Реферат: Непрерывное Вейвлет-преобразование

--PAGE_BREAK--Cигнал анализируется путем разложения  по  базисным  функциям, полученным из некоторого прототипа путем сжатий,  растяжений и сдвигов (2).         Функция-прототип     называется    анализирующим      (материнским)       вейвлетом.


     Вейвлет — функция должна удовлетворять 2-м условиям:
1.   Среднее значение (интеграл по всей прямой) равен 0.

2.   Функция быстро убывает при t ®∞.
Обычно,  функция-вейвлет обозначается буквой ψ.

В общем случае вейвлет преобразование функции f(t)выглядит так:
<img width=«246» height=«48» src=«ref-1_745786032-552.coolpic» v:shapes="_x0000_i1025">                                                 (2)

где t – ось времени, x – момент времени, s –параметр,обратный частоте, a (*) – означает комплексно-сопряженное.

<img width=«532» height=«378» src=«ref-1_745786584-23082.coolpic» v:shapes="_x0000_s1027">
   Главным элементом в вейвлет анализе является функция-вейвлет. Вообще говоря,вейвлетом является любая функция, отвечающая двум вышеуказанным условиям. Наибольшей популярностью пользуются два изображенных на рисунке 1 вейвлета:

Рис 1. Примеры вейвлетов.
   Сверху изображен  вейвлет “сомбреро” (Mexican Hat), названный так благодаря своему внешнему виду. На нижней части рисунка 1 изображен вейвлет Морле. График любого вейвлета выглядит примерно также,как и вейвлет Морле. Заметим,что вейвлет Морле – комплекснозначный,на рисунке изображены его вещественная и мнимая составляющие.

   Итак,у нас имеется некоторая функция f(t), зависящая от времени. Результатом ее вейвлет-анализа будет некоторая функция W(x,s), которая зависит уже от двух переменных:от времени и от частоты (обратно пропорционально). Для каждой пары x иs рецепт вычисления вейвлет преобразования следующий:

1.           Функция вейвлет растягивается в s раз по горизонтали и в 1/sраз по вертикали.

2.           Далее он сдвигается в точкуx. Полученный вейвлет обозначается ψ(x,s).

3.           Производится усреднение в окрестности точки s при помощи ψ(x,s).
В результате “вырисовывается” вполне наглядная картина,иллюстрирующая частотно-временные характеристики сигнала. По оси абсцисс откладывается время, по оси ординат – частота (иногда размерность оси ординат выбирается так: log(1/s), где s-частота),а абсолютное значение вейвлет преобразования для конкретной пары x и s определяет цвет,которым данный результат будет отображен(чем в большей степени та или иная частота присутствует в сигнале в конкретный момент времени,темтемнее будет оттенок).

<img width=«427» height=«297» src=«ref-1_745809666-16763.coolpic» v:shapes="_x0000_s1028">

Рис 2. Вейвлет преобразование стационарного сигнала.
   Данный рисунок показывает результаты вейвлет анализа для сигнала,представляющим из себя наложение двух синусоид различной частоты. Частотные характеристики данного сигнала не меняются во времени (сигнал стационарный),что хорошо видно на верхней части рисунка 2.

<img width=«504» height=«365» src=«ref-1_745826429-19523.coolpic» v:shapes="_x0000_s1029">

Рис 3. Сравнение методов анализа.             

   По рисунку 3 удобно сравнить результаты, которые дают преобразование Фурье и вейвлет преобразование. Исходный сигнал изображен на рис (3a). Как видно из рис (3c) преобразование Фурье дает информацию о том спектре частот,который присутствует в сигнале в промежутке времени от 0 до 1 сек., при этом нам неизвестно когда именно та или иная частота реально присутствовала в сигнале.

В то же время вейвлет преобразование (3b)дает исчерпывающую картину динамики изменения частотных характеристик во времени.Все это указывает на то,что вейвлет преобразование существенно более информативно по сравнению с преобразованием Фурье.
3.3.1 Методы вычисления непрерывного вейвлет-преобразования.
Существует два разных пути проведения вейвлет преобразования. Речь идет о расчетах во временной и частотной областях. При работе во временной области мы имеем дело с функциями,аргументами которых являются временные параметры, а в случае частотной – частотные. В частотной областииспользуется механизм быстрого преобразования Фурье. [5c]
3.3.1.1  Во временной области
   Прежде всего,нам необходимо определить материнский вейвлет. Допустим,мы выбрали некоторую функцию, удовлетворяющую необходимым условиям:ψ0(η),где η – безразмерный период.

Итак, нам дана временная серия X, со значениями xn, в моменты времени nÎ[0,N-1], где N – количество измерений. Каждая величина разделена по времени на постоянную величину dt. Получив основную формулу для материнского вейвлета,необходимо иметь возможность изменять размеры вейвлета. Для этого строится так называемый «масштабированный» вейвлет который будет иметь вид:

<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_745845952-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1026">

<img width=«256» height=«49» src=«ref-1_745846121-655.coolpic» v:shapes="_x0000_i1027">                                               (3)
s – параметр, обратный частоте.
Вычисление вейвлет преобразования является сверткой искомой временной серии с функцией-вейвлетом.  Основная формула имеет вид :
<img width=«211» height=«45» src=«ref-1_745846776-570.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028">                                                          (4)
в данном случае (*) – означает комплексно-сопряженное.

   Результатом расчета Wn(s) по формуле (4)  будет комплексное число. В качестве конечного результата берется абсолютное значение полученного комплексного числа. [5a]

Блок – схема алгоритма:

<img width=«483» height=«717» src=«ref-1_745847346-8825.coolpic» v:shapes="_x0000_s1030 _x0000_s1034 _x0000_s1036 _x0000_s1040 _x0000_s1042 _x0000_s1046 _x0000_s1031 _x0000_s1035 _x0000_s1039 _x0000_s1044 _x0000_s1047 _x0000_s1038 _x0000_s1037 _x0000_s1045 _x0000_s1043 _x0000_s1033 _x0000_s1032 _x0000_s1041">



                                                                                      

<img width=«118» height=«55» src=«ref-1_745856171-1137.coolpic» alt=«Блок-схема: решение: n=N-1? ,?» v:shapes="_x0000_s1048">                                                                           нет

<img width=«156» height=«2» src=«ref-1_745857308-162.coolpic» v:shapes="_x0000_s1049">


<img width=«12» height=«41» src=«ref-1_745857470-237.coolpic» v:shapes="_x0000_s1050">                                                              

                                                               да

 



<img width=«12» height=«22» src=«ref-1_745857707-232.coolpic» v:shapes="_x0000_s1052">                                                                                                  

<img width=«210» height=«75» src=«ref-1_745857939-1000.coolpic» alt=«Блок-схема: решение: Весь спектр частот изучен ?» v:shapes="_x0000_s1053">                                                                                           нет 

<img width=«204» height=«2» src=«ref-1_745858939-165.coolpic» v:shapes="_x0000_s1054">




<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_745859104-232.coolpic» v:shapes="_x0000_s1055">                                                                   да   

 



3.3.1.2  В частотной области
   Вейвлет преобразование можно провести в частотной области. Для этого снова в первую очередь необходимо определить материнский вейвлет. Расчет по данной схеме происходит следующим образом: преобразование Фурье самого вейвлета (в данном случае будем рассматривать вейвлет Морле) сконцентрировано вокруг некоторой выделенной частоты w0 ≠ 0. Поэтому преобразование Фурье вейвлета, растянутого в  s  раз,будет сконцентрировано вокруг частоты w/s  (см рис.4).

<img width=«427» height=«314» src=«ref-1_745859336-14674.coolpic» v:shapes="_x0000_s1057">
Рис 4. Преобразование Фурье функции вейвлета.
   Так как свертка функций эквивалентна их перемножению в частотной области,“строка” s = const  на изображении вейвлет преобразования показывает эволюцию изучаемой функции на частотах,близких w/s. То есть умножение Фурье-спектра исходной функции на пик в точке w/s в частотной области (то есть на Фурье-образ растянутого вейвлета) вырезает из этой функции все то,что дает вклад в ее спектр на частотах,близких w/s. В результате получается развертка спектрального компонента во времени. [1]

   Основные формулы имеют вид:

<img width=«206» height=«51» src=«ref-1_745874010-585.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029">                                                           (5)

где (*) – означает комплексно-сопряженное, а знак  (^) – преобразование Фурье.
<img width=«169» height=«50» src=«ref-1_745874595-490.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030">                                                                    (6)                                                                                                                                           

   <img width=«184» height=«49» src=«ref-1_745875085-534.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">                                                              (7)
Блок – схема алгоритма:

<img width=«483» height=«698» src=«ref-1_745875619-8883.coolpic» v:shapes="_x0000_s1058 _x0000_s1062 _x0000_s1064 _x0000_s1068 _x0000_s1070 _x0000_s1074 _x0000_s1059 _x0000_s1063 _x0000_s1072 _x0000_s1075 _x0000_s1066 _x0000_s1065 _x0000_s1073 _x0000_s1071 _x0000_s1061 _x0000_s1060 _x0000_s1069 _x0000_s1067">



                                                                                      

<img width=«118» height=«55» src=«ref-1_745856171-1137.coolpic» alt=«Блок-схема: решение: n=N-1? ,?» v:shapes="_x0000_s1076">                                                                           нет

<img width=«156» height=«2» src=«ref-1_745857308-162.coolpic» v:shapes="_x0000_s1077">


<img width=«12» height=«41» src=«ref-1_745857470-237.coolpic» v:shapes="_x0000_s1078">                                                              

                                                               да

 



<img width=«12» height=«22» src=«ref-1_745857707-232.coolpic» v:shapes="_x0000_s1080">                                                                                                  

<img width=«210» height=«75» src=«ref-1_745857939-1000.coolpic» alt=«Блок-схема: решение: Весь спектр частот изучен ?» v:shapes="_x0000_s1081">                                                                                           нет 

<img width=«204» height=«2» src=«ref-1_745858939-165.coolpic» v:shapes="_x0000_s1082">




<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_745859104-232.coolpic» v:shapes="_x0000_s1083">                                                                   да   

 



3.3.2  Выбор материнского вейвлета
В качестве материнского вейвлета подходит любая функция,удовлетворяющая двум вышеуказанным условиям. Для реализации алгоритма в качестве анализирующего вейвлета было решено воспользоваться вейвлетом Морле (рис.5).Это было сделано по трем причинам:

·вейвлет Морле один из наиболее популярных [1]ишироко применяется

·он обладает значительной наглядностью

·он прост в вычислительном плане,что ускоряет работу алгоритма

<img width=«227» height=«117» src=«ref-1_745887667-2399.coolpic» v:shapes="_x0000_s1085">

рис 5. Вейвлет Морле.
Фактически вейвлет Морле является произведением комплексной синусоиды на гауссиан.

<img width=«210» height=«39» src=«ref-1_745890066-514.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">,                                             (8)
где yявляется значением вейвлет функции с безразмерным периодом h, а w— волновой параметр(при реализации w=6).

   Необходимо также отметить, что вейвлет Морле является комплекснозначным, то есть имеет действительную и мнимую части.
4    ОПРЕДЕЛЕНИЕ УЗЛОВЫХ ТОЧЕК ЭКГ НА ОСНОВЕ НЕПРЕРЫВНОГО ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ



4.1  Стандарты описанияи обозначения ЭКГ.



Электрокардиограмма (ЭКГ) человека – сигнал,считываемый  в результате распространения волны деполяризации и реполяризации по сердечной мышце. Электрокардиограмма (ЭКГ) представляет собой некоторый сигнал, имеющий пять характерных пиков -  P, Q, R, S и T :

   Обозначенные особенности (пики и интервалы) и являются стандартами описания электрокардиограммы человека.



4.2 
Постановка задачи идентификации
.
По временным и амплитудным характеристикам пиков и интервалов врач может определить наличие тех или иных заболеваний у исследуемого пациента. Наиболее важную информацию несет пик R, в частности, именно по этому пику можно найти частоту сердечных сокращений.

В зависимости от конфигурации электродов на теле пациента различают, так называемые, отведения. В медицинской практике используются 12 стандартных отведений, 8 из которых линейно независимы, а еще 4 являются их линейной комбинацией.

В линейных методах для определения временных характеристик ЭКГ  (то есть для решения задачи идентификации)  обычно используют второе отведение.

Под задачей идентификации, обычно, понимают вычисление временных положений пиков. Также определяют частоты, присутствующие в сигнале, так как, например, присутствие в сигнале определенных высокочастотных  компонент может свидетельствовать о ненормальной работе сердца. Поэтому появилась необходимость использования методов частотного анализа, одним из которых является вейвлет-преобразование.
4.3.
Построение модели идеальной ЭКГ
    продолжение
--PAGE_BREAK--