Реферат: Похідна та її застосування

--PAGE_BREAK--1.2. Екстремуми функції
Точка х0називається точкою локального максимуму функції <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1926149942-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">, якщо для будь-яких досить малих <img width=«52» height=«27» src=«ref-1_1926150099-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">  виконується нерівність

<img width=«129» height=«24» src=«ref-1_1926150266-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039">.

Точка х0називається точкою локального мінімуму функції <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1926149942-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040">, якщо для будь-яких досить малих <img width=«52» height=«27» src=«ref-1_1926150099-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041">  виконується нерівність

<img width=«129» height=«24» src=«ref-1_1926150848-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042">.

Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму функції <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1926149942-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043">, а значення функції в екстремальних точках – її екстремальними значеннями.

         Необхідну ознаку локального екстремуму дає така теорема:

Теорема 1.Якщо функція <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1926149942-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044"> має в точці х0локальний екстремум, то або <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_1926151418-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045">, або <img width=«47» height=«24» src=«ref-1_1926151594-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">не існує.
Проте виявляється, що цього недостатньо, бо може <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_1926151418-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">, а функція<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1926149942-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048"> в цій точці екстремуму не має.
         Точки, в яких функція <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1926149942-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049"> визначена та неперервна, і в цих точках <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1926152227-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050"> або не існує, називаються критичними для функції.

         Проте не в кожній критичній точці функція <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1926149942-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051"> має екстремум. Тому потрібні достатні ознаки існування екстремуму для функції f. Їх дають такі теореми:

Теорема 2.Нехай функція <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1926149942-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">неперервна в деякому інтервалі, який містить критичну точку х0, і диференційована у всіх точках цього інтервалу (за винятком, можливо, самої точки х0).

         Якщо для х
<
х0<img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1926152704-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">, а для   х0
<
x
   <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_1926152867-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054">, то для х=х0функція <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1926149942-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055"> має максимум.

         Якщо для х
<
х0     <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_1926152867-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">, а для   х0
<
x
  <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1926152704-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057"> , то для х=х0функція <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1926149942-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058"> має мінімум.

Теорема 3.Нехай функція <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1926149942-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059"> два рази диференційована в околі точки х0і <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_1926151418-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">. Тоді в точці х=х0функція має локальний максимум, якщо <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1926154001-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061">, і локальний мінімум,  якщо <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1926154167-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062">.

         Якщо ж
<img width=«75» height=«24» src=«ref-1_1926154335-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063">
, то точка х=х0може й не бути точкою екстремуму.

Звідси випливає такий план знаходження екстремальних точок:

1.     знаходять критичні точки функції <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1926149942-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064"> , тобто точки, в яких <img width=«72» height=«25» src=«ref-1_1926154668-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">, або <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_1926154834-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066"> не існує;

2.     знаходять другу похідну <img width=«43» height=«21» src=«ref-1_1926154966-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">і обчислюють значення другої похідної в цих точках.

Якщо значення другої похідної в критичній точці від’ємне, то така точка є точкою максимуму, а якщо значення другої похідної додатне, то точка є точкою мінімуму.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Якщо <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1926155101-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068"> в критичній точці, то нічого конкретного сказати не можна, бо в цій точці може бути екстремум, а може й не бути.
         Розглянемо тепер дослідження функції на екстремум на конкретних прикладах.

Приклад 1. Дослідити на екстремум функцію

<img width=«185» height=«24» src=«ref-1_1926155267-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">

Розв’язання.Функція <img width=«185» height=«24» src=«ref-1_1926155267-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">визначена і диференційована на R. Знайдемо її похідну:

<img width=«157» height=«24» src=«ref-1_1926155907-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">.

Знайдемо нулі похідної:

х2+х-2=0,   х1=-2   х2=1.

Отже, функція fмає дві критичні точки х1=-2, х2=1.

Оскільки похідна є квадратним тричленом з додатним коефіцієнтом при х2, то на інтервалах <img width=«103» height=«23» src=«ref-1_1926156193-352.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">   <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1926152704-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">, а на інтервалі (-2;1) <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_1926152867-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">.

Похідна неперервна на Rі при переході через критичну точку змінює знак на протилежний.

         Оскільки при переході через критичну точку х=-2 похідна змінює знак з плюса на мінус, то в цій точці функція має локальний максимум.

<img width=«267» height=«24» src=«ref-1_1926156870-410.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">.

При переході через точку х=1 похідна змінює знак з мінуса на плюс. Тому в цій точці функція f
має локальний мінімум.

<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1926157280-73.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1076">  <img width=«245» height=«23» src=«ref-1_1926157353-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">.

Приклад 2.Дослідити на екстремум функцію


<img width=«121» height=«48» src=«ref-1_1926157733-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">

Розв’язання.Функція <img width=«121» height=«48» src=«ref-1_1926157733-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079"> визначена. Знайдемо її похідну:

<img width=«341» height=«72» src=«ref-1_1926158411-952.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">.

Критична точка х=9. при переході через цю точку похідна змінює знак з мінуса на плюс. Отже, в цій точці функція f
 має локальний мінімум:

<img width=«252» height=«47» src=«ref-1_1926159363-561.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">.

Крім того, похідна дорівнює нулю в точці х=0. оскільки справа від цієї точки(до х<6) функція не визначена, то в точці х=0 функція набуває найменшого значення <img width=«60» height=«21» src=«ref-1_1926159924-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">.
Приклад 3.Дослідити на екстремум функцію

<img width=«116» height=«24» src=«ref-1_1926160083-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">.

Розв’язання. Функція <img width=«116» height=«24» src=«ref-1_1926160083-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">визначена і диференційована на R. Її похідна

<img width=«384» height=«24» src=«ref-1_1926160559-529.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">

дорівнює нулю при <img width=«52» height=«41» src=«ref-1_1926161088-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">.

         Ця критична точка розбиває числову пряму на два інтервали знакосталості похідної <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_1926154834-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087"> :

<img width=«96» height=«23» src=«ref-1_1926161379-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088"><img width=«139» height=«45» src=«ref-1_1926161452-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">.

         Оскільки на інтервалі <img width=«69» height=«45» src=«ref-1_1926161855-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">  <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_1926152867-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">, то функція f  в точці <img width=«52» height=«41» src=«ref-1_1926161088-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092"> має локальний максимум.

         Його значення <img width=«155» height=«41» src=«ref-1_1926162418-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">
1.3. Зростання та спадання функції

Дослідження функції на зростання та спадання ґрунтується на теоремі математичного аналізу.

Теорема.Нехай функція неперервна на проміжку <a
, б> і диференційована в інтервалі (а, б).для того, щоб функція
f
була зростаючою(спадною) на проміжку <
a
, б>, необхідно і достатньо виконання двох умов:

1.     <img width=«131» height=«23» src=«ref-1_1926162772-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094"> <img width=«72» height=«21» src=«ref-1_1926163153-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">

2.     рівність <img width=«63» height=«21» src=«ref-1_1926163335-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">не повинна виконуватися ні в жодному інтервалі, що міститься в  <
a
, б>.

Як наслідок цієї теореми можна використовувати таку теорему (достатня ознака строгої монотонності):

         Теорема. Нехай функція f
неперервна на проміжку <
a
, б> і диференційована в інтервалі (а, б). Якщо <img width=«71» height=«21» src=«ref-1_1926163497-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">  <img width=«127» height=«21» src=«ref-1_1926163674-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">, то 
f
зростає(спадає) на <
a
, б>.

         Тому для знаходження проміжків зростання та спадання диференційованої функції <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1926163927-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">діють у такий спосіб:

1.     Знаходять:

       а)область визначення функції <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1926163927-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">, якщо вона наперед не задана;

       б)похідну<img width=«40» height=«21» src=«ref-1_1926154834-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">даної функції<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1926163927-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">;

       в)точки, в яких похідна дорівнює нулю, для чого розв’язують рівняння<img width=«63» height=«21» src=«ref-1_1926163335-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">, а також точки, в яких функція визначена, але похідна <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_1926154834-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104"> не існує, їх називають критичними точками.

2.     Визначають знак похідної <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_1926154834-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">на конкретному інтервалі, достатньо обчислити її значення для будь-якого значення аргументу, що належить цьому інтервалу.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Приклади
Приклад 1. Знайти проміжки зростання та спадання функції

<img width=«179» height=«41» src=«ref-1_1926164764-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">

Розв’язання. Функція визначена і диференційована на множені R.

Знайдемо її похідну

<img width=«135» height=«24» src=«ref-1_1926165141-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">.

Нулями похідної є х1=1, х2=<img width=«27» height=«41» src=«ref-1_1926165386-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">.

Оскільки похідна неперервна, то вона зберігає знак на інтервалах <img width=«165» height=«45» src=«ref-1_1926165514-561.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">. Оскільки похідна задана квадратним тричленом з додатним коефіцієнтом при х2, то вона набуває додатних значень поза коренями, тобто<img width=«63» height=«21» src=«ref-1_1926166075-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110"> на інтервалах <img width=«112» height=«45» src=«ref-1_1926166236-428.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111"> і від’ємних між коренями, тобто <img width=«63» height=«21» src=«ref-1_1926166664-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112"> на інтервалі <img width=«52» height=«45» src=«ref-1_1926166827-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">.

Отже, на інтервалах<img width=«112» height=«45» src=«ref-1_1926166236-428.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114"> функція fзростає, а на інтервалі <img width=«52» height=«45» src=«ref-1_1926166827-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">– спадає.

Приклад 2. Довести, що функція

<img width=«207» height=«36» src=«ref-1_1926167673-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">

спадає на R.

Розв’язання. Дана функція визначена і диференційована на R.

Знайдемо похідну

<img width=«196» height=«45» src=«ref-1_1926168080-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">.

Оскільки для <img width=«49» height=«19» src=«ref-1_1926168502-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">  <img width=«63» height=«21» src=«ref-1_1926166664-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">, то дана функція fспадає на R.
1.4. Найбільше та найменше значення функції
Нехай дано функцію<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1926149942-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">, яка неперервна на відрізку [a;b], диференційована в інтервалі (a;b), за винятком можливо скінченого числа точок, де вона не існує. Необхідно ж знайти найбільше та найменше значення функції на цьому відрізку. А як відомо з математичного аналізу, функція, яка неперервна на відрізку, набуває на ньому свого найбільшого і найменшого значення.

Чим викликана необхідність знаходження найбільшого і найменшого значення функції на відрізку?

Справа в тому, що в практичних задачах, де процес, явище, закон, величина описуються певною функцією, зміст самої задачі накладає певні обмеження на аргумент, тобто аргумент має певні межі.

         Так, наприклад, кут трикутника може змінюватися лише від 0 до П, швидкість тіла доводиться розглядати в проміжку часу від t0 до t1та інше. Тому й необхідно досліджувати поведінку функції на конкретному проміжку [a;b] або на його кінцях, то чинять так:

1.     знаходять критичні точки в інтервалі (a;b) (точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує), обчислюють значення функції в цих точках;

2.     знаходять значення функції на кінцях відрізка, тобто<img width=«72» height=«21» src=«ref-1_1926168957-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">;

3.     серед усіх значень вибирають найбільше і найменше значення.

У випадку, коли функція монотонна на відрізку [a;b], то найбільшого і найменшого значення вона досягає на кінцях відрізка. У цьому випадку обмежуємось обчисленням значень <img width=«72» height=«21» src=«ref-1_1926168957-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">.

По-іншому складається ситуація, якщо необхідно знайти найбільше та найменше значення функції, неперервної в інтервалі (a;b).

Зрозуміло, що функція у цьому випадку не може досягати найбільшого і найменшого значення на кінцях інтервалу. Наприклад, функція <img width=«123» height=«24» src=«ref-1_1926169319-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123"> в інтервалі (3;6) не має ні найбільшого, ні найменшого значення у внутрішніх точках інтервалу. У цьому випадку чинять так:

       1. знаходять критичні точки, що належать цьому інтервалу, і обчислюють значення функції в цих точках;

       2. знаходять ліву та праву границі відповідно в точках а і б, тобто <img width=«139» height=«33» src=«ref-1_1926169554-527.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">. Якщо ці границі існують, то їх порівнюють із значеннями функції в критичних точках. Якщо виявиться, що значення в критичних точках більші(менші) за знайдені границі, то це і буде найбільшим(найменшим) значенням функції на інтервалі.

Приклади.

Приклад 1. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [a;b]

<img width=«119» height=«41» src=«ref-1_1926170081-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">

Розв’язання. На даному відрізку функція визначена і неперервна, диференційована в інтервалі(-2;2). Знайдемо похідну, критичні точки:

<img width=«188» height=«45» src=«ref-1_1926170362-405.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">

<img width=«119» height=«24» src=«ref-1_1926170767-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">   х=0

знайдемо значення функції в критичній точці і на кінцях відрізка:

<img width=«203» height=«41» src=«ref-1_1926171003-447.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">

Отже,

<img width=«156» height=«45» src=«ref-1_1926171450-534.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">  <img width=«211» height=«47» src=«ref-1_1926171984-676.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">.

Приклад 2. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [a;b]

<img width=«119» height=«41» src=«ref-1_1926172660-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">

Розв’язання. Функція визначена і неперервна на відрізку <img width=«39» height=«23» src=«ref-1_1926172944-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">, диференційна в інтервалі (-1;1). Тому вона набуває на даному відрізку найбільшого і найменшого значення. Знайдемо критичні точки даної функції. Для цього знайдемо похідну

<img width=«104» height=«24» src=«ref-1_1926173082-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">

і прирівняємо її до нуля:

х4+8х=0;  х=0;  х=-2.

Отже, на інтервалі (-1;1)функція має лише одну критичну точку х=0. знайдемо значення функції в цій точці <img width=«60» height=«21» src=«ref-1_1926173302-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">.

Обчислимо значення функції на кінцях відрізка

<img width=«141» height=«41» src=«ref-1_1926173460-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">,        <img width=«120» height=«41» src=«ref-1_1926173770-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">.

Отже,

<img width=«148» height=«36» src=«ref-1_1926174063-490.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">,      <img width=«160» height=«45» src=«ref-1_1926174553-583.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">

Відповідь:<img width=«148» height=«36» src=«ref-1_1926174063-490.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">,<img width=«160» height=«45» src=«ref-1_1926174553-583.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">

1.5. Означення дотичної, піддотичної, нормалі

Нехай функція y=f(x) диференційована в точці х0. рівняння дотичної до графіка функції y=f(x) в цій точці має такий вигляд:

<img width=«176» height=«24» src=«ref-1_1926176209-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">,

де х і у – біжучі координати дотичної, f‘(x)=k– кутовий коефіцієнт дотичної, який дорівнює значенню похідної в точці х0, тобто тангенс кута нахилу дотичної до доданого напрямку осі абсцис.

<img width=«338» height=«240» src=«ref-1_1926176508-8238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">

         Відрізок АВ, що міститься між абсцисою точки дотику і точкою перетину дотичної з віссю абсцис, називають під дотичною. Її довжина дорівнює |х0-х1|.

         Пряма МС, перпендикулярна до дотичної в точці її дотику М до графіка функції у=f(x),називається нормаллю.

         Рівняння нормалі записують у вигляді:

<img width=«184» height=«44» src=«ref-1_1926184746-389.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">

якщо f‘(x)<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1926185135-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">0(в противному разі рівняння нормалі х-х0=0).

         На цей матеріал можна скласти ряд задач. Розглянемо деякі з них.

1. Дано абсцису точки дотику х0графіка функції у=f(x), а необхідно записати рівняння дотичної, що проходить через точку з цією абсцисою.

Для цього знаходимо похідну функції у=f(x), її значення в точці х0, тобто <img width=«104» height=«24» src=«ref-1_1926185220-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">, та значення функції в точці х0, тобто <img width=«96» height=«24» src=«ref-1_1926185442-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">. Цих даних достатньо, щоб записати рівняння дотичної <img width=«176» height=«24» src=«ref-1_1926185655-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">.

2. Який кут утворює дотична з додатним напрямком осі абсцис, якщо відома абсциса точки дотику х0?

         Оскільки кутовий коефіцієнт дотичної <img width=«113» height=«24» src=«ref-1_1926185961-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">, то <img width=«105» height=«24» src=«ref-1_1926186191-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">.

         Таким чином, задача зводиться до знаходження похідної функції у=f(x), тобто y’=f‘(x), і обчислення її значення в точці х0.

         3. Знайти гострий кут між дотичними, проведеними до графіків функцій <img width=«123» height=«21» src=«ref-1_1926186419-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">, що мають спільну абсцису х0:

<img width=«155» height=«24» src=«ref-1_1926186660-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">

<img width=«99» height=«51» src=«ref-1_1926186947-375.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">,       <img width=«121» height=«51» src=«ref-1_1926187322-417.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">.

         4. Знайти довжину дотичної до графіка функції у=f(x), абсциса точки дотику якої дорівнює х0.

         Довжиною дотичної прийнято називати відстань між точкою дотику до графіка функції і точкою її перетину з віссю абсцис.

         У цьому випадку знаходимо

<img width=«268» height=«24» src=«ref-1_1926187739-438.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">

і скористаємося формулою

<img width=«331» height=«59» src=«ref-1_1926188177-975.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">
Приклади:

Приклад 1. Знайти рівняння дотичної до графіка функції

<img width=«99» height=«21» src=«ref-1_1926189152-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">

в точці з абсцисою х0=3.

Розв’язання. Знайдемо похідну функції, значення функції та її похідної в точці х0:

<img width=«252» height=«41» src=«ref-1_1926189355-504.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">

скориставшись рівнянням дотичної

<img width=«176» height=«24» src=«ref-1_1926185655-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">,

матимемо

<img width=«144» height=«41» src=«ref-1_1926190165-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">

Звідси <img width=«109» height=«41» src=«ref-1_1926190488-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">.

Відповідь:<img width=«109» height=«41» src=«ref-1_1926190488-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">.

Приклад 2. Який кут з віссю абсцис утворює дотична до параболи y=x2-4x+8 в точці (3;5)?

Розв’язання.Безпосередньо підстановкою координат заданої точки в рівняння параболи переконуємося, що вона їй належить.

Знайдемо похідну y’=2x-4.

Тоді <img width=«165» height=«24» src=«ref-1_1926191004-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">. Звідси <img width=«76» height=«21» src=«ref-1_1926191268-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">

Відповідь:<img width=«76» height=«21» src=«ref-1_1926191268-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">

Приклад 3. Дотична до графіка функції

<img width=«101» height=«24» src=«ref-1_1926191624-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">

нахилена до осі абсцис під кутом <img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1926191822-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">. Знайти координати точки дотику.

Розв’язання.Знайдемо похідну функції<img width=«101» height=«24» src=«ref-1_1926191624-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">:

<img width=«71» height=«21» src=«ref-1_1926192139-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">.

За умовою y’(x)=tg<img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1926191822-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">=1 маємо

<img width=«123» height=«48» src=«ref-1_1926192415-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">

отже, дотична до параболи проходить через точку А(2;2).

Відповідь: А(2;2).


Розділ 2

Застосування похідної
    продолжение
--PAGE_BREAK--2.1. Правила диференціювання
Теорема: Якщо функції u(x) і n(x) мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), то

(u(x)
±(x))’ = u’(x)
±
n’(x)

 

для любого х є (a; b). Коротше,

(u
±
n)’ = u
±
n’

Доведення: Суму функцій u(x)+n(x), де х є (a; b), яка представляє собою нову функцію, позначимо через f(x) і знайдемо похідну цієї функції,

Нехай х0– деяка точка інтервалу  (a; b).
 Тоді           <img width=«479» height=«108» src=«ref-1_1926192780-2933.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171"> <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1926195713-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">
Також, <img width=«179» height=«25» src=«ref-1_1926195786-559.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">

Так як

х0– допустима точка інтервалу (a; b), то маємо:

<img width=«275» height=«24» src=«ref-1_1926196345-878.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">

Випадок добутку розглядається аналогічно. Теорема доведена.

Наприклад,

а) <img width=«265» height=«27» src=«ref-1_1926197223-756.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">

б) <img width=«281» height=«49» src=«ref-1_1926197979-934.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">

в) <img width=«303» height=«27» src=«ref-1_1926198913-868.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">

Зауваження. Методом математичної індукції доводиться справедливість формули (u1(x) + u2 (x) +… кінцевого числа складених.

Теорема. Якщо функції u(x) і n
(x) мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), то

<img width=«253» height=«24» src=«ref-1_1926199781-854.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">

для любого х є (a; b).  Коротше,

<img width=«128» height=«24» src=«ref-1_1926200635-454.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">

Доведення. Позначимо похідні <img width=«71» height=«24» src=«ref-1_1926201089-371.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">через <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_1926201460-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181"> х є (a; b), і найдемо похідну цієї функції, виходячи із визначення.

Нехай х0– деяка точка інтервалу (a; b).  Тоді
<img width=«211» height=«105» src=«ref-1_1926201727-1549.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">

Навіть так як

<img width=«332» height=«55» src=«ref-1_1926203276-1572.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">

то

<img width=«96» height=«32» src=«ref-1_1926204848-436.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184"><img width=«293» height=«52» src=«ref-1_1926205284-1166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">
<img width=«257» height=«25» src=«ref-1_1926206450-769.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">

 

Так як х0– вільна точка інтервалу (a; b), то маємо

<img width=«323» height=«24» src=«ref-1_1926207219-1052.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">

Теорема доведена.

Приклад,

а)   <img width=«365» height=«52» src=«ref-1_1926208271-1700.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188"><img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1926195713-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189"><img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1926195713-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">
б) <img width=«315» height=«27» src=«ref-1_1926210117-951.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">

     <img width=«244» height=«27» src=«ref-1_1926211068-688.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">
в) <img width=«333» height=«81» src=«ref-1_1926211756-2067.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">
Наслідок. Постійний множник можна виносити за знак похідної:

<img width=«129» height=«24» src=«ref-1_1926213823-505.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">

Доведення. Застосувавши множник можна виносити за знак теорему про похідну де а – число, отримаємо

<img width=«399» height=«24» src=«ref-1_1926214328-1125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">

Приклади.

а) <img width=«148» height=«49» src=«ref-1_1926215453-671.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">

б) <img width=«343» height=«49» src=«ref-1_1926216124-1210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">

Похідна частки двох функцій .

Теорема. Якщо функції <img width=«77» height=«24» src=«ref-1_1926217334-382.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198"> мають  похідні у всіх точках інтервалу (a; b), причому <img width=«64» height=«24» src=«ref-1_1926217716-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199"> для любого х є (a; b), то

<img width=«233» height=«51» src=«ref-1_1926218060-1152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">

для любого х є (a; b).

<img width=«108» height=«48» src=«ref-1_1926219212-517.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">

Доведення. Позначимо тимчасово <img width=«40» height=«51» src=«ref-1_1926219729-400.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202"> через <img width=«51» height=«24» src=«ref-1_1926220129-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203"> знайдемо <img width=«51» height=«24» src=«ref-1_1926220398-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">використовуючи визначення похідної.

Нехай х0– деяка точка інтервалу (a; b).

Тоді,

<img width=«419» height=«105» src=«ref-1_1926220675-2731.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">
Навіть, так як

<img width=«485» height=«25» src=«ref-1_1926223406-1332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206"> то

<img width=«435» height=«52» src=«ref-1_1926224738-1625.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">

і послідовно

<img width=«256» height=«52» src=«ref-1_1926226363-1071.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">

Так як х0– вільна точка інтервалу (a; b), то в останній формулі х0можна замінити на х. Теорема доведена.

Приклади.

а) <img width=«283» height=«105» src=«ref-1_1926227434-1931.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209"> 
б)  <img width=«256» height=«108» src=«ref-1_1926229365-1803.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">
2.2. Дослідження функції та побудова графіка

Загально відомою є схема дослідження функції для побудови графіка:

1)     знайти область визначення функції та множину її значень;

2)     дослідити функцію на парність та непарність, періодичність;

3)     знайти точки перетину графіка функції з осями системи координат, точки розриву, проміжки знакосталості функції;

4)     дослідити поводження функції біля точок розриву та на нескінченності, знайти якщо вони є, асимптоти графіка;

5)     знайти нулі та точки розриву похідної, інтервали монотонності функції, точки екстремуму та екстремальні значення функції;

6)     знайти нулі та точки розриву другої похідної, інтервали опуклості графіка функції, точки перегину та значення функції в цих точках;

7)     для побудови графіка необхідно знайти достатню кількість контрольних точок, через які він проходить.

Зауважу, що на практиці не завжди є потреба досліджувати функцію за наведеною схемою і в такій саме послідовності.

Так, наприклад, множину значень деяких функцій можна встановити лише після знаходження екстремальних значень функції та її поводження біля точок розриву і на нескінченності.

Можна спочатку знайти нулі функції. Якщо вони розташовані не симетрично відносно нуля, то функція не може бути ні непарною, ні парною, ні періодичною. Такий же висновок можна зробити у випадку, коли функція має область визначення не симетричну відносно нуля, то, зрозуміло, що з такого факту ми не можемо робити висновок про парність або непарність. Проте, якщо нулі функції симетричні відносно нуля, але їх число скінчене, то вона не є періодичною.

Не може бути функція ні парною, ні непарною, ні періодичною, якщо нулі першої або другої похідних розміщені несиметрично відносно нуля.

Аналогічно можна зробити висновок і з несиметричного розміщення точок розриву.

Для складних функцій <img width=«83» height=«21» src=«ref-1_1926231168-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211"> можна керуватися такими простими твердженнями:

1.     якщо функція <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1926231364-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212"> парна, то складна функція також парна;

2.     якщо функція <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1926231521-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213"> і <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1926231364-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214"> непарні, то складна функція непарна;

3.     якщо <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1926231364-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215"> непарна, а функція<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1926149942-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216"> парна, то складна функція парна;

4.     якщо функція <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1926231364-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217"> періодична, то і складна функція <img width=«83» height=«21» src=«ref-1_1926231168-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218"> періодична, причому її період може бути меншим за період функції <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1926231364-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">, але не більшим; їх періоди збігаються, якщо функція fстрого монотонна.

Зручно користуватися такими твердженнями:

1.     сума скінченого числа парних (непарних) функцій є парною (непарною) функцією;

2.     добуток парних функцій є парною функцією;

3.     добуток непарних функцій є парною функцією, якщо число функцій-множників – парне число, і непарною, якщо число функцій-множників непарне;

4.     добуток(частка) парної і непарної функції є функцією непарною.

          Дослідимо  функції та побудуємо їх графіки.

Приклад 1.Побудувати графік функції

<img width=«95» height=«44» src=«ref-1_1926232656-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">

Розв’язання.

1)    Область визначення функції f  :


Х=<img width=«59» height=«23» src=«ref-1_1926232932-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221"><img width=«17» height=«13» src=«ref-1_1926233170-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222"><img width=«47» height=«23» src=«ref-1_1926233258-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223"><img width=«17» height=«13» src=«ref-1_1926233170-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224"><img width=«47» height=«23» src=«ref-1_1926233568-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">.

2)     Функція парна. Тому її графік симетричний відносно осі ординат.

3)     Функція не є періодичною. Це випливає навіть з того, що вона невизначена лише у двох точках.

4)     Графік функції перетинає вісь ординат у точці (0;1). Нулі функції відсутні. Отже, графік функції не перетинає вісь абсцис.

5)     Дослідимо функцію на монотонність та критичні точки. Для цього знайдемо похідну

<img width=«284» height=«51» src=«ref-1_1926233802-975.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">

<img width=«88» height=«48» src=«ref-1_1926234777-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">;

х=0–критична точка.

Для <img width=«25» height=«15» src=«ref-1_1926235157-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228"><img width=«59» height=«23» src=«ref-1_1926232932-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229"><img width=«17» height=«13» src=«ref-1_1926233170-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230"><img width=«47» height=«23» src=«ref-1_1926235580-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231"> <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1926152704-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">. Отже, на цих проміжках функція зростає. Оскільки функція парна, то на проміжках <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_1926235970-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233"><img width=«17» height=«13» src=«ref-1_1926233170-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234"><img width=«47» height=«23» src=«ref-1_1926233568-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235"> вона спадає. Тоді точка х=0 є точкою локального максимуму. Знайдемо його значення

<img width=«68» height=«21» src=«ref-1_1926236505-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">.

6)Дослідимо функцію на опуклість та точки перегину:

<img width=«379» height=«56» src=«ref-1_1926236668-1147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">

<img width=«197» height=«51» src=«ref-1_1926237815-676.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">.

         На проміжках <img width=«59» height=«23» src=«ref-1_1926232932-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239"><img width=«17» height=«13» src=«ref-1_1926233170-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240"><img width=«47» height=«23» src=«ref-1_1926233568-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">  <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1926154167-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">. Отже, графік функції опуклий вниз. На проміжку <img width=«47» height=«23» src=«ref-1_1926233258-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">  <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1926154001-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">, а тому графік функції опуклий вгору.

         Точки перегину відсутні.

7)Оскільки <img width=«103» height=«45» src=«ref-1_1926239607-427.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">, то пряма у=1 є горизонтальною асимптотою для графіка функції.

       Дослідимо поведінку функції біля точок х=2, х=-2:

<img width=«119» height=«45» src=«ref-1_1926240034-454.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">,   <img width=«119» height=«45» src=«ref-1_1926240488-452.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">.

         Отже, в точці х=2 функція має розрив другого роду, а пряма х=2 є вертикальною асимптотою. Враховуючи парність функції, робимо висновки, що пряма х=-2 також є вертикальною асимптотою.
<img width=«372» height=«283» src=«ref-1_1926240940-9738.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">.

Приклад 2.Побудувати графік функції:

<img width=«141» height=«21» src=«ref-1_1926250678-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249">

Розв’язання.

1.     Область визначення функції  f  :

            <img width=«113» height=«21» src=«ref-1_1926250933-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">.

2.     Функція не належить ні до парних, ні до непарних. Це безпосередньо випливає з того, що область її визначення несиметрична відносно нуля.

3.     Період функції <img width=«51» height=«19» src=«ref-1_1926251164-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">. Тому дослідження функції достатньо спочатку провести на проміжку <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_1926251298-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">. Крім того, враховуючи, що  <img width=«115» height=«21» src=«ref-1_1926251433-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">, робимо висновок про симетричність графіка відносно прямої <img width=«43» height=«41» src=«ref-1_1926251648-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254"> на проміжку <img width=«37» height=«23» src=«ref-1_1926251800-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255">. Тому можна обмежитися дослідженням функції на проміжку <img width=«47» height=«45» src=«ref-1_1926251945-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">.

4.     Дослідимо функцію на монотонність та критичні точки на проміжку <img width=«47» height=«45» src=«ref-1_1926251945-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257">. Для цього знайдемо її похідну

<img width=«253» height=«45» src=«ref-1_1926252365-552.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258">.

Для <img width=«25» height=«15» src=«ref-1_1926235157-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259"><img width=«47» height=«45» src=«ref-1_1926251945-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260"> <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_1926152867-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261">. Тому функція на цьому проміжку спадає. Тоді на проміжку <img width=«51» height=«45» src=«ref-1_1926253386-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262"> вона зростає, а в точці  <img width=«43» height=«41» src=«ref-1_1926251648-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">має мінімум, який дорівнює 1.

Враховуючи періодичність функції, робимо висновок, що вона на проміжках<img width=«103» height=«45» src=«ref-1_1926253753-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264"> і зростає на проміжках <img width=«128» height=«45» src=«ref-1_1926254070-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">, <img width=«41» height=«19» src=«ref-1_1926254431-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266">. В точках <img width=«83» height=«41» src=«ref-1_1926254552-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267"> набуває мінімального значення, яке дорівнює 1.

5.     Дослідимо функцію на опуклість  на проміжку <img width=«47» height=«45» src=«ref-1_1926251945-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">:

<img width=«155» height=«41» src=«ref-1_1926254985-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">.

Звідси безпосередньо випливає, що для <img width=«81» height=«45» src=«ref-1_1926255317-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">  <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1926154167-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">. Отже, графік функції опуклий вниз. Тоді і на проміжку <img width=«51» height=«45» src=«ref-1_1926253386-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272"> він опуклий вниз. Таким чином, на проміжках  <img width=«93» height=«23» src=«ref-1_1926255984-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273"> графік функції опуклий вниз.

6.     Визначимо поведінку функції біля нуля справа і біля <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1926256304-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274"> зліва:

<img width=«173» height=«33» src=«ref-1_1926256393-533.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">

<img width=«173» height=«33» src=«ref-1_1926256926-525.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">.

          Отже, прямі х=0, х=<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1926256304-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277"> – вертикальні асимптоти. Тоді і прямі х=<img width=«21» height=«19» src=«ref-1_1926257540-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">,<img width=«41» height=«19» src=«ref-1_1926254431-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279"> – вертикальні асимптоти.

<img width=«296» height=«180» src=«ref-1_1926257764-5889.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280">
2.3. Застосування похідної для розв’язування рівнянь

Похідна в окремих випадках може бути застосована до розв’язування рівнянь, а саме: для встановлення кількості коренів або їх відсутності, для їх знаходження.

Так, наприклад, якщо маємо рівняння <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1926263653-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">, де <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1926163927-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282"> – зростаюча або спадна функція, то, зрозуміло, що рівняння не може мати більше одного кореня, причому можна  з впевненістю сказати, що він буде, якщо а належить множині значень функції <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1926163927-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">. А для визначення строгої монотонності застосовується похідна.

Використовують і такий факт: якщо многочлен k-го степеня має kдійсних коренів, то його похідна має їх k–1 .

Розглянемо застосування похідної до розв’язування рівнянь на конкретних прикладах.
    продолжение
--PAGE_BREAK--