Реферат: Численные методы
--PAGE_BREAK--МЕТОД ПРОГОНКИ.Система уравнений для определения коэффициентов сплайна представляет собой частный случай систем линейных алгебраических уравнений
<img width=«79» height=«31» src=«ref-1_745011879-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">
с трехдиагональной матрицей <img width=«84» height=«43» src=«ref-1_745012178-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">, т.е. с матрицей, все элементы которой, не лежащие на главной и двух побочных диагоналях, равны нулю <img width=«80» height=«36» src=«ref-1_745012469-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131"> при <img width=«84» height=«29» src=«ref-1_745012765-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132"> та <img width=«97» height=«29» src=«ref-1_745013032-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">
В общем случае системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей имеют вид
<img width=«552» height=«76» src=«ref-1_745013323-1264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">
Для численного решения систем трехдиагональными матрицами применяется метод прогонки,который представляет собой вариант метода последовательного исключения неизвестных.
Т.е. матрицу А можно записать
<img width=«595» height=«225» src=«ref-1_745014587-1398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">
(1) Идея метода прогонки состоит в следующем.Решение системы (1) ищется в виде
<img width=«489» height=«39» src=«ref-1_745015985-709.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">
где <img width=«108» height=«36» src=«ref-1_745016694-346.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">-неизвестные коэффициенты, которые последовательно находятся от <img width=«59» height=«32» src=«ref-1_745017040-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138"> до <img width=«76» height=«32» src=«ref-1_745017324-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139"> (прямая прогонка ),а затем последовательно вычисляются <img width=«157» height=«32» src=«ref-1_745017640-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140"> (обратная прогонка) .
Выведем формулы для вычисления <img width=«107» height=«36» src=«ref-1_745017989-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141"> Из (3) можно получить
<img width=«465» height=«81» src=«ref-1_745018336-1298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">
Подставляя имеющиеся выражения для <img width=«79» height=«36» src=«ref-1_745019634-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143"> в уравнение (1), приходим при <img width=«116» height=«35» src=«ref-1_745019941-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144"> к уравнению <img width=«617» height=«44» src=«ref-1_745020243-1041.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145"> Последнее уравнение будет выполнено если коэффициенты <img width=«100» height=«36» src=«ref-1_745021284-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146"> выбрать такими, чтобы выражения в квадратных скобках обращались в нуль.
А именно, достаточно положить <img width=«573» height=«75» src=«ref-1_745021627-1077.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">Для отыскания всех <img width=«64» height=«36» src=«ref-1_745022704-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148"> достаточно задать <img width=«64» height=«32» src=«ref-1_745023007-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">
Эти начальные значения находим из требования эквивалентности условия (3) при <img width=«60» height=«29» src=«ref-1_745023298-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150"> т.е. условия <img width=«143» height=«32» src=«ref-1_745023547-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151"> , первому из уравнений (2).
Таким образом, получаем
<img width=«211» height=«32» src=«ref-1_745023920-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152"> (5)
Нахождение коэффициентов <img width=«99» height=«36» src=«ref-1_745024327-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153"> по формулам (4), (5) называется прямой прогонкой. После того, как прогоночные коэффициенты <img width=«249» height=«39» src=«ref-1_745024670-506.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154"> найдены, решение системи (1), (2) находится по рекуррентной формуле (3), начиная с <img width=«101» height=«29» src=«ref-1_745025176-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155"> Для начала счета по этой формуле требуется знать <img width=«33» height=«32» src=«ref-1_745025456-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156"> , которое определяется из уравнений
<img width=«412» height=«32» src=«ref-1_745025690-672.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">
И равно
<img width=«176» height=«68» src=«ref-1_745026362-563.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">.
Нахождение <img width=«23» height=«32» src=«ref-1_745026925-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159"> по формулам
<img width=«355» height=«112» src=«ref-1_745027148-1028.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160"> (6)
называется обратной прогонкой. Алгоритм решения системы (1), (2) определяемый формулами (4)-(6) называется методом прогонки.
Метод прогонки можно пременять, если знаменатели выражений (4), (6) не обрщаются в нуль.
Покажем, что для возможности применения метод прогонки достаточно потребовать, чтобы коэффициенты системы (1), (2) удовлетворяли условиям
<img width=«468» height=«83» src=«ref-1_745028176-936.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161"> (8)
Сначала докажем по индукции, что при условиях (7), (8) модули прогоночных коэффициентов <img width=«140» height=«39» src=«ref-1_745029112-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162"> не превосходят единицы. Согласно (5), (8) имеем <img width=«124» height=«35» src=«ref-1_745029480-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">. Предположим, что <img width=«71» height=«43» src=«ref-1_745029833-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164"> для некоторого<img width=«17» height=«28» src=«ref-1_745030118-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165"> и докажем, что <img width=«93» height=«43» src=«ref-1_745030320-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">
Прежде всего для любых двух комплексных чисел <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_745030630-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167"> и <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_745030830-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168"> докажем неравенство
<img width=«149» height=«35» src=«ref-1_745031036-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">
Из неравенства треугольника имеем
<img width=«275» height=«35» src=«ref-1_745031401-479.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">
Откуда
<img width=«149» height=«35» src=«ref-1_745031036-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">
Вернемся теперь к доказательству <img width=«89» height=«43» src=«ref-1_745032245-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">, если <img width=«71» height=«43» src=«ref-1_745029833-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">. Согласно имеем оценку
<img width=«353» height=«43» src=«ref-1_745032837-668.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">
а, используя (7), получаем
<img width=«199» height=«43» src=«ref-1_745033505-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175"><img width=«16» height=«32» src=«ref-1_745033989-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176"><img width=«16» height=«32» src=«ref-1_745033989-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">
т.е. знаменатели выражений (4) не обращаются в нуль.
Более того
<img width=«217» height=«85» src=«ref-1_745034331-540.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">
Следовательно, <img width=«183» height=«43» src=«ref-1_745034871-433.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">
Далее, учитывая второе из условий (8) и только что доказанное неравенство <img width=«77» height=«35» src=«ref-1_745035304-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">, имеем
<img width=«365» height=«35» src=«ref-1_745035598-691.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">
т.е. не обращается в нуль и знаменатель в выражении для <img width=«33» height=«32» src=«ref-1_745025456-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">.
К аналогичному выводу можно прийти и в том случае, когда условия (7), (8) заменяются условиями
<img width=«560» height=«83» src=«ref-1_745036523-1150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183"> Таким образом при выполнении условий (7), (8) (так же как и условий (9), (10)) система (1), (2) эквивалентна системе (4)-(6). Поэтому эти условия гарантируют существование и единственность решения системы (1), (2) и возможность нахождения этого решения методом прогонки.
Кроме того, доказанные неравенства <img width=«71» height=«43» src=«ref-1_745029833-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">, <img width=«83» height=«35» src=«ref-1_745037958-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185"> обеспечивают устойчивость счета по рекуррентным формулам (6). Последнее означает, что погрешность, внесенная на каком-либо шаге вычислений, не будет возрастать при переходе к следующим шагам.
Действительно, пусть в формуле (6) при <img width=«97» height=«32» src=«ref-1_745038247-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186"> вместо<img width=«53» height=«36» src=«ref-1_745038523-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187"> вычислена величина <img width=«209» height=«36» src=«ref-1_745038773-444.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">
Тогда на следующем шаге вычислений, т.е. при <img width=«71» height=«32» src=«ref-1_745039217-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">
вместо
<img width=«239» height=«36» src=«ref-1_745039479-479.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190"> получим величину <img width=«332» height=«36» src=«ref-1_745039958-634.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191"> и погрешность окажется равной
<img width=«283» height=«36» src=«ref-1_745040592-502.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">
Отсюда получаем, что <img width=«264» height=«43» src=«ref-1_745041094-545.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">, т.е. погрешность не возрастает.
Подсчитаем число арифметических действий, выполняемых при решении задачи (1), (2) методом прогонки.
По формулам (4), что реализуемые с помощью шести арифметических действий, вычисления производятся <img width=«59» height=«23» src=«ref-1_745041639-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194"> раз, по формуле (6) выполняется 5 арифметических действий, наконец по формуле (3), требующей всего два действия, вычисления осуществляются <img width=«27» height=«23» src=«ref-1_745041877-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">раз. Итак в методе прогонки всего затрачивается
<img width=«373» height=«29» src=«ref-1_745042098-661.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">
арифметических действий, т.е. число действий растет линейно относительно числа неизвестных <img width=«64» height=«23» src=«ref-1_745042759-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">
При решении же произвольной системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусcа число действий пропорционально кубу числа неизвестных.
ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ.
Большое число задач математики и физики требует отыскания собственных значений и собственных векторов матриц, т.е. отыскания таких значений +<img width=«24» height=«24» src=«ref-1_745043002-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">, для которых существуют нетривиальные решения однородной системы линейных алгебраических уравнений
<img width=«83» height=«26» src=«ref-1_745043213-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199"> , (1)
и отыскания этих нетривиальных решений.
Здесь <img width=«95» height=«49» src=«ref-1_745043512-333.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200"> -квадратная матрица порядка m
, <img width=«197» height=«37» src=«ref-1_745043845-448.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201"> — неизвестный вектор — столбец.
Из курса алгебры известно, что нетривиальное решение системы (1) существует тогда и только тогда, когда
<img width=«222» height=«37» src=«ref-1_745044293-488.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">, (2)
где Е — единичная матрица. Если раскрыть определитель <img width=«83» height=«35» src=«ref-1_745044781-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203"> , получаетсяалгебраическое уравнение степени m относительно<img width=«22» height=«22» src=«ref-1_745045088-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">.Таким образом задача отыскания собственных значений сводится к проблеме раскрытия определителя <img width=«83» height=«35» src=«ref-1_745044781-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205"> по степеням <img width=«22» height=«22» src=«ref-1_745045088-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206"> и последующему решению алгебраического уравнения m— й степени.
Определитель <img width=«181» height=«38» src=«ref-1_745045811-463.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207"> называется характеристическим (или вековым )определителем, а уравнение (2) называется характеристическим (или вековым ) уравнением.
Различают полную проблему собственных значений, когда необходимо отыскать все собственные значения матрицыА и соответствующие собственные векторы, и частичную проблему собственных значений, когда необходимо отыскать только некоторые собственные значения, например, максимальное по модулю собственное значение .
Метод Данилевского развертывание векового определителя.
Определение.Квадратная матрица Р порядка m называется подобной матрице А, если она представлена в виде
<img width=«119» height=«33» src=«ref-1_745046274-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">,
где S — невыродженная квадратная матрица порядка m.
ТЕОРЕМА. Характеристический определитель исходной и подобной матрицы совпадают .
Доказательство.
<img width=«477» height=«108» src=«ref-1_745046614-1362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">
Идея метода Данилевского состоит в том, что матрица А подобным преобразованиям приводится, к так называемой нормальной форме Фробениуса
<img width=«336» height=«196» src=«ref-1_745047976-881.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210"> .
Характеристическое уравнение для матрицы Р имеет простой вид
<img width=«569» height=«253» src=«ref-1_745048857-1822.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">т.е. коэффициенты при степенях <img width=«21» height=«27» src=«ref-1_745050679-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212"> характеристического полинома непосредственно выражаются через элементы первой строки матрицы Р.
Приведение матрицы А к нормальной форме Фробениуса Р осуществляется последовательно построкам, начиная с последеней строки.
Приведем матрицу А
<img width=«485» height=«213» src=«ref-1_745050898-1711.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">
подобным преобразование к виду
<img width=«497» height=«205» src=«ref-1_745052609-1852.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">
Пусть <img width=«119» height=«45» src=«ref-1_745054461-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215"> Можн проверить, что такой вид имеет матрица <img width=«27» height=«32» src=«ref-1_745054792-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">, которая равна
<img width=«203» height=«41» src=«ref-1_745055018-494.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">
где
<img width=«441» height=«196» src=«ref-1_745055512-1062.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">
<img width=«539» height=«224» src=«ref-1_745056574-1466.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">
Слудующий шаг — приведение матрицы <img width=«27» height=«32» src=«ref-1_745054792-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220"> подобным преобразованием к виду <img width=«31» height=«32» src=«ref-1_745058266-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">, где и вторая снизу строка имеет единицу в <img width=«80» height=«29» src=«ref-1_745058513-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">-ом столбце, а все остальные элементы строки равны нулю:
<img width=«500» height=«205» src=«ref-1_745058828-1827.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">
Если <img width=«147» height=«44» src=«ref-1_745060655-420.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">то можно проверить, что такой вид имеет матрица <img width=«31» height=«32» src=«ref-1_745058266-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">:
<img width=«225» height=«40» src=«ref-1_745061322-542.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">
где<img width=«580» height=«208» src=«ref-1_745061864-1442.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">
<img width=«609» height=«205» src=«ref-1_745063306-1586.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">
Таким образом
<img width=«348» height=«40» src=«ref-1_745064892-686.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">
Далее процедура аналогичная, если на кождом шаге в очередной строке, на месте которого подобным преобразованием нужно получить единицу, не равную нулю.
В этом случае ( будем называт его регулярным ) нормальная формула Фробениуса будет получена за ( m-1 ) шагов и будет иметь вид
<img width=«552» height=«43» src=«ref-1_745065578-954.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">
Рассмотрим нерегулярный случай, когда матрица, полученная в результате подобных преобразований приведена уже к виду
<img width=«597» height=«242» src=«ref-1_745066532-2231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">и элемент <img width=«116» height=«45» src=«ref-1_745068763-409.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232"> . Таким образом обычная процедура метода Данилевского не подходит из-за необходимости деления на ноль.
В этой ситуации возможно два случая. В первом случае к-й
строке левее элемента <img width=«73» height=«45» src=«ref-1_745069172-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233"> есть элемент <img width=«115» height=«42» src=«ref-1_745069544-410.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">
<img width=«86» height=«22» src=«ref-1_745069954-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235"> Тогда домножая матрицу <img width=«59» height=«32» src=«ref-1_745070223-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236"> слева и справа на элементарную матрицу перестановок <img width=«61» height=«35» src=«ref-1_745070495-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">, получаем матрицу
<img width=«256» height=«35» src=«ref-1_745070774-565.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">,
у которой по сравнению с матрицей <img width=«59» height=«32» src=«ref-1_745070223-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239"> переставлены l -я и (k
-1 )-я строка
l
-й и ( k
-1)- й стодбец. В результате на необходимом нам месте оказывается ненулевой элемент <img width=«74» height=«44» src=«ref-1_745071611-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240"> , уже преобразованная часть матрицы не меняется, можно применять обычный шаг метода Данилевского к матрице <img width=«60» height=«32» src=«ref-1_745071973-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">. Она подбна матрице <img width=«59» height=«32» src=«ref-1_745070223-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242"> (и, следовательно, исходной матрице А ), т.к. елементарная матрица перестановок совпадает со своей обратной, т.е. <img width=«153» height=«45» src=«ref-1_745072525-404.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">
Рассмотрим второй нерегулярный случай, когда в матрице <img width=«59» height=«32» src=«ref-1_745070223-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244"> элемент <img width=«116» height=«45» src=«ref-1_745073201-414.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245"> и все элементы этой строки, которые тоже находятся левее его, тоже равны нулю. В этом случае характеристический определитель матрицы <img width=«59» height=«32» src=«ref-1_745070223-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246"> можно представить в виде
<img width=«489» height=«36» src=«ref-1_745073887-804.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">
где <img width=«51» height=«32» src=«ref-1_745074691-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248"> і <img width=«80» height=«32» src=«ref-1_745074951-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249"> — единичные матрицы соответствующей размерности, а квадратные матрицы <img width=«64» height=«34» src=«ref-1_745075249-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250"> и <img width=«60» height=«32» src=«ref-1_745075535-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251"> имееют вид:
<img width=«429» height=«300» src=«ref-1_745075803-1839.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">
Обративм внимание на то, что матрица <img width=«60» height=«32» src=«ref-1_745075535-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253"> уже нормальную форму Фробениуса, и поэтому сомножитель <img width=«195» height=«38» src=«ref-1_745077910-446.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254"> просто развертывается в виде многочлена с коэффциентами, равными элементам первой строки.
Сомножитель <img width=«165» height=«38» src=«ref-1_745078356-424.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255">, есть характеристический определитель матрицы <img width=«64» height=«34» src=«ref-1_745075249-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">. Для развертывания можн опять применять метод Данилевского, приводя матрицу <img width=«64» height=«34» src=«ref-1_745075249-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257"> подобными преобразованиями к нормальной форме Фробениуса.
Предположим теперь, что матрица А подобным преобразованиям
<img width=«119» height=«33» src=«ref-1_745046274-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258"> уже приведена к нормальной форме Фробениуса. Решая характеристическое уравнение
<img width=«469» height=«40» src=«ref-1_745079692-764.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">,
находим одним из известных методов его корни <img width=«136» height=«33» src=«ref-1_745080456-352.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260"> которые являются собственными значениями матрицы Р и исходной матрицы А.
Теперь стоит задача отыскать собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям, т.е. векторы <img width=«159» height=«40» src=«ref-1_745080808-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261"> такие, что
<img width=«255» height=«40» src=«ref-1_745081203-547.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">
Решим ее следующим образом: найдем собственные векторы матрицы Р , а затем по определенному соотношению я пересчитаем собственные векторы матрицы А . Это соотношение дает следующая теорема.
ТЕОРЕМА. Пусть <img width=«25» height=«32» src=«ref-1_745081750-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">є есть собственное значение, а <img width=«43» height=«40» src=«ref-1_745081982-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264"> есть соответствующий собственный вектор матрицы Р , которая подобна матрице А ,т.е.
<img width=«303» height=«40» src=«ref-1_745082244-612.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">
Тогда <img width=«117» height=«39» src=«ref-1_745082856-384.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266"> есть собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению <img width=«31» height=«32» src=«ref-1_745083240-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">
Доказательство.Тривиально следует из того, что
<img width=«204» height=«40» src=«ref-1_745083476-525.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">
Домножая левую и правую часть этого равенства слева на S
,
имеем
<img width=«219» height=«40» src=«ref-1_745084001-595.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">
А это и означает, что <img width=«53» height=«40» src=«ref-1_745084596-300.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">-собственный вектор матрицы А ,
отвечающий собственному значению <img width=«31» height=«32» src=«ref-1_745083240-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">
Найдем собственный вектор матрицы Р, которая имеет нормальную форму Фробениуса и подобна матрице А. Записывая <img width=«144» height=«40» src=«ref-1_745085132-419.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272"> в развернутой форме, имеем
<img width=«479» height=«196» src=«ref-1_745085551-1593.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">
или
<img width=«407» height=«164» src=«ref-1_745087144-1372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">
В этой системе одна из переменных может быть сделана свободной и ей может быть придано произвольное значение. В качестве таковой возьмем <img width=«43» height=«40» src=«ref-1_745088516-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275"> и положим <img width=«84» height=«40» src=«ref-1_745088797-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">
Тогда последовательно находим
<img width=«563» height=«43» src=«ref-1_745089111-927.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277">,
т.е. искомый собственный вектор матрицы Р имеет вид
<img width=«151» height=«203» src=«ref-1_745090038-689.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278"> .
Если процесс приведения матрицы А к форме Р был регулярным, то
<img width=«241» height=«32» src=«ref-1_745090727-522.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279">
В соответствии с теоремой собственным вектором матрицы А для собственного значения <img width=«25» height=«32» src=«ref-1_745081750-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280"> будет вектор
<img width=«380» height=«40» src=«ref-1_745091481-752.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">
Таким образом, задача вычисления собственных векторов матрицы А решена.
продолжение
--PAGE_BREAK--ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ .
Пусть имеется функция <img width=«67» height=«31» src=«ref-1_745092233-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282"> которую необходимо продифференцировать несколько раз и найти эту производную в некоторой точке.
Если задан явный вид функции, то выражение для производной часто оказывается достаточно сложным и желательно его заменить более простым. Если же функция задана только в некоторых точках (таблично), то получить явный вид ее производных ввобще невозможно. В этих ситуациях возникает необходимость приближенного (численного) дифференцирования.
Простейшая идея численного дифференцирования состоит в том, что функция заменяется интерполяционным многочленом (Лагранжа, Ньютона) и производная функции приближенного заменяется соответствующей производной интерполяционного многочлена
<img width=«329» height=«88» src=«ref-1_745092540-1040.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">
Рассмотрим простейшие формулы численного дифференцирования, которые получаются указанным способом.
Будем предполагать, что функция задана в равностоящих узлах
<img width=«419» height=«32» src=«ref-1_745093580-617.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">
Ее значения и значения производных в узлах будем обозначать
<img width=«428» height=«40» src=«ref-1_745094197-751.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">
Пусть функция задана в двух точках <img width=«28» height=«32» src=«ref-1_745094948-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286"> и <img width=«125» height=«32» src=«ref-1_745095173-351.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287"> ее значения <img width=«69» height=«32» src=«ref-1_745095524-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">
Посстроим интерполяционный многочлен первой степени
<img width=«311» height=«32» src=«ref-1_745095820-661.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">
Производная <img width=«53» height=«40» src=«ref-1_745096481-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290"> равна
<img width=«293» height=«64» src=«ref-1_745096780-671.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291"><img width=«16» height=«32» src=«ref-1_745033989-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">
Производную функцию <img width=«55» height=«29» src=«ref-1_745097622-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293"> в точке <img width=«27» height=«32» src=«ref-1_745097910-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294"> приближенно заменяем производной интерполяционного многочлена
<img width=«172» height=«64» src=«ref-1_745098135-513.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295"> (1)
Величина <img width=«81» height=«64» src=«ref-1_745098648-341.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296"> называется первой разностной производной.
Пусть <img width=«55» height=«29» src=«ref-1_745097622-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297"> задана в трех точках <img width=«184» height=«32» src=«ref-1_745099277-413.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298"> <img width=«133» height=«32» src=«ref-1_745099690-341.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299">
Интерполяционный многочлен Ньютона второй степени имеет вид
<img width=«598» height=«32» src=«ref-1_745100031-1082.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">
Берем производную
<img width=«445» height=«40» src=«ref-1_745101113-913.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301">
В точке <img width=«28» height=«32» src=«ref-1_745094948-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302"> она равна
<img width=«562» height=«169» src=«ref-1_745102251-1483.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">
Получаем приближенную формулу
<img width=«152» height=«64» src=«ref-1_745103734-462.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304"> (2)
Величина <img width=«91» height=«64» src=«ref-1_745104196-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305"> называется центральной разностной производной.
Наконец, если взять вторую производную
<img width=«636» height=«168» src=«ref-1_745104555-1767.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306"> получаем приближенную формулу.
<img width=«217» height=«67» src=«ref-1_745106322-565.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307"> (3)
Величина <img width=«155» height=«67» src=«ref-1_745106887-477.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308"> называется второй разностной производной.
Формулы (1)-(3) называются формулами численного дифференцирования.
Предполагая функцию <img width=«23» height=«29» src=«ref-1_745107364-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309">достаточное число раз непрерывно дифференцируемой, получим погрешности приближенных формул (1)-(3).
В дальнейшем нам понадобится следующая лемма.
Лемма 1. Пусть <img width=«272» height=«36» src=«ref-1_745107578-575.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310"> произвольные точки, <img width=«76» height=«31» src=«ref-1_745108153-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311"> Тогда существует такая точка <img width=«101» height=«36» src=«ref-1_745108436-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312"> что
<img width=«352» height=«64» src=«ref-1_745108795-788.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313">
Доказательство
. Очевидно неравенство
<img width=«536» height=«69» src=«ref-1_745109583-1173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314">
По теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции на замкнутом отрезке она принимает все значения между <img width=«105» height=«52» src=«ref-1_745110756-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315"> и <img width=«115» height=«52» src=«ref-1_745111159-434.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316"> Значит существует такая точка <img width=«101» height=«36» src=«ref-1_745108436-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317"> что выполняет указанное в лемме равенство.
Погрешности формул численного дифференцирования дает следующая лемма.
Лемма 2.
1.Предположим, что <img width=«152» height=«36» src=«ref-1_745111952-431.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318"> Тогда существует такая точка <img width=«17» height=«33» src=«ref-1_745112383-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319"> , что
<img width=«396» height=«64» src=«ref-1_745112606-830.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320"> (4)
2. Если <img width=«164» height=«36» src=«ref-1_745113436-431.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321"> то существует такая точка <img width=«17» height=«33» src=«ref-1_745112383-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322"> , что
<img width=«427» height=«71» src=«ref-1_745114090-882.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323"> (5)
3. Когда <img width=«165» height=«36» src=«ref-1_745114972-438.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324"> то существует <img width=«17» height=«33» src=«ref-1_745112383-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325"> такая, что
<img width=«509» height=«73» src=«ref-1_745115633-1059.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326"> (6) Доказательство. По формуле Тейлора
<img width=«413» height=«71» src=«ref-1_745116692-912.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327">
откуда следует (4).
Если <img width=«165» height=«36» src=«ref-1_745117604-436.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328"> то по формуле Тейлора
<img width=«473» height=«71» src=«ref-1_745118040-1149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329"> (7)
где <img width=«195» height=«33» src=«ref-1_745119189-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330">
Подставим (7) в <img width=«161» height=«67» src=«ref-1_745119621-479.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331"> Получаем
<img width=«491» height=«73» src=«ref-1_745120100-1107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332">
Заменяя в соответствии с леммою 1
<img width=«487» height=«45» src=«ref-1_745121207-1011.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">
получаем
<img width=«348» height=«73» src=«ref-1_745122218-880.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334">
Откуда и следует (6).
Равенство (5) доказывается аналогично ( доказательство провести самостоятельно).
Формулы (4)-(6) называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами.
Погрешности формул (1)-(3) оцениваются с помощью следующих неравенств, которые вытекают из соотношений (4)-(6):
<img width=«428» height=«239» src=«ref-1_745123098-2475.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335">
Говорят, что погрешность формулы (1) имеет первый порядок относительно <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_745125573-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336"> (или порядка <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_745125573-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337"> ), а погрешность формул (2) и (3) имеет второй порядок относительно <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_745125573-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338"> (или порядка <img width=«29» height=«33» src=«ref-1_745126233-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339"> ). Также говорят, что формула численного дифференцирования (1) первого порядка точности (относительно <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_745125573-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340">), а формулы (2) и (3) имеют второй порядок точности.
Указанным способом можно получать формулы численного дифференцирования для более старших производных и для большего количества узлов интерполирования.
Выбор оптимального шага. Допустим, что граница абсолютной погрешности при вычислении функции <img width=«23» height=«29» src=«ref-1_745107364-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341"> в каждой точке удовлетворяет неравенству
<img width=«85» height=«33» src=«ref-1_745126912-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342"> (8)
Пусть в некоторой окрестности точки <img width=«27» height=«32» src=«ref-1_745097910-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343"> производные, через которые выражаются остаточные члены в формулах (5), (6), непрерывны и удовлетворяют неравенствам
<img width=«337» height=«56» src=«ref-1_745127465-778.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344"> (9)
где <img width=«115» height=«33» src=«ref-1_745128243-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345"> — некоторые числа. Тогда полная погрешность формул (2), (3) (без учета погрешностей округления) в соответствии с (5), (6), (8), (9)не превосходит соответственно величин <img width=«561» height=«151» src=«ref-1_745128578-1373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346">
Минимизация по <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_745125573-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347"> этих величин приводит к следующим значениям <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_745125573-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348">:
<img width=«345» height=«81» src=«ref-1_745130391-958.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349"> (12)
при этом
<img width=«416» height=«95» src=«ref-1_745131349-1120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350"> (13)
Если при выбранном для какой-либо из формул (2), (3) значении <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_745125573-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351"> отрезок <img width=«87» height=«36» src=«ref-1_745132689-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352"> не выходит за пределы окрестности точки <img width=«27» height=«32» src=«ref-1_745097910-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353">, в которой выполняется соответствующее неравенство (9), то найденное <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_745125573-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354"> есть оптимальным и полная погрешность численного дифференцирования оценивается соответствующей величиной (13).
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ СПЛАЙНАМИ.
Интерполирование многочленом Лагранжа или Ньютона на отрезке <img width=«57» height=«36» src=«ref-1_745133432-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355"> с использованием большого числа узлов интерполяции часто приводит к плохому приближению, что объясняется сильным накоплением погрешностей в процессе вычислений. Кроме того из-за расходимости процесса интерполяции увеличение числа узлов не обязаноприводить к повышению точности. Для того, чтобы избежать больших погрешностей, весь отрезок <img width=«57» height=«36» src=«ref-1_745133432-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356"> разбивают на частичные отрезки и на каждом из частичных отрезков приближенно заменяют функцию<img width=«56» height=«31» src=«ref-1_745134000-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357"> многочленом невысокой степени ( так называемая кусочно-полиномиальная интерполяция).
Одним из способов интерполяции на всем отрезке является интерполирование с помощью сплайн-функций. Сплайн-функцией или сплайном называют кусочно-полиномиальную функцию, определенную на отрезке <img width=«57» height=«36» src=«ref-1_745133432-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358"> и имеющую на этом отрезке некоторое число непрерывных производных.
Слово ,, сплайн’’(английское spline) означает гибкую линейку, используемую для проведения гладких кривых через заданные точки плоскости.
Преимущество сплайнов перед обычной интерполяцией является, во-первых, их сходимость, и, во-вторых, устойчивость процесса вычислений.
Рассмотрим частный, но распространенный в вычислительной практике случай, когда сплайн определяется с помощью многочленов третьей степени ( кубический сплайн).
Пусть на <img width=«57» height=«36» src=«ref-1_745133432-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359"> задана непрерывная функция<img width=«56» height=«31» src=«ref-1_745134000-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360">. Введем узлы ( сетку):
<img width=«339» height=«32» src=«ref-1_745135156-583.coolpic» v:shapes="_x0000_i1361">
и обозначим <img width=«220» height=«33» src=«ref-1_745135739-474.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362">
Интерполяционным кубическим сплайном, соответствующим данной функции <img width=«56» height=«31» src=«ref-1_745134000-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363"> и данным узлам, называеться функция <img width=«48» height=«29» src=«ref-1_745136507-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364">, удовлетворяющая следующим усовиям:
а) на кождом сегменте <img width=«187» height=«36» src=«ref-1_745136781-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365"> функция <img width=«48» height=«29» src=«ref-1_745136507-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366"> является многочленом третьей степени;
б) функция <img width=«48» height=«29» src=«ref-1_745136507-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367">, а так же ее первая и вторая производные непрерывны на <img width=«57» height=«36» src=«ref-1_745133432-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368">;
в) <img width=«248» height=«33» src=«ref-1_745138045-531.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369">
Последнее условие называется условием интерполирования.
Докажем существование и единственность сплайна, определяемого перечисленными условиями (плюс некоторые граничные условия, которые будут введены в процессе доказательства). Приводимое ниже доказательство содержит также способ построения сплайна.
На каждом из отрезков <img width=«187» height=«36» src=«ref-1_745136781-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370"> будем искать функцию <img width=«129» height=«32» src=«ref-1_745139008-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371"> в виде многочлена третьей степени
<img width=«525» height=«64» src=«ref-1_745139386-1064.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372"> (1)
<img width=«240» height=«33» src=«ref-1_745140450-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373">
где <img width=«128» height=«37» src=«ref-1_745140914-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374"> — коэффициенты, подлежащие определению. Выясним смысл введенных коэффициентов. Имеем
<img width=«381» height=«111» src=«ref-1_745141291-1326.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375">
поэтому <img width=«539» height=«40» src=«ref-1_745142617-923.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376">
Из условий интерполирования <img width=«252» height=«36» src=«ref-1_745143540-565.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377"> получаем, что
<img width=«215» height=«36» src=«ref-1_745144105-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378">
Доопределим, кроме того, <img width=«120» height=«36» src=«ref-1_745144589-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379">.
Далее, требование непрерывности функции <img width=«48» height=«36» src=«ref-1_745144962-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380"> приводит к условиям
<img width=«303» height=«36» src=«ref-1_745145243-584.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381">
Отсюда, учитывая выражения для функций <img width=«60» height=«36» src=«ref-1_745145827-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382"> получаем при <img width=«109» height=«31» src=«ref-1_745146136-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383"> уравнения
<img width=«637» height=«61» src=«ref-1_745146442-1073.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384">Обозначая <img width=«147» height=«32» src=«ref-1_745147515-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385"> перепишем эти уравнения в виде
<img width=«419» height=«71» src=«ref-1_745147876-888.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386"> (2)
Условия непрерывности первой производной
<img width=«304» height=«36» src=«ref-1_745148764-608.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387">
приводят к уравнениям
<img width=«343» height=«64» src=«ref-1_745149372-736.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388"> (3)
Из условий непрерывности второй производной получаем уравнения
<img width=«261» height=«33» src=«ref-1_745150108-501.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389">. (4)
Объединяя (2) -(4), получим систему <img width=«69» height=«24» src=«ref-1_745150609-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390"> уравнений относительно <img width=«31» height=«24» src=«ref-1_745150901-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391"> неизвестных <img width=«188» height=«33» src=«ref-1_745151143-435.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392">
Два недостающих условия получают, задавая те или иные граничные условия для <img width=«51» height=«36» src=«ref-1_745151578-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393"> Предположим, например, что функция <img width=«56» height=«36» src=«ref-1_745151861-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1394"> удовлетворяет условиям <img width=«203» height=«36» src=«ref-1_745152158-493.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395"> Тогда естественно требовать, чтобы <img width=«187» height=«36» src=«ref-1_745152651-470.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396"> Отсюда получаем <img width=«257» height=«43» src=«ref-1_745153121-588.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397">
т.е. <img width=«233» height=«32» src=«ref-1_745153709-454.coolpic» v:shapes="_x0000_i1398">
Заметим, что условие <img width=«135» height=«32» src=«ref-1_745154163-364.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399"> совпадает с уравнением (4) при <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_745154527-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400"> <img width=«68» height=«32» src=«ref-1_745154760-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401">. Таким образом, приходим к замкнутой системе уравнений для определения коэффициентов кубического сплайна:
<img width=«592» height=«191» src=«ref-1_745155023-2208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1402"> Убедимся в том, что эта система имеет единственное решение. Исключим из (5)- (7) переменные <img width=«193» height=«33» src=«ref-1_745157231-402.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403"> и получим систему, содержащую только <img width=«160» height=«33» src=«ref-1_745157633-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1404"> Для этого рассмотрим два соседних уравнения (7) :
<img width=«419» height=«161» src=«ref-1_745157981-1544.coolpic» v:shapes="_x0000_i1405">
и вычтем второе уравнение из первого.Тогда получим
<img width=«599» height=«95» src=«ref-1_745159525-1285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1406">
Подставляя найденное выражение для <img width=«87» height=«32» src=«ref-1_745160810-313.coolpic» v:shapes="_x0000_i1407"> в правую часть уравнения (6), получим
<img width=«569» height=«68» src=«ref-1_745161123-1208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408"> (8)
Далее, из уравнения (5) получаем
<img width=«513» height=«43» src=«ref-1_745162331-940.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409">
И подставляя эти выражения в (8) , приходим к уравнению
<img width=«555» height=«66» src=«ref-1_745163271-1114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410">
Окончательно для определения коэффициентов <img width=«23» height=«32» src=«ref-1_745164385-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411"> получаем систему уравнений
<img width=«529» height=«102» src=«ref-1_745164608-1309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412"> (9)
В силу диагонального преобладания система (9) имеет единственное решение. Так как матрица системы трехдиагональная, решение можно найти методом прогонки. По найденным коэффициентам <img width=«23» height=«32» src=«ref-1_745164385-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413"> коэффициенты <img width=«21» height=«32» src=«ref-1_745166140-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414"> і <img width=«24» height=«32» src=«ref-1_745166375-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415"> определяются с помощь явных формул
<img width=«477» height=«116» src=«ref-1_745166608-1175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416"> (10)
Таким образом, доказано, что существует единственный кубический сплайн, определяемый условиями а)-в) и граничными условиями <img width=«187» height=«36» src=«ref-1_745152651-470.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417"> Заметим, что можно рассматривать и другие граничные условия.
продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по математике
Реферат по математике
Традиционные методы вычислительной томографии
3 Сентября 2013
Реферат по математике
Логика формальная и графическая модель описания изготовления винных изделий
20 Июня 2015
Реферат по математике
График и его элементы Классификация видов графиков
3 Сентября 2013
Реферат по математике
Основные временные параметры сетевых графиков и их расчеты
3 Сентября 2013