Реферат: Частные случаи дифференциальных уравнений

--PAGE_BREAK-- ×1(t)

w(t)=3.2e<img width=«40» height=«39» src=«ref-1_748925658-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">×1(t)

Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает, что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса — также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину<img width=«24» height=«45» src=«ref-1_748925887-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)= <img width=«53» height=«45» src=«ref-1_748922633-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">

W(jw)=<img width=«64» height=«45» src=«ref-1_748926349-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">           (7)

W(jw)=U(w)+jV(w)=<img width=«85» height=«55» src=«ref-1_748926618-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">=<img width=«76» height=«48» src=«ref-1_748926985-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">-j<img width=«76» height=«49» src=«ref-1_748927282-326.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">

U(w)=<img width=«76» height=«48» src=«ref-1_748926985-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">

V(w)=<img width=«76» height=«49» src=«ref-1_748927282-326.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик.   По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=½W(jw)½

A(w)=<img width=«69» height=«49» src=«ref-1_748928231-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">=<img width=«89» height=«53» src=«ref-1_748928519-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">     (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=arctgk — arctg<img width=«73» height=«25» src=«ref-1_748928847-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078"> 

j(w)=-arctgT1          (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg<img width=«89» height=«53» src=«ref-1_748928519-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

T1 =0.62

A(w)=

j(w)=arctg0.62w

L(w)=20lg

U(w)=

V(w)=
4.1.4. НЕУСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО

1-го ПОРЯДКА
1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a1 <img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">-aoy(t) =bog(t)         (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a1=1,24

ao=2

bo=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

<img width=«27» height=«47» src=«ref-1_748920681-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081"><img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">-y(t)=<img width=«28» height=«47» src=«ref-1_748918534-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">g(t)
T<img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">-y(t)=kg(t)             (2),

где k=<img width=«28» height=«47» src=«ref-1_748918534-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">-коэффициент передачи,

     T=<img width=«27» height=«47» src=«ref-1_748920681-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=<img width=«24» height=«41» src=«ref-1_748914347-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087"> .Получим:

(Tp-1)y(t)=kg(t)          (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)    <img width=«12» height=«21» src=«ref-1_748931391-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">

<img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">=sY(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

TsY(s)-Y(s)=kG(s)

W(s)=<img width=«55» height=«48» src=«ref-1_748931815-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">             (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)<img width=«13» height=«41» src=«ref-1_748922889-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">=<img width=«73» height=«48» src=«ref-1_748932270-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">=<img width=«43» height=«41» src=«ref-1_748932549-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093"><img width=«65» height=«59» src=«ref-1_748932779-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094"> 

 Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k<img width=«64» height=«67» src=«ref-1_748933080-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">×1(t)      (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=<img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748917478-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096"> 

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)×1

W(s)=<img width=«48» height=«41» src=«ref-1_748933577-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">= <img width=«65» height=«68» src=«ref-1_748933822-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">           

Переходя к оригиналу, получим

w(t)=<img width=«19» height=«41» src=«ref-1_748934145-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099"> e<img width=«20» height=«44» src=«ref-1_748934352-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100"> ×1(t)        (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

k=2

T=0.62

h(t)=2<img width=«79» height=«67» src=«ref-1_748934547-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101"> ×1(t)

w(t)=3.2e<img width=«31» height=«39» src=«ref-1_748934835-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">×1(t)

Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает, что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса — также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину<img width=«25» height=«48» src=«ref-1_748935059-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)= <img width=«55» height=«48» src=«ref-1_748931815-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">

W(jw)=<img width=«60» height=«44» src=«ref-1_748935501-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">           (7)

W(jw)=<img width=«89» height=«47» src=«ref-1_748935754-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">=<img width=«99» height=«44» src=«ref-1_748936102-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">j<img width=«72» height=«44» src=«ref-1_748936400-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">=U(w)+jV(w)

U(w)=<img width=«84» height=«44» src=«ref-1_748936696-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">

V(w)=<img width=«84» height=«44» src=«ref-1_748936988-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик.   По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=½W(jw)½

A(w)=<img width=«64» height=«49» src=«ref-1_748937303-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">=<img width=«84» height=«49» src=«ref-1_748937574-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">     (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=arctgk — arctg<img width=«68» height=«24» src=«ref-1_748937891-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113"> 

j(w)=-arctg(-Tw)          (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg<img width=«84» height=«49» src=«ref-1_748937574-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

T=0.62

A(w)=

j(w)=-arctg(-0.62w)

L(w)=20lg

U(w)=

V(w)=
4.1.5. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА
1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a2<img width=«55» height=«49» src=«ref-1_748938451-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">+a1 <img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">+aoy(t) =bog(t)         (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a2=0,588

a1=50,4

ao=120

bo=312

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

<img width=«27» height=«47» src=«ref-1_748938999-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117"><img width=«55» height=«49» src=«ref-1_748938451-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">+<img width=«27» height=«47» src=«ref-1_748920681-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119"><img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">+y(t)=<img width=«28» height=«47» src=«ref-1_748918534-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">g(t)
<img width=«28» height=«27» src=«ref-1_748940266-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122"><img width=«55» height=«49» src=«ref-1_748938451-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">+T1 <img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">+y(t)=kg(t)             (2),

где k=<img width=«28» height=«47» src=«ref-1_748918534-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">-коэффициент передачи,

     T1=<img width=«27» height=«47» src=«ref-1_748920681-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">,T22=<img width=«27» height=«47» src=«ref-1_748938999-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">-постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка вещественны (это выполняется при T1>2T2), то оно является апериодическим 2-го порядка. Проверим это для нашего уравнения:

T1=0,42

2T2=0,14

0,42>014, следовательно, данное уравнение — апериодическое.

   

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=<img width=«24» height=«41» src=«ref-1_748914347-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128"> .Получим:

(<img width=«28» height=«27» src=«ref-1_748940266-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">p2+T1 p+1)y(t)=kg(t)          (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)    <img width=«12» height=«21» src=«ref-1_748931391-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">

<img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">=sY(s)

<img width=«55» height=«49» src=«ref-1_748938451-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">=s2Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

<img width=«28» height=«27» src=«ref-1_748940266-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133"> s2Y(s)+T1 sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)=<img width=«113» height=«48» src=«ref-1_748943134-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">             (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)<img width=«13» height=«41» src=«ref-1_748922889-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">=<img width=«131» height=«48» src=«ref-1_748943679-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">=<img width=«132» height=«47» src=«ref-1_748944041-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137"> , где

T3,4=<img width=«125» height=«52» src=«ref-1_748944411-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=<img width=«311» height=«51» src=«ref-1_748944801-629.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">

=<img width=«323» height=«68» src=«ref-1_748945430-782.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">

 Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k×1(t)<img width=«305» height=«60» src=«ref-1_748946212-580.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141"> =

=k ×1(t)<img width=«257» height=«73» src=«ref-1_748946792-518.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">(5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=<img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748917478-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143"> 

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)×1=<img width=«113» height=«48» src=«ref-1_748943134-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">=<img width=«125» height=«47» src=«ref-1_748947891-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

w(s)= <img width=«281» height=«47» src=«ref-1_748948253-535.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">

=<img width=«283» height=«68» src=«ref-1_748948788-708.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= <img width=«293» height=«60» src=«ref-1_748949496-534.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">=

=<img width=«204» height=«73» src=«ref-1_748950030-451.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">            (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)= <img width=«113» height=«48» src=«ref-1_748943134-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">

W(jw)= <img width=«288» height=«48» src=«ref-1_748950817-511.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">     (7)

Выделим вещественную и мнимую части :

W(jw) =<img width=«165» height=«53» src=«ref-1_748951328-490.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">=

<img width=«364» height=«53» src=«ref-1_748951818-728.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">

   
U(w)=<img width=«164» height=«53» src=«ref-1_748952546-490.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">                        

V(w)=<img width=«191» height=«49» src=«ref-1_748953036-433.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">                    

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик.   По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=½W(jw)½

A(w)=<img width=«83» height=«49» src=«ref-1_748953469-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">=..............(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=................

j(w)=… (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=...................

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (УСТОЙЧИВОЕ)  ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a2<img width=«55» height=«49» src=«ref-1_748938451-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">+a1 <img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">+aoy(t) =bog(t)         (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a2=0,588

a1=0,504

ao=12

bo=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

<img width=«27» height=«47» src=«ref-1_748938999-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159"><img width=«55» height=«49» src=«ref-1_748938451-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">+<img width=«27» height=«47» src=«ref-1_748920681-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161"><img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">+y(t)=<img width=«28» height=«47» src=«ref-1_748918534-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">    продолжение
--PAGE_BREAK--g(t)
<img width=«28» height=«27» src=«ref-1_748940266-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164"><img width=«55» height=«49» src=«ref-1_748938451-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">+T1 <img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">+y(t)=kg(t)             (2),

где k=<img width=«28» height=«47» src=«ref-1_748918534-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">-коэффициент передачи,

     T1=<img width=«27» height=«47» src=«ref-1_748920681-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">,T22=<img width=«27» height=«47» src=«ref-1_748938999-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">-постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T1<2T2), то оно является колебательным. Проверим это для нашего уравнения:

T1=0,042

2T2=0,14

0,042<014, следовательно, данное уравнение — колебательное.

Представим данное уравнение в следующем виде:

пусть T2=T, <img width=«63» height=«47» src=«ref-1_748957067-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">.

Тогда уравнение (2):

<img width=«271» height=«49» src=«ref-1_748957352-543.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">

Здесь T — постоянная времени, x— декремент затухания (0<x<1).

   

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=<img width=«24» height=«41» src=«ref-1_748914347-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172"> .Получим:

(<img width=«23» height=«23» src=«ref-1_748958110-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">p2+2xTp+1)y(t)=kg(t)          (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)    <img width=«12» height=«21» src=«ref-1_748931391-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">

<img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">=sY(s)

<img width=«55» height=«49» src=«ref-1_748938451-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">=s2Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

<img width=«23» height=«23» src=«ref-1_748958110-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177"> s2Y(s)+2xTsY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)=<img width=«117» height=«48» src=«ref-1_748959231-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">             (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)<img width=«13» height=«41» src=«ref-1_748922889-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">=<img width=«136» height=«48» src=«ref-1_748959783-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=<img width=«443» height=«91» src=«ref-1_748960156-941.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">=

=<img width=«481» height=«101» src=«ref-1_748961097-950.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">
Заменим в этом выражении <img width=«49» height=«41» src=«ref-1_748962047-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">,<img width=«97» height=«49» src=«ref-1_748962286-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">.Тогда

H(s)=<img width=«288» height=«56» src=«ref-1_748962614-584.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">=

=<img width=«324» height=«56» src=«ref-1_748963198-632.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">

 Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k<img width=«357» height=«51» src=«ref-1_748963830-564.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187"> =

=k ×1(t)<img width=«240» height=«53» src=«ref-1_748964394-501.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">        (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=<img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748917478-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189"> 

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)×1=<img width=«117» height=«48» src=«ref-1_748959231-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">=<img width=«215» height=«100» src=«ref-1_748965483-585.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">=

=<img width=«168» height=«49» src=«ref-1_748966068-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= <img width=«173» height=«48» src=«ref-1_748966490-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">     (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)= <img width=«117» height=«48» src=«ref-1_748959231-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">

W(jw)= <img width=«144» height=«48» src=«ref-1_748967225-366.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">     (7)

Выделим вещественную и мнимую части :

W(jw)=<img width=«576» height=«53» src=«ref-1_748967591-1101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">    
U(w)=<img width=«180» height=«53» src=«ref-1_748968692-493.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197"> 

V(w)<img width=«207» height=«48» src=«ref-1_748969185-471.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик.   По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=½W(jw)½

A(w)=<img width=«139» height=«59» src=«ref-1_748969656-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">=<img width=«181» height=«52» src=«ref-1_748970035-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">       (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=argk — arg(2xTjw— T2w2+1)= — arctg<img width=«72» height=«44» src=«ref-1_748970467-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">

j(w)= — arctg<img width=«72» height=«44» src=«ref-1_748970467-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202"> (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg<img width=«181» height=«52» src=«ref-1_748970035-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (НЕУСТОЙЧИВОЕ)  ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a2<img width=«55» height=«49» src=«ref-1_748938451-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204"> — a1 <img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">+aoy(t) =bog(t)         (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a2=0,588

a1=0,504

ao=12

bo=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

<img width=«27» height=«47» src=«ref-1_748938999-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206"><img width=«55» height=«49» src=«ref-1_748938451-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207"> — <img width=«27» height=«47» src=«ref-1_748920681-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208"><img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">+y(t)=<img width=«28» height=«47» src=«ref-1_748918534-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">g(t)
<img width=«28» height=«27» src=«ref-1_748940266-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211"><img width=«55» height=«49» src=«ref-1_748938451-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">-T1 <img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">+y(t)=kg(t)             (2),

где k=<img width=«28» height=«47» src=«ref-1_748918534-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">-коэффициент передачи,

     T1=<img width=«27» height=«47» src=«ref-1_748920681-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">,T22=<img width=«27» height=«47» src=«ref-1_748938999-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">-постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T1<2T2), то оно является колебательным. Проверим это для нашего уравнения:

T1=0,042

2T2=0,14

0,042<014, следовательно, данное уравнение — колебательное.

Представим данное уравнение в следующем виде:

пусть T2=T, <img width=«63» height=«47» src=«ref-1_748957067-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">.

Тогда уравнение (2):

<img width=«271» height=«49» src=«ref-1_748975137-535.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">

Здесь T — постоянная времени, x— декремент затухания (0<x<1).

   

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=<img width=«24» height=«41» src=«ref-1_748914347-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219"> .Получим:

(<img width=«23» height=«23» src=«ref-1_748958110-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">p2 — 2xTp+1)y(t)=kg(t)          (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)    <img width=«12» height=«21» src=«ref-1_748931391-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">

<img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">=sY(s)

<img width=«55» height=«49» src=«ref-1_748938451-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">=s2Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

<img width=«23» height=«23» src=«ref-1_748958110-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224"> s2Y(s) — 2xTsY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)=<img width=«116» height=«48» src=«ref-1_748977008-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">             (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)<img width=«13» height=«41» src=«ref-1_748922889-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">=<img width=«136» height=«48» src=«ref-1_748977557-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=<img width=«443» height=«91» src=«ref-1_748977930-952.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">=

=<img width=«481» height=«101» src=«ref-1_748978882-941.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">
Заменим в этом выражении <img width=«49» height=«41» src=«ref-1_748962047-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">,<img width=«97» height=«49» src=«ref-1_748962286-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">.Тогда

H(s)=<img width=«288» height=«56» src=«ref-1_748980390-585.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">=

=<img width=«324» height=«56» src=«ref-1_748980975-628.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">

 Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k<img width=«340» height=«51» src=«ref-1_748981603-561.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234"> =

=k ×1(t)<img width=«232» height=«53» src=«ref-1_748982164-491.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">        (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=<img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748917478-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236"> 

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)×1=<img width=«117» height=«48» src=«ref-1_748982900-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">=<img width=«215» height=«100» src=«ref-1_748983243-590.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">=

=<img width=«168» height=«49» src=«ref-1_748983833-419.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= <img width=«165» height=«48» src=«ref-1_748984252-387.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">     (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)= <img width=«117» height=«48» src=«ref-1_748982900-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">

W(jw)= <img width=«144» height=«48» src=«ref-1_748984982-364.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">     (7)

Выделим вещественную и мнимую части :

W(jw)=<img width=«431» height=«52» src=«ref-1_748985346-1036.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">    
U(w)=<img width=«180» height=«53» src=«ref-1_748968692-493.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244"> 

V(w)<img width=«195» height=«48» src=«ref-1_748986875-479.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик.   По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=½W(jw)½

A(w)=<img width=«139» height=«59» src=«ref-1_748987354-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">=<img width=«181» height=«52» src=«ref-1_748970035-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">       (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=argk — arg(1 — 2xTjw— T2w2)= — arctg<img width=«85» height=«44» src=«ref-1_748988166-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">

j(w)= — arctg<img width=«85» height=«44» src=«ref-1_748988166-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249"> (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg<img width=«181» height=«52» src=«ref-1_748970035-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
4.1.5. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ КОНСЕРВАТИВНОЕ ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a2<img width=«55» height=«49» src=«ref-1_748938451-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">+aoy(t) =bog(t)         (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a2=0,0588

ao=12

bo=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

<img width=«27» height=«47» src=«ref-1_748938999-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252"><img width=«55» height=«49» src=«ref-1_748938451-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">+y(t)=<img width=«28» height=«47» src=«ref-1_748918534-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">g(t)
<img width=«23» height=«23» src=«ref-1_748958110-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255"><img width=«55» height=«49» src=«ref-1_748938451-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">+ y(t)=kg(t)             (2),

где k=<img width=«28» height=«47» src=«ref-1_748918534-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257">-коэффициент передачи,

 T2=<img width=«27» height=«47» src=«ref-1_748938999-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258">-постоянная времени.

Это уравнение является частным случаем колебательного уравнения при x=0.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=<img width=«24» height=«41» src=«ref-1_748914347-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259"> .Получим:

(T2p2+1)y(t)=kg(t)          (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)    <img width=«12» height=«21» src=«ref-1_748931391-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">

<img width=«55» height=«49» src=«ref-1_748938451-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261">=s2Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

T2s2Y(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)=<img width=«67» height=«44» src=«ref-1_748991970-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">             (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)<img width=«13» height=«41» src=«ref-1_748922889-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">=<img width=«85» height=«45» src=«ref-1_748992454-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264">
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=<img width=«229» height=«84» src=«ref-1_748992766-552.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">

Заменим <img width=«59» height=«41» src=«ref-1_748993318-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266">.Тогда

H(s)=<img width=«121» height=«56» src=«ref-1_748993555-369.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k×1(t)<img width=«92» height=«25» src=«ref-1_748993924-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">        (5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)×1=<img width=«67» height=«44» src=«ref-1_748991970-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">=<img width=«65» height=«88» src=«ref-1_748994473-327.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">    продолжение
--PAGE_BREAK--=<img width=«72» height=«49» src=«ref-1_748994800-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= kwsinwt×1(t)                 (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)= <img width=«67» height=«44» src=«ref-1_748991970-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272"> 

W(jw)=<img width=«72» height=«44» src=«ref-1_748995384-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">      (7)

 

U(w)=<img width=«72» height=«44» src=«ref-1_748995384-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">

V(w)=0

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик.   По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=½W(jw)½

A(w)=<img width=«77» height=«59» src=«ref-1_748995950-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">=(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=argk — arg(1-T2w2)=0           (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg<img width=«77» height=«56» src=«ref-1_748996256-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">                   (10)

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
4.2. ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ
4.2.1. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a1 <img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277">=bog(t)         (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a1=1,24

bo=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1:

<img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">=<img width=«27» height=«47» src=«ref-1_748997062-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279">g(t)
 <img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280">=kg(t)             (2),

где k=<img width=«27» height=«47» src=«ref-1_748997062-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=<img width=«24» height=«41» src=«ref-1_748914347-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282"> .Получим:

py(t)=kg(t)          (3)

2. Получим передаточную функцию для данного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

<img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">=sY(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

 sY(s)=kG(s)

W(s)=<img width=«17» height=«41» src=«ref-1_748998275-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">             (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)<img width=«13» height=«41» src=«ref-1_748922889-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">=<img width=«24» height=«44» src=«ref-1_748998704-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286">

 Переходя к оригиналу, получим

h(t)=kt×1(t)      (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=<img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748917478-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287"> 

w(t)=<img width=«81» height=«43» src=«ref-1_748999183-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">=k×1(t)           (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)= <img width=«17» height=«41» src=«ref-1_748998275-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">

W(jw)=<img width=«25» height=«44» src=«ref-1_748999697-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">           (7)

W(jw)=<img width=«92» height=«44» src=«ref-1_748999921-333.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291"> 

U(w)=0

V(w)=<img width=«37» height=«41» src=«ref-1_749000254-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик.   По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=½W(jw)½

A(w)=<img width=«31» height=«49» src=«ref-1_749000480-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293">=<img width=«19» height=«41» src=«ref-1_749000724-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">     (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=argk — argjw

j(w)= — arctgw         (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg<img width=«19» height=«41» src=«ref-1_749000724-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">

7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.
4.2.2. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИНЕРЦИОННОЕ ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:

<img width=«76» height=«49» src=«ref-1_749001148-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">+a1 <img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297">=bog(t)         (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a2=0,0588

a1=0,504

bo=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1:

<img width=«25» height=«47» src=«ref-1_749001732-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298"><img width=«55» height=«49» src=«ref-1_749001980-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299">+ <img width=«39» height=«43» src=«ref-1_749002271-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">=<img width=«27» height=«47» src=«ref-1_748997062-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301">g(t)
T<img width=«55» height=«49» src=«ref-1_749001980-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302">+<img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">=kg(t)             (2),

где k=<img width=«27» height=«47» src=«ref-1_748997062-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304">-коэффициент передачи,

     T=<img width=«25» height=«47» src=«ref-1_749001732-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305">-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=<img width=«24» height=«41» src=«ref-1_748914347-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306"> .Получим:

(Tp2+p)y(t)=kg(t)          (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

<img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307">=sY(s)

<img width=«55» height=«49» src=«ref-1_748938451-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">=s2Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Ts2Y(s)+sY(s)=kG(s)

W(s)=<img width=«65» height=«47» src=«ref-1_749004571-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309">             (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)<img width=«13» height=«41» src=«ref-1_748922889-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">=<img width=«75» height=«49» src=«ref-1_749005059-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311">

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=<img width=«131» height=«49» src=«ref-1_749005365-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312">

Переходя к оригиналу, получим

h(t)= — kT×1(t)+kt×1(t)+kT<img width=«35» height=«39» src=«ref-1_749005748-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313">×1(t)=

=<img width=«171» height=«69» src=«ref-1_749005976-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314"> (5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)×1=<img width=«65» height=«47» src=«ref-1_749004571-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315"> 

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

w(s)=<img width=«189» height=«84» src=«ref-1_749006641-436.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316">

Переходя к оригиналу, получим

w(t)=k×1(t)<img width=«73» height=«67» src=«ref-1_749007077-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317">        (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=<img width=«65» height=«47» src=«ref-1_749004571-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318"> 

W(jw)=<img width=«88» height=«47» src=«ref-1_749007611-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319">           (7)

W(jw)<img width=«440» height=«61» src=«ref-1_749007915-802.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320"> 

U(w)=<img width=«100» height=«49» src=«ref-1_749008717-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">

V(w)=<img width=«101» height=«44» src=«ref-1_749009061-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322">

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик.   По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=½W(jw)½

A(w)=<img width=«87» height=«49» src=«ref-1_749009381-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323">=<img width=«96» height=«49» src=«ref-1_749009688-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324">     (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=argk — argjw— arg<img width=«67» height=«24» src=«ref-1_749010020-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325"> 

j(w)= — arctgw— arctgTw          (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg<img width=«96» height=«49» src=«ref-1_749009688-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326">

7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.
4.2.3. ИЗОДРОМНОЕ ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a1 <img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327">=b1<img width=«45» height=«43» src=«ref-1_749010853-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328">+bog(t)         (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a1=1,24

bo=4

b1=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1:

<img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329">=<img width=«25» height=«47» src=«ref-1_749011358-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330"><img width=«45» height=«43» src=«ref-1_749010853-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331">+<img width=«27» height=«47» src=«ref-1_748997062-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332">g(t)
<img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">=k1<img width=«45» height=«43» src=«ref-1_749010853-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334">+kg(t)             (2),

где k1=<img width=«25» height=«47» src=«ref-1_749011358-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335">, k=<img width=«27» height=«47» src=«ref-1_748997062-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336">-коэффициент передачи.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=<img width=«24» height=«41» src=«ref-1_748914347-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337"> .Получим:

py(t)=(k1p+k)g(t)          (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

<img width=«45» height=«43» src=«ref-1_748920426-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">=sY(s)

g(t)=G(s)

<img width=«45» height=«43» src=«ref-1_749010853-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339">=sG(t)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

sY(s)=k1sG(s)+kG(s)

W(s)=<img width=«124» height=«43» src=«ref-1_749013799-355.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340">             (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)<img width=«13» height=«41» src=«ref-1_748922889-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341"> =<img width=«61» height=«45» src=«ref-1_749014363-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342">

 Переходя к оригиналу, получим

h(t)= <img width=«64» height=«25» src=«ref-1_749014652-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343">×1(t)      (5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)×1

W(s)=<img width=«51» height=«41» src=«ref-1_749014905-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344">

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= k1×d(t)+k×1(t)        (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=<img width=«51» height=«41» src=«ref-1_749014905-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345">

W(jw)=<img width=«147» height=«44» src=«ref-1_749015417-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346">           (7)

U(w)=k1

V(w)=<img width=«32» height=«41» src=«ref-1_749015787-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347">

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик.   По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=½W(jw)½

A(w)=............(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=............

j(w)=............         (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg........

7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.
4.3.1.ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:

aoy(t)=b1<img width=«45» height=«43» src=«ref-1_749010853-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348">        (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

ao=2

b1=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

y(t)=<img width=«77» height=«47» src=«ref-1_749016253-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349">

y(t)=k<img width=«45» height=«43» src=«ref-1_749010853-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350">             (2),

где k=<img width=«25» height=«47» src=«ref-1_749016832-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351">    продолжение
--PAGE_BREAK--