Реферат: Нелинейное уравнение и интервал изоляции корня

Министерство образования РФ

Рязанская государственная радиотехническая академия

Кафедра ОиЭФ

Контрольная работа

«Нелинейное уравнение и интервал изоляции корня»

Выполнил ст. гр. 255

Ампилогов Н. В.

Проверил

Малютин А. Е.

Рязань 2007

Расчетная часть.

I.Заданное нелинейное уравнение и интервал изоляции корня:

/>.

II.Схема алгоритма отделения корней

Разбиение исходного интервала />, на котором определена и непрерывна функция />, на n отрезков равной длины:

/>

Вычисление значения функции /> в точках />

концах отрезка />

Выделение отрезка />

/>/>Длина отрезка /> достаточно мала (можно предположить единственность корня)

/>/>

Корень отделен на интервале

Границы исходного отрезка сдвигаются

/>(/>)

Воспользуемся приведенным выше алгоритмом для отделения корня уравнения на заданном отрезке:

Разобьем интервал изоляции корня /> на n отрезков равной длины:

/>

Вычисляем значения функции в точках />:

/>

На концах отрезка (1;2) функция имеет разные знаки и он достаточно мал для определения корня.

III. Уточнение корня методом половинного деления

Отделение корней, нахождение отрезка изоляции

Вычисление f(a)

/>=(a+b)/2

Вычислениеf(/>)

a=/>f(a)*f(/>)<0 b=/>

/>

Вывод />

/>Произведем вычисления согласно представленному выше алгоритму. Необходимо определить корень методом половинного деления с погрешностью/>.

Все условия для выполнения данного метода(указаны в теоретической части) выполняются.

/>

Т.к.f(/>)/> то выбираем другой отрезок [1;1,5] на концах которого функция имеет разные знаки и продолжаем вычисления.

/>

Выбираем отрезок [1;1,25] ,

/>

/>является корнем т.к. нам необходимо найти корень с заданной погрешностью и выполняется условие прекращения вычислений:

/>;

Мы нашли корень за 2 шага.

Проведем вычисления в системе MathCAD

В системе MathCAD мы нашли корень так же за 2 шага.

IV. Уточнение корня методом хорд.

Отделение корней, нахождение отрезка изоляции.

/>

/>

/>

/>

Вывод />

Произведем вычисления согласно представленному выше алгоритму. Необходимо определить корень методом хорд с погрешностью/>.

Все условия для выполнения данного метода(указаны в теоретической части) выполняются.

Для того чтобы определить какой формулой метода хорд необходимо воспользоваться найдем значения первой и второй производной на концах отрезка изоляции корня:

/>

/>

Нашли корень за 1 шаг. Проведем вычисления в системе MathCAD.

/>

В системе MathCAD мы нашли корень за 2 шага, это объясняется более высокой точностью MathCAD по сравнению с расчетами вручную.

V. Уточнение корня методом касательных.

Отделение корней, нахождение отрезка изоляции.

/>

/>

Вывод />

Произведем вычисления согласно представленному выше алгоритму. Необходимо определить корень методом касательных с погрешностью/>.

Все условия для выполнения данного метода(указаны в теоретической части) выполняются.

/>

Нашли корень за 2 шага. Проведем вычисления в системе MathCAD.

/>

В системе MathCAD мы нашли корень так же за 2 шага.

VI. Уточнение корня методом простой итерации.

Отделение корней, нахождение отрезка изоляции

[c;d]=[a-h;b+h]

Приведение уравнения

f(x)=0 к виду x=g(x)

n=0

/>

/>n=n+1

Вывод />

Произведем вычисления согласно представленному выше алгоритму. Необходимо определить корень методом простой итерации с погрешностью/>.

Все условия для выполнения данного метода(указаны в теоретической части) выполняются.

/>

Значит, итерационный процесс не применим, расходится и не позволяет получить решение.

Вывод: Изучили различные методы уточнения корней нелинейных уравнений (метод половинного деления, хорд, касательных, простой итерации). На основе полученных нами результатов можно сделать вывод о том, что высокую скорость сходимости при решении уравнений дает метод хорд и метод касательных. Скорость сходимости методов половинного деления и простой итерации небольшие, но они наиболее легко реализуются на ЭВМ.