Реферат: Морфологический анализ цветных спектрозональных изображений
--PAGE_BREAK--A(j), хотя, вообще говоря, — другим, отличным от j. Характекрным в данном случае является тот факт, что равенство <img width=«86» height=«27» src=«ref-1_293559248-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136"> влечет <img width=«136» height=«27» src=«ref-1_293559549-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">. Если <img width=«37» height=«27» src=«ref-1_293559930-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138"> — самое детальное изображение сцены, то, вообще говоря, на различных множествах A(j
¢)и A(j)цвет изображения <img width=«37» height=«27» src=«ref-1_293559930-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139"> может оказаться одинаковым[5].
Как правило, следует учитывать непостоянство оптических характеристик сцены и т.д. Во всех случаях форма изображения должна быть инвариантна относительно преобразования из выделенного класса и, более того, должна определять изображение с точностью до произвольного преобразования из этого класса.
Для определения понятия формы цветного изображения f(×
) на <img width=«40» height=«24» src=«ref-1_293560406-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140"> удобно ввести частичный порядок p, т.е. бинарное отношение, удовлетворяющее условиям: 1)<img width=«201» height=«27» src=«ref-1_293560628-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">, 2) <img width=«76» height=«27» src=«ref-1_293561020-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">, <img width=«72» height=«27» src=«ref-1_293561313-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">, то <img width=«75» height=«27» src=«ref-1_293561605-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">, <img width=«171» height=«27» src=«ref-1_293561883-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">; отношение pдолжно быть согласованным с определением цветного изображения (с условием физичности), а именно, <img width=«216» height=«27» src=«ref-1_293562269-430.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">, если <img width=«76» height=«27» src=«ref-1_293561020-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">. Отношение pинтерпретируется аналогично тому, как это принято в черно-белой морфологии[2], а именно, <img width=«76» height=«27» src=«ref-1_293561020-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148"> означает, что изображения f(×) иg(×)сравнимы по форме, причем форма g(×) не сложнее, чем форма f(×). Если <img width=«76» height=«27» src=«ref-1_293561020-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149"> и <img width=«76» height=«27» src=«ref-1_293563578-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">, то f(×)и g(×)назовем совпадающими по форме (изоморфными), f(×)
~
g(×). Например, если f(×)и g(×)— изображения одной и той же сцены, то g(×), грубо говоря, характеризует форму изображенных объектов не точнее (подробнее, детальнее), чем f(×), если <img width=«76» height=«27» src=«ref-1_293563578-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">.
В рассматриваемом выше примере преобразования изображений <img width=«83» height=«27» src=«ref-1_293564160-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">, если между множествами A(j),<img width=«52» height=«23» src=«ref-1_293564437-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153"> и A
¢(j
¢),<img width=«61» height=«23» src=«ref-1_293564668-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154"> существует взаимно-однозначное соответствие, т.е., если существует функция <img width=«113» height=«27» src=«ref-1_293564916-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">, такая, что A
¢(j
¢(j))=A(j),<img width=«57» height=«23» src=«ref-1_293565240-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">, причем<img width=«99» height=«27» src=«ref-1_293565477-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">, если <img width=«45» height=«20» src=«ref-1_293565808-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">. В этом случае равенства <img width=«88» height=«24» src=«ref-1_293566035-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159"> и <img width=«97» height=«27» src=«ref-1_293566333-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160"> эквивалентны, <img width=«33» height=«24» src=«ref-1_293566615-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161"> и <img width=«29» height=«24» src=«ref-1_293566841-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162"> изоморфны и одинаково детально характеризуют сцену, хотя и в разных цветах.
Если же <img width=«113» height=«27» src=«ref-1_293564916-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163"> не взаимно однозначно, то A
¢(j
¢)=U A(j) и <img width=«81» height=«24» src=«ref-1_293567386-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">. В этом случае равенство <img width=«88» height=«24» src=«ref-1_293566035-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165"> влечет <img width=«97» height=«27» src=«ref-1_293566333-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166"> (но не эквивалентно) <img width=«92» height=«24» src=«ref-1_293568232-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">, <img width=«33» height=«24» src=«ref-1_293566615-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168"> передает, вообще говоря, не все детали сцены, представленные в <img width=«29» height=«24» src=«ref-1_293566841-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">.
Пусть, скажем, g(×)— черно-белый вариант f(×), т.е. g(x)=f(x) и g(x)/g(x)=b, xÎX. Если преобразование<img width=«81» height=«27» src=«ref-1_293568968-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170"> — следствие изменившихся условий регистрации изображения, то, естественно, <img width=«76» height=«27» src=«ref-1_293561020-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">. Аналогично, если f(×), g(×) — изображения одной и той же сцены, но в g(×),вследствие неисправности выходные сигналы некоторых датчиков равны нулю, то <img width=«76» height=«27» src=«ref-1_293561020-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">. Пусть F— некоторая полугруппа преобразований <img width=«120» height=«24» src=«ref-1_293569849-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">, тогда для любого преобразования FÎF<img width=«209» height=«21» src=«ref-1_293570132-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">, поскольку, если некоторые детали формы объекта не отражены в изображении f(×)
, то они, тем более, не будут отражены в g(×)
.
Формой <img width=«36» height=«27» src=«ref-1_293570543-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175"> изображения f
(×)
назовем множество изображений <img width=«235» height=«31» src=«ref-1_293570774-523.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">, форма которых не сложнее, чем форма f`
(×)
, и их пределов в <img width=«45» height=«32» src=«ref-1_293571297-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">(черта символизирует замыкание в <img width=«45» height=«32» src=«ref-1_293571297-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">). Формой изображения f(×) в широком смысле назовем минимальное линейное подпространство <img width=«40» height=«24» src=«ref-1_293560406-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">, содержащее <img width=«36» height=«27» src=«ref-1_293570543-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">. Если считать, что <img width=«76» height=«27» src=«ref-1_293561020-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181"> для любого изображения <img width=«85» height=«28» src=«ref-1_293572493-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">, то это будет означать, что отношение pнепрерывно относительно сходимости в <img width=«45» height=«32» src=«ref-1_293571297-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183"> в том смысле, что <img width=«299» height=«31» src=«ref-1_293573026-529.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">.
Рассмотрим теперь более подробно понятие формы для некоторых характерных классов изображений и их преобразований.
4. Форма кусочно-постоянного (мозаичного) цветного изображения.
Во многих практически важных задачах форма объекта на изображении может быть охарактеризована специальной структурой излучения, достигающего поле зрения X в виде <img width=«309» height=«43» src=«ref-1_293573555-574.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185"> здесь <img width=«240» height=«48» src=«ref-1_293574129-505.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186"> — индикаторные функции непересекающихся подмножеств Аi, i=1,…...,N, положительной меры поля зрения Х, на каждом из которых функции <img width=«219» height=«51» src=«ref-1_293574634-511.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">, <img width=«110» height=«43» src=«ref-1_293575145-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">, j=1,...,n, i=1,...,N, непрерывны. Поскольку согласно лемме 2
<img width=«176» height=«39» src=«ref-1_293575457-441.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189"> <img width=«220» height=«93» src=«ref-1_293575898-672.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190"><img width=«47» height=«15» src=«ref-1_293576570-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191"> , (3)
то цветное изображение fe(×)
, такого объекта характеризует его форму непрерывным распределением яркости и цвета на каждом подмножестве Ai, i=1,...,N. Для изображения <img width=«71» height=«24» src=«ref-1_293576799-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">, <img width=«189» height=«37» src=«ref-1_293577076-521.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193"> где <img width=«259» height=«30» src=«ref-1_293577597-555.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">, также характерно напрерывное распределение яркости и цвета на каждом Ai, если <img width=«135» height=«23» src=«ref-1_293578152-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">, — непрерывные функции.
Если, в частности, цвет и яркость<img width=«36» height=«24» src=«ref-1_293578463-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196"> постоянны на Ai, i=1,...,N, то это верно и для всякого изображения <img width=«71» height=«24» src=«ref-1_293578680-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">, если <img width=«129» height=«23» src=«ref-1_293578955-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198"> не зависит явно от <img width=«45» height=«15» src=«ref-1_293579261-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">. Для такого изображения примем следующее представление:
<img width=«489» height=«44» src=«ref-1_293579486-854.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">, (4)
его черно-белый вариант
<img width=«133» height=«48» src=«ref-1_293580340-438.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201"> (4*)
на каждом Ai имеет постоянную яркость <img width=«72» height=«44» src=«ref-1_293580778-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">, и цвет изображения (4)
<img width=«175» height=«65» src=«ref-1_293581103-581.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203"> (4**)
не меняется на Ai и равен <img width=«132» height=«65» src=«ref-1_293581684-505.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">, i=1,...,N.
Поскольку для реальных изображений должно быть выполнено условие физичности (2*), <img width=«323» height=«44» src=«ref-1_293582189-602.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">, то форму изображения (4), имеющего на различных множествах Аi имеет несовпадающие яркости <img width=«77» height=«44» src=«ref-1_293582791-327.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206"> и различные цвета <img width=«228» height=«69» src=«ref-1_293583118-565.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">, определим как выпуклый замкнутый в <img width=«46» height=«27» src=«ref-1_293583683-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">конус:
<img width=«315» height=«48» src=«ref-1_293583896-667.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209"> <img width=«259» height=«48» src=«ref-1_293584563-527.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">. (4***)
v(a), очевидно, содержится в n×
Nмерном линейном подпространстве
<img width=«458» height=«48» src=«ref-1_293585090-724.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211"> <img width=«64» height=«24» src=«ref-1_293585814-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">, (4****)
которое назовем формой a(×
) в широком смысле.
Форму в широком смысле любого изображения a(×
), у которого не обязательно различны яркости и цвета на различных подмножествах Ai ,i=1,...,N, определим как линейное подпространство<img width=«40» height=«24» src=«ref-1_293560406-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">, натянутое не вектор-функции Fa(
×
),F
Î
F
, где F— класс преобразований <img width=«118» height=«24» src=«ref-1_293586272-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">, определенных как преобразования векторов a(x)
®F
a(x) во всех точках xÎ
X; здесь F — любое преобразование <img width=«66» height=«21» src=«ref-1_293586568-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">. Тот факт, что F означает как преобразование <img width=«66» height=«21» src=«ref-1_293586568-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">, так и преобразование <img width=«83» height=«24» src=«ref-1_293587054-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">, не должен вызывать недоразумения.
Изображения из конуса(4***) имеют форму, которая не сложнее, чем форма a(×
)(4), поскольку некоторые из них могут иметь одно и то же значение яркости или(и) цвета на различных множествах Аi, i=1,…………..,N. Также множества оказываются, по существу, объединенными в одно, что и приводит к упрощению формы изображения, поскольку оно отражает меньше деталей формы изображенного объекта, чем изображение (4). Это замечание касается и L(a(×)), если речь идет о форме в широком смысле.
Лемма 3. Пусть {Аi} — измеримое разбиение X: <img width=«295» height=«43» src=«ref-1_293587343-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">.
Изображение(3) имеет на каждом подмножестве Ai :
-постоянную яркость <img width=«75» height=«44» src=«ref-1_293587830-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219"> и цвет <img width=«261» height=«44» src=«ref-1_293588153-540.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220"> , если и только если выполняется равенство (4);
-постоянный цвет <img width=«267» height=«44» src=«ref-1_293588693-541.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">, если и только если в (3) <img width=«359» height=«25» src=«ref-1_293589234-497.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">;
-постоянную яркость fi, i=1,...,N, если и только если в (3) <img width=«108» height=«48» src=«ref-1_293589731-350.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223"> не зависит от <img width=«49» height=«17» src=«ref-1_293590081-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">, i=1,…...,N.
Доказательство. На множестве Ai яркость и цвет изображения (3) равны соответственно[6]
<img width=«133» height=«44» src=«ref-1_293590314-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225"> , <img width=«243» height=«47» src=«ref-1_293590706-563.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">,i=1,.…..,N.
Если выполнено равенство (4), то <img width=«56» height=«25» src=«ref-1_293591269-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227"> и <img width=«52» height=«23» src=«ref-1_293591517-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228"> от <img width=«47» height=«20» src=«ref-1_293591776-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229"> не зависят. Наоборот, если <img width=«113» height=«25» src=«ref-1_293592008-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230"> и <img width=«168» height=«23» src=«ref-1_293592313-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">, то и <img width=«99» height=«23» src=«ref-1_293592694-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">, т.е. выполняется (4).
Если <img width=«120» height=«23» src=«ref-1_293592998-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233"> , то цвет <img width=«197» height=«44» src=«ref-1_293593336-520.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234"> не зависит от <img width=«123» height=«22» src=«ref-1_293593856-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235"> . Наоборот, пусть <img width=«196» height=«47» src=«ref-1_293594177-542.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236"> не зависит от <img width=«47» height=«20» src=«ref-1_293591776-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">. В силу линейной независимости <img width=«57» height=«20» src=«ref-1_293594951-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238"> координаты j(i)(x)не зависят от <img width=«39» height=«20» src=«ref-1_293595170-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239"> , т.е. <img width=«279» height=«22» src=«ref-1_293595401-436.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240"> и, следовательно, <img width=«171» height=«26» src=«ref-1_293595837-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241"> где <img width=«135» height=«21» src=«ref-1_293596191-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242"> — яркость на A i и <img width=«164» height=«48» src=«ref-1_293596503-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">. Последнее утверждение очевидно n
Цвет изображения определяется как электродинамическими свойствами поверхности изображенного объекта, так и спектральным составом облучающего электромагнитного излучения в том диапазоне, который используется для регистрации изображения. Речь идет о спектральном составе излучения, покидающего поверхность объекта и содержащего как рассеянное так и собственное излучения объекта. Поскольку спектральный состав падающего излучения, как правило, пространственно однороден, можно считать, что цвет изображения несет информацию о свойствах поверхности объекта, о ее форме, а яркость в значительной степени зависит и от условий “освещения”. Поэтому на практике в задачах морфологического анализа цветных изображений сцен важное значение имеет понятие формы изображения, имеющего постоянный цвет и произвольное распределение яркости в пределах заданных подмножеств Ai , i=1,...,N, поля зрения X.
Итак, пусть в согласии с леммой 3
<img width=«359» height=«44» src=«ref-1_293596876-620.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244"> , (5)
где, <img width=«235» height=«48» src=«ref-1_293597496-488.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245"> — индикаторная функция Ai, <img width=«69» height=«24» src=«ref-1_293597984-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">, функция gi(×)задает распределение яркости
<img width=«280» height=«44» src=«ref-1_293598264-468.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247"> (6)
в пределах Ai при постоянном цвете
<img width=«367» height=«45» src=«ref-1_293598732-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">, i=1,...,N, (7)
причем для изображения (5) цвета продолжение
--PAGE_BREAK--j(i)
, i=1,.…..,N, считаются попарно различными, а функции g(i), i=1,.…..,N, — удовлетворяющими условиям <img width=«237» height=«44» src=«ref-1_293599326-453.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249"> i=1,.…..,N.
Нетрудно заметить, что в выражениях (5),(6) и (7) без потери общности можно принять условие нормировки <img width=«168» height=«44» src=«ref-1_293599779-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">, позволяющее упростить выражения (6) и (7) для распределений яркости и цвета. С учетом нормировки распределение яркости на Ai задается функцией <img width=«119» height=«20» src=«ref-1_293600157-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251"> а цвет на Ai равен
<img width=«369» height=«44» src=«ref-1_293600482-516.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252"> (7*)
Форму изображения (5) определим как класс всех изображений
<img width=«487» height=«48» src=«ref-1_293600998-821.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253"> (8)
<img width=«312» height=«44» src=«ref-1_293601819-553.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">,
каждое из которых, как и изображение (5), имеет постоянный цвет в пределах каждого Ai, i=1,...,N. Форма таких изображений не сложнее, чем форма f(×) (5), поскольку в изображении <img width=«29» height=«25» src=«ref-1_293602372-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255"> на некоторых различных подмножествах Ai, i=1,...,N, могут совпадать значения цвета, которые непременрно различны в изображении f(×) (5). Совпадение цвета <img width=«29» height=«25» src=«ref-1_293602372-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256"> на различных подмножествах Ai, i=1,...,N ведет к упрощению формы изображения <img width=«29» height=«25» src=«ref-1_293602372-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257"> по сравнению с формой f(×) (5). Все изображения <img width=«95» height=«27» src=«ref-1_293603044-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258">, имеющие различный цвет на различных Ai, i=1,...,N, считаются изоморфнымиf(×) (и между собой), форма остальных не сложнее, чем форма f(×). Если <img width=«76» height=«25» src=«ref-1_293603356-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">, то, очевидно, <img width=«117» height=«29» src=«ref-1_293603636-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">.
Если в (8) яркость <img width=«202» height=«20» src=«ref-1_293603974-394.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261">, то цвет <img width=«29» height=«25» src=«ref-1_293602372-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262"> на Ai считается произвольным (постоянным), если же <img width=«74» height=«20» src=«ref-1_293604592-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263"> в точках некоторого подмножества <img width=«136» height=«29» src=«ref-1_293604872-346.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264">, то цвет <img width=«29» height=«25» src=«ref-1_293602372-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265"> на Ai считается равным цвету <img width=«29» height=«25» src=«ref-1_293602372-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266"> на <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_293605666-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">, i=1,...,N.
Цвет изображения (8) может не совпадать с цветом (5). Если же по условию задачи все изображения <img width=«95» height=«24» src=«ref-1_293605878-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">, форма которых не сложнее, чем форма <img width=«95» height=«19» src=«ref-1_293606177-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">, должны иметь на Ai, i=1,...,N, тот же цвет, что и у <img width=«95» height=«19» src=«ref-1_293606177-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270"> то следует потребовать, чтобы <img width=«264» height=«23» src=«ref-1_293606765-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">, в то время, как яркости <img width=«165» height=«20» src=«ref-1_293607142-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272"> остаются произвольными (если <img width=«172» height=«20» src=«ref-1_293607486-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">, то цвет <img width=«29» height=«25» src=«ref-1_293602372-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274"> на Ai определяется равным цвету f(×)на Ai, i=1,...,N).
Нетрудно определить форму любого, не обязательно мозаичного, изображения f(×)в том случае, когда допустимы произвольные изменения яркости <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_293608096-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275"> при неизменном цвете j(x) в каждой точке <img width=«45» height=«15» src=«ref-1_293579261-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">. Множество, содержащее все такие изображения
<img width=«279» height=«29» src=«ref-1_293608548-526.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277"> (9)
назовем формой в широком смысле изображения <img width=«66» height=«21» src=«ref-1_293609074-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">, у которого f(x)¹0, m-почти для всех <img width=«45» height=«15» src=«ref-1_293579261-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279">, [ср. 2]. <img width=«67» height=«25» src=«ref-1_293609560-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280"> является линейным подпространством <img width=«40» height=«27» src=«ref-1_293609836-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">, содержащем любую форму
<img width=«319» height=«32» src=«ref-1_293610055-486.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">, (10)
в которой включение <img width=«77» height=«27» src=«ref-1_293610541-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">определяет допустимые значения яркости. В частности, если <img width=«77» height=«27» src=«ref-1_293610541-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">означает, что яркость неотрицательна: <img width=«187» height=«19» src=«ref-1_293611061-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">, то <img width=«68» height=«22» src=«ref-1_293611438-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286"> — выпуклый замкнутый конус в <img width=«40» height=«27» src=«ref-1_293609836-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">, принадлежащий <img width=«67» height=«25» src=«ref-1_293609560-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">.
Более удобное описание формы изображения может быть получено на основе методов аппроксимации цветных изображений, в которых форма определяется как оператор наилучшего приближения. В следующем параграфе дано представление формы изображения в виде оператора наилучшего приближения.
5. Задачи аппроксимации цветных изображений.Форма как оператор наилучшего приближения.
Рассмотрим вначале задачи приближения кусочно-постоянными (мозаичными) изображениями. Решение этих задач позволит построить форму изображения <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_293612183-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289"> в том случае, когда считается, что <img width=«81» height=«24» src=«ref-1_293612455-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290"> для любого преобразования <img width=«83» height=«20» src=«ref-1_293612744-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">, действующего на изображение <img width=«28» height=«24» src=«ref-1_293613014-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292"> как на вектор <img width=«71» height=«24» src=«ref-1_293613235-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293"> в каждой точке <img width=«43» height=«15» src=«ref-1_293613506-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294"> и оставляющего <img width=«36» height=«24» src=«ref-1_293613733-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295"> элементом <img width=«31» height=«27» src=«ref-1_293613970-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">, т.е. изображением. Форма в широком смысле <img width=«28» height=«24» src=«ref-1_293613014-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297"> определяется как оператор <img width=«107» height=«24» src=«ref-1_293614408-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298"> наилучшего приближения изображения <img width=«73» height=«24» src=«ref-1_293614714-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299"> изображениями <img width=«92» height=«24» src=«ref-1_293615001-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">
<img width=«503» height=«44» src=«ref-1_293615291-908.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301">
где <img width=«23» height=«16» src=«ref-1_293616199-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302"> — класс преобразований <img width=«63» height=«20» src=«ref-1_293616383-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">, такой, что <img width=«189» height=«24» src=«ref-1_293616630-408.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304">. Иначе можно считать, что
<img width=«175» height=«27» src=«ref-1_293617038-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305"> (10*)
а <img width=«81» height=«24» src=«ref-1_293617399-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306"> — оператор наилучшего приближения элементами множества <img width=«52» height=«27» src=«ref-1_293617659-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307">, форма которых не сложнее, чем форма <img width=«28» height=«24» src=«ref-1_293613014-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">. Характеристическим для <img width=«52» height=«27» src=«ref-1_293617659-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309"> является тот факт, что, если f(x)=f(y), то для любого<img width=«228» height=«24» src=«ref-1_293618376-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">.
5.1. Приближение цветного изображения изображениями, цвет и яркость которых постоянны на подмножествах разбиения <img width=«31» height=«25» src=«ref-1_293618815-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311"> поля зрения X.
Задано разбиение <img width=«31» height=«25» src=«ref-1_293618815-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312">, требуется определить яркость и цвет наилучшего приближения на каждом <img width=«111» height=«20» src=«ref-1_293619265-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313">. Рассмотрим задачу наилучшего приближения в <img width=«31» height=«27» src=«ref-1_293613970-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314"> цветного изображения f(×)(2) изображениями (4), в которых считается заданным разбиение <img width=«71» height=«20» src=«ref-1_293619763-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315"> поля зрения X и требуется определить <img width=«259» height=«25» src=«ref-1_293620011-409.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316"> из условия
<img width=«408» height=«52» src=«ref-1_293620420-789.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317">
<img width=«427» height=«49» src=«ref-1_293621209-839.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318"> (11)<img width=«12» height=«20» src=«ref-1_293622048-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319">
Теорема 1. Пусть <img width=«163» height=«24» src=«ref-1_293622215-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320">. Тогда решение задачи(11) имеет вид
<img width=«168» height=«48» src=«ref-1_293622553-458.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">, i=1,...,N, j=1,...,n, (12)
и искомое изображение(4) задается равенством
<img width=«455» height=«48» src=«ref-1_293623011-907.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322"> . (13)
Оператор <img width=«146» height=«27» src=«ref-1_293623918-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323"> является ортогональным проектором на линейное подпространство (4****) <img width=«96» height=«27» src=«ref-1_293624225-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324"> изображений (4),яркости и цветакоторых не изменяются в пределах каждого Ai
, i=1,...,N.
Черно-белый вариант<img width=«269» height=«48» src=«ref-1_293624528-600.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325"> (4*) цветного изображения <img width=«153» height=«48» src=«ref-1_293625128-471.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326">(4) является наилучшей в <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_293625599-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327"> аппроксимацией черно-белого варианта<img width=«184» height=«48» src=«ref-1_293625809-460.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328"> цветного изображения f(×) (2),если цветное изображение <img width=«153» height=«48» src=«ref-1_293626269-472.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329">(4) является наилучшей в <img width=«31» height=«27» src=«ref-1_293626741-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330"> аппроксимацией цветного изображения f(×) (2).Оператор <img width=«340» height=«51» src=«ref-1_293626955-730.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331">
, является ортогональным проектором на линейное подпространство черно-белых изображений, яркость которых постоянна в пределах каждого <img width=«112» height=«20» src=«ref-1_293627685-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332">
.
В точках множества<img width=«52» height=«20» src=«ref-1_293627966-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333"> цвет <img width=«184» height=«68» src=«ref-1_293628208-629.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334">(4**) наилучшей аппроксимации <img width=«153» height=«48» src=«ref-1_293625128-471.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335">(4) цветного изображения f(×)(2) является цветом аддитивной смеси составляющих f(×)излучений, которые попадают на <img width=«112» height=«20» src=«ref-1_293627685-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336">.
Доказательство. Равенства (12) — условия минимума положительно определенной квадратичной формы (11), П — ортогональный проектор, поскольку в задаче (11) наилучшая аппроксимация — ортогональная проекция f(×)на <img width=«53» height=«24» src=«ref-1_293629589-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337">. Второе утверждение следует из равенства
<img width=«368» height=«49» src=«ref-1_293629849-778.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">, вытекающего из (13).Последнее утверждение следует из равенств
<img width=«171» height=«73» src=«ref-1_293630627-528.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339"><img width=«299» height=«80» src=«ref-1_293631155-999.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340"><img width=«47» height=«20» src=«ref-1_293591776-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341">,i=1,...,N вытекающих из (12) и равенства (1), в котором индекс k следует заменить на xÎX. ■
Замечание 1.Для любого измеримого разбиения <img width=«196» height=«24» src=«ref-1_293632386-369.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342"> ортогональные проекторы <img width=«146» height=«27» src=«ref-1_293623918-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343"> и <img width=«120» height=«27» src=«ref-1_293633062-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344"> определяют соответственно форму в широком смысле цветного изображения (4),цвет и яркость которого, постоянные в пределах каждого <img width=«16» height=«20» src=«ref-1_293633357-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345">, различны для различных <img width=«105» height=«20» src=«ref-1_293633561-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346">, ибо <img width=«249» height=«27» src=«ref-1_293633839-519.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347">, и форму в широком смысле черно-белогоизображени
я, яркость котор
огопостоянна на каждом <img width=«16» height=«20» src=«ref-1_293633357-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348"> и различна для разных<img width=«112» height=«20» src=«ref-1_293627685-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349">,[2].
Если учесть, условие физичности (2*), то формой цветного изображения следует считать проектор <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_293634843-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350"> на выпуклый замкнутый конус <img width=«56» height=«24» src=«ref-1_293635038-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351"> (4***)
Аналогично формой черно-белого изображения следует считать проектор <img width=«17» height=«20» src=«ref-1_293635290-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352">
на выпуклый замкнутый конус изображений (4*), таких, что <img width=«194» height=«48» src=«ref-1_293635491-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353"> [2]. Дело в том, что оператор <img width=«113» height=«24» src=«ref-1_293635889-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354"> определяет форму
<img width=«292» height=«32» src=«ref-1_293636206-525.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355"> изображения (4), а именно
<img width=«339» height=«32» src=«ref-1_293636731-548.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356"> — множество собственных функций оператора <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_293634843-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357">. Поскольку <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_293634843-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358">
f(
×
) — наилучшее приближение изображения <img width=«79» height=«24» src=«ref-1_293637669-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359"> изображениями из <img width=«63» height=«24» src=«ref-1_293637949-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360">, для любого изображения <img width=«89» height=«21» src=«ref-1_293638213-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1361"> из <img width=«63» height=«24» src=«ref-1_293637949-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362"> и только для таких <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_293638765-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363">-<img width=«164» height=«25» src=«ref-1_293638993-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364">. Поэтому проектор <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_293634843-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365">
можно отождествить с формой изображения (4).
Аналогично для черно-белого изображения a(
×
)
<img width=«537» height=«29» src=«ref-1_293639528-831.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366">,[7] [2]. И проектор <img width=«17» height=«20» src=«ref-1_293640359-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367">
можно отождествить с формой изображения (4*), как это сделано в работах [2,3].
Примечания.
Формы в широком смысле не определяются связью задач наилучшего приближения элементами <img width=«28» height=«24» src=«ref-1_293640566-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368"> и <img width=«63» height=«24» src=«ref-1_293637949-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369">, которая известна как транзитивность проецирования. Именно, если <img width=«160» height=«27» src=«ref-1_293641051-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370"> оператор наилучшего в <img width=«64» height=«27» src=«ref-1_293641423-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371"> приближения злементами выпуклого замкнутого (в <img width=«28» height=«24» src=«ref-1_293640566-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372"> и в <img width=«47» height=«27» src=«ref-1_293641937-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373">) конуса <img width=«118» height=«27» src=«ref-1_293642193-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374">, то <img width=«89» height=«20» src=«ref-1_293642541-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375">. Иначе говоря, для определения наилучшего в <img width=«28» height=«24» src=«ref-1_293640566-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376"> приближения <img width=«79» height=«24» src=«ref-1_293637669-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377"> элементами <img width=«63» height=«24» src=«ref-1_293637949-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378"> можно вначале найти ортогональную проекцию <img width=«49» height=«19» src=«ref-1_293643556-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379"> изображения <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_293643787-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380"> на <img width=«47» height=«27» src=«ref-1_293641937-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381">, а затем <img width=«49» height=«19» src=«ref-1_293643556-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382"> спроецировать в <img width=«47» height=«27» src=«ref-1_293641937-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383"> на <img width=«51» height=«27» src=«ref-1_293644750-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384">. При этом конечномерный проектор <img width=«27» height=«20» src=«ref-1_293645016-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385"> для каждого конкретного конуса <img width=«51» height=«27» src=«ref-1_293644750-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386"> может быть реализован методом динамического программирования, а для многих задач морфологического анализа изображений достаточным оказывается использование лишь проектора продолжение
--PAGE_BREAK--П .
Форма в широком смысле <img width=«47» height=«27» src=«ref-1_293641937-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387"> (4***) изображения (4) полностью определяется измеримым разложением <img width=«69» height=«20» src=«ref-1_293645733-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388">, последнее, в свою очередь определяется изображением
<img width=«253» height=«27» src=«ref-1_293645985-461.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389">,
если векторы <img width=«108» height=«20» src=«ref-1_293646446-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390"> попарно различны. Если при этом <img width=«160» height=«24» src=«ref-1_293646728-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391">, то форма в широком смысле <img width=«24» height=«24» src=«ref-1_293647067-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392"> может быть определена и как оператор П ортогонального проецирования на <img width=«47» height=«27» src=«ref-1_293641937-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393">, определенный равенством (13).
Посмотрим, каким образом воспользоваться этими фактами при построении формы в широком смысле как оператора ортогонального проецирования на линейное подпространство <img width=«51» height=«27» src=«ref-1_293647545-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1394"> (10*) для произвольного изображения <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_293643787-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395">. Пусть <img width=«187» height=«24» src=«ref-1_293648018-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396"> — множество значений <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_293643787-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397"> и <img width=«125» height=«27» src=«ref-1_293648636-350.coolpic» v:shapes="_x0000_i1398"> — измеримое разбиение X , порожденное <img width=«148» height=«41» src=«ref-1_293648986-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399">, в котором <img width=«181» height=«27» src=«ref-1_293649392-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400"> — подмножество X , в пределах которого изображение <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_293643787-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401"> имеет постоянные яркость и цвет, определяемые вектором <img width=«153» height=«19» src=«ref-1_293650019-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1402">, если <img width=«147» height=«24» src=«ref-1_293650359-355.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403">.
Однако для найденного разбиения условие <img width=«167» height=«27» src=«ref-1_293650714-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1404">, вообще говоря, невыполнимо и, следовательно, теорема 1 не позволяет построить ортогональный проектор П на <img width=«51» height=«27» src=«ref-1_293647545-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1405">. Покажем, что П можно получить как предел последовательности конечномерных ортогональных проекторов. Заметим вначале, что любое изображение <img width=«79» height=«24» src=«ref-1_293637669-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1406"> можно представить в виде предела (в <img width=«28» height=«24» src=«ref-1_293651645-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1407">) должным образом организованной последовательности мозаичных изображений
<img width=«321» height=«68» src=«ref-1_293651864-769.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408"> (*)
где <img width=«47» height=«27» src=«ref-1_293652633-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409"> — индикатор множества <img width=«48» height=«27» src=«ref-1_293652893-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410">, принадлежащего измеримому разбиению <img width=«225» height=«32» src=«ref-1_293653151-414.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411">
В (*) можно, например, использовать так называемую исчерпывающую последовательность разбиений [], удовлетворяющую следующим условиям
— <img width=«32» height=«24» src=«ref-1_293653565-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412">- C — измеримо, <img width=«459» height=«43» src=«ref-1_293653800-655.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413">;
— N+1-oe разбиение является продолжением N-го, т.е. для любого <img width=«103» height=«17» src=«ref-1_293654455-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414">, найдется i=i(j),<img width=«66» height=«15» src=«ref-1_293654737-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415">, такое, что <img width=«99» height=«27» src=«ref-1_293654992-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416">;
— минимальная s-алгебра, содержащая все <img width=«183» height=«24» src=«ref-1_293655313-375.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417">, совпадает с C.
Лемма (*). Пусть <img width=«208» height=«32» src=«ref-1_293655688-442.coolpic» v:shapes="_x0000_i1418"> — исчерпывающая последователь-ность разбиений X и <img width=«56» height=«27» src=«ref-1_293656130-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1419"> — то множество из <img width=«32» height=«27» src=«ref-1_293656405-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1420">, которое содержит <img width=«41» height=«15» src=«ref-1_293656632-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1421">. Тогда для любой
C-измеримой функции <img width=«176» height=«24» src=«ref-1_293656860-394.coolpic» v:shapes="_x0000_i1422">
<img width=«416» height=«45» src=«ref-1_293657254-811.coolpic» v:shapes="_x0000_i1423">
и
m-почти для всех <img width=«41» height=«15» src=«ref-1_293656632-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1424"> <img width=«278» height=«63» src=«ref-1_293658293-713.coolpic» v:shapes="_x0000_i1425"> [ ]. n
Воспользуемся этим результатом для построения формы в широком смысле П произвольного изображения <img width=«28» height=«24» src=«ref-1_293659006-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1426">. Пусть <img width=«51» height=«27» src=«ref-1_293659227-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1427"> — минимальная s-алгебра, относительно которой измеримо <img width=«28» height=«24» src=«ref-1_293659006-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1428">, т.е. пусть <img width=«183» height=«27» src=«ref-1_293659705-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1429">, где <img width=«199» height=«27» src=«ref-1_293660111-416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1430"> — прообраз борелевского множества <img width=«51» height=«20» src=«ref-1_293660527-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1431">, B - s-алгебра борелевских множеств <img width=«19» height=«20» src=«ref-1_293660759-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1432">. Заменим в условиях, определяющих исчерпывающую последовательность разбиений, Cна <img width=«51» height=«27» src=«ref-1_293659227-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1433"> и выберем эту, зависящую от <img width=«28» height=«24» src=«ref-1_293659006-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1434">, исчерпывающую последовательность (<img width=«51» height=«27» src=«ref-1_293659227-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1435"> — измеримых) разбиений в лемме (*).
Теорема (*).Пусть <img width=«75» height=«24» src=«ref-1_293661697-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1436">, <img width=«198» height=«32» src=«ref-1_293661977-399.coolpic» v:shapes="_x0000_i1437">- исчерпывающая последовательность разбиений X, причем <img width=«51» height=«27» src=«ref-1_293659227-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1438"> — минимальная s-алгебра, содержащая все <img width=«183» height=«24» src=«ref-1_293655313-375.coolpic» v:shapes="_x0000_i1439"> и П(N) — ортогональный проектор <img width=«83» height=«24» src=«ref-1_293663008-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1440">, определенный равенством <img width=«244» height=«67» src=«ref-1_293663297-712.coolpic» v:shapes="_x0000_i1441">, <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_293664009-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1442">
Тогда
1) для любого <img width=«51» height=«27» src=«ref-1_293659227-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1443">-измеримого изображения <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_293664009-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1444"> и почти для всех <img width=«43» height=«15» src=«ref-1_293613506-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1445">, <img width=«164» height=«33» src=«ref-1_293665069-419.coolpic» v:shapes="_x0000_i1446">,
2) для любого изображения <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_293664009-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1447"> при <img width=«51» height=«15» src=«ref-1_293665776-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1448"> <img width=«144» height=«27» src=«ref-1_293665999-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1449"> (в <img width=«28» height=«24» src=«ref-1_293651645-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1450">), где П — ортогональный проектор на <img width=«51» height=«27» src=«ref-1_293647545-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1451">.
Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из леммы (*) и определения <img width=«61» height=«27» src=«ref-1_293666863-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1452">. Для доказательства второго утверждения заметим, что, так как A(N+1) — продолжение разбиения A(N), N=1,2,..., то последовательность проекторов П(N), N=1,2,..., монотонно неубывает: <img width=«107» height=«20» src=«ref-1_293667150-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1453"> и потому сходится (поточечно) к некоторому ортогональному проектору П. Так как <img width=«51» height=«27» src=«ref-1_293647545-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1454"> — множество всех <img width=«51» height=«27» src=«ref-1_293659227-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1455">-измеримых изображений и их пределов (в<img width=«28» height=«24» src=«ref-1_293651645-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1456">), а в силу леммы (*) для любого <img width=«51» height=«27» src=«ref-1_293659227-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1457">-измеримого изображения <img width=«27» height=«24» src=«ref-1_293668429-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1458">
<img width=«253» height=«32» src=«ref-1_293668658-467.coolpic» v:shapes="_x0000_i1459">, то для любого изображения <img width=«93» height=«27» src=«ref-1_293669125-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1460"> <img width=«331» height=«35» src=«ref-1_293669442-595.coolpic» v:shapes="_x0000_i1461">и для любого <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_293670037-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1462"> <img width=«111» height=«27» src=«ref-1_293670321-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1463">, ибо <img width=«137» height=«28» src=«ref-1_293670653-366.coolpic» v:shapes="_x0000_i1464">-измеримо, N=1,2,... n
Вопрос о том, каким образом может быть построена исчерпывающая последовательность разбиений, обсуждается в следующем пункте.
Заданы векторы f1,...,fq, требуется определить разбиение <img width=«31» height=«25» src=«ref-1_293618815-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1465">, на множествах которого наилучшее приближение принимает соответственно значенния f1,...,fq. Рассмотрим задачу приближения цветного изображения f(×),в которой задано не разбиение <img width=«29» height=«25» src=«ref-1_293671244-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1466"> поля зрения X, а векторы <img width=«67» height=«25» src=«ref-1_293671468-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1467"> в <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_293671715-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1468">, и требуется построить измеримое разбиение <img width=«36» height=«31» src=«ref-1_293671918-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1469">поля зрения, такое, что цветное изображение <img width=«68» height=«47» src=«ref-1_293672161-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1470"> — наилучшая в <img width=«31» height=«27» src=«ref-1_293613970-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1471"> аппроксимация f(×).Так как
<img width=«460» height=«49» src=«ref-1_293672701-953.coolpic» v:shapes="_x0000_i1472"><img width=«515» height=«49» src=«ref-1_293673654-1036.coolpic» v:shapes="_x0000_i1473">, (14*)
то в Ai следует отнести лишь те точки <img width=«45» height=«15» src=«ref-1_293579261-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1474">, для которых <img width=«189» height=«32» src=«ref-1_293674915-401.coolpic» v:shapes="_x0000_i1475">, <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_293675316-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1476">=1,2,...,q, или, что то же самое, <img width=«220» height=«32» src=«ref-1_293675529-485.coolpic» v:shapes="_x0000_i1477"><img width=«36» height=«19» src=«ref-1_293675316-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1478">=1,2,...,q. Те точки, которые согласно этому принципу могут быть отнесены к нескольким множествам, должны быть отнесены к одному из них по произволу. Учитывая это, условимся считать, что запись
<img width=«423» height=«39» src=«ref-1_293676227-684.coolpic» v:shapes="_x0000_i1479"> <img width=«84» height=«21» src=«ref-1_293676911-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1480"> , (14)
означает, что множества (14) не пересекаются и <img width=«69» height=«44» src=«ref-1_293677151-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1481">.
Чтобы сформулировать этот результат в терминах морфологического анализа, рассмотрим разбиение <img width=«121» height=«23» src=«ref-1_293677448-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1482">, в котором
<img width=«519» height=«46» src=«ref-1_293677749-897.coolpic» v:shapes="_x0000_i1483"> (15)
и звездочка указывает на договоренность, принятую в (14). Определим оператор F, действующий из <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_293528058-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1484"> в <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_293528058-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1485"> по формуле <img width=«60» height=«20» src=«ref-1_293679050-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1486">, <img width=«51» height=«20» src=«ref-1_293679287-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1487">, i=1,...,q. Очевидно, F всегда можно согласовать с (14) так, чтобы включения <img width=«76» height=«20» src=«ref-1_293679525-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1488"> и <img width=«45» height=«20» src=«ref-1_293679800-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1489">, i=1,...,q, можно было считать эквивалентными.[8]
Теорема 2. Пусть <img width=«67» height=«25» src=«ref-1_293671468-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1490"> — заданные векторыRn. Решение задачи
<img width=«232» height=«45» src=«ref-1_293680278-470.coolpic» v:shapes="_x0000_i1491">
наилучшего в<img width=«31» height=«27» src=«ref-1_293613970-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1492"> приближения изображения f(×)изображениями<img width=«68» height=«47» src=«ref-1_293680965-326.coolpic» v:shapes="_x0000_i1493"> имеет вид <img width=«185» height=«43» src=«ref-1_293681291-457.coolpic» v:shapes="_x0000_i1494">, где <img width=«40» height=«23» src=«ref-1_293681748-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1495"> — индикаторная функция множества <img width=«267» height=«24» src=«ref-1_293681975-438.coolpic» v:shapes="_x0000_i1496">. Множество <img width=«59» height=«20» src=«ref-1_293682413-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1497"> определено равенством (15). Нелинейный оператор <img width=«293» height=«20» src=«ref-1_293682651-443.coolpic» v:shapes="_x0000_i1498">, как всякий оператор наилучшего приближения удовлетворяет условию F2=F, т.е. является пректором.
Замечание 2. Если данные задачи доступны лишь в черно-белом варианте, то есть заданы числа <img width=«56» height=«27» src=«ref-1_293683094-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1499">, i=1,...,q, которые можно считать упорядоченными согласно условию <img width=«160» height=«27» src=«ref-1_293683353-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1500">, то, как показано в [3], искомое разбиение X состоит из множеств
<img width=«489» height=«31» src=«ref-1_293683721-705.coolpic» v:shapes="_x0000_i1501">
где <img width=«224» height=«29» src=«ref-1_293684426-423.coolpic» v:shapes="_x0000_i1502">, и имеет мало общего с разбиением (14).
Замечание 3. Выберем векторы fi,i=1,..,q единичной длины: <img width=«61» height=«27» src=«ref-1_293684849-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1503">, i=1,...,q. Тогда
<img width=«360» height=«33» src=«ref-1_293685088-569.coolpic» v:shapes="_x0000_i1504">. (16)
Множества (16) являются конусами в Rn , ограниченными гиперплоскостями, проходящими через начало координат. Отсюда следует, что соответствующее приближение <img width=«69» height=«27» src=«ref-1_293685657-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1505"> изображения f(×)инвариантно относительно произвольного преобразования последнего, не изменяющего его цвет (например <img width=«191» height=«23» src=«ref-1_293685948-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1506">), в частности, относительно образования теней на f(×).
Замечание 4. Для любого заданного набора попарно различных векторов <img width=«103» height=«24» src=«ref-1_293686338-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1507"> оператор F, приведенный в теореме 2, определяет форму изображения, принимающего значения <img width=«65» height=«23» src=«ref-1_293686640-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1508"> соответственно на измеримых множествах <img width=«68» height=«23» src=«ref-1_293686888-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1509"> (любого) разбиения X. Всякое такое изображение является неподвижной (в<img width=«28» height=«24» src=«ref-1_293651645-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1510">) точкой F: <img width=«85» height=«24» src=«ref-1_293687366-318.coolpic» v:shapes="_x0000_i1511">, если <img width=«109» height=«43» src=«ref-1_293687684-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1512">, все они изоморфны между собой. Если некоторые множества из <img width=«68» height=«23» src=«ref-1_293686888-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1513"> — пустые, или нулевой меры, соответствующие изображения имеют более простую форму.
Иначе говоря, в данном случае формой изображения <img width=«27» height=«24» src=«ref-1_293668429-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1514"> является множество всех изображений, принимающих заданные значения <img width=«55» height=«23» src=«ref-1_293688555-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1515"> на множествах положительной меры <img width=«49» height=«23» src=«ref-1_293688794-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1516"> любого разбиения X,
и их пределов в <img width=«28» height=«24» src=«ref-1_293651645-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1517">.
Теоремы 1 и 2 позволяют записать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f(
×
) изображениями <img width=«73» height=«45» src=«ref-1_293689262-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1518">, в котором требуется определить как векторы <img width=«75» height=«24» src=«ref-1_293689579-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1519">
, так и множества <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_293689836-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1520">
так, чтобы
<img width=«419» height=«45» src=«ref-1_293690110-705.coolpic» v:shapes="_x0000_i1521">.
Следствие 1.
Пусть D
i,i=1,...,N, — подмножестваRn(15), П -ортогональный проектор (13), <img width=«135» height=«45» src=«ref-1_293690815-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1522">, где <img width=«261» height=«45» src=«ref-1_293691182-515.coolpic» v:shapes="_x0000_i1523">. Тогданеобходимые и достаточные условия <img width=«65» height=«28» src=«ref-1_293691697-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1524"> суть следующие:<img width=«141» height=«45» src=«ref-1_293691969-384.coolpic» v:shapes="_x0000_i1525">, где <img width=«181» height=«24» src=«ref-1_293692353-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i1526">, <img width=«260» height=«52» src=«ref-1_293692748-525.coolpic» v:shapes="_x0000_i1527">.
Следующая рекуррентная процедура, полезная для уточнения приближений, получаемых в теоремах 1,2, в некоторых случаях позволяет решать названную задачу. Пусть <img width=«87» height=«27» src=«ref-1_293693273-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1528"> — исходные векторы в задаче (14*), <img width=«85» height=«27» src=«ref-1_293693574-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1529"> — соответствующее оптимальное разбиение (14), F(1) — оператор наилучшего приближения и <img width=«198» height=«32» src=«ref-1_293693875-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1530"> — невязка. Воспользовавшись теоремой 1, определим для найденного разбиения <img width=«85» height=«27» src=«ref-1_293693574-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1531"> оптимальные векторы <img width=«88» height=«27» src=«ref-1_293694582-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1532">. Согласно выражению (13) <img width=«284» height=«68» src=«ref-1_293694887-625.coolpic» v:shapes="_x0000_i1533">, и соответствующий оператор наилучшего приближения П(1) (13) обеспечит не менее точное приближение продолжение
--PAGE_BREAK--f(
×
), чем F(1): <img width=«211» height=«35» src=«ref-1_293695512-441.coolpic» v:shapes="_x0000_i1534">. Выберем теперь в теореме 2 <img width=«157» height=«24» src=«ref-1_293695953-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1535">, определим соответствующее оптимальное разбиение <img width=«88» height=«27» src=«ref-1_293696282-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1536"> и построим оператор наилучшего приближения F(2). Тогда <img width=«392» height=«35» src=«ref-1_293696588-650.coolpic» v:shapes="_x0000_i1537">. На следующем шаге по разбиению <img width=«88» height=«27» src=«ref-1_293696282-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1538"> строим <img width=«89» height=«27» src=«ref-1_293697544-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1539"> и оператор П(3) и т.д.
В заключение этого пункта вернемся к вопросу о построении исчерпывающего <img width=«49» height=«27» src=«ref-1_293697852-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1540">-измеримого разбиения X, отвечающего заданной функции <img width=«75» height=«24» src=«ref-1_293698106-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1541">. Выберем произвольно попарно различные векторы <img width=«73» height=«24» src=«ref-1_293698386-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1542">из f(X) и построим по формуле (15) разбиение Rn<img width=«144» height=«32» src=«ref-1_293698634-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i1543">. Для каждого q=1,2,… образуем разбиение E(N(q)), множества <img width=«44» height=«28» src=«ref-1_293699012-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1544">, j=1,...,N(q), которого образованы всеми попарно различными пересечениями <img width=«147» height=«27» src=«ref-1_293699269-405.coolpic» v:shapes="_x0000_i1545"> множеств из <img width=«89» height=«27» src=«ref-1_293699674-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1546">. Последовательность соответствующих разбиений X<img width=«397» height=«32» src=«ref-1_293699990-701.coolpic» v:shapes="_x0000_i1547">, i=1,...,N(q), q=1,2… <img width=«49» height=«27» src=«ref-1_293697852-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1548"> -измеримы и <img width=«51» height=«20» src=«ref-1_293700945-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1549"> является продолжением <img width=«127» height=«24» src=«ref-1_293701191-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1550">
5.2. Приближениеизображениями, цвет которых постоянен на подмножествах разбиения <img width=«31» height=«24» src=«ref-1_293701511-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1551"> поля зрения X.
Задано разбиение <img width=«31» height=«24» src=«ref-1_293701511-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1552">, требуется определить цвет и распределение яркостей наилучшего приближения на каждом Ai,i=1,...,N.
Для практики, как уже было отмечено, большой интерес представляет класс изображений (5), цвет которых не изменяется в пределах некоторых подмножеств поля зрения, и задачи аппроксимации произвольных изображений изображениями такого класса.
Запишем изображение (5) в виде
<img width=«224» height=«45» src=«ref-1_293701961-494.coolpic» v:shapes="_x0000_i1553"> (17)
где <img width=«192» height=«48» src=«ref-1_293702455-419.coolpic» v:shapes="_x0000_i1554">.
Пусть A1,...,AN — заданное разбиение X,<img width=«40» height=«23» src=«ref-1_293681748-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1555"> — индикаторная функция Ai, i=1,...,N. Рассмотрим задачу наилучшего в <img width=«40» height=«27» src=«ref-1_293703101-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1556"> приближения изображения <img width=«36» height=«23» src=«ref-1_293703320-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1557"> изображениями (17), не требуя, чтобы <img width=«92» height=«25» src=«ref-1_293703538-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1558">
<img width=«484» height=«53» src=«ref-1_293703847-773.coolpic» v:shapes="_x0000_i1559"> (18)
Речь идет о задаче аппроксимации произвольного изображения <img width=«36» height=«23» src=«ref-1_293703320-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1560"> изображениями, у которых яркость может быть произвольной функцией из <img width=«32» height=«27» src=«ref-1_293704838-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1561">, в то время, как цвет должен сохранять постоянное значение на каждом из заданных подмножеств A1,...,AN поля зрения X, (см. Лемму 3).
Так как
<img width=«550» height=«101» src=«ref-1_293705046-1266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1562">
то минимум S (19) по <img width=«52» height=«27» src=«ref-1_293706312-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1563"> достигается при
<img width=«352» height=«29» src=«ref-1_293706562-543.coolpic» v:shapes="_x0000_i1564">, (20)
и равен
<img width=«289» height=«49» src=«ref-1_293707105-640.coolpic» v:shapes="_x0000_i1565"> (21)
Задача (18) тем самым сведена к задаче
<img width=«379» height=«38» src=«ref-1_293707745-597.coolpic» v:shapes="_x0000_i1566">. (22)
В связи с последней рассмотрим самосопряженный неотрицательно определенный оператор <img width=«93» height=«24» src=«ref-1_293708342-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1567">
<img width=«287» height=«45» src=«ref-1_293708633-569.coolpic» v:shapes="_x0000_i1568"> . (23)
Максимум (неотрицательной) квадратичной формы <img width=«68» height=«27» src=«ref-1_293709202-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1569"> на сфере <img width=«55» height=«27» src=«ref-1_293709496-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1570">в Rn, как известно, (см., например, [11]) достигается на собственном векторе yi оператора Фi, отвечающем максимальному собственному значению <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_293709719-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1571">>0,
<img width=«155» height=«23» src=«ref-1_293709925-371.coolpic» v:shapes="_x0000_i1572">,
и равен <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_293709719-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1573">, т.е. <img width=«229» height=«36» src=«ref-1_293710502-546.coolpic» v:shapes="_x0000_i1574">. Следовательно, максимум в (22) равен <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_293709719-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1575"> и достигается, например, при <img width=«151» height=«23» src=«ref-1_293711254-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1576">
Теорема 3. Пусть A1,...,AN -заданное измеримое разбиение
X, причем[9]
m(Ai)>0, i=1,...,N. Решением задачи (18) наилучшего приближения изображения <img width=«43» height=«24» src=«ref-1_293711569-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1577"><img width=«40» height=«25» src=«ref-1_293711811-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1578"> изображениями g(×)<img width=«59» height=«25» src=«ref-1_293712041-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1579"> (17) является изображение
<img width=«425» height=«55» src=«ref-1_293712280-856.coolpic» v:shapes="_x0000_i1580"> (24)
Операторы <img width=«88» height=«23» src=«ref-1_293713136-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1581">,i=1,...,N, и <img width=«147» height=«25» src=«ref-1_293713406-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1582"> — нелинейные (зависящие от f(×)<img width=«59» height=«25» src=«ref-1_293712041-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1583">) проекторы: Пi проецирует в Rnвекторы <img width=«49» height=«24» src=«ref-1_293713968-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1584"><img width=«73» height=«23» src=«ref-1_293714215-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1585"> на линейное подпространство <img width=«19» height=«20» src=«ref-1_293714479-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1586">, натянутое на собственный вектор <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_293714684-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1587"> оператора Фi (23), отвечающий наибольшему собственному значению ri,
<img width=«332» height=«60» src=«ref-1_293714883-608.coolpic» v:shapes="_x0000_i1588">; (25)
П проецирует в <img width=«40» height=«25» src=«ref-1_293711811-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1589"> изображение <img width=«43» height=«24» src=«ref-1_293711569-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1590"><img width=«40» height=«25» src=«ref-1_293711811-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1591"> на минимальное линейное подпространство <img width=«40» height=«25» src=«ref-1_293711811-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1592">, содержащее все изображения <img width=«231» height=«25» src=«ref-1_293716423-472.coolpic» v:shapes="_x0000_i1593">
Невязка наилучшего приближения
<img width=«425» height=«49» src=«ref-1_293716895-841.coolpic» v:shapes="_x0000_i1594"> (19*).
Доказательство. Равентство (24) и выражение для Пi следует из (17),(20) и решения задачи на собственные значения для оператора Фi (23). Поскольку Фi самосопряженный неотрицательно определенный оператор, то задача на собственные значения (23) разрешима, все собственные значения Фi неотрицательны и среди них ri — наибольшее.
Для доказательства свойств операторов Пi, i=1,...,N, и П введем обозначения, указывающие на зависимость от f(×):
<img width=«349» height=«31» src=«ref-1_293717736-607.coolpic» v:shapes="_x0000_i1595">
<img width=«201» height=«31» src=«ref-1_293718343-425.coolpic» v:shapes="_x0000_i1596"> (26*)
Эти равенства, показывающие, что результат двукратного действия операторов Пi, i=1,...,N, и П (26) не отличается от результатата однократного их действия, позволят считать операторы (26) проекторами.
Пусть fi — cсобственный вектор Фi, отвечающий максимальному собственному значению ri. Чтобы определить <img width=«56» height=«27» src=«ref-1_293718768-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1597"> следует решить задачу на собственные значения для оператора <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_293719028-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1598">:
<img width=«273» height=«44» src=«ref-1_293719241-585.coolpic» v:shapes="_x0000_i1599">.
Поскольку rank<img width=«19» height=«23» src=«ref-1_293719826-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1600">=1, <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_293719826-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1601"> имеет единственное положительное собственное значение, которое, как нетрудно проверить, равно ri, и ему соответствует единственный собственный вектор fi. Поэтому
<img width=«485» height=«31» src=«ref-1_293720252-770.coolpic» v:shapes="_x0000_i1602">.
Отсюда, в свою очередь, следует равенство (26*) для <img width=«41» height=«27» src=«ref-1_293721022-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1603"> n
Лемма 4. Для любого изображения <img width=«92» height=«25» src=«ref-1_293721261-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1604"> решение (24) задачи (18) наилучшего приближения единственно и является элементом <img width=«35» height=«25» src=«ref-1_293721560-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1605">.
Доказательство. Достаточно доказать, что единственный (с точностью до положительного множителя) собственный вектор fi оператора (23), отвечающий максимальному собственному значению ri, можно выбрать так, чтобы <img width=«386» height=«28» src=«ref-1_293721791-577.coolpic» v:shapes="_x0000_i1606">, поскольку в таком случае будут выполнены импликации:
<img width=«492» height=«24» src=«ref-1_293722368-654.coolpic» v:shapes="_x0000_i1607">,
составляющие содержание леммы. Действительно, если <img width=«213» height=«28» src=«ref-1_293723022-459.coolpic» v:shapes="_x0000_i1608"> то согласно (23) <img width=«269» height=«21» src=«ref-1_293723481-414.coolpic» v:shapes="_x0000_i1609">, поскольку включение <img width=«92» height=«25» src=«ref-1_293721261-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1610"> означает, что<img width=«110» height=«24» src=«ref-1_293724194-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1611"><img width=«102» height=«24» src=«ref-1_293724503-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1612">; отсюда и из (25) получим, что <img width=«110» height=«24» src=«ref-1_293724809-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1613"><img width=«102» height=«24» src=«ref-1_293724503-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1614">,i=1,...,N, а поэтому и в (24) <img width=«89» height=«24» src=«ref-1_293725420-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1615"><img width=«88» height=«24» src=«ref-1_293725723-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1616">.
Убедимся в неотрицательности <img width=«209» height=«28» src=«ref-1_293726018-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1617">. В ортонормированном базисе e1,...,en, в котором <img width=«105» height=«28» src=«ref-1_293726468-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1618">, выходной сигнал i-го детектора в точке <img width=«130» height=«19» src=«ref-1_293726804-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1619"> (см. замечание 1) задача на собственные значения (23*) имеет вид <img width=«139» height=«47» src=«ref-1_293727102-449.coolpic» v:shapes="_x0000_i1620">, p=1,...,n,
где <img width=«261» height=«44» src=«ref-1_293727551-586.coolpic» v:shapes="_x0000_i1621">, <img width=«187» height=«28» src=«ref-1_293728137-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1622">.
Так как матрица <img width=«57» height=«32» src=«ref-1_293728535-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1623"> симметрическая и неотрицательно определенная (<img width=«220» height=«47» src=«ref-1_293728817-503.coolpic» v:shapes="_x0000_i1624">) она имеет n неотрицательных собственных значений<img width=«179» height=«25» src=«ref-1_293729320-396.coolpic» v:shapes="_x0000_i1625">, которым соответствуют n ортонормированных собственных векторов <img width=«166» height=«24» src=«ref-1_293729716-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1626">, а поскольку матричные элементы <img width=«171» height=«27» src=«ref-1_293730073-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1627">, то согласно теореме Фробенуса-Перрона максимальное собственное значение <img width=«63» height=«25» src=«ref-1_293730458-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1628"> — алгебраически простое (некратное), а соответствующий собственный вектор можно выбирать неотрицательным:
<img width=«202» height=«20» src=«ref-1_293730719-388.coolpic» v:shapes="_x0000_i1629">. Следовательно, вектор fi определен с точностью до положительного множителя <img width=«262» height=«47» src=«ref-1_293731107-597.coolpic» v:shapes="_x0000_i1630">, <img width=«88» height=«24» src=«ref-1_293725723-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1631">. n
Замечание 4.
Если<img width=«269» height=«45» src=«ref-1_293731999-531.coolpic» v:shapes="_x0000_i1632"> ,т.е. если аппроксимируемое изображение на множествах того же разбиения <img width=«39» height=«27» src=«ref-1_293732530-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1633">имеет постоянный цвет, то в теореме 3 <img width=«59» height=«23» src=«ref-1_293732758-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1634">,<img width=«277» height=«51» src=«ref-1_293732997-536.coolpic» v:shapes="_x0000_i1635">.
Наоборот, если <img width=«231» height=«23» src=«ref-1_293733533-402.coolpic» v:shapes="_x0000_i1636">, то
<img width=«355» height=«29» src=«ref-1_293733935-570.coolpic» v:shapes="_x0000_i1637">, т.е. <img width=«36» height=«23» src=«ref-1_293703320-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1638"> определяется выражением (17), в котором <img width=«284» height=«29» src=«ref-1_293734723-480.coolpic» v:shapes="_x0000_i1639">.
Итак, пусть в изображении g(×) (17) все векторы f1,.…..,fN попарно не коллинеарны, тюею цвета всех подмножеств A1,...,AN
попарно различны. Тогда форма в широком смысле <img width=«197» height=«32» src=«ref-1_293735203-444.coolpic» v:shapes="_x0000_i1640"> изображения (17) есть множество решений уравнения
<img width=«114» height=«27» src=«ref-1_293735647-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1641">,<img width=«88» height=«24» src=«ref-1_293725723-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1642">, (27)
где <img width=«363» height=«47» src=«ref-1_293736284-715.coolpic» v:shapes="_x0000_i1643">, fi— собственный вектор оператора Фi: <img width=«281» height=«43» src=«ref-1_293736999-548.coolpic» v:shapes="_x0000_i1644">, отвечающий максимальному собственному значению r
i,i=1,...,N. В данном случае <img width=«94» height=«24» src=«ref-1_293737547-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1645">, если и только если выполнено равенство (27).
Оператор П (24), дающий решение задачи наилучшего приближения <img width=«367» height=«35» src=«ref-1_293737849-574.coolpic» v:shapes="_x0000_i1646"> , естественно отождествить с формой в широком смысле изображения <img width=«36» height=«27» src=«ref-1_293738423-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1647"> (17).
Заданы векторы цвета
j1,...,
jq, требуется определить разбиение A1,..., Aq, на множествах которого наилучшее приближение имеет соответственно цвета
j1,...,
jqи оптимальные распределения яркостей <img width=«177» height=«24» src=«ref-1_293738659-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1648">[10].
Речь идет о следующей задаче наилучшего в <img width=«40» height=«25» src=«ref-1_293711811-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1649"> приближения изображения <img width=«103» height=«25» src=«ref-1_293739250-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1650">
<img width=«528» height=«55» src=«ref-1_293739554-1127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1651">. (28)
Рассмотрим вначале задачу (28) не требуя, чтобы <img width=«211» height=«24» src=«ref-1_293740681-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1652">. Так как для любого измеримого <img width=«53» height=«20» src=«ref-1_293741121-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1653">
<img width=«469» height=«67» src=«ref-1_293741361-1030.coolpic» v:shapes="_x0000_i1654">, (29)
и достигается на
<img width=«287» height=«57» src=«ref-1_293742391-582.coolpic» v:shapes="_x0000_i1655">, (30)
то, как нетрудно убедиться,
<img width=«508» height=«71» src=«ref-1_293742973-943.coolpic» v:shapes="_x0000_i1656">, (31)
где звездочка * означает то же самое, что и в равенстве (14): точки xÎX, в которых выполняется равенство <img width=«188» height=«64» src=«ref-1_293743916-578.coolpic» v:shapes="_x0000_i1657"> могут быть произвольно отнесены к одному из множеств Ai или Aj.
Пусть <img width=«160» height=«23» src=«ref-1_293744494-334.coolpic» v:shapes="_x0000_i1658"> — разбиение <img width=«279» height=«20» src=«ref-1_293744828-444.coolpic» v:shapes="_x0000_i1659">, в котором
<img width=«479» height=«65» src=«ref-1_293745272-881.coolpic» v:shapes="_x0000_i1660"> (32)
а продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по математике
Реферат по математике
Статистический анализ перевозок на грузовом транспорте
3 Сентября 2013
Реферат по математике
Математика 16 века люди и открытия
3 Сентября 2013
Реферат по математике
Застосування сплайн-функцій до розвязування задач інтерполяції
3 Сентября 2013
Реферат по математике
Конструктивная математика
3 Сентября 2013