Реферат: Системы линейных и дифференциальных уравнений

--PAGE_BREAK--

Решение:

Уравнение прямой, проходящей через две точки можно записать как <img width=«117» height=«47» src=«ref-1_1631059295-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050">.

Тогда:

— уравнение стороны АВ: <img width=«328» height=«44» src=«ref-1_1631059610-599.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051">

— уравнение стороны АС: <img width=«324» height=«44» src=«ref-1_1631060209-627.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">

— уравнение стороны ВС: <img width=«300» height=«44» src=«ref-1_1631060836-615.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">

Найдем уравнение медианы ВМ, проведенной к стороне АС. Точка М – середина отрезка АС, следовательно координаты <img width=«116» height=«45» src=«ref-1_1631061451-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054"> или <img width=«61» height=«23» src=«ref-1_1631061800-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">

— уравнение медианы ВМ: <img width=«308» height=«44» src=«ref-1_1631062062-612.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">

Найдём уравнение высоты АH, проведенной к стороне ВС. Уравнение стороны ВС <img width=«45» height=«21» src=«ref-1_1631062674-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057"> с коэффициентом пропорциональности <img width=«52» height=«24» src=«ref-1_1631062807-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">. Коэффициент пропорциональности перпендикулярной прямой будет <img width=«121» height=«45» src=«ref-1_1631062950-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059"> и тогда уравнение высоты принимает вид <img width=«91» height=«41» src=«ref-1_1631063227-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">, где К – некая константа, значение которой найдем исходя из условия принадлежности точки А(-3; 1) уравнению высоты AH: <img width=«173» height=«41» src=«ref-1_1631063449-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061">

— уравнение высоты АН: <img width=«63» height=«41» src=«ref-1_1631063787-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062">

Будем искать уравнение биссектрисы угла С.

Прямые АС: <img width=«91» height=«21» src=«ref-1_1631063967-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063"> и ВС: <img width=«45» height=«21» src=«ref-1_1631062674-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064"> наклонены под острым углом к оси абсцисс (коэффициенты пропорциональности положительны), тогда угол между прямыми АС и ВС будет равен <img width=«41» height=«21» src=«ref-1_1631064291-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">, где <img width=«45» height=«21» src=«ref-1_1631064422-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066"> угол между прямыми ВС и АС и осью ОХ соответственно.

По формуле тангенса разности получаем, что
<img width=«359» height=«44» src=«ref-1_1631064561-781.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">
Половина угла С будет <img width=«97» height=«24» src=«ref-1_1631065342-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">

Тангенс угла наклона биссектрисы к оси ОХ тогда составит:
<img width=«349» height=«44» src=«ref-1_1631065553-868.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">
Уравнение биссектрисы примет вид: <img width=«107» height=«21» src=«ref-1_1631066421-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">, где К некая константа, значение которой определим из условия принадлежности точки С(1; 3) биссектрисе, т.е.

<img width=«204» height=«21» src=«ref-1_1631066639-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">

Уравнение биссектрисы CLпринимает вид <img width=«135» height=«21» src=«ref-1_1631066962-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">

Для нахождения площади треугольника АВС воспользуемся формулой:

<img width=«168» height=«51» src=«ref-1_1631067223-478.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">.
Тогда:
<img width=«484» height=«51» src=«ref-1_1631067701-1127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074"> кв.ед.
Выполним чертеж:
<img width=«393» height=«368» src=«ref-1_1631068828-14768.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">
Ответ:      АВ: <img width=«77» height=«21» src=«ref-1_1631083596-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">      АС: <img width=«91» height=«21» src=«ref-1_1631063967-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">   ВС: <img width=«45» height=«21» src=«ref-1_1631062674-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078"> — стороны треугольника

ВМ: <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1631084077-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079"> — медиана треугольника;         АН: <img width=«63» height=«41» src=«ref-1_1631063787-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080"> — высота треугольника;

СL: — биссектриса треугольника;             S= 10 кв.ед.

3.Даны координаты точек А1 ,A2, А3 ,A4

Найти длину ребра А1А2. Составить уравнение ребра А1А4 и грани А1А2А3. Составить уравнение высоты опущенной из точки А4 на плоскость А1А2А3. Найти площадь треугольника А1A2A3. Найти объем треугольной пирамиды А1A2А3A4

Решение:

Воспользуемся формулой для вычисления расстояние между двумя точками:
<img width=«261» height=«29» src=«ref-1_1631084371-461.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">
Наши точки А1(8; 6; 4) и A2(10; 5; 5):
<img width=«365» height=«29» src=«ref-1_1631084832-600.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082"> ед.
Длина ребраА1А2 равна <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1631085432-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083"> ед.
Составим уравнение прямой проходящей через точки А1(8; 6; 4) и A4(8; 10; 7).

Для этоговоспользуемся уравнением:<img width=«169» height=«45» src=«ref-1_1631085549-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">
<img width=«145» height=«41» src=«ref-1_1631085960-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">, т.е. А1А4: <img width=«140» height=«41» src=«ref-1_1631086334-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки А1(8; 6; 4), A2(10; 5; 5), А3(5; 6; 8).

Воспользуемся формулой: <img width=«197» height=«75» src=«ref-1_1631086641-699.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">

Подставим данные:
<img width=«163» height=«75» src=«ref-1_1631087340-622.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088"> или <img width=«157» height=«75» src=«ref-1_1631087962-525.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">
Т.е. уравнение грани А1А2А3:<img width=«227» height=«21» src=«ref-1_1631088487-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090"> или <img width=«144» height=«21» src=«ref-1_1631088830-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">

Искомая высота проходит через точку A4(8; 10; 7)иперпендикулярна плоскости <img width=«144» height=«21» src=«ref-1_1631088830-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">, имеющей вектор нормали <img width=«91» height=«24» src=«ref-1_1631089344-300.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">.

Направляющий вектор высоты совпадает с вектором нормали плоскости, к которой проведена высота, следовательно, т.к. каноническое уравнение прямой <img width=«156» height=«41» src=«ref-1_1631089644-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">, то <img width=«147» height=«41» src=«ref-1_1631089968-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095"> уравнение искомой высоты.

Площадь треугольника А1А2А3 можно найти по формуле: <img width=«160» height=«41» src=«ref-1_1631090287-493.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">, где <img width=«83» height=«24» src=«ref-1_1631090780-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097"> — векторное произведение двух векторов
<img width=«232» height=«25» src=«ref-1_1631091003-523.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098"> и <img width=«231» height=«27» src=«ref-1_1631091526-530.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">.

<img width=«379» height=«75» src=«ref-1_1631092056-920.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">

<img width=«587» height=«41» src=«ref-1_1631092976-1003.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">кв.ед.

Объем пирамиды можно найти по формуле: <img width=«165» height=«41» src=«ref-1_1631093979-509.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">, где <img width=«121» height=«24» src=«ref-1_1631094488-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103"> — смешанное произведение трех векторов <img width=«100» height=«25» src=«ref-1_1631094850-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">, <img width=«107» height=«27» src=«ref-1_1631095170-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105"> и <img width=«227» height=«25» src=«ref-1_1631095500-528.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">
<img width=«411» height=«75» src=«ref-1_1631096028-1057.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">
Тогда <img width=«51» height=«41» src=«ref-1_1631097085-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108"> куб.ед.

Ответ:
<img width=«79» height=«28» src=«ref-1_1631097259-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">ед.; А1А4: <img width=«140» height=«41» src=«ref-1_1631086334-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">;     А1А2А3:<img width=«144» height=«21» src=«ref-1_1631088830-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">

h: <img width=«147» height=«41» src=«ref-1_1631089968-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">; <img width=«70» height=«26» src=«ref-1_1631098361-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">кв.ед.;       <img width=«51» height=«41» src=«ref-1_1631097085-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114"> куб.ед.

4.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.
<img width=«133» height=«75» src=«ref-1_1631098723-466.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">;

Решение:

Найдем характеристическое уравнение матрицы А – определитель матрицы А -<img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1631099189-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">Е, где Е – единичная матрица, <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1631099189-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117"> – независимая переменная.

А –<img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1631099189-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">Е = <img width=«105» height=«75» src=«ref-1_1631099459-405.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119"> – <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_1631099864-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120"><img width=«73» height=«75» src=«ref-1_1631100041-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">= <img width=«165» height=«75» src=«ref-1_1631100401-512.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">.

<img width=«385» height=«75» src=«ref-1_1631100913-1029.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">
Найдем теперь собственные числа матрицы А – корни характеристического уравнения <img width=«176» height=«23» src=«ref-1_1631101942-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">. Получаем:

Получаем:
<img width=«53» height=«23» src=«ref-1_1631102348-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">, <img width=«53» height=«23» src=«ref-1_1631102488-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">, <img width=«43» height=«24» src=«ref-1_1631102624-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">.
Далее найдем собственные векторы матрицы А, соответствующие каждому из собственных чисел.

Пусть Х = <img width=«36» height=«75» src=«ref-1_1631102753-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128"> – искомый собственный вектор.

Тогда система однородных уравнений (А -<img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1631099189-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">Е) = выглядит так:
<img width=«245» height=«75» src=«ref-1_1631103087-895.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130"> или <img width=«171» height=«75» src=«ref-1_1631103982-798.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">
Эта однородная система линейных уравнений имеет множество решений, так как ее определитель равен нулю.

При <img width=«80» height=«23» src=«ref-1_1631104780-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132"> система принимает вид:
<img width=«173» height=«75» src=«ref-1_1631104947-640.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">

Общее решение этой системы <img width=«76» height=«75» src=«ref-1_1631105587-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">, где <img width=«31» height=«23» src=«ref-1_1631105954-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135"> любое число.

В качестве собственного вектора достаточно взять любое частное решение.

Пусть, например, <img width=«40» height=«23» src=«ref-1_1631106057-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">, тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу <img width=«53» height=«23» src=«ref-1_1631102348-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">, имеет вид: <img width=«69» height=«75» src=«ref-1_1631106319-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">.

При <img width=«80» height=«23» src=«ref-1_1631106657-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139"> система принимает вид:
<img width=«235» height=«75» src=«ref-1_1631106819-694.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">
Общее решение этой системы <img width=«97» height=«75» src=«ref-1_1631107513-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">, где <img width=«31» height=«23» src=«ref-1_1631105954-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142"> любое число.

Пусть, например, <img width=«40» height=«23» src=«ref-1_1631106057-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">, тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу <img width=«53» height=«23» src=«ref-1_1631102488-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">, имеет вид: <img width=«83» height=«75» src=«ref-1_1631108277-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">.

Аналогично при <img width=«69» height=«24» src=«ref-1_1631108639-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146"> получаем систему
<img width=«435» height=«54» src=«ref-1_1631108795-1071.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">
общее решение которой <img width=«113» height=«101» src=«ref-1_1631109866-564.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">, где <img width=«32» height=«24» src=«ref-1_1631110430-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149"> любое число.

Пусть <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_1631110535-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">, тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу <img width=«43» height=«24» src=«ref-1_1631102624-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">, имеет вид: <img width=«97» height=«75» src=«ref-1_1631110791-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">.

Ответ:<img width=«53» height=«23» src=«ref-1_1631102348-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153"> <img width=«69» height=«75» src=«ref-1_1631106319-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">, <img width=«53» height=«23» src=«ref-1_1631102488-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155"> <img width=«83» height=«75» src=«ref-1_1631108277-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">, <img width=«43» height=«24» src=«ref-1_1631102624-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157"> <img width=«97» height=«75» src=«ref-1_1631110791-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">.
5.Решить систему методом Жорданa— Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения.
<img width=«161» height=«75» src=«ref-1_1631112708-662.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">

Решение:

Преобразуем расширенную матрицу системы к диагональному виду:
<img width=«491» height=«75» src=«ref-1_1631113370-1436.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">

<img width=«551» height=«53» src=«ref-1_1631114806-1204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">

<img width=«163» height=«60» src=«ref-1_1631116010-522.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">
откуда получаем следующую систему
<img width=«107» height=«75» src=«ref-1_1631116532-451.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163"> и

<img width=«128» height=«75» src=«ref-1_1631116983-665.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164"> — общее решение исходной системы уравнений.

Частные решения получим присвоив конкретные значения переменной х4:

<img width=«53» height=«23» src=«ref-1_1631117648-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165"> тогда: <img width=«62» height=«75» src=«ref-1_1631117777-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">, т.е. решением будет вектор (0; -4; 0; -1)

<img width=«45» height=«23» src=«ref-1_1631118093-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167"> тогда: <img width=«59» height=«75» src=«ref-1_1631118220-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">, т.е. решением будет вектор (0; 3; -1; 2).

Выполним проверку общего решения:
<img width=«246» height=«133» src=«ref-1_1631118530-1153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">

<img width=«275» height=«75» src=«ref-1_1631119683-1005.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">- верные равенства.

Ответ:<img width=«128» height=«75» src=«ref-1_1631116983-665.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">;                 (0; -4; 0; -1);                   (0; 3; -1; 2).

к/р № 2

1.                  Найти следующие пределы.
а) <img width=«108» height=«40» src=«ref-1_1631121353-474.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172"> б) <img width=«84» height=«44» src=«ref-1_1631121827-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">

Решение:

а) <img width=«124» height=«47» src=«ref-1_1631122112-426.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174"> — неопределенность с бесконечностью. Раскроем скобки, приведем подобные и разделим числитель и знаменатель дроби на максимальную степень х. Получим:
<img width=«530» height=«83» src=«ref-1_1631122538-1572.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">

<img width=«141» height=«41» src=«ref-1_1631124110-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">
б) <img width=«84» height=«44» src=«ref-1_1631121827-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177"> — неопределенность <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1631124753-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">. Избавимся от обнуляющего множителя, для этого числитель разложим на множители, а к знаменателю применим эквивалентную бесконечно малую: при <img width=«44» height=«19» src=«ref-1_1631124867-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179"> <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1631124988-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">. Получим:
<img width=«376» height=«44» src=«ref-1_1631125127-762.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">
Ответ:а) 3;         б) -2,5.
2.                  Найти производные функций, заданных в явном и неявном виде.

а) <img width=«95» height=«35» src=«ref-1_1631125889-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">     б) <img width=«96» height=«48» src=«ref-1_1631126119-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">

Решение:

а) Перепишем функцию<img width=«95» height=«35» src=«ref-1_1631125889-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184"> в виде экспоненты: <img width=«220» height=«38» src=«ref-1_1631126612-557.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">
<img width=«520» height=«58» src=«ref-1_1631127169-1473.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">

<img width=«521» height=«51» src=«ref-1_1631128642-1429.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">

<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1631130071-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">

б) <img width=«96» height=«48» src=«ref-1_1631126119-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189"> — продифференцируем обе части равенства по х.
<img width=«144» height=«57» src=«ref-1_1631130407-539.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">

<img width=«336» height=«57» src=«ref-1_1631130946-1188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">

<img width=«268» height=«51» src=«ref-1_1631132134-853.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">

<img width=«263» height=«51» src=«ref-1_1631132987-957.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">

<img width=«536» height=«56» src=«ref-1_1631133944-1980.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">

<img width=«192» height=«53» src=«ref-1_1631135924-879.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">

Ответ:решение выше.

3.                  Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график.
<img width=«81» height=«44» src=«ref-1_1631136803-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">

Решение:

1) Область определения функции: <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1631137032-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">.

2) Четность, периодичность: <img width=«256» height=«48» src=«ref-1_1631137150-527.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">, т.е. функция нечетная (симметричная относительно начала координат), не периодическая.

3) Пересечение с осями:

с осью ОY: х = 0 – не принадлежит области определения.

с осью OX: y = 0 <img width=«172» height=«44» src=«ref-1_1631137677-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199"> — решения нет, точек пересечения с осью ОХ нет.

4) Асимптоты и поведение на бесконечности:
<img width=«173» height=«44» src=«ref-1_1631138037-415.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">
Наклонные асимптоты: y = kx + b, где <img width=«93» height=«41» src=«ref-1_1631138452-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">    b = <img width=«104» height=«29» src=«ref-1_1631138727-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">
<img width=«232» height=«44» src=«ref-1_1631138985-518.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">

<img width=«353» height=«51» src=«ref-1_1631139503-785.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">
т.е. существует наклонная асимптота y = 3х.

5) Поведение возле точки разрыва:

Наша точка разрыва x = 0.
<img width=«292» height=«48» src=«ref-1_1631140288-661.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">

<img width=«291» height=«48» src=«ref-1_1631140949-637.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">
6) Критические точки:

Найдем производную функции y и решим уравнение yґ = 0.
<img width=«521» height=«57» src=«ref-1_1631141586-1028.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">

<img width=«63» height=«21» src=«ref-1_1631142614-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208"><img width=«303» height=«44» src=«ref-1_1631142763-492.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">

<img width=«406» height=«66» src=«ref-1_1631143255-3936.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">

<img width=«203» height=«48» src=«ref-1_1631147191-451.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">                <img width=«171» height=«44» src=«ref-1_1631147642-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">
т.е. точка: (-1; -4) – точка максимума и (1; 4) — точка минимума.

7) Точки перегиба:

Найдем вторую производную функции y и решим уравнение yґґ = 0.
<img width=«137» height=«52» src=«ref-1_1631148021-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">, значит <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1631148389-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214"><img width=«48» height=«41» src=«ref-1_1631148542-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215"> — нет решений.
При x> 0 функция выпуклая, при x< 0 вогнутая.

8) Построим график функции:

<img width=«219» height=«343» src=«ref-1_1631148719-7184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">
4.                  Найти <img width=«11» height=«22» src=«ref-1_1631155903-73.coolpic» v:shapes="_x0000_s1026"> <img width=«15» height=«54» src=«ref-1_1631155976-73.coolpic» v:shapes="_x0000_s1027">
градиент функции Zв точке М.

уравнение матрица функция вектор дифференциальный

<img width=«272» height=«48» src=«ref-1_1631156049-539.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">

продолжение
--PAGE_BREAK--

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

2 Сентября 2013

Реферат по математике

Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

20 Июня 2015

Реферат по математике

Математические модели потребительского поведения и спроса

2 Сентября 2013

Реферат по математике

Незалежні випробування

2 Сентября 2013