Реферат: Область прогноза для однофакторной и двухфакторной модели. Точечный прогноз на основании линейно

--PAGE_BREAK--Прогноз на основании линейной модели для двуфакторной модели.
Целью регрессионного анализа является получение прогноза с доверительным интервалом. Прогноз делается по уравнению регрессии
<img width=«172» height=«28» src=«ref-1_865841525-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">(1)
Точка прогноза <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_865841857-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053"> из p-мерного пространства с координатами <img width=«120» height=«27» src=«ref-1_865841977-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054"> выбирается из области прогноза. Если, например, модель двухфакторная <img width=«143» height=«25» src=«ref-1_865842307-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">, то область прогноза определяется прямоугольником, представленным на рис. 1.

<img width=«259» height=«187» src=«ref-1_865842590-1306.coolpic» v:shapes="_x0000_s1089 _x0000_s1090 _x0000_s1091 _x0000_s1092 _x0000_s1093 _x0000_s1094 _x0000_s1095 _x0000_s1096 _x0000_s1097 _x0000_s1098 _x0000_s1099 _x0000_s1100 _x0000_s1101">



Рис. 1


Т.е. область прогноза определяется системой неравенств:
<img width=«147» height=«108» src=«ref-1_865843896-762.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">
Чтобы получить формулу для вычисления полуширины dдоверительного интервала, нужно перейти к матричной форме записи уравнения регрессии.
Матричная запись многофакторной регрессии
Данные для построения уравнения регрессии, сведем в таблицу:
Таблица 1

№ набл

Y

X1

X2

…

Xp

1

y1

x11

x12



x1p

2

y2

x21

x22



x2p







…





n

yn

xn1

xn2



xnp



<img width=«172» height=«28» src=«ref-1_865841525-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">(2)
Подставляя в уравнение (2) значения из каждой строки таблицы, получим n уравнений.
<img width=«292» height=«107» src=«ref-1_865844990-1371.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">(2)


ei – случайные отклонения (остатки), наличие которых объясняется тем, что выборочные точки не ложатся в точности на плоскость (1), а случайным образом разбросаны вокруг нее.
<img width=«284» height=«27» src=«ref-1_865846361-580.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">
Чтобы записать систему (2) в матричном виде, вводим матрицу X, составленную из множителей при коэффициентах b1, b2, …, bp.

Матрица <img width=«200» height=«100» src=«ref-1_865846941-916.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">. Размерность матрицы n´p+1.

Еще вводятся матрицы:

Вектор столбец <img width=«64» height=«99» src=«ref-1_865847857-394.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061">, <img width=«63» height=«99» src=«ref-1_865848251-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062">, <img width=«64» height=«99» src=«ref-1_865848646-388.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063">, размерностью n´1.

Тогда в матричной форме уравнение регрессии записывается так:
<img width=«87» height=«21» src=«ref-1_865849034-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">.
Полуширина доверительного интервала рассчитывается по формуле:
<img width=«203» height=«39» src=«ref-1_865849307-650.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">,
где <img width=«24» height=«25» src=«ref-1_865849957-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">  — среднее квадратическое отклонение остатков;

<img width=«17» height=«28» src=«ref-1_865850062-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">  — критическая точка распределения Стьюдента, соответствующая уровню доверия g=(0.95, 0.99, 0.999) и степени свободы k=n-p-1.

вектор <img width=«69» height=«100» src=«ref-1_865850168-394.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068"> точка из области прогноза.
2. Задача
Найдите коэффициент эластичности для указанной модели в заданной точке x. Сделать экономический вывод.
<img width=«80» height=«54» src=«ref-1_865850562-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069"> 

X=1

1.                 Найдем производную функции <img width=«79» height=«54» src=«ref-1_865850923-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">,<img width=«80» height=«54» src=«ref-1_865851286-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">

2.                 Найдем эластичность. <img width=«65» height=«40» src=«ref-1_865851629-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">, тогда<img width=«188» height=«63» src=«ref-1_865851813-475.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">

3.                  Коэффициент эластичности для точки прогноза:

X=1

<img width=«124» height=«41» src=«ref-1_865852288-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">

Коэффициент эластичности показывает, что при изменении фактора X =1 на 1% показатель Y уменьшится на 0,5%.
3. Задача
Для представленных данных выполнить следующее задание:

1. Провести эконометрический анализ линейной зависимости показателя от первого фактора. Сделать прогноз для любой точки из области прогноза, построить доверительную область. Найти коэффициент эластичности в точке прогноза.

2. Провести эконометрический анализ нелинейной зависимости показателя от второго фактора, воспользовавшись подсказкой. Сделать прогноз для любой точки из области прогноза, построить доверительную область. Найти коэффициент эластичности в точке прогноза.

3. Провести эконометрический анализ линейной зависимости показателя от двух факторов. Сделать точечный прогноз для любой точки из области прогноза. Найти частичные коэффициенты эластичности в точке прогноза.

Производительность труда, фондоотдача и уровень рентабельности по плодоовощным консервным заводам области за год характеризуются следующими данными:



№ района

Фактор

Уровень убыточности продукции животноводства %

Удельный вес пашни в сельскохозяйственных угодьях %

Удельный вес лугов и пастбищ %

1

80

20

20

 
2

87,2

12,8

37,5

 
3

90,8

9,2

43,4

 
4

94,7

11,3

45,6

 
5

81,4

18,6

23,4

 
6

79,2

10,8

25

 
7

71,3

28,7

17,2

 
8

86,2

13,8

33,3

 
9

71,4

28,6

15

 
10

77,7

22,9

18,7

 
11

75,4

14

24,8

 
12

77,9

13

34,5

 
13

87,2

12,8

33,1

 
14

68,1

25

19,2

 
15

86,2

13,8

31,8

 

Нелинейную зависимость принять <img width=«99» height=«62» src=«ref-1_865852545-492.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">

Обозначим вес пашни в с/х % – Х, уровень убыточности (%) – У. Построим линейную зависимость показателя от фактора. Найдем основные числовые характеристики. Объем выборки n=15 – суммарное количество наблюдений. Минимальное значение Х=68,1, максимальное значение Х=94,7, значит, удельный вес пашни меняется от 68,1 до 94,7 %. Минимальное значение У=15, максимальное значение У=46,5, уровень убыточности животноводства от 15 до 46,5%. Среднее значение <img width=«73» height=«57» src=«ref-1_865853037-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">. Среднее значение пашни составляет 80,1%, среднее значение уровня убыточности составляет 28,2%. Дисперсия <img width=«149» height=«37» src=«ref-1_865853386-435.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">= 58,83, <img width=«149» height=«35» src=«ref-1_865853821-438.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">= 92,965. Среднеквадратическое отклонение <img width=«33» height=«20» src=«ref-1_865854259-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079"> 7,67, значит среднее отклонение пашни от среднего значения, составляет 7,67%., <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_865854364-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">9,64, значит среднее отклонение уровня убыточности от среднего значения, составляет 9,64%. Определим, связаны ли Х и У между собой, и, если да, то определить формулу связи. По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания) – нанесем точки <img width=«47» height=«21» src=«ref-1_865854479-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081"> на график. Точка с координатами <img width=«33» height=«20» src=«ref-1_865854708-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">=(80; 27,08) называется центром рассеяния. По виду корреляционного поля можно предположить, что зависимость между y и x линейная. Для определения тесноты линейной связи найдем коэффициент корреляции: <img width=«153» height=«78» src=«ref-1_865854840-615.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">=0,88 Так как <img width=«89» height=«28» src=«ref-1_865855455-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084"> то линейная связь между Х и У достаточная. Пытаемся описать связь между х и у зависимостью<img width=«73» height=«20» src=«ref-1_865855686-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">. Параметры b0, b1 находим по МНК. <img width=«287» height=«48» src=«ref-1_865855850-543.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086"> Так как b1>0, то зависимость между х и y прямая: с ростом пашни уровень убыточности животноводства возрастает. Проверим значимость коэффициентов bi. Значимость коэффициента b может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:

<img width=«89» height=«43» src=«ref-1_865856393-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087"> -4,608. Значимость <img width=«36» height=«20» src=«ref-1_865856643-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088"> равна 0,000490101, т.е практически 0%. Коэффициент b0 статистически не значим.

<img width=«88» height=«43» src=«ref-1_865856768-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">6,744. Значимость <img width=«36» height=«20» src=«ref-1_865856643-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090"> равна 1,375·10-5, т.е 0%, что меньше, чем 5%. Коэффициент b1 статистически значим. Получили модель зависимости уровня пашни от убыточности животноводства <img width=«155» height=«21» src=«ref-1_865857134-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">

После того, как была построена модель, необходимо проверить ее на адекватность.

Для анализа общего качества оцененной линейной регрессии найдем коэффициент детерминации: <img width=«65» height=«36» src=«ref-1_865857402-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">=0,777. Разброс данных объясняется линейной моделью на 77,7% и на 22,3% – случайными ошибками. Качество модели плохое.

Проверим с помощью критерия Фишера.

Для проверки найдем величины: <img width=«80» height=«39» src=«ref-1_865857618-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">1012,166 и <img width=«81» height=«39» src=«ref-1_865857859-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">1012,166. Вычисляем k1=1, k2=13. Находим наблюдаемое значение критерия Фишера <img width=«93» height=«35» src=«ref-1_865858104-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">45.48. Значимось этого значения a=1,37610-5, т.е. процент ошибки равен 0%, что меньше, чем 5%. Модель <img width=«152» height=«21» src=«ref-1_865858372-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096"> считается адекватной с гарантией более 95%.

Найдем прогноз на основании линейной регрессии. Выберем произвольную точку из области прогноза <img width=«96» height=«21» src=«ref-1_865858638-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">, х=80

Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза: <img width=«269» height=«21» src=«ref-1_865858856-420.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">

Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке выборки xпр: <img width=«164» height=«65» src=«ref-1_865859276-669.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">

sе– средне квадратичное отклонение выборочных точек от линии регрессии

<img width=«81» height=«24» src=«ref-1_865859945-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100"> 4,72

ty = критическая точка распределения Стьюдента для надежности g=0,9 и k2=13.

n =15.
<img width=«108» height=«57» src=«ref-1_865860136-429.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">
или <img width=«191» height=«23» src=«ref-1_865860565-461.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">

xпр– точка из области прогнозов.

Прогнозируемый доверительный интервал для любого х такой <img width=«73» height=«20» src=«ref-1_865861026-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">, где d(х=80)=10,53, т.е. доверительный интервал для хпр=80 составит от 16,55 до 37,61 с гарантией 90%.

Совокупность доверительных интервалов для всех х из области прогнозов образует доверительную область.

Т.е. при пашни 80 % уровень убытка животноводства составит от 16% до 37,5%.

Найдем эластичность.

Для линейной модели <img width=«161» height=«41» src=«ref-1_865861212-416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">

<img width=«243» height=«41» src=«ref-1_865861628-554.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">

Коэффициент эластичности показывает, что при изменении х=80 на 1% показатель y увеличивается на 3,29%.
    продолжение
--PAGE_BREAK--