Реферат: Вычисления по теории вероятностей
Задача 1.В партии из 60 изделий 10 – бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными:
а) ровно 2 изделия;
б) не более 2 изделий.
Решение.
А)
Используя классическое определение вероятности:
/>
Р(А) – вероятность события А, где А – событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными ровно 2 изделия;
m– кол-во благоприятных исходов события А;
n– количество всех возможных исходов;
/>
/>
/>
Б)
Р(А’) – вероятность события А’, где А’ – событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными не более 2 изделий,
/>;
/>
/>
/>
/>– кол-во благоприятных исходов события />;
/>– кол-во благоприятных исходов события />;
/>– кол-во благоприятных исходов события />;
n’ – количество всех возможных исходов;
/>
/>
/>
/>
/>
Ответ: вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными: а) ровно 2 изделия равна 16%. б) не более 2 изделий равна 97%.
Задача 2.В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй – 2%, третий – 3%. Определить вероятность попадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата в цех поступило соответственно 20, 10, 20 деталей.
Решение.
По формуле полной вероятности:
/>
где А – взятие хорошей детали, />– взятие детали из первого (второго / третьего) автомата, />– вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата, />– вероятность взятия хорошей детали из первого (второго / третьего) автомата, />– вероятность попадания на сборку небракованной детали.
/>
/>
/>
/>
/>; (т. к. />) = 1% = 0.01)
/>;
/>;
/>
/>
Ответ: Вероятность попадания на сборку небракованной детали равна 98%.
Задача 3.В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй – 2%, третий – 3%. С каждого автомата поступило на сборку соответственно 20, 10, 20 деталей. Взятая на сборку деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата.
Решение.
По формуле полной вероятности:
/>
где А’ – взятие бракованной детали, />– взятие детали из первого (второго / третьего) автомата, />– вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата, />– вероятность взятия бракованной детали из первого (второго / третьего) автомата, />– вероятность попадания на сборку бракованной детали.
/>
/>
/>
/>
/>; (согласно условию)
/>;
/>;
/>
/>
Согласно формуле Байеса:
/>
Ответ: Вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата равна 20%.
Задача 4.Рабочий обслуживает 18станков. Вероятность выхода станка из строя за смену равна />. Какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5станков? Каково наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену?
--PAGE_BREAK--Решение.
Используя формулу Бернулли, вычислим, какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5станков:
/>
где n– кол-во станков, m– кол-во станков, которые придётся чинить, p– вероятность выхода станка из строя за смену, q=1-р – вероятность, не выхождения станка из строя за смену.
/>
/>
/>
/>
/>.
Ответ: Вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5станков равна 15%. Наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену равно 3.
Задача 5. В двух магазинах, продающих товары одного вида, товарооборот (в тыс. грн.) за 6 месяцев представлен в таблице. Можно ли считать, что товарооборот в первом магазине больше, чем во втором? Принять />= 0,05.
Все промежуточные вычисления поместить в таблице.
Магазин №1
Магазин №2
20,35
20,01
20,60
23,55
32,94
25,36
37,56
30,68
40,01
35,34
25,45
23,20
Пусть, a1 – товарооборот в 1 магазине, a2 – товарооборот во 2 магазине.
Формулируем гипотезы Н0и Н1:
Н0:a1 = a2
Н1: a1≠ a2
xi
xi-a1
(xi-a1)2
yi
yi-a2
(yi-a2)2
20,35
-9,135
83,44823
20,01
-6,35
40,32
20,6
-8,885
78,94323
23,55
-2,81
7,896
32,94
3,455
11,93703
25,36
-1
1
37,56
8,075
65,20563
30,68
18,66
40,01
10,525
110,7756
35,34
4,32
80,64
25,45
-4,035
16,28123
23,20
8,98
9,98
продолжение--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--
mi
--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
0.01
3,85
8,87
21,26
6,72
0,29
15,48
7,48
0,33
0,34
1,37
Решение
а) Вычислим математическое ожидание и дисперсию. Промежуточные значения поместим в таблицу.
xi
mi
mixi
mixi2
3,85
1
3,85
14,822
8,87
1
8,87
78,677
21,26
1
21,26
451,987
6,72
1
6,72
45,158
0,29
1
0,29
0,0840
15,48
1
15,48
239,630
7,48
1
7,48
55,950
0,33
1
0,33
0,109
0,34
1
0,34
0,115
1,37
1
1,37
1,877
∑65,99
10
65,99
888,409
Математическое ожидание:
m=/>=/>
Дисперсия:
δ2=/>=/>
б) с доверительной вероятностью р =1-/>найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, считая, что выборка получена из нормальной совокупности.
/>
Определим из таблиц значение />, где />; />
/>
Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:
/>
/>
/>
Подставив полученные значения, найдем доверительный интервал для математического ожидания:
0,271<M<12.927
Доверительный интервал для дисперсии имеет вид:
/>
/>
/>
/>
/>
Доверительный интервал для дисперсии равен: 23,192<D<240,79.