Реферат: Линейное и динамическое программирование
--PAGE_BREAK--Таблица N 3C
B
H
48
30
29
10
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
29
х3
24
-1/7
1
6/7
2/7
-1/7
x6
4
13/7
13/7
-4/21
1
-5/21
48
х1
34
1
6/7
-1/7
-1/21
4/21
2328
7
8
6
5
Оптимальное решение (производственная программа): Xоpt=(34; 0; 22; 0); максимум целевой функции равен 2328.
Значение переменной с номером iбольшим 4-х есть остаток (i-4)-roресурса. 'Гак как все оценочные коэффициенты неотрицательны, то получено оптимальное решение: базисные переменные равны свободным членам, остальные равны 0.
Следует обратить внимание на экономический смысл элементов последней строки последней симплексной таблицы. Например, коэффициент Δ2=7 при переменной х2 показывает, что если произвести одну единицу продукции второго вида (она не входит в оптимальную производственную программу), то прибыль уменьшится на 7 единиц.
Заметим, что в рассматриваемом примере линейной производственной задачи возможна самопроверка результата.
Воспользуемся тем, что в оптимальной производственной программе х2=0, х4=0. Предположим, что вторую и четвертую продукции мы не намеревались выпускать с самого начала. Рассмотрим задачу с оставшимися двумя переменными, сохранив их нумерацию. Математическая модель задачи будет выглядеть следующим образом:
L(x1,x3)=48xl+29x3àmax
3х1+4х3≤198
2х1+ х3 ≤ 96
6х1+ х3≤228
x1≥0, x3≥0
Задачу линейного программирования с двумя переменными можно решить графически. Возьмем на плоскости систему координат: ось OX3направим горизонтально и вправо, ось OХ1 -вертикально и вверх. Каждое ограничение задачи, раз оно линейное нестрогое неравенство, графически изображается полуплоскостью, граничная прямая которой соответствует уже не неравенству, а равенству. Допустимое множество задачи является пересечением всех этих полуплоскостей и есть выпуклый многоугольник. Вторая из двух основных теорем линейного программирования гласит: Если экстремум целевой функции достигается на допустимом множестве, то функция принимает его в какой-то вершине многоугольника-допустимого множества. Исходя из этой теоремы, найти искомый экстремум можно просто перебрав вершины многоугольника и определив ту, в которой значение функции экстремально. Чаще делают по-другому: строят линию уровня целевой функции и двигают ее параллельно в направлении экстремума, стараясь уловить последнюю точку пересечения линии с допустимым множеством.
продолжение
--PAGE_BREAK--Двойственная задача линейного программирования
Задача линейного оптимального планирования — исходная в своей паре симметричных двойственных задач. Вообще же другая задача в двойственной паре строится так:
1)меняется тип экстремума целевой функции (mах на minи наоборот);
2)коэффициенты целевой функции одной задачи становятся свободными членами другой задачи;
3)свободные члены одной задачи становятся коэффициентами целевой функции двойственной задачи;
4)тип неравенств меняется (≤ на ≥ и наоборот);
5) каждый столбец одной задачи порождает строку ограничений другой задачи и наоборот. В матрично-векторном виде обе задачи выглядят так:
исходная задача двойственная задача
L=(c,x)àmax Z=(b,y)àmin
Ax≤b, x≥0 Ya≥c, y≥0,
L(x1,x2,x3,x4)=48xl+30x2+29x3+10x4àmax Z(y1,y2,y3,y4)=198yl+96y2+228y3 àmin
3х1+2х2+4х3+3х4≤198 3y1+2y2+6y3≥48
2х1+3х2+1х3+2х4≤96 2y1+3y2+5y3≥30
6х1+5х2+1х3+0х4≤228 4y1+ y2 + y3≥29
xj≥0, jєN4 3y1+2y2≥10
yj≥0, jєN3
Решение полученной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы двойственности, согласно которой для оптимальных решений X(x1, x2, x3, x4) и Y(y1, y2, y3) пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий:
x1(3y1+2y2+6y3-48)=0y1(3х1+2х2+4х3+3х4)-198=0
x2(2y1+3y2+5y3-30)=0y2(2х1+3х2+1х3+2х4)-96=0
x3(4y1+1y2+1y3-29)=0y3(6х1+5х2+1х3+0х4)-228=0
x4(3y1+2y2+0y3-10)=0
В решении исходной задачи х1>0, х3>0, поэтому
3y1+2y2+6y3-48=0
4y1+1y2+1y3-29=0
Учитывая, что второй ресурс был избыточным и, согласно теореме двойственности его оценка равна нулю – y2=0, то приходим к системе:
3y1+6y3-48=0
4y1+1y3-29=0
из которой следует, что y1=6; y3=5.
Таким образом получили двойственные оценки ресурсов: y1=6; y2=0; y3=5; общая оценка всех ресурсов Z=198y1+228y3=2328.
Заметим, что полученное решение содержалось в последней строке последней симплексной таблицы исходной задачи
продолжение
--PAGE_BREAK--Таблица N 3
C
B
H
48
30
29
10
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
29
х3
24
-1/7
1
6/7
2/7
-1/7
x6
4
13/7
13/7
-4/21
1
-5/21
48
х1
34
1
6/7
-1/7
-1/21
4/21
2328
7
8
6
5
Решение одной из пары двойственных задач можно найти, зная только ответ к другой задаче и пользуясь 2-й теоремой двойственности: если i-eограничение одной из пары двойственных задач на компонентах оптимального решения есть строгое неравенство, то оптимальное значение i-й переменной другой задачи равно 0, или, что то же самое — если оптимальное значение j-й переменной одной задачи строго положительно, то j-eограничение другой из пары двойственных задач на компонентах оптимального решения есть равенство.
Важен экономический смысл двойственных оценок. Двойственная оценка, например, третьего ресурса у3=5 показывает, что добавление одной единицы третьего ресурса обеспечит прирост прибыли на 5 единиц.
Расшивка «узких мест» производства
Таблица N 3
C
B
H
48
30
29
10
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
29
х3
24
-1/7
1
6/7
2/7
-1/7
x6
4
13/7
13/7
-4/21
1
-5/21
48
х1
34
1
6/7
-1/7
-1/21
4/21
2328
7
8
6
5
При выполнении оптимальной производственной программы первый и третий ресурсы используются полностью, тем самым они образуют «узкие места» производства. Будем их заказывать дополнительно. Пусть Т=( t1,t2,t3) — вектор дополнительных объемов ресурсов. Так как мы будем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие H+Q-lТ≥0, где Н — значения базисных переменных в последней симплексной таблице, а Q-1— обращенный базис, который образуют столбцы при балансовых переменных в этой таблице. Задача состоит в том, чтобы найти вектор Т, максимизирующий суммарный прирост прибыли W=6t1+5 t3при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно, ассортимента выпускаемой продукции), предполагая, что можно получить дополнительно не более 1/3 первоначального объема ресурсов каждого вида.
24 2/7 0 -1/7 t1 0
4 + -4/21 1 -5/21 0 ≥ 0
34 -1/21 0 4/21 t3 0
t1 198
0 ≤ 1/3 96
t3 228
t1≥0, t3≥0.
W=6t1+5t3 àmax
-2/7 t1 + 1/7 t3 ≤ 24
4/21 t1 + 5/21 t3 ≤ 4
1/21 t1 — 4/21 t3 ≤ 34
t1≤198/3, t3≤228/3.
t1≥0, t3≥0.
Как видно, после графического решения (График 2) программа расшивки приобретает вид:
t1=21, t2=0, t3=0
продолжение
--PAGE_BREAK--С новым количеством ресурсов: 198+21 219
b' = 96+0 = 96
228+0 228
у предприятия будет новая производственная программа.
Найдем h'=Q-1 b'
5/28 0 -1/7 219 30 àx3
-4/7 1 -1/7 96 = 0 àx6
-3/28 0 2/7 228 33 àx1
Теперь новая производственная программаимеет вид: X'оpt=(33;0;30;). При этом второй ресурс был использован полностью.
219
При наличии ресурсов b' = 96 производство наиболее выгодно, так как
228
достигается maxприбыль с использованием всех ресурсов. Также обратим внимание на то, что производство продукции 1–го вида при заказе дополнительных ресурсов необходимо будет уменьшить на 15 единиц, а производство продукции 3–го вида – увеличить на единицу.
ΔLmax=(Y,t)=6·21=126, где Y=(6;0;5); t(21;0;0)
L'max=ΔLmax+Lmax=126+2328=2454.
Этот результат можно проверить, подставив значения х1и х3в первоначальную целевую функцию: L'max=48xl+30x2+29x3+10x4=31·37+41·21=1147+861=2454.
Транспортная задача
Транспортная задача формулируется следующим образом. Однородный продукт, сосредоточенный в т пунктах производства (хранения) в количествах a1, а2,..., аmединиц, необходимо распределить между п пунктами потребления, которым необходимо соответственно b1, b2,,…,bnединиц. Стоимость перевозки единицы продукта из i-roпункта отправления в j-й пункт назначения равна cijи известна для всех маршрутов. Необходимо составить план перевозок, при котором запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся продуктов в пунктах производства и общие транспортные расходы по доставке продуктов были минимальными.
Обозначим через xijколичество груза, планируемого к перевозке от i-ro поставщика j-му потребителю. При наличии баланса производства и потребления
<img width=«92» height=«47» src=«ref-1_291230306-405.coolpic» v:shapes="_x0000_i1025">
математическая модель транспортной задачи будет выглядеть так:
найти план перевозок
X=(xij),xij³0, iÎNm, jÎNn
минимизирующий общую стоимость всех перевозок
<img width=«105» height=«47» src=«ref-1_291230711-415.coolpic» v:shapes="_x0000_i1026">
при условии, что из любого пункта производства вывозится весь продукт
<img width=«75» height=«47» src=«ref-1_291231126-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1027"> , iÎNm
и любому потребителю доставляется необходимое количество груза
<img width=«75» height=«45» src=«ref-1_291231466-350.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028"> , jÎNn
Для решения транспортной задачи чаще всего применяется метод потенциалов. Пусть исходные данные задачи имеют вид
А(а1, а2, а3)=(40;45;70);В(b1,b2,b3)=(48;30;29;40); 3 6 4 3
С= 2 3 1 3
6 5 1 4
Общий объем производства Sai=40+45+70=155больше, чем требуется всем потребителям Sbj=48+30+29+40=147, т.е. имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом потребления 155-147=8единиц, причем тарифы на перевозку в этот пункт условимся считать равными нулю, помня, что переменные, добавляемые к левым частям неравенств для превращения их в уравнения, входят в функцию цели с нулевыми коэффициентами.
Первое базисное допустимое решение легко построить по правилу «северо-западного угла».
продолжение
--PAGE_BREAK--<img width=«117» height=«50» src=«ref-1_291231816-457.coolpic» v:shapes="_x0000_s1076">Таблица 1
Обозначим черезm(p1, p2,…, pm, q1, q2,…, qn)вектор симплексных множителей или потенциалов. ТогдаDij=mAij-cij , iÎNm, jÎNn,откуда следует
Dij=pi+qj-cij , iÎNm, jÎNn
Положим, что p1=0. Остальные потенциалы находим из условия, что для базисных клеток Dij=. В данном случае получаем
D11=0, p1+q1-c11=0, 0+q1-3=0,q1=3
D21=0, p2+q1-c21=0, p2+3-2=0,p2= -1
D23=0, p2+q3-c23=0, -1+q3-1=0,q3=2
аналогично, получим: q2=4, р3=-1, q4=5, q5=1.
Затем вычисляем оценки всех свободных клеток:
D12=p1+q2-c12=0+4-6= -2
D13=p1+q3-c13=0+2-4=-2
D14=2; D15=1; D24=1; D25=0; D31= -4; D32= -2
Находим наибольшую положительную оценку:
mах(Dij>0)=2=D14,
Для найденной свободной клетки 14строим цикл пересчета — замкнутую ломаную линию, соседние звенья которой взаимно перпендикулярны, сами звенья параллельны строкам и столбцам таблицы, одна из вершин находится в данной свободной клетке, а все остальные — в занятых клетках. Это будет 14-34-33-23-21-11. Производим перераспределение поставок вдоль цикла пересчета:
40
*
40-r
r
33
7
8
30
7
®
8+r
7-r
®
15
30
22
40
22+r
40-r
29
33
rmax=7
Получаем второе базисное допустимое решение:
продолжение
--PAGE_BREAK--Таблица 2 продолжение
--PAGE_BREAK--
Находим новые потенциалы. Новые оценки:
D12= -2; D13= -4; D15= -1; D23= -2; D24= -1; D25= -2; D31= -2; D32=0. Поскольку все Dij£0 решение является оптимальным:
33 0 0 7
Xоpt1 = 15 30 0 0
0 0 29 33
Однако, так как оценка клетки D32=0, делаем вывод о наличие другого возможного оптимального решения.Для его нахождения строим цикл пересчета клетки 32: 32-22-21-11-14-34, производим перераспределение:
Таблица 3
Находим новые потенциалы. Получаем рiиqjсоответственно равные потенциалам первого базисного оптимального решения (см. табл. 2). Исходя из этого Dmax=D32, однако элемент с индексом 32 уже присутствует в базисе, поэтому пересчет не имеет смысла. Таким образом получаем второе и последнее базисное оптимальное решение:
3 0 0 37
Xоpt2 = 45 0 0 0
0 30 29 3
Оптимальное распределение инвестиций
Данная задача с nпеременными представляется, как многошаговый процесс принятия решений. На каждом шаге определяется экстремум функции только по одной переменной.
Пусть 4 фирмы образуют объединение. Рассмотрим задачу распределения инвестиций в размере 700 тыс. рублей по этим 4 фирмам. Размер инвестиций пусть будет кратен 100 тыс. рублей. Эффект от направления i-й фирме инвестиций в размере ξ (сотен тыс. рублей) выражается функцией fi(xi). Приходим к задаче fl(xl)+f2(x2)+f3(x3)+f4(x4)àmax, где xi— пока еще неизвестный размер х1+х2+х3+х4≤7; х1, х2, х3.х4≥0 инвестиций i-й фирме. Эта задача решается методом динамического программирования: последовательно ищется оптимальное распределение для k=2,3 и 4 фирм.
Пусть первым двум фирмам выделено ξ инвестиций. обозначим z2(ξ) величину инвестиций 2-й фирме, при которой сумма f2(z2j)+fl(ξ-z2j), 0≤j≤ ξ максимальна, саму эту максимальную величину обозначим F2(ξ). Далее действуем также: находим функции z3и F3и т.д. На k-ом шаге для нахождения Fk(ξ) используем основное рекуррентное соотношение: Fk(ξ)=max{fkj(хk)+F(k-1)( ξ-хk); 0 ≤ хk≤ ξ
Таблица 1
<img width=«156» height=«79» src=«ref-1_291234612-451.coolpic» v:shapes="_x0000_s1070">
x2
ξ-х2
100
200
300
400
500
600
700
F1(ξ-x2)
f2(x2)
28
45
65
78
90
102
113
28
45
65
78
90
102
113
100
25
25
53
70
90
103
115
127
200
41
41
69
86
106
119
131
300
55
55
83
100
120
133
400
65
65
93
110
130
500
75
75
103
120
600
80
80
108
700
85
85
Жирным цветом обозначен максимальный суммарный эффект от выделения соответствующего размера инвестицийпо2-м предприятиям.
Таблица 2
<img width=«156» height=«79» src=«ref-1_291235063-456.coolpic» v:shapes="_x0000_s1071">
х3
ξ-х2
100
200
300
400
500
600
700
F3(ξ-x3)
f3(x3)
28
53
70
90
106
120
133
28
53
70
90
106
120
133
100
15
15
43
68
85
105
121
135
200
25
25
53
78
95
115
131
300
40
40
68
93
110
130
400
56
56
84
109
125
500
62
62
90
115
600
73
73
101
700
82
82
Жирным цветом обозначен максимальный суммарный эффект от выделения соответствующего размера инвестицийпо3-м предприятиям.
Таблица 3
<img width=«156» height=«79» src=«ref-1_291234612-451.coolpic» v:shapes="_x0000_s1072">
x4
ξ-х4
100
200
300
400
500
600
700
F4(ξ-x4)
f4(x4)
28
53
70
90
106
121
135
135
100
20
141
200
33
139
300
42
132
400
48
118
500
53
106
600
56
84
700
58
58
Жирным цветом обозначен максимальный суммарный эффект от выделения соответствующего размера инвестицийпо4-м предприятиям.
Сведем результаты в 4 таблицы. Теперь F4(7)=141показывает максимальный суммарный эффект по всем 4-м фирмам, az4(7)=100тыс. руб. — размер инвестиций в 4-ю фирму для достижения этого максимального эффекта. На долю остальных трех предприятий остается 600тыс. руб.
Третьему предприятию должно быть выделенох*3=Х3(700-х*4)=Х3(600)=100 тыс. руб.
Продолжая обратный процесс, находимх*2=Х2(700-х*4-х*3)=Х2(500)=200 тыс. руб.
На долю первого предприятия остаетсях*1=700-х*4-х*3-х*2=300 тыс. руб.
Таким образом, наилучшим является следующее распределение капитальных вложений по предприятиям:
х*1 =300; х*2 =200; х*3 = 100; х*4 = 100.
Оно обеспечивает производственному объединению наибольший возможный прирост прибыли 141тыс. руб.
продолжение
--PAGE_BREAK--Анализ доходности и риска финансовых операций
Финансовой называется операция, начальное и конечное состояния которой имеют денежную оценку и цель проведения которой заключается в максимизации дохода — разности между конечной и начальной оценками.
Почти всегда финансовые операции проводятся в условиях неопределенности и потому их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому финансовые операции рискованны, т.е. при их проведении возможны как прибыль, так и убыток.
Существует несколько разных способов оценки операции с точки зрения доходности и риска. Наиболее распространенным является представление дохода операции как случайной величины и оценка риска операции как среднего квадратического отклонения этого случайного дохода. Однако количественно оценить риск возможно лишь если операция вероятностно характеризуема, т.е. ее доход есть случайная величина — это предполагает возможность неоднократного повторения этой операции. Итак, пусть доход от операции Qесть случайная величина, которую будем обозначать также как и саму операцию Q. Математическое ожидание М[Q] называют еще средним ожидаемым доходом, а риск операции rотождествляют со средним квадратическим отклонением, т.е. квадратным корнем из дисперсии D[Q].
Рассмотрим четыре операции Q1, Q2, Q3, Q4. Найдем средние ожидаемые доходы Qiи риски ri, операций.
<img width=«96» height=«31» src=«ref-1_291235970-350.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029"> ; <img width=«131» height=«40» src=«ref-1_291236320-443.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030"> ;
<img width=«149» height=«40» src=«ref-1_291236763-473.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031"> ; <img width=«87» height=«36» src=«ref-1_291237236-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032"> .
Q1:
1
2
8
1/3
1/3
1/6
1/6
Q1=0×1/3+1×1/3+2×1/6+8×1/6=2
M[Q12]= 02×1/3+12×1/3+22×1/6+82×1/6=11,7
D[Q1]=11,7-22=7,7
r1=2,77
Q2:
2
3
4
10
1/3
1/3
1/6
1/6
Q2=4
M[Q22]=23,7
D[Q2]=7,7
r2=2,77
Q3:
4
6
10
1/5
1/5
1/5
2/5
Q3=6
M[Q32]=50,4
D[Q3]=14,4
r3=3,8
Q4:
2
6
8
12
1/5
1/5
1/5
2/5
Q4=8
M[Q42]=78,4
D[Q4]=14,4
r4=3,8
Нанесем средние ожидаемые доходы Q и риски rна плоскость — доход откладываем по горизонтали, а риски по вертикали (см. график 3);
Получили 4 точки. Чем правее точка (Q,r), тем более доходная операция, чем точка выше — тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку правее и ниже. Точка (Q',r') доминирует над точкой (Q,r) если Q'>Q и r'<rи хотя бы одно из этих неравенств строгое.
Точка, не доминируемая никакой другой, называется оптимальной по Парето, а множество всех таких точек называется множеством оптимальности по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбирать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций, оптимальных по Парето.
Для нахождения лучшей операции применяют взвешивающую формулуj(Qi)=2Qi-ri, которая для пар (Q,r) дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию.
j(Q1)=2×2-2,8=1,2 j(Q2)=6,2
j(Q3)=8,2 j(Q4)=12,2
Наибольшее значение jсоответствует лучшей операции, наименьшее – худшей. В нашем случае наилучшей является операция №4, худшей – операция №1.
продолжение
--PAGE_BREAK--Матричная игра 2х4
Рассмотрим игру для двух лиц с нулевой суммой. Пусть П и В – первый и второй игроки соответственно, а матрица А – платежная матрица, каждый элемент которой по абсолютной величине является выигрышем/ проигрышем, уплачиваемым игроками друг другу в соответствии с их договоренностью. Цель игроков – максимизировать выигрыш. При этом предполагается, что будет сыграно достаточно много партий, так что задача заключается в получении максимального выигрыша в среднем за партию. Каждый из игроков использует наилучшие для себя стратегии. Стратегия называется чистой, если выбор игрока неизменен от партии к партии, и смешанной, если выбор i-ой строки производится с некоторой вероятностью pi.
Рассмотрим графическое решение игры 2х4 с матрицей
В
П <img width=«144» height=«48» src=«ref-1_291237578-387.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">®<img width=«109» height=«48» src=«ref-1_291237965-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">
Седловой точки в чистых стратегиях нет.
В строках доминирования нет.
3-ий столбец доминирует над 1-ым.
Обозначим искомую оптимальную стратегию первого игрока П — (х, 1-х), где
х – вероятность выбора первой строки
(1-х) – вероятность выбора второй строки
£x £1
Пусть П играет в смешанных стратегиях, а В отвечает чистыми:
n1(х)= 2х-2(1-х) (1)
n2(х)= -2х+(1-х) (2)
n4(х)= -5х+3(1-х) (4)
n1(х)= 3х-2
n2(х)= -3х+1
n4(х)= -8х+3
т. В(х*, n*)
т. В: n1=n4
3х-2= -8х+3
11х=5
х*=5/11
n(х*)=×15/11-2= -7/11
р*(5/11; 1-5/11)=р*(5/11; 6/11) – оптимальная смешанная стратегия для П
Ищем оптимальную смешанную стратегию для В.
q(y, 0, 0, 1-y)
p1* = 5/11>0
Рассматриваем вариант, когда В играет в смешанных стратегиях, а П – в чистых стратегиях выбирает первую строку.
-7/11= 2y-5(1-y)
y*= 48/77
q*=(48/77, 0, 0, 29/77) – оптимальная смешанная стратегия В
Анализ модели краткосрочного страхования жизни
В страховой компании застраховано N1=900 человек в возрасте 45 лет и N2=550 человек в возрасте 55 лет сроком на один год. Компания выплачивает наследникам: 100000 руб., в случае смерти застрахованного от несчастного случая, и 25000 руб., в случае смерти от естественных причин в течение года. Компания не платит ничего, если человек проживет этот год. Предположим, что смертность описывается моделью Мейкхама и рассчитаем нетто-премию, цену полиса, страховую надбавку, чтобы вероятность неразорения компании составляла 0,95.
Индивидуальные иски x<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291238309-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035"> и x<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_291238507-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036"> каждого из застрахованных 1-ой и 2-ой групп определяются, соответственно, рядами распределения (для удобства за денежную единицу примем 100000 руб.).
<img width=«2» height=«69» src=«ref-1_291238715-157.coolpic» v:shapes="_x0000_s1103"> <img width=«2» height=«69» src=«ref-1_291238715-157.coolpic» v:shapes="_x0000_s1104">
0 ¼ 1 (1)
<img width=«290» height=«2» src=«ref-1_291239029-165.coolpic» v:shapes="_x0000_s1105">x<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291238309-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">
<img width=«31» height=«25» src=«ref-1_291239392-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">=0,9982 <img width=«31» height=«24» src=«ref-1_291239612-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039">=0,0013 <img width=«31» height=«24» src=«ref-1_291239831-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040">=0,0005
<img width=«2» height=«69» src=«ref-1_291240055-158.coolpic» v:shapes="_x0000_s1108"><img width=«2» height=«21» src=«ref-1_291240213-154.coolpic» v:shapes="_x0000_s1109"><img width=«2» height=«60» src=«ref-1_291240367-159.coolpic» v:shapes="_x0000_s1107"> 0 ¼ 1
<img width=«300» height=«2» src=«ref-1_291240526-169.coolpic» v:shapes="_x0000_s1106">x<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_291238507-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041">
<img width=«32» height=«25» src=«ref-1_291240903-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042">=0,9962 <img width=«32» height=«24» src=«ref-1_291241126-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043">=0,0044 <img width=«32» height=«24» src=«ref-1_291241350-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044">=0,0005
Здесь вероятности смерти от несчастного случая примем равными 0,0005, а вероятности смерти от естественных причин возьмем из Таблицы продолжительности жизни.
Средние индивидуальные иски Мx<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291238309-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045"> и Мx<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_291238507-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046"> равны соответствующим нетто-премиям Р<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291241984-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047"> и Р<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_291242181-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048"> для клиентов компании 1-ой и 2-ой групп.
Р<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291241984-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049"> = Мx<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291238309-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050"> = ј*0,0013 + 1*0,0005 »0,00083 = 83 руб. (2)
Р<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_291242181-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051"> = Мx<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_291238507-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052"> = ј*0,0044 + 1*0,0005 »0,0016 = 160 руб.
I. Сначала рассмотрим решение, основанное на распределении Пуассона.
Чтобы свести задачу к схеме опытов Бернулли можно приближенно заменить ряды распределения (1) следующими таблицами:
<img width=«2» height=«69» src=«ref-1_291243194-157.coolpic» v:shapes="_x0000_s1121"><img width=«2» height=«69» src=«ref-1_291243194-157.coolpic» v:shapes="_x0000_s1120"><img width=«2» height=«69» src=«ref-1_291243194-157.coolpic» v:shapes="_x0000_s1113"><img width=«2» height=«69» src=«ref-1_291243194-157.coolpic» v:shapes="_x0000_s1111"> 0 М(x<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291238309-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">/x<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291238309-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054">№0) 0 М(x<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_291238507-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">/x<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_291238507-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">№0)
<img width=«175» height=«2» src=«ref-1_291244634-162.coolpic» v:shapes="_x0000_s1112"><img width=«184» height=«2» src=«ref-1_291244796-160.coolpic» v:shapes="_x0000_s1110">x<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291238309-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">: x<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_291238507-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">: (3)
<img width=«31» height=«25» src=«ref-1_291239392-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059"> <img width=«73» height=«24» src=«ref-1_291245582-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060"> <img width=«32» height=«25» src=«ref-1_291240903-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061"> <img width=«77» height=«24» src=«ref-1_291246087-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062">
а затем в качестве условной денежной единицы принять условные математические ожидания М(x<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291238309-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063">/x<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291238309-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">№0) в 1-ой таблице и М(x<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_291238507-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">/x<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_291238507-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">№0) – во 2-ой.
Вычислим условные математические ожидания:
М(x<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291238309-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">/x<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291238309-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">№0)=ј*Р(x<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291238309-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">=ј/x<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291238309-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">№0)+1*Р(x<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291238309-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">=1/x<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291238309-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">№0) = =ј*<img width=«31» height=«24» src=«ref-1_291239612-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">/(<img width=«73» height=«24» src=«ref-1_291245582-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">)+1*<img width=«121» height=«24» src=«ref-1_291248879-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">= =ј*0,0044/(0,0044+0,0005)+1*0,0005/(0,0044+0,0005)=
=ј*13/18+1*5/49 = 5/18 »0,458=45800 руб. – денежная единица для клиентов 1-ой группы.
М(x<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_291238507-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">/x<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_291238507-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">№0=ј*<img width=«32» height=«24» src=«ref-1_291241126-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">/(<img width=«77» height=«24» src=«ref-1_291246087-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">)+1*<img width=«125» height=«24» src=«ref-1_291250148-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">=
=ј*0,0044/(0,0044+0,0005)+1*0,0005/(0,0044+0,0005)=
=. ј*44/49+1*5/49 = 16/49 »0,327=32700 руб – денежная единица для клиентов 2-ой группы.
С учетом всех замечаний вместо рядов распределения (3) имеем:
<img width=«2» height=«69» src=«ref-1_291250511-154.coolpic» v:shapes="_x0000_s1119"><img width=«2» height=«69» src=«ref-1_291250511-154.coolpic» v:shapes="_x0000_s1118"><img width=«2» height=«69» src=«ref-1_291250819-156.coolpic» v:shapes="_x0000_s1117"><img width=«2» height=«69» src=«ref-1_291250511-154.coolpic» v:shapes="_x0000_s1115"> 0 1 0 1
<img width=«175» height=«2» src=«ref-1_291244634-162.coolpic» v:shapes="_x0000_s1116"><img width=«184» height=«2» src=«ref-1_291244796-160.coolpic» v:shapes="_x0000_s1114">x<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291238309-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">: x<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_291238507-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">: (4)
0,9982 0,0018 0,9962 0,0049
откуда получаем: Мx<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291238309-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083"> = 0,0018
Мx<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_291238507-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084"> = 0,0049.
Подсчитаем сумму исков от застрахованных
1-ой группы:
l<img width=«16» height=«20» src=«ref-1_291252263-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085"> = <img width=«39» height=«47» src=«ref-1_291252451-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">Мx<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291238309-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087"> = N1* Мx<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291238309-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088"> = 400*0,0018 = 0,7
2-ой группы:
l<img width=«17» height=«20» src=«ref-1_291253126-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089"> = <img width=«41» height=«47» src=«ref-1_291253323-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">Мx<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_291238507-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091"> = N2* Мx<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_291238507-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092"> = 1000*0,0049 = 4,9
Общая сумма исков может рассматриваться, как случайная пуассоновская величина с параметром l<img width=«16» height=«24» src=«ref-1_291254022-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">+l<img width=«17» height=«24» src=«ref-1_291254219-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094"> = 5,6
Так как вероятность не разорения компании должна быть не меньше 0,95, необходимо чтобы для общей суммы исков от застрахованных
x= <img width=«31» height=«68» src=«ref-1_291254432-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">x<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291238309-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096"> + <img width=«31» height=«47» src=«ref-1_291254894-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">x<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_291238507-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">
выполнялось соотношение: Р(xЈx) і0,95 , где х – капитал компании.
Очевидно, что х = х<img width=«23» height=«25» src=«ref-1_291255367-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">, здесь х<img width=«23» height=«25» src=«ref-1_291255367-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">»10– квантиль уровня 0,95 для распределения Пуассона. За счет нетто-премий компания может получить только сумму:
5,6=0,7*45800 руб. + 4,9*32700 руб. = 32060 руб.+1060230 руб. = 192290руб.
Поэтому страховая надбавка компании должна составлять:
R=(10-5,6)/5,6 ×100% »78,6% = 0,786*192290 руб.»1511400руб., (5)
а капитал компании:
х = 192290 руб. + 151140 руб. »343430 руб. (6)
Таким образом, индивидуальные страховые надбавки r<img width=«16» height=«20» src=«ref-1_291252263-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101"> и r<img width=«17» height=«20» src=«ref-1_291253126-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">, цены полисов Р<img width=«16» height=«20» src=«ref-1_291252263-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103"> и Р<img width=«17» height=«20» src=«ref-1_291253126-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104"> для каждого из клиентов 1-ой и 2-ой группы соответственно равны (они пропорциональны нетто-премиям):
r<img width=«16» height=«20» src=«ref-1_291252263-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105"> = 0,52*Р<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291241984-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106"> = 0,52*83 руб. »43 руб.,
r<img width=«17» height=«20» src=«ref-1_291253126-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107"> = 0,52*Р<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_291242181-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108"> = 0,52*160 руб. »83 руб.,
(7)
Р<img width=«16» height=«20» src=«ref-1_291252263-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109"> = Р<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291241984-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110"> + r<img width=«16» height=«20» src=«ref-1_291252263-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111"> »43 руб. + 83 руб. = 126 руб.,
Р<img width=«17» height=«20» src=«ref-1_291253126-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112"> = Р<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_291242181-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113"> + r<img width=«17» height=«20» src=«ref-1_291253126-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114"> »160 руб. + 83 руб. = 243 руб.
II. Теперь решим задачу с помощью гауссовского приближения. Среднее значение общего суммарного иска от застрахованных
x= <img width=«39» height=«47» src=«ref-1_291252451-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">Мx<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291238309-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116"> + <img width=«41» height=«47» src=«ref-1_291253323-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">Мx<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_291238507-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">
с учетом средних индивидуальных исков (2) равно:
Мx= N1*Mx<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291238309-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">+ N2* Мx<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_291238507-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">=400*0,00083+1000*0,0016=
= 0,332 + 1,6 »1,9 = 190000 руб. (8)
Дисперсию xв виду независимости x<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291238309-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121"> и x<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_291238507-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122"> вычислим по формуле:
Dx= <img width=«39» height=«47» src=«ref-1_291252451-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">Dx<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291238309-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124"> + <img width=«41» height=«47» src=«ref-1_291253323-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">Dx<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_291238507-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126"> »400*0,00058 + 1000*0,00078=
=0,23 + 0,78 = 1,01. (9)
Здесь:
Dx<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_291238309-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127"> продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по математике
Реферат по математике
Нелинейное уравнение и интервал изоляции корня
2 Сентября 2013
Реферат по математике
Нахождение всех действительных корней алгебраического многочлена методом деления отрезка пополам
2 Сентября 2013
Реферат по математике
Разработка производственных и управленческих решений
2 Сентября 2013
Реферат по математике
Симплекс-метод 2
20 Июня 2015