Реферат: Незалежні випробування

--PAGE_BREAK--4. Теорема Бернуллі про частоту ймовірності

Теорема. Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність появи події дорівнює p, абсолютна величина відхилення відносної частоти появи події від імовірності появи події не перевищить позитивного числа <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1869844147-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">, приблизно дорівнює подвоєної функції Лапласа при <img width=«71» height=«49» src=«ref-1_1869844232-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">:
<img width=«195» height=«53» src=«ref-1_1869844490-640.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">.
Доказ. Будемо вважати, що виробляється n незалежних випробувань, у кожному з яких імовірність появи події А постійна й дорівнює p. Поставимо перед собою задачу знайти ймовірність того, що відхилення відносної частоти <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1869845130-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114"> від постійної ймовірності p по абсолютній величині не перевищує заданого числа <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1869845245-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">. Інакше кажучи, знайдемо ймовірність здійснення нерівності
<img width=«69» height=«45» src=«ref-1_1869845360-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">. (*)
Замінимо нерівність (*) йому рівносильними:
<img width=«104» height=«41» src=«ref-1_1869845616-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">.
Множачи ці нерівності на позитивний множник <img width=«39» height=«49» src=«ref-1_1869845870-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">, одержимо нерівності, рівносильні вихідному:
<img width=«171» height=«51» src=«ref-1_1869846075-547.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">.


Тоді ймовірність знайдемо в такий спосіб:
<img width=«479» height=«53» src=«ref-1_1869846622-1426.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">.
Значення функції <img width=«17» height=«16» src=«ref-1_1869848048-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121"> перебуває по таблиці(див. додаток 2).

Приклади

№20.Імовірність того, що деталь не стандартна, p=0,1. Знайти ймовірність того, що серед випадково відібраних 400 деталей відносна частота появи нестандартних деталей відхилиться від імовірності p=0,1 по абсолютній величині не більш, ніж на 0,03.

Рішення. n=400; p=0,1; q=0,9; <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1869844147-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">=0,03. Потрібно знайти ймовірність<img width=«143» height=«48» src=«ref-1_1869848228-458.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">. Користуючись формулою
<img width=«296» height=«53» src=«ref-1_1869848686-923.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">,
маємо
<img width=«347» height=«53» src=«ref-1_1869849609-1056.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">.
По таблиці додатка 2 знаходимо <img width=«101» height=«27» src=«ref-1_1869850665-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">. Отже, <img width=«109» height=«27» src=«ref-1_1869850986-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">. Отже, шукана ймовірність дорівнює 0,9544.

№21.Імовірність того, що деталь не стандартна, p=0,1. Знайти, скільки деталей треба відібрати, щоб з імовірністю, рівної 0,9544, можна було затверджувати, що відносна частота появи нестандартних деталей(серед відібраних) відхилиться від постійної ймовірності p по абсолютній величині не більше ніж на 0,03.

Рішення.За умовою, p=0,1; q=0,9; <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1869844147-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">=0,03; <img width=«188» height=«48» src=«ref-1_1869851414-529.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">. Потрібно знайти n. Скористаємося формулою
<img width=«195» height=«53» src=«ref-1_1869844490-640.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">.
У силу умови
<img width=«285» height=«53» src=«ref-1_1869852583-871.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">
Отже,
<img width=«132» height=«32» src=«ref-1_1869853454-436.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">
По таблиці додатка 2 знаходимо <img width=«101» height=«27» src=«ref-1_1869850665-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">. Для відшукання числа n одержуємо рівняння <img width=«68» height=«25» src=«ref-1_1869854211-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">. Звідси шукане число деталей n=400.

№22.Імовірність появи події в кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,2. Знайти, яке відхилення відносної частоти появи події від його ймовірності можна чекати з імовірністю 0,9128 при 5000 випробуваннях.

Рішення. Скористаємося тією же формулою, з якої треба:
<img width=«415» height=«53» src=«ref-1_1869854388-1018.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">.


Література
1. Гмурман Е.В. Теорія ймовірностей і математична статистика. – К., 2003

2. Гмурман Е.В. Керівництво до рішення задач по теорії ймовірностей і математичній статистиці. – К., 2004.

3. Гнеденко Б.В. Курс теорії ймовірностей. – К., 2007.

4. Колемаєв В.А., Калініна В.Н., Соловйов В.И., Малихин В.І., Курочкин О.П. Теорія ймовірностей у прикладах і задачах. – К., 2004.

5. Вентцель Е.С. Теорія ймовірностей. – К., 2004


Додатки
Додаток 1
Таблиця значень функції <img width=«109» height=«49» src=«ref-1_1869855406-346.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">

<img width=«467» height=«439» src=«ref-1_1869855752-53877.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">







1

2

3

4

5

6

7

8

9

1.6

1109

1092

1074

1057

1040

1023

1006

0989

0973

0957

1.7

0940

0925

0909

0893

0878

0863

0648

0833

0818

0804

1.8

0790

0775

0761

0748

0734

0721

0707

0694

0681

0669

1.9

0656

0644

0632

0620

0608

0596

0584

0573

0562

0551

2,0

0540

0529

0519

0508

0498

0488

0478

0468

0459

0449

2.1

0440

0431

0422

0413

0404

0396

0387

0379

0371

0363

2.2

0355

0347

0339

0332

0325

0317

0310

0303

0297

0290

2.3

0283

0277

0270

0264

0258

0252

0246

0241

0235

0229

2,4

0224

0219

0213

0208

0203

0198

0194

0189

0184

0180

2.5

0175

0171

0167

0163

0158

0154

0151

0147

0143

0139

2.6

0136

0132

0129

0126

0122

0119

0116

0113

0110

0107

2,7

0104

0101

0099

0096

0093

0091

0088

0086

0084

0081

2,8

0079

0077

0075

0073

0071

0069

0067

0065

0063

0061

2.9

0060

0058

0056

0055

0053

0051

0050

0048

0047

0043

3,0

0044

0043

0042

0040

0039

0038

0037

0036

0035

0034

3,1

0033

0032

0031

0030

0029

0028.

0027

0026

0025

0025

3,2

0024

0023

0622

0022

0021

0020

0020

0019

0018

0018

3,3

0017

0017

0016

0016

0015

0015

0014

0014

0013

0013

3,4

0012

0012

0012

0011

0011

0010

0010

0010

0009

0009

3,5

0009

0008

0008

0008

0008

0007

0007

0007

0007

0006

3,6

0006

0006

0006

0005

0005

0005

0005

0005

0005

0004

3,7

0004

0004

0004

0004

0004

0004

0003

0003

0003

0003

3,8

0003

0003

0003

0003

0003

0002

0002

0002

0002

0002

3,9

0002

0002

0002

0002

0002

0002

0002

0002

0001

0001




Додаток 2
Таблиця значень функції <img width=«40» height=«27» src=«ref-1_1869909629-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">    продолжение
--PAGE_BREAK--

x

<img width=«40» height=«27» src=«ref-1_1869909629-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">

x

<img width=«40» height=«27» src=«ref-1_1869909629-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">

x

<img width=«40» height=«27» src=«ref-1_1869909629-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">

x

<img width=«40» height=«27» src=«ref-1_1869909629-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">

0900

0,0000

0,32

0,1255

0,64

0,2389

0,96

0,3315

0,01

0,0040

0,33

0,1293

0,65

0,2422

0,97

0,3340

0,02

0,0080

0,34

0,1331

0,66

0,2454

0,98

0,3365

0,03

0,0120

0,35

0,1368

0,67

0,2486

0.99

0,3389

0,04

0,0160

0,36

0,1406

0,68

0,2517

1,00

0,3413

0,05

0,0199

0,37

0,1443

0,69

0,2549

1,01

0,3438

0,06

0,0239

0,38

0,1480

0,70

0,2580

1,02

0,3461

0,07

0,0279

0,39

0,1517

0,71

0,2611

1,03

0,3485

0,08

0,0319

0,40

0,1554

0,72

0,2642

1,04

0,3508

0,09

0,0359

0,41

0,1591

0,73

0,2673

1,05

0,3531

0,10

0,0398

0,42

0,1628

0,74

0,2703

1,06

0,3554

0,11

0,0438

0,43

0,1664

0,75

0,2734

1,07

0,3577

0,12

0,0478

0,44

0,1700

0,76

0,2764

1,08

0,3599

0,13

0,0517

0,45

0,1736

0,77

0,2794

1.09

0,3621

0,14

0,0557

0,46

0,1772

0,78

0,2823

1.10

0,3643

0,15

0,0596

0,47

0,1808

0,79

0,2852

3665

0,3665

0,16

0,0636

0,48

0,1844

0,80

0,2881

3686

0,3686

0,17

0,0675

0,49

01879

0,81

0,2910

1,13

0,3708.

0,18

0,0714

0,50

0,1915

0,82

0,2939

1,14

0,3729

0,19

0,0753

0,51

0,1950

0,83

0,2967

1,15

0,3749

0,20

0,0793

0,52

0,1985

0,84

0,2995

1,16

0,3770

0,21

0,0832

0,53

0,2019

0,85

0,3023

1,17

0,3790

0,22

0,0871

0,54

0,2054

0,86

0,3051

1,18

0,3810

0,23

0,0910

0,55

0,2088

0,87

0,3078

1,19

0,3830

0,24

0,0948

0,56

0,2123

0,88

0,3106

1,20

0,3849

0,25

0,0987

0,57

0,2157

0,89

0,3133

1.21

0,3869

0,26

0,1026

0,58

0,2190

0,90

0,3159

1,22

0/3883

0,27

0,1064

0,59

0,2224

0,91

0,3186

1,23

0,3907

0,28

0,1103

0,60

0,2257

0,92

0,3212

1.24

0,3925

0,29

0,1141

0,61

0,2291

0,93

0,3238

1,25

0,3944

0,30

0,1179

0,62

0,2324

0,94

0,3264





0,31

0,1217

0,63

0,2357

0,95

0,3289




    продолжение
--PAGE_BREAK--