Реферат: Степенные ряды

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Степенные ряды

Содержание

1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля

2. Свойства степенных рядов

3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций

4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена

5. Приложения степенных рядов

1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля

Степенные ряды являются частным случаем функциональных рядов.

Определение 1.1. Степенным рядомназывается функциональный ряд вида />.(1.1)

Здесь /> – постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами степенного ряда; а – некоторое постоянное число, х – переменная, принимающая значения из множества действительных чисел.

При /> степенной ряд (1.1) принимает вид

/>. (1.2)

Степенной ряд (1.1) называют рядом по степеням разности />, ряд (1.2) – рядом по степеням х.

Если переменной х придать какое-либо значение, то степенной ряд (1.1) (или (1.2)) превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться.

Определение 1.2. Областью сходимости степенного ряданазывается множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится.

Ряд (1.1) с помощью подстановки /> приводится к более простому виду (1.2), поэтому вначале будем рассматривать степенные ряды вида (1.2).

Для нахождения области сходимости степенного ряда важную роль играет следующая теорема.

Теорема 1.1 (Теорема Абеля):

если степенной ряд (1.2) сходится при />, то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству />; если же ряд (1.2) расходится при />, то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству />.

Теорема Абеля дает ясное представление о структуре области сходимости степенного ряда.

Теорема 1.2:

область сходимости степенного ряда (1.2) совпадает с одним из следующих интервалов:

1) />; 2) />; 3) />; 4) />,

где R– некоторое неотрицательное действительное число или />.

Число R называется радиусом сходимости, интервал /> – интервалом сходимости степенного ряда (1.2).

Если />, то интервал сходимости представляет собой всю числовую ось />.

Если />, то интервал сходимости вырождается в точку />.

Замечание: если /> – интервал сходимости для степенного ряда (1.2), то /> – интервал сходимости для степенного ряда (1.1).

Из теоремы 1.2 следует, что для практического нахождения области сходимости степенного ряда (1.2) достаточно найти его радиус сходимости R и выяснить вопрос о сходимости этого ряда на концах интервала сходимости />, т. е. при /> и />.

Радиус сходимости R степенного ряда можно найти по одной из следующих формул:

формула Даламбера:

/>;(1.3)

формула Коши:

/>.(1.4)

Если в формуле Коши />, то полагают />, если />, то полагают />.

Пример 1.1. Найти радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда />.

Решение

Найдем радиус сходимости данного ряда по формуле

/>

В нашем случае

/>, />.

Тогда />.

Следовательно, интервал сходимости данного ряда имеет вид />.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При /> степенной ряд превращается в числовой ряд

/> .

который расходится как гармонический ряд.

При /> степенной ряд превращается в числовой ряд

/> .

Это – знакочередующийся ряд, члены которого убывают по абсолютной величине и />. Следовательно, по признаку Лейбница этот числовой ряд сходится.

Таким образом, промежуток /> – область сходимости данного степенного ряда.

2. Свойства степенных рядов

Степенной ряд (1.2) представляет собой функцию />, определенную в интервале сходимости />, т. е.

/>.

Приведем несколько свойств функции />.

Свойство 1. Функция />является непрерывной на любом отрезке />, принадлежащем интервалу сходимости />.

Свойство 2. Функция />дифференцируема на интервале />, и ее производная />может быть найдена почленным дифференцированием ряда (1.2), т. е.

/>

/>,

для всех />.

Свойство 3. Неопределенный интеграл от функции />для всех />может быть получен почленным интегрированием ряда (1.2), т. е.

--PAGE_BREAK--

/>

/>

для всех />.

Следует отметить, что при почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости R не меняется, однако его сходимость на концах интервала />может измениться.

Приведенные свойства справедливы также и для степенных рядов (1.1).

Пример 2.1. Рассмотрим степенной ряд

/>.

Область сходимости этого ряда, как показано в примере 1.1, есть промежуток />.

Почленно продифференцируем этот ряд:

/>

/>.(2.1)

По свойству 2 интервал сходимости полученного степенного ряда (2.1) есть интервал />.

Исследуем поведение этого ряда на концах интервала сходимости, т. е. при /> и при />.

При /> степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд

/> .

Этот числовой ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости />: />, который не существует.

При /> степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд

/> ,

который также расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости.

Следовательно, область сходимости степенного ряда, полученного при почленном дифференцировании исходного степенного ряда, изменилась и совпадает с интервалом />.

3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций

Пусть /> – дифференцируемая бесконечное число раз функция в окрестности точки />, т. е. имеет производные любых порядков.

Определение 3.1. Рядом Тейлорафункции />в точке />называется степенной ряд

/>

/>. (3.1)

В частном случае при /> ряд (3.1) называется рядом Маклорена:

/>. (3.2)

Возникает вопрос: в каких случаях ряд Тейлора для дифференцированной бесконечное число раз функции /> в окрестности точки /> совпадает с функцией />?

Возможны случаи, когда ряд Тейлора функции /> сходится, однако его сумма не равна />.

Приведем достаточное условие сходимости ряда Тейлора функции /> к этой функции.

Теорема 3.1:

если в интервале />функция />имеет производные любого порядка и все они по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом, т. е. />, то ряд Тейлора этой функции сходится к />для любого х из этого интервала />, т. е. имеет место равенство

/>.

Для выяснения выполнения этого равенства на концах интервала сходимости требуются отдельные исследования.

Следует отметить, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора (Маклорена) этой функции, причем это разложение единственно.

4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена

1. />. Для этой функции />, /> .

По формуле (3.2) составим ряд Маклорена данной функции:

/>. (3.3)

Найдем радиус сходимости ряда (3.3) по формуле (1.3):

/>.

Следовательно, ряд (3.3) сходится при любом значении />.

Все производные функции /> на любом отрезке /> ограничены, т. е.

/>.

Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение

/>. (3.4)

2. />. Для этой функции />, />, /> .

Отсюда следует, что при /> производные четного порядка равны нулю, а производные нечетного порядка чередуют знак с плюса на минус.

По формуле (3.2) составим ряд Маклорена:

/> .

При любом фиксированном значении этот ряд сходится как знакочередующийся по признаку Лейбница. При этом

/>/>/>.

Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение

/>. (3.5)

3. />. Воспользуемся разложением (3.5) в ряд Маклорена функции /> и свойством 2 о дифференцировании степенного ряда. Имеем

/>

/>

/>.

(3.6)

Поскольку при почленном дифференцировании интервал сходимости степенного ряда не изменяется, то разложение (3.6) имеет место при любом />.

Приведем без доказательства разложения других элементарных функций в ряды Маклорена.

4. />

/> – биномиальный ряд (/> – любое действительное число).

Если /> – положительное целое число, то получаембином Ньютона:

/>.

/> – логарифмический ряд.

/>.

5. Приложения степенных рядов

Степенные ряды находят применение в таких задачах, как приближенное вычисление функций с заданной степенью точности, определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений и др.

Приближенное значение функции вычисляют, заменяя ряд Маклорена этой функции конечным числом его членов.

Приведем приближенные формулы для вычисления некоторых наиболее часто встречающихся функций при достаточно малых значениях х:

/>; />; />; />;

/>; />.

Литература

1. Высшая математика: Общий курс: Учебник – 2-е изд., перераб. / А.И. Яблонский, А.В. Кузнецов, Е.И. Шилкина и др.; Под общ. ред. С.А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000.– 351 с.

/>2. Марков Л.Н., Размыслович Г.П. Высшая математика. Ч. 2. Основы математического анализа и элементы дифференциальных уравнений. – Мн.: Амалфея, 2003. – 352 с.