Реферат: Гамма функции

--PAGE_BREAK--3. Производная гамма функции                             11
Интеграл
<img width=«76» height=«51» src=«ref-1_287264962-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084"> 

<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_287257071-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">

сходится при каждом <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_287265438-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">, поскольку <img width=«112» height=«21» src=«ref-1_287265652-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">, и интеграл <img width=«12» height=«23» src=«ref-1_287257071-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088"><img width=«56» height=«51» src=«ref-1_287266137-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089"> при <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_287265438-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">сходится.

В области <img width=«43» height=«24» src=«ref-1_287266627-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">, где <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_287266860-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092"> — произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как<img width=«112» height=«21» src=«ref-1_287265652-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093"> и можна применить признак Веерштраса. Сходящимся при всех значениях <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_287265438-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094"> является и весь интеграл <img width=«212» height=«51» src=«ref-1_287267589-479.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095"> так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом<img width=«37» height=«19» src=«ref-1_287265438-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">.Легко видеть что интеграл сходится по<img width=«13» height=«15» src=«ref-1_287245231-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">в любой области <img width=«133» height=«24» src=«ref-1_287268474-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098"> где <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_287268803-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099"> произвольно.Действительно для всех указаных значений <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_287245231-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">и для всех <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_287269200-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101"> <img width=«175» height=«24» src=«ref-1_287269410-387.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">, и так как <img width=«133» height=«51» src=«ref-1_287269797-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">сходится, то выполнены условия признака Веерштрасса. Таким образом, в области <img width=«133» height=«24» src=«ref-1_287268474-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">интеграл <img width=«120» height=«51» src=«ref-1_287270524-364.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">cходится равномерно.<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_287257071-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">

Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при<img width=«37» height=«19» src=«ref-1_287265438-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">.Докажем дифференцируемость этой функции при <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_287265438-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">.Заметим что            функция<img width=«153» height=«31» src=«ref-1_287271485-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109"> непрерывна при <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_287265438-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110"> и<img width=«37» height=«19» src=«ref-1_287269200-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">, и покажем, что интеграл :

<img width=«189» height=«75» src=«ref-1_287272281-463.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">

12

сходится равномерно на каждом сегменте <img width=«55» height=«24» src=«ref-1_287272744-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113"> , <img width=«105» height=«24» src=«ref-1_287272994-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114"> . Выберем число<img width=«19» height=«24» src=«ref-1_287273287-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115"> так, чтобы <img width=«73» height=«24» src=«ref-1_287273488-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">; тогда <img width=«83» height=«21» src=«ref-1_287273739-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117"> при <img width=«44» height=«19» src=«ref-1_287273998-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">.Поэтому существует число <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_287274215-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119"> такое, что <img width=«59» height=«19» src=«ref-1_287274414-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120"> и <img width=«77» height=«29» src=«ref-1_287274656-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121"> на<img width=«39» height=«21» src=«ref-1_287274923-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">.Но тогда на <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_287274923-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123"> справедливо неравенство

 

<img width=«156» height=«29» src=«ref-1_287275387-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">

и так как интеграл <img width=«71» height=«51» src=«ref-1_287275755-318.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125"> сходится, то интеграл <img width=«109» height=«51» src=«ref-1_287276073-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126"> сходится равномерно относительно <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_287245231-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127"> на <img width=«49» height=«24» src=«ref-1_287276612-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">. Аналогично для <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_287276856-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129"> существует такое число <img width=«41» height=«23» src=«ref-1_287277092-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">, что для всех <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_287276856-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131"> выполняется неравенство <img width=«113» height=«51» src=«ref-1_287277560-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">. При таких <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_287277937-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133"> и всех <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_287276856-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134"> получим <img width=«119» height=«41» src=«ref-1_287278362-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">, откуда  в силу признака сравнения следует, что интеграл <img width=«109» height=«51» src=«ref-1_287278715-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136"> сходится равномерно относительно  <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_287245231-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137"> на <img width=«55» height=«24» src=«ref-1_287272744-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">. Наконец, интеграл
<img width=«113» height=«51» src=«ref-1_287279497-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">
в котором подынтегральная функция непрерывна в области

<img width=«147» height=«24» src=«ref-1_287279851-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">, очевидно, сходится равномерно относительно <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_287245231-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">на <img width=«55» height=«24» src=«ref-1_287272744-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">. Таким образом, на  <img width=«55» height=«24» src=«ref-1_287272744-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143"> интеграл
<img width=«109» height=«51» src=«ref-1_287278715-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">
13

сходится равномерно, а, следовательно, гаммма функция бесконечно дифференцируема при любом <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_287265438-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145"> и справедливо равенство

           <img width=«49» height=«23» src=«ref-1_287281456-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146"><img width=«109» height=«51» src=«ref-1_287278715-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">.
Относительно интеграла <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_287282034-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">можна повторить теже рассуждения и заключить, что
<img width=«164» height=«51» src=«ref-1_287282264-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">
По индукции доказывается, что Г-функция бесконечно дифференцируема при<img width=«37» height=«19» src=«ref-1_287265438-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">и для ее я <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_287282899-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">-ой производной справедливо равенство
<img width=«171» height=«51» src=«ref-1_287283091-436.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">
Изучим теперь поведение <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_287283527-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153"> — функции и построим єскиз ее графика .

Из выражения для второй производной <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_287283527-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">-функции видно, что <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_287283907-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155"> для всех <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_287265438-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">. Следовательно, <img width=«41» height=«21» src=«ref-1_287284384-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157"> возрастает. Поскольку <img width=«139» height=«21» src=«ref-1_287284622-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">, то по теореме Роля на сегменте [1,2]производная <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_287284953-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159"> при <img width=«43» height=«21» src=«ref-1_287285215-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160"> и<img width=«64» height=«21» src=«ref-1_287285441-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161"> при <img width=«43» height=«21» src=«ref-1_287285701-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">, т. е.  Монотонно убывает на <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_287285927-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">и монотонно возрастает на <img width=«49» height=«24» src=«ref-1_287286172-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">. Далее, поскольку <img width=«108» height=«41» src=«ref-1_287286421-345.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">, то  <img width=«80» height=«21» src=«ref-1_287286766-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">при <img width=«68» height=«19» src=«ref-1_287287030-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">. При <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_287287261-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168"> из формулы <img width=«276» height=«21» src=«ref-1_287287486-454.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">следует, что  <img width=«80» height=«21» src=«ref-1_287286766-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170"> при <img width=«56» height=«16» src=«ref-1_287288204-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">.
14

Равенство <img width=«108» height=«41» src=«ref-1_287286421-345.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">, справедливое при <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_287265438-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">, можно использовать при распространении <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_287283527-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174"> — функции на отрицательное значение <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_287245231-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">.

Положим для<img width=«71» height=«19» src=«ref-1_287289365-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">, что <img width=«124» height=«21» src=«ref-1_287289604-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">. Правая часть этого равенства определена для <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_287245231-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178"> из (-1,0). Получаем, что так продолженная функция <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_287290104-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179"> принимает на (-1,0) отрицательные значения и при <img width=«73» height=«19» src=«ref-1_287290337-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">, а также при <img width=«65» height=«19» src=«ref-1_287290575-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">  функция <img width=«76» height=«23» src=«ref-1_287290808-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">.

    Определив таким образом <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_287291065-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">на <img width=«43» height=«21» src=«ref-1_287291291-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">, мы можем по  той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_287291065-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185"> окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_287291065-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186"><img width=«53» height=«21» src=«ref-1_287291967-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187"><img width=«28» height=«15» src=«ref-1_287292210-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">при <img width=«73» height=«19» src=«ref-1_287292407-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189"> и <img width=«75» height=«19» src=«ref-1_287292642-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">. Продолжая этот процесс, определим функцию <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_287291065-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">, имеющею разрывы в целочисленных точках <img width=«120» height=«21» src=«ref-1_287293117-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">(см. рис.1)

Отметим еще раз, что интеграл
<img width=«117» height=«51» src=«ref-1_287293423-364.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">
определяет Г-функцию только при положительных значениях <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_287245231-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">, продолжение на отрицательные значения <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_287245231-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">осуществлено нами формально с помощью формулы приведения <img width=«12» height=«23» src=«ref-1_287257071-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196"><img width=«107» height=«21» src=«ref-1_287294340-313.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">.
15

<img width=«615» height=«379» src=«ref-1_287294653-29521.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">

(рис.1)
4. Вычисление некоторых интегралов.                              16


Формула Стирлинга
    продолжение
--PAGE_BREAK--