Реферат: Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами

--PAGE_BREAK-- задані значення функції <img width=«40» height=«18» src=«ref-1_1529586320-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">. Многочленним ермітовим сплайном 4-го степеня називатимемо функцію виду (3), яка задовольняє систему рівнянь



<img width=«288» height=«105» src=«ref-1_1529591420-3140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140"> (28)
Згідно з означенням 4 параметри ланки (27) ермітового сплайна (23) задовольняють системі рівнянь (28):




<img width=«250» height=«179» src=«ref-1_1529638062-2830.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141"> (29)
де <img width=«279» height=«24» src=«ref-1_1529612575-463.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">. Розв’яжемо систему (29) щодо невідомих <img width=«74» height=«21» src=«ref-1_1529641355-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">. Із першого, третього і четвертого рівнянь системи (29) знайдемо вирази для <img width=«23» height=«21» src=«ref-1_1529641529-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">



<img width=«272» height=«24» src=«ref-1_1529641639-465.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">. (3)
Прирівняємо вирази для <img width=«23» height=«21» src=«ref-1_1529641529-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">(31) із першого і четвертого та першого і третього рівнянь системи (29), отримаємо два вирази для <img width=«23» height=«21» src=«ref-1_1529642214-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">



<img width=«385» height=«41» src=«ref-1_1529642321-881.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148"> (31)

<img width=«385» height=«41» src=«ref-1_1529643202-889.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149"> (32)
Прирівнявши між собою вирази для <img width=«23» height=«21» src=«ref-1_1529642214-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150"> із (32) і (33), отримаємо рівняння
<img width=«154» height=«21» src=«ref-1_1529644198-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151"> (33)

<img width=«274» height=«116» src=«ref-1_1529644501-1211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">


Підставивши перший вираз для <img width=«23» height=«21» src=«ref-1_1529641529-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">(3) і перший вираз для <img width=«23» height=«21» src=«ref-1_1529642214-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">(31) в друге рівняння системи (29) отримаємо рівняння



<img width=«154» height=«21» src=«ref-1_1529645929-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155"> (34)

<img width=«189» height=«116» src=«ref-1_1529646237-909.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">
Підставивши третій вираз для <img width=«23» height=«21» src=«ref-1_1529641529-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">(3) і перший вираз для <img width=«23» height=«21» src=«ref-1_1529642214-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">(31) в п’яте рівняння системи (3) отримаємо рівняння



<img width=«155» height=«21» src=«ref-1_1529647363-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159"> (35)

<img width=«186» height=«116» src=«ref-1_1529647667-989.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">
Ми отримали систему трьох лінійних рівнянь (23-35) щодо трьох невідомих <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1529648656-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">. Розв’язавши її отримаємо



<img width=«411» height=«136» src=«ref-1_1529648833-2132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162"> (36)


Із формул (30), (31), (32) і (36) для параметрів <img width=«110» height=«21» src=«ref-1_1529650965-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163"> випливає, що необхідною умовою існування наближення ермітовим сплайном з ланкою (27) є виконання умови <img width=«62» height=«18» src=«ref-1_1529594560-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">.
4. Похибки наближення ермітовими сплайнами
Максимальна похибка <img width=«18» height=«18» src=«ref-1_1529651368-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165"> рівномірного наближення нелінійними ермітовими сплайнами з парною кількістю параметрів у ланці має вигляд



<img width=«383» height=«54» src=«ref-1_1529651465-1059.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">, (37)
а для ермітових сплайнів з непарною кількістю параметрів



<img width=«351» height=«54» src=«ref-1_1529652524-1021.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167"> (38)
де <img width=«17» height=«18» src=«ref-1_1529653545-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">  — кількість ланок сплайна на інтервалі <img width=«41» height=«19» src=«ref-1_1529583330-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">, <img width=«44» height=«18» src=«ref-1_1529653854-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">— вагова функція, <img width=«58» height=«18» src=«ref-1_1529653988-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">  — ядро похибки наближення, <img width=«18» height=«18» src=«ref-1_1529654145-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">  — дефект ермітового сплайна, <img width=«222» height=«40» src=«ref-1_1529654240-507.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">. Для ермітового сплайна з ланкою (13) кількість параметрів <img width=«64» height=«18» src=«ref-1_1529607153-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">, дефект сплайна за означенням <img width=«39» height=«18» src=«ref-1_1529654902-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">, величина <img width=«143» height=«18» src=«ref-1_1529655027-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">. Щоб скористатись формулами (37) і(38), потрібно мати вираз для ядра похибки наближення <img width=«58» height=«18» src=«ref-1_1529655294-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">, який би не залежав від параметрів <img width=«101» height=«21» src=«ref-1_1529655452-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">ланки сплайна <img width=«8» height=«18» src=«ref-1_1529655645-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179"><img width=«63» height=«18» src=«ref-1_1529655718-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">. Вирази для конкретних ядер можна знайти, використовуючи властивості ядер похибок, які випливають із обмінних теорем.

Теорема 1. Нехай для функції <img width=«104» height=«41» src=«ref-1_1529655876-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181"> <img width=«262» height=«23» src=«ref-1_1529656248-830.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182"> при <img width=«63» height=«19» src=«ref-1_1529657078-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183"> існує єдине наближення ермітовим сплайном з парною кількістю параметрів з вузлами <img width=«119» height=«26» src=«ref-1_1529657241-413.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184"> і ланками вигляду



<img width=«251» height=«25» src=«ref-1_1529657654-683.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185"> (39)

<img width=«143» height=«19» src=«ref-1_1529658337-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">
Тоді для функції <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1529658558-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187"> на проміжку <img width=«41» height=«19» src=«ref-1_1529658684-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188"> з тими ж вузлами існує єдине наближення ермітовим сплайном з парною кількістю параметрів і ланками вигляду



<img width=«403» height=«25» src=«ref-1_1529658825-1328.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189"> (40)
Нехай <img width=«78» height=«22» src=«ref-1_1529660153-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190"> — найбільша відносна похибка наближення функції <img width=«38» height=«19» src=«ref-1_1529660433-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191"> на проміжку<img width=«68» height=«23» src=«ref-1_1529660563-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192"><img width=«68» height=«23» src=«ref-1_1529660563-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193"> ермітовим сплайном з ланкою (39), а <img width=«76» height=«22» src=«ref-1_1529660939-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194"> — найбільша відносна похибка наближення функції <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1529658558-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195"> на проміжку <img width=«68» height=«23» src=«ref-1_1529660563-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196"> ермітовим сплайном з ланкою вигляду (40). В цьому випадку між параметрами наближень мають місце співвідношення;



<img width=«245» height=«23» src=«ref-1_1529661528-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197"> (41)

<img width=«192» height=«25» src=«ref-1_1529661931-443.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">. (42)
Доведення. Сплайн з ланкою вигляду (39) характеризується системою рівнянь
<img width=«226» height=«49» src=«ref-1_1529662374-712.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199"> (43)

<img width=«122» height=«19» src=«ref-1_1529663086-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">


а сплайн з ланкою вигляду (4) — системою рівнянь



<img width=«457» height=«62» src=«ref-1_1529663289-2138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201"> (44)

<img width=«122» height=«19» src=«ref-1_1529665427-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">
Надалі опускаємо індекс, який вказує на приналежність параметра до <img width=«18» height=«18» src=«ref-1_1529665630-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">-ї ланки. Із системи (44) при <img width=«36» height=«18» src=«ref-1_1529665722-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204"> матимемо



<img width=«174» height=«39» src=«ref-1_1529665840-414.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">.



Подамо <img width=«22» height=«18» src=«ref-1_1529666254-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206"> як <img width=«62» height=«21» src=«ref-1_1529666355-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">, про логарифмуємо це рівняння і отримаємо



<img width=«163» height=«39» src=«ref-1_1529666535-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">,
де <img width=«112» height=«39» src=«ref-1_1529666956-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">.Тобто при <img width=«36» height=«18» src=«ref-1_1529665722-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210"> рівняння із системи (44) зведене до рівняння із системи (43).

При <img width=«35» height=«18» src=«ref-1_1529667422-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">рівняння із системи (44) має вигляд



<img width=«333» height=«46» src=«ref-1_1529667534-844.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">.
Помножимо чисельник і знаменник цього рівняння на <img width=«41» height=«18» src=«ref-1_1529668378-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">



<img width=«282» height=«50» src=«ref-1_1529668508-777.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">.


Оскільки з умов теореми <img width=«101» height=«19» src=«ref-1_1529669285-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215"> не дорівнюють нулю, то рівність досягається за умови, що



<img width=«152» height=«45» src=«ref-1_1529669511-460.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">,
а це і є рівняння із системи (43) при <img width=«35» height=«18» src=«ref-1_1529667422-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">.

Використовуючи метод математичної індукції, покажемо, що рівняння із системи (44) зводиться до рівнянь із системи (43) за довільних <img width=«14» height=«18» src=«ref-1_1529670083-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">. Нехай це доведено для <img width=«56» height=«18» src=«ref-1_1529670167-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">. Доведемо для <img width=«35» height=«18» src=«ref-1_1529670299-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">. Рівняння із системи (43) при <img width=«35» height=«18» src=«ref-1_1529670299-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">:



<img width=«172» height=«45» src=«ref-1_1529670525-495.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">.
Для <img width=«56» height=«18» src=«ref-1_1529670167-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223"> рівняння із системи (44) має вигляд



<img width=«331» height=«50» src=«ref-1_1529671152-877.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">.
Про диференціюємо це рівняння і отримаємо
<img width=«474» height=«101» src=«ref-1_1529672029-1805.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">
Перший доданок в квадратних дужках дорівнює нулю через рівність нулю останнього співмножника. Рівняння набере вигляду


<img width=«303» height=«50» src=«ref-1_1529673834-833.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">.
Множник, який стоїть перед квадратними дужками, не дорівнює нулю з умов теореми, отже нулю дорівнює вираз у квадратних дужках. А це і є рівняння із системи (43). Отже, ми довели, що за довільних <img width=«14» height=«18» src=«ref-1_1529670083-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227"> рівняння в системах (43) і (44) еквівалентні, а, значить, і системи рівносильні. Тому <img width=«51» height=«21» src=«ref-1_1529674751-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228"> при <img width=«53» height=«18» src=«ref-1_1529674899-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">, а <img width=«88» height=«21» src=«ref-1_1529675033-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">.

Доведемо справедливість відношення (43) для похибок наближення. Оскільки системи (43) і (44) рівносильні, то точки, в яких досягається максимальні похибки, збігаються. Нехай <img width=«18» height=«18» src=«ref-1_1529675248-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">точка, в якій досягається максимальна похибка наближення функції <img width=«42» height=«18» src=«ref-1_1529675347-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232"> ермітовим сплайном з ланкою (39). Тоді похибка в цій точці дорівнює



<img width=«148» height=«21» src=«ref-1_1529675477-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">.
Із цієї рівності випливає, що



<img width=«253» height=«39» src=«ref-1_1529675772-548.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">.
У правій частині маємо відносну похибку наближення функції <img width=«40» height=«18» src=«ref-1_1529586320-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235"> ермітовим сплайном з ланкою (4) на проміжку <img width=«72» height=«21» src=«ref-1_1529676449-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">. Звідси <img width=«124» height=«21» src=«ref-1_1529676635-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">. Теорема доведена.

За допомогою цієї теореми можна отримувати наближення ермітовим сплайном з ланкою (40) шляхом знаходження наближення ермітовим сплайном з простішою ланкою (39). Зокрема, наближення до функції <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1529658558-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238"> ермітовим сплайном з ланкою вигляду<img width=«107» height=«50» src=«ref-1_1529677007-492.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">зводиться до наближення функції <img width=«108» height=«18» src=«ref-1_1529677499-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240"> ермітовим сплайном з ланкою <img width=«57» height=«45» src=«ref-1_1529677720-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">. При цьому найбільша відносна похибка першого наближення виражається через найбільшу абсолютну похибку другого наближення.

Теорема 2. Нехай для функції <img width=«104» height=«41» src=«ref-1_1529655876-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242"> <img width=«178» height=«23» src=«ref-1_1529678399-601.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243"> <img width=«86» height=«19» src=«ref-1_1529679000-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244"> при <img width=«63» height=«19» src=«ref-1_1529657078-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245"> існує єдине наближення ермітовим сплайном з непарною кількістю параметрів з вузлами <img width=«119» height=«26» src=«ref-1_1529657241-413.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246"> і ланками вигляду



<img width=«256» height=«25» src=«ref-1_1529679792-687.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">

<img width=«143» height=«19» src=«ref-1_1529680479-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248"> (45)
Тоді для функції <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1529658558-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249"> на проміжку <img width=«41» height=«19» src=«ref-1_1529658684-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250"> з тими ж вузлами існує єдине наближення ермітовим сплайном з непарною кількістю параметрів і ланками вигляду



<img width=«403» height=«25» src=«ref-1_1529658825-1328.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251"> (46)
Нехай <img width=«78» height=«22» src=«ref-1_1529660153-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252"> — найбільша відносна похибка наближення функції <img width=«38» height=«19» src=«ref-1_1529660433-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253"> на проміжку <img width=«68» height=«23» src=«ref-1_1529660563-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254"> ермітовим сплайном з ланкою (45), а <img width=«76» height=«22» src=«ref-1_1529660939-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255"> — найбільша відносна похибка наближення функції <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1529658558-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256"> на проміжку <img width=«68» height=«23» src=«ref-1_1529660563-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257"> ермітовим сплайном з ланкою вигляду (45). В цьому випадку між параметрами наближень мають місце співвідношення;



<img width=«245» height=«23» src=«ref-1_1529661528-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258"> (47)

<img width=«192» height=«25» src=«ref-1_1529661931-443.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">.  (48)
Доведення. В теоремі 1 до системи рівнянь (42) додається рівняння



<img width=«241» height=«41» src=«ref-1_1529684332-499.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260"> , (49)


а до системи (43) рівняння



<img width=«172» height=«39» src=«ref-1_1529684831-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261">    продолжение
--PAGE_BREAK--