«116» height=«41» src=«ref-1_1735986947-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">
Одержуємо, що <img border=«0» width=«60» height=«41» src=«ref-1_1735987237-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">. Отже, станів рівноваги поза кінцями осі oy немає.
Тепер дамо розподіл станів рівноваги системи (2.1) у вигляді таблиці 1.
Таблиця 1.
Положення кривих (2.2), (2.3) і розташування щодо їхніх станів рівноваги при d (0 і d (0 дається відповідно мал.1 (а, б).
Поводження траєкторій системи в цілому при d (0 і d (0 дається мал.4 (а, б) додатка А: Поводження траєкторій системи (2.1).
Досліджуючи вид кривих (2), (2.3) і розташування щодо їхніх станів рівноваги, переконуємося, що система (2.1) не має граничних циклів, тому що Воробйов А.П. [5] довів, що для систем, праві частини яких є поліноми другого ступеня, граничний цикл може оточувати тільки крапку типу фокуса. З огляду на розташування станів рівноваги відносно кривих (1.3) і (1.13), що є інтегралами системи (2.1), характер стану, містимо, що для системи (2.1) не може існувати граничних циклів, що оточують кілька станів рівноваги.
<img border=«0» width=«186» height=«81» src=«ref-1_1735988513-1497.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">
а (d (0)
<img border=«0» width=«151» height=«101» src=«ref-1_1735990010-1563.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">
б (d (0)
Мал.1
продолжение
--PAGE_BREAK--2.2 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.41) — (1.42)
Будемо проводити наше дослідження в припущенні, що
<img border=«0» width=«61» height=«41» src=«ref-1_1735991573-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205"> <img border=«0» width=«44» height=«23» src=«ref-1_1735991752-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206"> <img border=«0» width=«47» height=«23» src=«ref-1_1735991884-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">
Нехай ми маємо систему (1.1), коефіцієнти якої визначаються формулами (1.41) — (1.42). Тоді система (1.1) буде мати вигляд:
<img border=«0» width=«221» height=«88» src=«ref-1_1735992014-786.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208"> (2.8)
Інтегральні криві в цьому випадку мають вигляд:
<img border=«0» width=«149» height=«41» src=«ref-1_1735992800-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209"> (2.9)
<img border=«0» width=«101» height=«49» src=«ref-1_1735993120-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210"> (2.10)
Приватний інтеграл (1.13) у цьому випадку перетворюється у дві прямі (2.10)
1. Знайдемо стани рівноваги системи (2.8). Для цього дорівняємо праві частини системи нулю
<img border=«0» width=«215» height=«75» src=«ref-1_1735993411-727.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">
Розглянемо два випадки:
<img border=«0» width=«97» height=«51» src=«ref-1_1735994138-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">
Одержуємо:
<img border=«0» width=«95» height=«24» src=«ref-1_1735994452-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">
<img border=«0» width=«97» height=«41» src=«ref-1_1735994644-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">
<img border=«0» width=«215» height=«69» src=«ref-1_1735994883-625.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">
З першого рівняння знайдемо y:
<img border=«0» width=«87» height=«41» src=«ref-1_1735995508-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">
і підставляючи y у друге рівняння одержимо:
<img border=«0» width=«143» height=«21» src=«ref-1_1735995730-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">
Вирішуючи це рівняння, знаходимо:
<img border=«0» width=«103» height=«41» src=«ref-1_1735995966-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">.
Отже, одержуємо
<img border=«0» width=«49» height=«41» src=«ref-1_1735996222-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">, <img border=«0» width=«45» height=«24» src=«ref-1_1735996389-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">
<img border=«0» width=«51» height=«41» src=«ref-1_1735996519-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">, <img border=«0» width=«57» height=«41» src=«ref-1_1735996693-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">
Отже, одержуємо крапки
<img border=«0» width=«47» height=«21» src=«ref-1_1735996882-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">, <img border=«0» width=«57» height=«45» src=«ref-1_1735997029-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">, <img border=«0» width=«64» height=«45» src=«ref-1_1735997271-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">, <img border=«0» width=«67» height=«45» src=«ref-1_1735997535-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">
і пряму x=0, що є траєкторією системи (2.8).
2. Досліджуємо поводження траєкторій на околицях станів рівноваги <img border=«0» width=«71» height=«21» src=«ref-1_1735997794-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">
Досліджуємо крапку <img border=«0» width=«47» height=«21» src=«ref-1_1735996882-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">.
Складемо характеристичне рівняння в крапці <img border=«0» width=«47» height=«21» src=«ref-1_1735996882-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">.
<img border=«0» width=«249» height=«69» src=«ref-1_1735998256-774.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">
Звідси
<img border=«0» width=«157» height=«41» src=«ref-1_1735999030-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">
<img border=«0» width=«93» height=«27» src=«ref-1_1735999361-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232"> (2.11)
<img border=«0» width=«164» height=«25» src=«ref-1_1735999571-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">
<img border=«0» width=«153» height=«27» src=«ref-1_1735999866-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">
Отже, характеристичне рівняння прийме вид:
<img border=«0» width=«135» height=«64» src=«ref-1_1736000167-424.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">
Характеристичними числами для крапки <img border=«0» width=«47» height=«21» src=«ref-1_1735996882-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236"> системи (2.8) будуть <img border=«0» width=«60» height=«41» src=«ref-1_1736000738-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">, <img border=«0» width=«47» height=«23» src=«ref-1_1735978180-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">. Коріння <img border=«0» width=«40» height=«23» src=«ref-1_1735972308-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239"> — дійсні й різні знаки не залежно від параметра d, значить крапка <img border=«0» width=«47» height=«21» src=«ref-1_1735996882-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240"> — сідло. Досліджуємо крапку <img border=«0» width=«57» height=«45» src=«ref-1_1735997029-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">. Згідно (2.11) складемо характеристичне рівняння в крапці <img border=«0» width=«57» height=«45» src=«ref-1_1735997029-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">:
<img border=«0» width=«148» height=«48» src=«ref-1_1736001820-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">
Характеристичними числами для крапки <img border=«0» width=«57» height=«45» src=«ref-1_1735997029-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244"> системи (2.8) будуть <img border=«0» width=«55» height=«23» src=«ref-1_1735975232-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">, <img border=«0» width=«56» height=«23» src=«ref-1_1736002574-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">.
Коріння <img border=«0» width=«40» height=«23» src=«ref-1_1735972308-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247"> — дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d<0, то крапка <img border=«0» width=«57» height=«45» src=«ref-1_1735997029-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248"> — нестійкий вузол, а якщо d>0, то крапка <img border=«0» width=«57» height=«45» src=«ref-1_1735997029-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249"> — стійкий вузол.
3. Досліджуємо поводження траєкторій в околиці крапки <img border=«0» width=«64» height=«45» src=«ref-1_1735997271-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">.
Складемо характеристичне рівняння згідно (2.11)
<img border=«0» width=«131» height=«64» src=«ref-1_1736003599-455.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">.
Характеристичними числами для крапки <img border=«0» width=«64» height=«45» src=«ref-1_1735997271-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252"> системи (2.8) будуть
<img border=«0» width=«56» height=«41» src=«ref-1_1736004318-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">, <img border=«0» width=«47» height=«23» src=«ref-1_1735978180-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">
Коріння <img border=«0» width=«40» height=«23» src=«ref-1_1735972308-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255"> — дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d<0, то крапка<img border=«0» width=«64» height=«45» src=«ref-1_1735997271-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256"> — стійкий вузол, якщо d>0, то крапка <img border=«0» width=«64» height=«45» src=«ref-1_1735997271-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257"> — нестійкий вузол.
4. Досліджуємо поводження траєкторій в околиці крапки <img border=«0» width=«67» height=«45» src=«ref-1_1735997535-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258">.
Згідно (2.11) складемо характеристичне рівняння:
<img border=«0» width=«151» height=«48» src=«ref-1_1736005564-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">
<img border=«0» width=«121» height=«21» src=«ref-1_1736005971-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">
Характеристичними числами для крапки <img border=«0» width=«67» height=«45» src=«ref-1_1735997535-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261"> системи (2.8) будуть <img border=«0» width=«45» height=«23» src=«ref-1_1736006458-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">, <img border=«0» width=«64» height=«23» src=«ref-1_1736006593-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">. Коріння <img border=«0» width=«40» height=«23» src=«ref-1_1735972308-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264"> — дійсні й різні знаки не залежно від параметра d, отже <img border=«0» width=«67» height=«45» src=«ref-1_1735997535-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265"> — сідло. Досліджуємо нескінченно — вилучену частину площини системи (2.8) поза кінцями осі oy. Перетворення [7] <img border=«0» width=«84» height=«41» src=«ref-1_1736007141-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266"> переводить систему (2.8) у систему:
<img border=«0» width=«188» height=«88» src=«ref-1_1736007355-825.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267"> (2.12)
де <img border=«0» width=«59» height=«19» src=«ref-1_1736008180-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">.
Вивчимо нескінченно — вилучені крапки на осі U, тобто при z=0. Одержуємо:
<img border=«0» width=«59» height=«41» src=«ref-1_1735986760-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">
<img border=«0» width=«125» height=«41» src=«ref-1_1736008515-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">
Отже <img border=«0» width=«45» height=«19» src=«ref-1_1736008809-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">.
Таким чином, одержуємо дві крапки N1 (0,-1) і N2 (0,1), які є станом рівноваги. Досліджуємо характер цих крапок звичайним способом.
Складемо характеристичне рівняння в крапці N1 (0,-1).
<img border=«0» width=«120» height=«24» src=«ref-1_1736008933-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">
<img border=«0» width=«65» height=«25» src=«ref-1_1736009165-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">
<img border=«0» width=«101» height=«24» src=«ref-1_1736009322-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274"> (2.13), <img border=«0» width=«97» height=«25» src=«ref-1_1736009543-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">. Маємо:
<img border=«0» width=«132» height=«48» src=«ref-1_1736009755-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">
<img border=«0» width=«44» height=«23» src=«ref-1_1736010115-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277">, <img border=«0» width=«55» height=«23» src=«ref-1_1736010248-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">.
Коріння <img border=«0» width=«40» height=«23» src=«ref-1_1735972308-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279"> — дійсні й різні за знаком, отже крапка N1 (0,-1) — сідло.
Досліджуємо крапку N2 (0,1). Згідно (2.13) складемо характеристичне рівняння:
<img border=«0» width=«144» height=«48» src=«ref-1_1736010521-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280">
<img border=«0» width=«52» height=«23» src=«ref-1_1736010882-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">, <img border=«0» width=«55» height=«23» src=«ref-1_1736011021-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">.
Коріння <img border=«0» width=«40» height=«23» src=«ref-1_1735972308-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283"> — дійсні й одного знака, значить крапка N2 (0,1) — стійкий вузол.
Досліджуємо кінці осі y за допомогою перетворення [7] <img border=«0» width=«84» height=«41» src=«ref-1_1735982370-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">. Це перетворення переводить систему (2.8) у систему:
<img border=«0» width=«237» height=«88» src=«ref-1_1736011508-1007.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285"> (2.14)
де <img border=«0» width=«59» height=«19» src=«ref-1_1736008180-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286">.
Для дослідження станів рівноваги на кінцях осі y, нам необхідно досліджувати тільки крапку N3 (0,0). Складемо характеристичне рівняння в крапці N3 (0,0):
<img border=«0» width=«119» height=«48» src=«ref-1_1736012663-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">, <img border=«0» width=«76» height=«23» src=«ref-1_1736013007-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">
Коріння <img border=«0» width=«40» height=«23» src=«ref-1_1735972308-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289"> — дійсні й одного знака, значить крапка N3 (0,0) — нестійкий вузол.
Тепер дамо розподіл станів рівноваги системи (2.1) у вигляді таблиці 2.
Таблиця 2.
Положення кривих (2.9), (2.10) і розташування щодо їхніх станів рівноваги при d (0 і d (0 дається відповідно мал.2 (а, б).
Поводження траєкторій системи в цілому при d (0 і d (0 дається мал.5 (а, б) додатка Б: Поводження траєкторій системи (2.8).
Питання про існування граничних циклів не виникає, тому що Воробйов А.П. [5] довів, для квадратичної системи граничний цикл не може оточувати вузол.
<img border=«0» width=«211» height=«230» src=«ref-1_1736014220-1323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">
а (d<0) б (d>0)
Мал.2
продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по математике